【高考数学 特色题型汇编】第53讲 平面解析几何解答题-椭圆中的定点、定值（原卷及答案）（新高考地区专用）高考数学复习

平面解析几何解答题——椭圆中的定点、定值

I.已知4，4是过点(0,2)的两条互相垂直的直线，且《与椭圆］相交于A,

4

8两点，乙与椭圆「相交于C,。两点.

(1)求直线4的斜率k的取值范围；

(2)若线段48,C。的中点分别为M,M证明直线MN经过一个定点，并求出此定点

的坐标.

2.已知椭圆C:二+二=1("＞力＞0)的右顶点为42,0),离心率为由.

a1b22

(1)求C的方程:

⑵设斜率为1的直线/与C交于P，Q两点，点/)关于x轴的对称点为M,若APQM的

外接圆恰过坐标原点，求直线/的方程.

3.已知A,4分别是椭圆C:「+与=1(。＞〃＞0)的右顶点和上顶点，|八6|=逐，直线

crb-

AH的斜率为-；.

(1)求椭圆的方程：

(2)直线〃MB,与X,y轴分别交于点M,N,与椭圆相交于点C,。.证明：

(i)aOCM的面积等于△O0N的面积：

(ii)ICMf+IMD「为定值.

4.如图，椭圆M：q+*■=1（"＞）＞。）的两焦点为（°」），（°I），A,8是左右顶点，

直线/与椭圆交于异于顶点的C，D两点,并与1轴交于点P.直线AC与直线8C斜率

之积为-2.

⑴求椭圆M的方程；

⑵直线AC与直线8。交于点。，设点P与点0横坐标分别为“，”,则是否为

常数，若是，求出该常数值：若不是，请说明理由.

5.已知点A（-2&.0）,网2战0）&2.0）,动点2与点A,8连线的斜率之积为-（，过

点。的直线/交点P的轨迹于C,D两点,设直线AC和直线8。的斜率分别为K和人

记m=g

⑴求点P的轨迹方程

（2）〃?是否为定值?若是，请求出该值，若不是，请说明理由.

6.已知圆0：9+炉=4与x轴交于点4-2.0),过圆上一动点M作x轴的垂线，垂足为

H,N是MH的中点，记N的轨迹为曲线C.

(I)求曲线。的方程；

⑵过(-小0)作与x轴不重合的直线/交曲线C于P，Q两点，设直线AP,AS的斜率分

别为跖“2.证明：ki=4k2.

7.已知M,N分别是x轴，)，轴上的动点，且|MN|=4+2g,动点、P满足MP=与PN,

设点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的轨迹方程：

(2)直线心3_r-2y=O与曲线。交于4,8两点，G为线段AB上任意一点(不与端点重

合)，倾斜角为。的直线4经过点G,与曲线。交于£,F两点.若』^^的值与点

\GA\-\3B|

G的位置无关，求|GE|：|GF|的值.

8.已知椭圆C：二+与=1(a>〃>0)的离心率为无，其左、右焦点分别为匕，6，

a-b-2

丁为椭圆C上任意一点，△再行面积的最大值为1.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵已知A(0,1),过点(0《%勺直线/与椭圆C交于不同的两点M,N,直线/W,AN

与x轴的交点分别为P,Q,证明：以尸Q为直径的圆过定点.

9.已知平面内两点耳(々5,0),用(0,0),动点P满足:|「制+忸闾=2万.

(1)求动点P的轨迹C的方程:

⑵设M,N是轨迹。上的两点，直线仞V与曲线/+),2=］。〉0)相切证明：M,N,F2

三点共线的充要条件是IMN|=8.

，0-已知"2。)，口2,。)为椭圆人/小叱八。)的左、右焦点，且A(2,|)为

椭圆上的一点.

⑴求椭圆£的方程:

⑵设直线.v=-2x+r与抛物线)，2=2冲(〃>0)相交于尸.。两点.射线£P,EQ与椭圆E

分别相交于M、N.试探究：是否存在数集Q,对于任意〃6。时，总存在实数/,使得点《

在以线段MN为直径的圆内？若存在，求出数集。并证明你的结论；若不存在，请说明

理由.

