《工程力学》教案 第21课 弯曲（二）

课题弯曲(二)

课时2课时（90min）

知识技能目标：

(1)熟练掌握纯弯曲正应力的分布规律和计算公式。

(2)熟练掌握正应力强度条件及其应用.

教学目标(3)掌握梁的弯曲变形及刚度条件。

(4)了解梁的合理设计方法。

素质目标：

提高分析、判断、推理的综合思维能力。

教学重点：纯弯曲正应力的分布规律和计算公式、正应力强度条件及其应用、梁的弯曲变形及刚度

条件、梁的合理设计方法.

教学重难点

教学难点：纯弯曲正应力的分布规律和计算公式、正应力强度条件及其应用、梁的弯曲变形及刚度

条件、梁的合理设计方法。

教学方法案例分析法、问答法、讨论法、讲授法

教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程主要教学内容及步骤

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，

完成课前任务

课前任务

请大家了解弯曲正应力的相关知识，了解其在工程实际中的计算方法。

【学生】完成课前任务

【教师】使用文旌课堂APP进行签到

考勤

【学生】班干部报请假人员及原因

【教师】结合教材，提出问题：什么是弯曲正应力？邀请学生回答，并举例说明

新课导入

【学生】思考、举手回答

【教师】通过学生的回答引入要讲的知识，展开弯曲相关知识的讲解

一、纯弯曲正应力

【教师】结合教材，组织学生讨论总结什么是纯弯曲？什么是纯弯曲正应力？并邀请学生回答。

【学生】讨论、思考、回答

【教师】根据学生回答，展开纯弯曲正应力相关知识的讲解.

传授新知

梁在发生平面弯曲时，工程上可以近似地认为弯矩是由横截面上的正应力形成的,而剪力是由横

截面上的切应力形成的。

如图613(a)所示的简支梁AB上对称作用有两个集中载荷F,则由该梁的剪力图(见图IM3

(b))和弯矩图(见图16-13(c))可知，在梁的两端AC,BD上同时作用有剪力和弯矩，则这两段

梁既产生弯曲变形，又产生剪切变形，这种变形形式称为剪力弯曲，也称为横力弯曲；在梁的中间段

CD上只作用有弯矩而无剪力，则该梁段只产生弯曲变形，这种变形形式称为纯弯曲.

小皿JK

F

(b)(c)

图16-13

】•实验观察与假设

为了确定发生纯弯曲时梁的横截面上的正应力，需要进行纯弯曲实验.实验前，在梁的侧面画上

一些垂直于轴线的横向绩口平行于轴线的纵向线，如图16-14所示；然后加载使梁发生纯弯曲变形。通

过梁的纯弯曲实验可观察到以下现象.

【教师】播放纯弯曲实验视频，讲解实验过程.并邀请学生回答变形前后的特点。

【学生】观看、聆听、思考、回答

【教师】总结点评学生回答，鼓励回答较好的同学.

(I)纵向线弯曲成圆弧：各纵向线的间距不变，靠近梁顶部凹面的纵向线缩短，靠近梁底部凸面

的纵向线伸长.

(2)横向线仍为直线：横向线与纵向线正交，各横向线之间相对转过一个微小的角度。

一盹曲T-例仁

(a)<b)

图16-14

对上述实验结果进行分析、判断和推理，可以作出如下假设：梁发生弯曲变形时，其横截面在变

形前后仍保持为平面，并且仍垂直于变形后的轴线，只是绕某轴转动了一个微小的角度.该假设称为

弯曲变形的平面假设。

如果设想梁是由无数层纵向纤维组成的，则弯曲变形后，靠近顶部凹面的纤维受压缩短,靠近底

部凸面的纤维受拉伸长。由于变形的连续性，从缩短层过渡到伸长层时，中间必定有一层纤维既不伸

长也不缩短，这个长度不变的过渡层称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴，如图16-15所示。

中性轴与横截面对称轴垂直，开且通过横截面的形心。梁发生弯曲变形时，横截面便会绕中性轴转动

【师生互动】

【教师】组织学生讨论并回答以下问题：

梁是由无数层纵向纤维组成的，矩形截面梁发生纯弯曲变形时的应力分布是怎样的？

【学生】讨论、思考、回答.

【教师】总结点评学生的回答，鼓励回答较好的学生。井展开纯弯曲正应力的讲解。

由弯曲变形的平面假设可知，矩形截面梁发生纯弯曲变形时的应力分布有如下特点。

(I)中性轴上的线应变为零，所以其正应力亦为零。

(2)横截面上距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律可知，这些点上的正应力

(3)在图16-16所示的受力情况下，中性轴上部各点的正应力为负值(受压)，中性轴下部各点

的正应力为正值(受拉).

