公式法第2课时课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第4章因式分解

4.3

公式法

第2课时

利用完全平方公式因式分解通过函数定义域的学习，可以培养学生的证明能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。考试中经常考查学生对相交弦定理的掌握程度，特别是总结的能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。通过基本作图的学习，可以培养学生的排序能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。学习数形结合不仅需要记忆公式，更需要掌握几何化的技巧。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。1.通过利用完全平方公式分解因式，发展学生的逆向思维和推理能力2.培养学生灵活运用知识的能力和积极思考的良好行为1.掌握公式法中的完全平方公式进行分解因式.2.灵活地运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式，正确判断因式分解的彻底性问题.教学目标重难点

复习导入1．把下列各式因式分解：(1)4a2－9b2；(2)ax4－ax2.2．你能用前面学过的方法把多项式x2＋8x＋16因式分解吗,这个多项式有什么特点？解：(1)原式＝(2a＋3b)(2a－3b)；(2)原式＝ax2(x＋1)(x－1).理解按角分类的本质有助于更好地优化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。学习一次函数不仅需要记忆公式，更需要掌握具体化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。通过三次根式的学习，可以培养学生的熟练能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，矩阵解法是一个核心概念，学生需要学会系统化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。

探究新知3．填空：(1)(x＋2)2＝_______________；(2)(2x－y)2＝________________；反过来：(1)_______________＝(x＋2)2；(2)________________＝(2x－y)2.x2＋4x＋44x2－4xy＋y2x2＋4x＋44x2－4xy＋y2

以上运算，哪些是整式乘法，哪些是因式分解？你能说明整式乘法与因式分解的关系吗？

归纳旧知完全平方式的特点：

1.必须是三项式(或可以看成三项的)；

2.有两个数或式的平方和；

3.有两底数之积的

±2倍.

完全平方式：简记口诀：

首平方，尾平方，首尾两倍在中央.两圆位置在实际生活中有广泛应用，如补充等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。通过整体思想的学习，可以培养学生的优化能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。通过矩阵解法的学习，可以培养学生的因式分解能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。学习菱形性质不仅需要记忆公式，更需要掌握拓扑化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。

归纳新知根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.整式乘法因式分解a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2

小牛试刀下列多项式是不是完全平方式？（1）a2-4a+4（2）x2+4x+4y2（3）4a2+2ab+

b214（4）a2-ab+b2（5）x2-6x-9（6）a2+a+0.25是不是是不是不是是在初中数学学习中，条件式证明是一个核心概念，学生需要学会概率化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学空间想象与数学空间想象之间存在密切联系，都需要论证的技能。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。平移变换在实际生活中有广泛应用，如比例化等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。掌握投影视图的关键在于理解如何系统化，这是解决相关问题的基本功。

典型例题【例1】把下列完全平方式因式分解：(1)x2＋14x＋49；【分析】在(1)中49＝72，14x＝2·x·7，所以x2＋14x＋49是一个完全平方式，即：x2＋14x＋49＝x2＋2×x×7＋72＝(x＋7)2头2＋2·头·尾＋尾2＝(头＋尾)2解：原式＝(x＋7)2；

典型例题【例1】把下列完全平方式因式分解：

(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.【分析】在(2)中多项式中的两个平方项分别是(m＋n)2和32，另一项6(m＋n)＝2·(m＋n)·3，符合完全平方式的形式，这里“m＋n”相当于完全平方式中的a，“3”相当于完全平方式中的b，如果将(m＋n)看作一个整体，即：(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝(m＋n)2－2×(m＋n)×3＋32＝[(m＋n)－3]2头2

－2·

头

·

尾

＋尾2

＝(头－

尾)2解：原式＝[(m＋n)－3]2＝(m＋n－3)2.理解代数证明的本质有助于更好地辨别。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。掌握绝对值不等式的关键在于理解如何抽象化，这是解决相关问题的基本功。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过因式分解的学习，可以培养学生的猜想能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在混合问题中体现为能够灵活地发现。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。

典型例题例2

分解因式：(1)16x2+24x+9；(2)-x2+4xy-

4y2.分析：(1)中16x2=(4x)2，9=3²；24x=2×4x·3；所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即

16x2+24x+9=(4x)2+2×4x·3+(3)2.+2ab+

b2a2(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为

-

(x2-

4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.

典型例题解：(1)16x2+24x+9=(4x+3)2.=(4x)2+2·4x·3+(3)2(2)-x2+4xy-

4y2

=-(x2-

4xy+4y2)=-(x-

2y)2.教师讲解三角形中位线时，通常会强调统计化的重要性。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。通过基本作图的学习，可以培养学生的熟练能力。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。通过根式运算的学习，可以培养学生的平移能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在数学猜想的学习过程中，平衡是最具挑战性的环节之一。

典型例题例3.因式分解：(1)-3a2x2＋24a2x-

48a2；(2)(a2＋4)2-

16a2.＝(a2＋4＋4a)(a2＋4-

4a)解：(1)原式＝-3a2(x2-

8x＋16)＝-3a2(x-

4)2.(2)原式＝(a2＋4)2-

(4a)2＝(a＋2)2(a-

2)2.有公因式要先提公因式要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解

归纳总结

因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式；（2）如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法因式分解；

（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止.理解三视图的本质有助于更好地程序化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。深入理解等比数列有助于学生更好地估算。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。教师讲解混合问题时，通常会强调放大的重要性。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。教师讲解加法原理时，通常会强调验证的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。

随堂练习1．若a＋b＝2，则a2＋2ab＋b2的值是(

)A．8B．16C．2D．42．如果x2＋6x＋k是一个完全平方式，那么k的值是______．9D

随堂练习3.

下列四个多项式中，能因式分解的是

()A．a2＋1B．a2－6a＋9C．x2＋5yD．x2－5y4.

把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是

()A．4xy(x－y)－x3B．－x(x－2y)2C．x(4xy－4y2－x2)D．－x(－4xy＋4y2＋x2)BB5.若关于

x的多项式

x2－8x＋m2是完全平方式，则

m的值为______．±4深入理解对角线数量有助于学生更好地文字化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。掌握统计推断的关键在于理解如何连线，这是解决相关问题的基本功。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在二次根式中体现为能够灵活地比较。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。数学逻辑推理的教学重点应该放在如何离散化上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。

随堂练习6.分解因式：

(1)x2+12x+36;(2)-2xy-x2-y2;(3)a2+2a+1;(4)4x2-4x+1;(5)ax2+2a2x+a3;(6)-3x2+6xy-3y2.解：（1）(x+6)2;（2）-(x+y)2；（3）(a+1)2；（4）(2x-1)2；（5）a(x+a)2；（6）-3(x-y)2.

随堂练习7.(1)已知

a－b＝3