H.在平面直角坐标系X。5中，设椭圆C:二+「=1(4>8>0)的两个焦点分别为B,

a~lr

点/>在椭圆C上，连结PF/,。尸2并延长，分别交椭圆于点A,B.己知；4尸人的

周长为8忘，BP后面积最大值为4.

(1)求椭圆C的标准方程：

(2)当P不是椭圆的顶点时，试分析直线OP和直线A8的斜率之积是否为定值？若是,

求出该定值，若不是，请说明理由.

12.已知点P(2,?)为椭圆C:十二=l(a>〃>0))上一点，A,8分别为C的左、

右顶点，且△以3的面积为5.

(I)求C的标准方程；

⑵过点QG,0)的直线/与。相交于点G,”(点G在x轴上方)，AG,8”与)，轴分

别交于点M,N,记S1,S?分别为△AOM,△AON(点。为坐标原点)的面积，证明：今

为定值.

13.已知椭圆C：「■+，=1(〃>。>0)的短轴长为2&，离心率为李.

(1)求椭圆仁的方程：

(2)点尸为直线x=4上的动点，过点2的动直线/与椭圆C相交于不同的A,B两点,在

线段A8上取点。，满足H斗依周=罔，证明：点。的轨迹过定点.

14.在平面直角坐标系中，椭圆。：5+屋=1(“>〃>0)的离心率。=逅,a=#，直线

a-b~3

/与x轴相交于点E,与椭圆相交于点A8；

(1)求椭圆C的方程，

(2)在x轴上是否存在点E,使得图r+加为定值？若存在，请求出点E的坐标，若

不存在，请说明理由.

15.已知&4BC的两个顶点A,8的坐标分别为(-6。，(x/IO),圆E是“tBC的内切

圆，在边AC,BC,A3上的切点分别为P,Q,凡|3=2-6，动点C的轨迹为曲线

G.

(1)求曲线G的方程;

(2)设直线，与曲线G交于M、N两点，点。在曲线G上,O是竺标原点OM+ON=OD，

判断四边形OMQN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理

由.

16.已知椭圆从二+£=1，〃>〃>0)的右顶点为420).离心率为;过点”6.0)与“

a'b-2

轴不重合的直线/交椭圆E丁不同的两点B,C,直线A3,4C分别交直线x=6于点M,

N.

⑴求椭圆E的方程：

(2)设。为原点.求证：/PAN+NPOM=舒.

17.已知椭圆。:捺+£=13>。>0)的焦距为2,且经过点夕(1,1).

⑴求椭圆。的方程；

(2)经过椭圆右焦点尸且斜率为左(火工0)的动直线/与椭圆交于八、8两点，试问x轴上

是否存在异于点尸的定点7,使|44|871=忸耳卜刀恒成立？若存在，求出7点坐标，

若不存在，说明理由.

18.设椭圆C：4+4=1（«>Z?>0）的左、右顶点分别为A,B,上顶点为。，点P

a'b-

是椭圆C上异于顶点的动点，己知椭圆的离心率《=正，短轴长为2.

2

⑴求椭圆。的方程；

（2）若直线4。与直线BP交于点M,直线DP与x轴交于点N,求证：直线MN恒过某

定点，并求出该定点.

19.已知椭圆C：/+本=1（〃>〃>0）经过点八（0,I）,且右焦点为尸（1,0）.

（1）求C的标准方程；

（2）过点（0,J）的直线/与椭圆C交子两个不同的点P.。，直线AP与x轴交于点M,

直线AO与x轴交于点N.证明：以MN为直径的圆过），轴上的定点.

20.已知椭圆C的方程为；■+与=l（a”>0）,右焦点为「（万0）,且离心率为也.

a'lr3

（I）求椭圆C的方程；

（2）设M,N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线/+尸=/。>0）相切.证明：M,

M厂三点共线的充要条件W|MN|=G.

21.圆。：/+),2=4与_¥轴的两个交点分别为4(-2,0),4(2,0),点M为圆。上一

动点，过M作x轴的垂线，垂足为N,点、R满足NR=』NM

2

(I)求点/?的轨迹方程；

(2)设点R的轨迹为曲线C,直线x=吁1交。于P,。两点，直线与&。交于点S,

试问：是否存在一个定点丁，当机变化时，4万为等腰三角形

22.已知点F(>/2,0)，动点M(x,y)到直线/：x=2及的距离为d,且4=闺时尸|,记M

的轨迹为曲线C.