(4)如图16-16所示，正应力沿y轴呈线性分布，即°=&',其中，K为待定常数。正应力绝

对值的最大值出现在距中性轴最远的上、下边缘处。

11

图16-16

3.纯弯曲正应力的计算公式

根据推导证明可以得出，发生纯弯曲变形时横截面上正应力的计算公式为

My

o=——

(16-2)

式中，。为横截直上距离中性轴为y的各点的正应力；M为横截面上的弯矩；y为所求点到中性轴

的距离；乙为横截面的中性轴z的惯性矩,表示截面的几何性质，是一个仅与截面形状和尺寸有关的

几何量，用来反映截面的抗弯能力，常用单位为或nim，.

为了计算梁横截面上的最大正应力，可定义抗弯截面系数为叱=,:仆皿、，则式(1&2)可以写为

(7=^L

z网(16-3)

【头脑风展】

【教师】组织学生扫码观看“平面图形对轴的惯性矩”视频(详见教材)，总结惯性矩的概念。

【学生】扫码观看视频、思考、回答

【教帅】点评总结学生回答,鼓励回答较好的学生.

式(16-2)和式(16-3)都是由纯弯曲梁的变形推导得到的。对于具有纵向对称面的梁，只要教荷

作用在其纵向对称面内，则当梁的跨度较大时，横截面上的最大正应力就可以根据式(16-3)计算。惯

性矩/，和抗弯截面系数也是仅与截面尺寸形状有关的几何量，而截面的基本几何形状包括矩形、工字

形、圆形等。对于工程实践中常用的梁，其基本几何形状截面的惯性矩和抗弯截面系数如表所示(详

情见教材)。

【你问我答】

【教师】随机说出某种几何形状截面，邀请学生抢答出其惯性矩和抗弯截面系数。

【学生】聆听、思考、抢答

【教师】点评总结学生回答，鼓励回答较好的学生。

4.正应力强度条件及其应用

在进行梁的强度计算时，应先确定梁的危险截面和危险点.一般情况下，对于等截面的直梁，其

危睑点在弯矩最大的截面上下边缘处，即最大正应力所在处,梁的弯曲正应力强度条件为

二M11m,,

max-，，

uVvz.

.(16-4)

式中，〔㈤为弯曲许用应力.

该公式适用于抗拉和抗压强度相同的材料.对于许用拉应力【51和许用压应力Qc|不同的脆性材料

(如铸铁、陶徭等),则要分别计算，即

dmax，，UI,，，S】(16-5)

应用强度条件可以解决强度校核、截面设计以及确定许可载荷等问题.

例16-4简支梁AB的受力情况如图16-17所示，力厂=27.5kN作用于梁AB的中点，梁的抗弯

截面系数叱=15x8mm',弯曲许用应力M=120MPa.试校核该梁的叙。

图16-17

解：(I)求约束反力.由图16/7可知，梁AB的约束反力为

F

"=&=1=13.75(kN)

(2)确定梁的最大弯矩.由于简支梁AB的最大弯矩发生在集中力F作用处的横截面上，因此，

梁的最大弯矩发生在1竹处，其值为

Mu=E，'=1-65x10"(N-nim)

(3)强度校核.梁的最大弯曲正应力为

%a=*=U0(MPa),，⑻

W.

因此，该梁满足强度条件.

【牛刀小试】

【教师】组织学生分为两组，分别讨论并解答例16・5和16-6,并邀请学生回答解题步骤.

【学生】讨论、思考、回答

【教师】总结点评学生的回答，鼓励回答较好的学生.

二、弯曲切应力简介

梁在发生横力弯曲时，其横截面上还存在一定的切应力。一股情况下，对于跨度较大的梁，其切

应力对强度的影响不大，但对于短梁、载荷完近支座的梁以及腹板较薄的组合截面梁，则应考虑切应

力的影响。

1.矩形截面梁横截面上的切应力

通常梁横截面上的切应力不是均匀分布的，对于矩形截面梁横截面上的切应力，可做如下假设.

(I)横截面上各点的切应力方向和剪力々的方向一致.

(2)切应力的大小与距中性轴/的距离y有关，而与截面宽度b无关。

如图16-20所示,当矩形截面梁横截面的高度h大于宽度b时，上述假设基本符合实际情况。据此

可以推导出矩形截面梁发生横力弯曲时横栽面上任意一点切应力*刃的计算公式为

r(y)=FS^/bI

Q:(16-6)

式中，%为横截面上的剪力；S*为图中打剖面线的矩形截面面积A*对中性轴z的静矩；乙为

整个截面对中性轴z的惯性矩；b为矩形截面宽度。

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图16-21

1.挠度和转角

如图16-22所示，设悬臂梁AB在其自由端B处作用有一个集中力F.弯曲变形前，轴线AB为一

条直线；弯曲变形后，轴线AB在梁的纵向对称平面内变成一条连续且光滑的曲线八及，此曲线称为梁

的挠曲线。

选取直角坐标系，令x轴与梁变形前的轴线重合，y轴垂直向上，则xy平面就是梁的纵向对称平

面，于是梁的挠曲线可以表示为

U）（16-8）

式（16-8）称为梁的浇曲线方程.