(1)求。的方程：

(2)过M作圆q：/+V=g的两条切线叱、MQ(其中。为切点).直线MP、MQ

分别交C的另一点为A、B.从下面①和②两个结论中任选其一进行证明.

①|R4HpM|为定值；

②|M4闫

23.己知椭圆C：5+£=l(a>%>0)的离心率为孝，且过点A(2,l).

(1)求C的方程：

(2)点M,N在C上，且/WJ./W,ADJ.MN,3为垂足.证明：存在定点Q,使

得为定值.

24.已知△4BC的顶点A(-4,0),3(4,0),满足:tan4tanZ?=—.

16

(1)记点C的轨迹为曲线「，求「的轨迹方程：

(2)过点M(0,2)且斜率为上的直线/与「相交于P,Q两点，是否存在与M不同的定点N,

使得|耐・|"。=|八@・|肥”恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

25.如图，已知椭圆C:，-y2=](a〉]),其左、右焦点分别为小尸。，过右焦点尸2且垂

直于x轴的直线交椭圆于第一象限的点?，且sin//%吊=；.

(1)求椭圆C的方程：

⑵过点且斜率为4的动直线/交椭圆于A3两点，在V轴上是否存在定点

使以A8为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标：若不存在，说明理由.

22

26.如图,已知离心率为日

的椭圆mA/1(〃>b>0)的左右顶点分别为A、B，

尸是椭圆M上异于A、8的一点，直线8尸分别交直线/：1=4于C、。两点.直线/与

X轴交于点〃，且A〃AC=36.

⑴求椭圆M的方程：

（2）若线段C7）的中点为E,向在x轴上是否存在定点N,使得当直线N-、NE的斜率女样

、心£存在时，为定值？若存在，求出点N的坐标及编・人度的值；若不存在，请

说明理由.

27.设点P（%,兄）（为工。）是椭圆C：马+券=1（〃＞。＞0）上一动点，A、鸟分别是椭圆

crb~

c的左、右焦点，射线PZ、PF.分别交椭圆C于M,N两点，已知VPM鸟的周长为8&,

且点伍衣）在椭圆C上.

（1）求椭圆C的方程:

（2）证明：黑+》匕为定值.

|M闻SO&N

28.已知椭圆C£+£=1（。＞〃＞0）的四个顶点构成的四边形的面积为46，点（I3，

在椭圆。上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若矩形MNP。满足各边均与椭圆。相切.求证：矩形MNP。对角线长为定值.

29.在平面直角坐标系x。)，中，已知动点C到定点厂(1，0)的距离与它到直线/:x=4的

距离之比为g.

⑴求动点C的轨迹方程；

⑵点P为直线/上的初点，过点P的动直线/〃与动点C的轨迹相交于不同的人,8两点，

在线段4A卜取点Q.满足|AP|=/U/＞8|.|4Q|=/l|Q8|,求证：点Q总在一条动直线卜

且该动直线恒过定点.

30.已知椭圆C:A3=1(〃＞。＞0)的布焦点为尸(1,0),上、下顶点分别为⑦、生，

以点尸为圆心，F4为半径作圆，与X轴交于点7(3.0).

(I)求椭圆C的方程.：

(2)已知点*2,0),点A、"为椭圆C上异于点尸且关于原点对称的两点，直线24、PB

与3’轴分别交于点M、N,记以A/N为直径的圆为OK,试判断是否存在直线/截。K

的弦长为定值，若存在请求出该直线的方程，若不存在，请说明理由.

31.已知椭圆C：J+'=的左、右焦点分别为匕，尸2,上、下顶点分别

为4B,四边形4耳85的面积和周长分别为2百和8,椭圆的短轴长大于焦距.

(1)求椭圆。的方程：

⑵点尸为椭圆。上的动点：不是顶点)，点P与点M关于原点对称，过M作直线垂直

于x轴，垂足为£连接并延长交椭圆C于点Q，则直线的斜率与直线MQ的

斜率的乘积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

32.在平面直角坐标系xQy中，已知点4T宜),8(1.0),动点M平面与点N关于原点O

对称，四边形M4NA的周长为8,记点M的轨迹为曲线C.

(1)求。的方程：

⑵过点8(1.0)且斜率不为零的直线交曲线C与。,Q两点,过点。作x轴的平行线QR交

直线x=4于试问：直线网是否过定点，如果是，求出这个定点；如果不是，说明

理由.

33.已知椭圆*=1力>0)的离心率6=孝，四个顶点组成的菱形面积为

8人，。为坐标原点.

⑴求椭圆E的方程；

(2)过O：./+)，2=上任意点，做。的切线/与椭圆E交于点M,N,求证PMPN为

定值.

34.已知椭圆7：三+a=1(”>”>°)的左焦点为尸(-。⑼，上顶点为P.直线/步与椭

圆了交于另一点。，且1pH=7|也，点46,；）在椭圆丁上.

⑴求椭圆了的方程.

（2）过点M（0,2）,且斜率为Z的直线/与椭圆/相交于A,8两点，点A关于），轴的对称

点为A,作MV_LAB,垂足为N.是否存在定点R,使得|网为定值？若存在，求出定

点R的坐标：若不存在，说明理由.

35.已知坐标原点为O,点P为圆V+）,2=6上的动点，线段QP交圆.d+y?=3于点0,

过点，作x轴的垂线/,垂足上过点。作/的垂线，垂足为S.

（1）求点5的轨迹方程。：

⑵已知点4-2.1）.过&-30）的直线/交曲线。于M.M且直线4M.4V与直线K=3

交于邑F,求证：E,产的中点是定点，并求该定点坐标

36.已知椭圆C/+》1（〃＞力＞0）的右焦点为凡离心率为容点呼）在椭

圆。上.

⑴求椭圆C的标准方程：

（2）过点（2,0）且斜率不为0的直线/与椭圆C相交于A,B两点,过点尸且与x轴垂

|AF|AM\

直的直线与直线/相交于点M.证明：扇=痴才・

^-+75-=1(«>/?>0)经过点M[L等)

37.己知椭圆E:,且焦距山段=26,线段

h2

8分别是它的长轴和短轴.

⑴求椭圆E的方程：

(2)若N(sj)是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线经过定点.

①s=l4土立，直线与椭圆后的另一-交点分别为P,Q；

2

@t=2,seR,直线NC,M)与椭圆E的另一交点分别为P,Q.

38.已知椭圆(7：5+今=1(。>>>。)经过点斗在号,左顶点为。，右焦点为厂,

已知点P(O.VI),且O，P£三点共线.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知经过点尸的直线/与椭圆。交于■A,B两点,过点B作直线y=3四的垂线，垂

足为G,求证：直线AG过定点.

39.己知O为坐标原点，F、入为椭圆C的左、右焦点，田玛|=2,P为椭网。的上

顶点，以。为圆心且过匕、K的圆与直线x=-0相切.

⑴求椭圆C的标准方程：

(2)若过点用作直线/,交椭圆。于M,N两点(/与x轴不重合)，在x轴上是否存在一

点7,使得直线7M与7N的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点7的

坐标：若不存在，请说明理由.

40.已知椭圆C：,+g=I(a>〃>0)的左右顶点分别为4,B,坐标原点。与八点关

于直线/：*=-2对称，/与椭圆第二象限的交点为C,且AC.OC=-1.

(1)求椭圆C的标准方程：

⑵过A,。两点的圆。与［交于M,N两点，直线3M,3N分别交椭圆。于异于3的E,

产两点.求证：直线E/恒过定点.

参考答案:

2

1.(1)

（2）证明见解析；定点（°，|）

【分析】（1）根据直线/一人均与椭圆「相交，联立方程利用△求解：（2）利用韦达定理分

别求M,N的坐标，进而求出直线MN的方程判断定点.

（1）

根据题意直线4，〃的斜率均存在且不为0

直线4，〃分别为二辰+2,y=-1x+2,

k

y=心+2

i《+）2_］得（软2+1）/+16心+12=0,

由△="行-4x12（软2+1）>（）得4r>3,则或Q乎,

同理4（一，］〉3,则

k）33

所以女的取值范围为

(2)

设A(X］，X),^(x,,y2),由(I)得(4代+1丫+16心:+12=0,

匕一216〃r，,.x,+X.,8〃

所以％+”一的，则/=亍=一罚

28k2)

所以为=比“+2+2=,则M-4r+1’4犬+11

43+1

以2公、

同理N

公+4'公+4,

2kz___2_

则直线MN的方程为y-万J=唠4%+(+措],

4k~+1欧+8〃4K+"

一+44A?+1

化简整理得户上L+2

5k5

因此直线MN经过一个定点(0,1).