当梁在xy平面内发与弯曲变形时，梁的各横截面都将在该平面内发生线位移和角位移.现选取距

左端为x处的横截面，随着梁的弯曲变形，该横截面的形心C既有垂直方向的位移，又有水平方向的

位移。但在小变形条件下，水平方向的位移很小，可以忽略不计。因此可以近（以地认为，横截面的形

心C只在垂直方向有线位移（6,此线位移就称为该横截面的挠度，用y表示。梁在发生弯曲变形时.

该横截面还会绕中性轴转动而产生角位移，此角位移称为该横截面的转角，用0表示。过点作一条

切线，切线的倾角就等于横截面的转角，由于转角。很小，因此有

0^tanO=f\x）（69）

式（16-9）称为转角方程.它表明，挠曲线上任意一点切线的斜率等于该点横截面的转角.

【师生互动】

【教师】组织学生讨论并回答以下问题：

如何判定挠度和转角的正负？

【学生】讨论、思考、回答.

【敕师】总结点评学生的回答，鼓励回答较好的学生。

挠度和转角的正负，随所选定的坐标系而定。在如图16-22所示的坐标系中，挠度以向上为正，向

下为负，单位为m或mm；转角以逆时针转向为正，顺时针转向为负，单位为rad.

2.梁的挠曲线近似微分方程及其积分

根据推导证明可以得出，挠曲线的近似微分方程为

d2y

,=-M--

&2EI（16.10）

式中，M为梁的弯短；EI为弯曲刚度.

该方程是研究弯曲变形的基本方程。对该挠曲线近似微分方程进行积分，即可得到转角方程和挠

度方程.

6>=^-=—fM(x)dr+C

转角方程&EI】(16-11)

)，=—UfM(x)dr]dx+Cx+D

挠度方程日JU」(16-12)

以上两式中，C和D为积分常数，可以根据弯曲变形的边界条件和光滑连续条件确定.例如，在

固定端约束处，烧度和转角均为零；较约束处，挠度为零；梁弯曲变形时，左、右对称截面的挠度和

转角相等.

【案例分析】

【教师】组织学生讨论例16-7(详情见教材)，并邀请学生回答解题思路.

【学生】讨论、思考、回答

【教师】总结点评学生的回答，鼓励回答较好的学生，并讲解案例.

3.用叠加法求弯曲变形

由上述讨论可知,求解梁变形的基本方法是积分法，但是在载荷复杂的情况下，其计算过程相当

烦琐。为了方便计算.工程上常采用一种比较简便的计算方法~登加法。

普加法的基本思想是：在材料服从胡克定律和小变形的条件下，梁的挠度和转角均与梁的载荷呈

线性关系.因此，当梁上同时作用若干个不同载荷时，可以先分别求出各个载荷单独作用下梁的挠度

和转角，然后再求它们的代数和,从而蹲到这些载荷共同作用时梁的挠度和转角.

表(详情见教材)列出了梁在某些简单载荷作用下的变形情况，以便利用叠加法求梁的变形时直

接查用。

【你问我答】

【教师】随机说出梁在某些简单我荷作用下的某种变形情况几何形状截面，邀请学生抢答出其挠

度和转角。

【学生】聆听、思考、抢答答

【教师】点评总结学生回答，鼓励回答较好的学生。

例16-8如图624(a)所示，弯曲刚度为EI的简支梁AB受载荷作用。试求该梁跨度中点C的

挠度yC和支座A,B处横截面的转角6A和SB。

解：梁AB上的载荷可分解成两种简单的载荷，如图624(b)和图16-24(c)所示。从表16-2

中可以查到这两种载荷分别作用时梁的变形情况，然后利用住加法求出挠度和转角，即

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4.梁弯曲变形的刚度条件

在工程设计中，通常先根据强度条件选择梁的截面尺寸，然后再对梁进行刚度校核.校核梁刚度

条件的目的是控制梁的弯曲变形，必须使梁的最大挠度或最大转角在规定的许可范围之内。

梁的刚度条件为

〃，，［川(16-13)

'z”⑻(16-14)

式中，［用和上”分别为许用挠度和许用转角，其具体规定可参考有关设计手册。

四、梁的合理设计

在工程实际中，为了提高梁的弯曲强度，往往需要采取一些措施。由于影响梁弯曲强度的主要因

索是弯曲正应力，而弯曲正应力的强度条件为

【师生互动】

【教师】组织学生讨论并回答以下问题：

要提高梁的弯曲强度，应从哪些方面考虑？

【学生】讨论、思考、回答.

【敕师】总结点评学生的回答，鼓励回答较好的学生。

要提高梁的弯曲强度，可以从以下两个方面考虑。

(1)合理设计梁的受力情况以降低最大弯矩“a.

(2)合理选择截面形状以提高抗弯截面系数W；0

1.合理设计梁的受力情况

通过合理设计梁的受力情况,降低梁内最大弯矩"max,减小弯曲正应力，可以有效提高梁的弯曲

强度.

为了提高梁的弯曲强度，应合理布置梁的支座,如图16-25(a)所示，简支梁受到均布载荷q的

作用，梁内最大弯矩为M皿=0.2