2.⑴[+),2=1

4

⑵2指

(2)y=x±+—

a=2

【分析】（1）由题意得£=坐，解方程组求出。口，从而可得椭圆方程,

a2

222

a--bv+c

⑵设/的方程为）'="+，〃，设P（x"J,。（与外），将直线方程代入椭圆方程中，消去）'，

整理后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可表示出线段P。的中点坐标，从而可表示

出线段尸。的中垂线方程，则可表示-PQM外接圆的圆心，表示出点E到直线/的距离，从

而可表示./0W外接圆的半径，则可表示APQ例外接圆的方程，再由圆过原点1。，0）,可

求出，〃的值，进而可求出直线方程

（I）

a=2

依题意,£=坐.

a2

a2*4=b2+c2

a=2

解得ti

b=1

2

所以椭圆c的标准方程为二+/=i

4'

⑵

设/的方程为y=x+〃7,设。(七,%)，则

y=x+m

由V2।消去,,得，5x2+8〃zx+4m2-4=0>

依题意A=64m2-20（4m2-4）>0,即一石<〃?<&,

8?H

所以J

4〃P-4

内再=---

所以）1+%=M+占+2〃?

所以线段PQ的中点坐标为

所以线段PQ的中垂线方程为y-/=-(x+.),^y=-x-f

依题意，线段。。的中垂线与.1•轴的交点E即为..PQM外接圆的圆心,

点E到直线/的距离为d=也回

因为PQM外接圆恰过原点6(0.0),

所以(独T="z近，解得“土岖,

)253

所以直线/的方程为y=x土还.

3.⑴“I

(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析

【分析】(1)根据A(，，0),BOb),由|A8|=6,直线48的斜率为一;求解；

(2)设直线/的方程为〉，=-&+机，得到M(2,〃,0),N(O，M,与椭圆方程联立，根据

&

s=杷桁IIxl,s皿=J川区I,门CM「+1「=(4—2m)2+y；+(毛一2m)2+y；利用韦达定理

求解.

(1)

12

解：:4、8是椭圆;■+[=l(a>8>0)的两个顶点，

a~h~

且|4用=石，直线A3的斜率为-g,

由&a,0),B(0,b),^\AB\=>Ja2+b2

^k=T~~=~~=~T»解得a=2,b=\,

0-6/a2

椭圆的方程为£+)，2=l；

4

(2)

设直线，的方程为y=-gx+〃?，则M(2,〃.O),N(0，M,

1

y=——x+m

-7

联立方程,消去「整理得f-2/依+2〃/-2=0.

X',

—+y2-=l

4,

A=4"5-8(w;-4)=32-4nf>0,得<8

设C（F，y）,^Xx2,%）.

%+x2=2〃i,xtx2=2nr-2.

所以5皿=鼻|2,〃||工|,5皿=/〃||山

则有屋SL=12211=⑵"X,I=凶=|

"'必、卬|X;||X;|

：.LOCM的而枳等于AODN的面枳；

.1CM|:+|MD|2=(4_2Mf+>/4(.r,-2m)2+y；

=x；-+4nr+$+〃?『+x；-4/ziv,+4m:+(一;三+

=；(A+x,);_5〃J(X1+x)+10/7r

=5m:--(2«f-2)-lOw'+13m'

2

4.⑴E+r=]

2

(2)xp'XQ为常数,值为1

【分析】(1)由直线AC与直线8C斜率之积为-2,建立等式得-再结合"2=1

可求解;

(2)设直线/：x=)+m(〃?N°)，则与=，〃，再根据直线AC与直线BO可得”="!■,从

m

而可得与,“为常数.

(1)

由题A(MO),电0｝设c(x，yj,

***a~=2b，,—b2=1>

・二a=>/2，b=\,

+L

・.•椭圆M的方程为：4--

(2)

直线/若过原点，由对称性知AC〃为。不合题,

设直线/：x=ty+m(m=0)，则xp=m

x=ty+m

y22_,消去X得(2『+1))，2+4"d+252-2=0,

T+A-

A=8(2r-m2+l)>0

-Atm

设。（天，必），则，

2nr-2

"力=^^-(凹+%)①

AC：y=(x+1)②，BD：.y=^-r(A-l)®

$+1x2-1

②⑤联立洱士！=x(D=凶(6+吁1)=，»+(吁1))1

'X+1y2a+1)y2(0i+w-i)“*+(m+i))’2

①样入但±1=(1-〃)[(]-m-+(1+〃?)%\—m

D代人借77T-(/〃+1)((1_间.+(1+〃?)力1+zzz

解得A7即X。）

m

・•.％4为常数,值为1.

•>f

5.(吗+方=1("0)

⑵是，3-2&

【分析】（1）点o（x,y）,由心，•即s=-（，化简即得所求，要注意去掉不符合题意的点（2）

O

由题意，直线/斜率不为0,设/：x=<y+2,。（不片）,。（%,必），联立直线与曲线方程，消

元之后利用韦达定理可得）1%=；7?）以及，产工=叫外，而〃?=法=

it+oIt+8K2

5y2+Q-2闾y

---------7--------尸「，符片+见=》为代入即可求解

咏，2+（2+2X/2）X

（1）

设点尸（x,y）,由题意

5k邛”..2_&_x+2>&_=_8Z

整理得f+!=l（"。）

o7

（2）

由题意，直线/斜率不为0

设/：x=（y+2,设C（X[,yJ,D（%,%）

得（7产+8））尸+28/>，-28=0

-28/-28

则）1+）37尸+8'*%=浮+8

所以Y+）'2=%）’2

仁_/+*_小+2&）、y（5+2-2&）_5%+（2-2夜）y

k

2—%2应）y2（/>',+2+272）再%+（2+2及｝

）1十%十（2-2&卜（3-2后）力十x

）1+%+（2+2&卜「）\+（3+2&）力

=（3-2垃）,+3-2及%）_卜一2码b川3+2&）月）=3_班

y+（3+2&）/y+（3+2甸为

所以用为定值3-2夜

2

6.（吟+）,2=1；

（2）证明见解析.

【分析】（1）运用相关点法即可求曲线C的方程：

（2）首先对直线/的斜率是否存在进行讨论，再根据几何关系分别求出P、。、S三点的坐标,

进而表示出直线AP,AS的斜率4,右,再根据斜率的表达式进行化简运算，得出结论.

(D

设N(xo,yo),则H(%,0),

是MH的中点,：.M(xo,2%),

又・・・M在圆O上，.•.%+(2%)2=4,

即乎+"：

・♦.曲线C的方程为：—+/=1；

4

（2）

①当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为：x=-1

6464

若点P在轴上方，则点Q在/轴下方，则

JJJJ

直线OQ与曲线。的另一交点为S,则S与。关于原点对称,

・•.S(黑),

JJ

--0--0j

.=得二=1人=仁=^^=7

F2—F2

5--------------------5

k、=4k】:

若点P在x轴下方，则点。在x轴上方'

同理得:2春6一方4，。（一6襄4）,5吟6,一4»

••・内=4幻;

②当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为：x=my-^,

由X=,即一2，与L+>2,1联立可得（〃[2+4）y2-y一笑=o,

54525

其中A=生匚+4x（/+4）x竺〉0,

252〉

设产区，%）,。（天，工），则S（一七，-%），

,16、

则人工_.上^吧匕

k~x.+2v.,4、

6464

16~2516~2516

〃明）广尸门一5匚

J

16一4,

~1~46412

〃小力+不（乂）一111,n

+’2）4X----A4—A~254

JJ25।5____1v

，/+45〃/+4571

：.ki=4k2.

7-(<4=i

(2)1

【分析】(1)设N(O,)，o),P(x,y),依题意可得x：+y：=(4+2>/5『，再根据

MP也PN,即可得到方程犯，消去飞、打，即可得到动点的轨迹方程；

2

(2)首先求出A、8的坐标,设G(2w,3m),其中即可表示出|G4|、|G8|,可

判断直线4的斜率存在，设为尸依一(24-3)/〃、£(5/)、网心切)，联立直线与曲线方

程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出即可消到由式子与机无

关，即可求出3从而得解；

(1)

解：设M(%0),N(0,)，°),则片+)，：=(4+26『.

设P(x,y),则=产N=(—x)b—y).

77

A-y-1

—+---=19

1612

即曲线C的方程为工+工=1

1612

⑵

3x-2y=02

x尸=23或1

证明：由x2y2，解得，，(不妨设点A在第一象限)，所以42,3),

—+—=I)=一3

1612

^(-2,-3).

设点G(2肛3㈤,其中Tv/vl,贝IJ|G4|=JT5(1—M，|G8|=Jf5(l+m),所以

|G4||G8|=13(1

若直线4的斜率不存在，则直线的方程为X=2〃?，

此时£（2〃?,川2—3〃/）,北（2叫-加-3屑,故」不为定值.

'f\>\GA\-\GB\13（1-〃/）

若直线4的斜率存在，设直线％的斜率为底则直线I的方程为）'=心-（2A-3）/〃.

将直线L的方程代入曲线C的方程化简、整理，得

（4A-2+4）r2-i<hn（7k-3）Y+4（7k-3）2m2-4g=0.

设E（X，y），尸（生必），则芯+4=粤智2，中2=4（2、雪-48,

所以皿=（"巧吁）"（4与吟.叫｝

（软-+3）

48（1+22）［（24-3）2.一（16/+|2）］

=（4.+3『'

।E尸F48（1+/）［（2A-3）»（］6尸+12）］

故\GA\-\GH\=13（4公+3『（/_|）,

因为」^*77的值与，〃的值无关，所以（2“-3尸=16公+12,解得女"

所以=弛簪U=2，%所以G是EF的中点，即IGERGQ.

24K+3

所以IGEHG尸|=1.

2

8.⑴、+），2=1

（2）证明见解析

£一变

a~2

【分析】（1）依题意可得《历=1,即可求出〃、〃、c,即可得解:

a2=b2+c2

(2)设直线/的方程为丁N(匕，K),联立直线与椭圆方程，消元、列

出韦达定理，由直线AM、AN的方程，得到P、。的坐标，即可得到以PQ为直径的圆的

方程，再令x=0,得到9=6,即可得解：

(1)

解:因为椭圆c的离心率为立，所以£=立.

2a2

又当7位于上顶点或者下顶点时，面积最大，即乩=1.

又/=//+/,所以b=c=1,a=g.

所以椭圆C的标准方程为1■+丁=1.

(2)

解：由题知，直线/的斜率存在，所以设直线/的方程为)，="+1，设M(XQ),N(.q,乃)，

符直线/代入椭圆C的方程得：(4公+2).r+46-3=0,

-AI一3

由韦达定理得：X+匕=耳不，%电=族二姮，

直线AM的方程为，=』二匚"1,直线AN的方程为，=互1)+1,

X\X2

所以p[二',o[,Q[二5c],

所以以尸Q为直径的圆为(x+含)[+喜卜/=0,

整理得：A-2+r+f^-+^-L+-__---=0.(0

b'l-1)'2一1)(凶一1)()’2-1)

因为

=

(>1,-l)(y2-l)==45中2-2以+.1=-12/+8/+4公+2'

令①中的x=0,可得丁=6,所以，以。。为直径的圆过定点(0,士J6).

2

9.⑴(),2=]：

(2)证明见解析.

【分析】(1)由椭圆的定义判断轨迹为椭圆，直接求方程即可：

(2)分析直线MN的斜率不存在时不合题意，直线MN的斜率存在时，设时(牛X),2(七,)，2),

当三点共线时，由相切求出2=1,联立椭圆方程，由弦长公式求解IMNI,再证当|MN|=6

时，求出直线方程可知过点四拉,0),得证三点共线.

(1)

因为归用+|尸用=26>旧局.

所以点P的轨迹是以T鸟为焦点的椭圆，

其中2〃=26,°=&,。2=1，

所以轨迹C的方程为£+)，2=1.

3

(2)

当直线的斜率不存在时，直线MN：x=l,不合题意；

当直线MN的斜率存在时，设M(.y),川(天,)，2),

必要性：

若M，M鸟三点共线，可设直线MN:y=k(x-&),即心-y-同=O,

由直线MN与曲线/+)，2=1(]>0)相切可得必生=],解得』士],

卜=±。-扬，—.3历3

联立、可得4/一6及4+3=0，所以N+X>=------

[『』，-2-4

所以|MN仁7[71#+/)2_缶.七=百,

所以必要性成立；

充分性：

设直线MN:y=6+"（幼<0）即履一），+。=0,

由直线MN与曲线/+V=i(j>o)相切可得丁==1,所以/>2=公+],

"+1

y=kx+b,

^__可得(1+3M*+6妨4+3从一3=0,

i+y2｛

6kb36一3

所以再+%=一

1+3小f=T7F

所以

2功2-3

IMN|=\J\+k•^(x(+x2)'-4.v,-x.

=^071+3/

化简得3（公-I”。,所以八±1,

伏=1I=-1

所以-上或方所以直线MN：y=x-&或'=-x+&'

所以直线MN过点F（垃,0）,M,N,尸2三点共线，充分性成立；

所以M,N,巴三点共线的充要条件是|MN|=G.

10.⑴二+22=1

95

（2）存在，。=（5,例），证明见解析

【分析】⑴求出点A（2$到两焦点的距离，再用椭圆的定义可得，，=3,结合6=八/可

得从，从而可得椭圆的方程；

（2）直线/与抛物线联立，结合判别式有〃+4,>0,要使得点士在以线段为直径的圆内，

根据题意，有耳尸芭。<0,结合韦达定理可得〃>5,从而可证明问题.

(1)

由题意知c=2,42,g为椭圆上的一点，且A鸟垂直于x轴,

则I住|4用=’(2+2尸吗2=果13S

所以2a=|A/+|4玛=y+-=6,

即。=3,所以〃=32-22=5,

故椭圆的方程为1+二=1:

95

(2)

/方程为y=-2x+/,联立抛物线方程,

得，’1Px,整理得.F+—»=o,

y=-2x+t

则△=p'+4/p>0,则〃+4/>0①，

设P(X，,)，。(今,)、2)，则其+.\'2=一〃，>；)、2=一/»，

则苦+/=，+V，X丙=C?2?=」,

24/T4

由匕的坐标为(-2,0),则6尸=(3+2,%),嚏=(马+2,丫2)，

由耳M与同向，"N与6。同向，

则点士在以线段MN为直径的圆内，则片M£N<0,则"PP；Q<0,

贝ij(X+2乂巧+2)+y,y2<0,即+2(x,+XJ+4+<0,

)，

贝lj—F2(/+—)+4—p/<0,即—F(2—/?)/+p+4<0(2),

424

当且仅当A=(2-〃)2-4x：(p+4)>0,即〃>5,

4

总存在使得②成立，

4

且当〃>5时，山韦达定理可知:+(2-〃)r+”+4=0的两个根为正数,

4

故使②成立的"0,从而满足①，

故存在数集。=(5,2),对任意〃€。时，总存在3使点匕在线段MN为直径的圆内.

II.(1)^-+—=1

84

(2)是定值；-6

【分析】(1)根据APE2的周氏为8&和//PE面积最大值为4,得到4斫8夜，儿=4求

解：

(2)设直线小的方程为)，=h+2P(Xo，%),A(x，x),£(O,2),与椭圆方程联立，利用韦达

定理求得点人的坐标，同理得到点8的坐标，再利用斜率公式求解.

(1)

解：如图所示：

4。=8近

由题意得he=4

a2=b2+c2

解得卜,

b=2

所以椭圆c的方程为3_+工=|

84

(2)

设直线E4的方程为y=kx+2tP(xOi%),A(%,y),耳(0,2),

)，=去+2

^(jt2+2)x2+4jlv-4=0,

4

-E

___=______4.

j+2一巾-4汽+4+2片，

./三,守金，同理可得乎一8],

13-%3-y0J13+为3+%)

8-3%+3%+8,

_3-y03+/_48-6y^_3(8-^)_6A；_6A„

一小一120yo一%为一而%>o

3+%3->'o

：KP-k,、B=—・—=-6为定值

xo)'o

12.(1)—+-^=1；

95

(2)证明过程见解析.

【分析】（I）根据左右顶点的定义，结合代入法、三角形面积公式进行求解即可；

（2）设出直线/的方程与椭网标准方程联立，结合一元二次方程根与系数关系、三角形面

积公式进行求解即可.

⑴

9f

|）为椭圆C,

因为△加8的面积为5,点尸（2,3年1上一点,