第三章学案3-均值不等式课件

开始学案3均值不等式学点一学点二学点三学点四返回目录算术平均值a=b

1.如果a,b∈R+，那么

≥

，当且仅当

时，式中等号成立，这个结论通常称为均值不等式.2.对任意两个正实数a,b，数

叫做a,b的算术平均值，数

叫做a,b的几何平均值.均值定理还可表述为：两个正实数的

大于或等于它的

.3.两个正数的

时，它们的和有最小值；两个正数的

时，它们的积有最大值.几何平均值积为常数和为常数学点一均值不等式返回目录设a,b∈R+，试比较的大小.【分析】【解析】返回目录返回目录返回目录

【评析】（1）题中分别叫做正数a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数，由本题可得一般性结论：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数；（2）此组关系应用广泛，可称作广义二元均值定理，要熟记.返回目录下列不等式：①x+≥2;②≥2;③若0<x<1<y,则logxy+logyx≤-2;④若0<x<1<y，则logxy+logyx≥2.其中正确的是（）A.②④B.①②C.②③D.①②④C解:返回目录学点二证明不等式已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1，求证：

≥9.【证明】【分析】欲证不等式的右边为常数9，联想到公式a+b≥2

(a>0,b>0)的变形x+

≥2(x>0)的应用，故将不等式的左边进行恰当的变形.返回目录返回目录

【评析】返回目录（1）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证：

≥4.（2）证明：a4+b4+c4+d4≥4abcd.解：返回目录返回目录学点三求最值

【分析】利用均值定理求函数的最值，需记住：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.求下列函数的最值.（1）已知x>0，求y=2-x-

的最大值；（2）已知x>2，求y=x+

的最小值；（3）已知0<x<

，求y=

x(1-2x)的最大值.返回目录

【解析】返回目录【评析】（1）利用此公式求最值，必须同时满足以下三个条件：①各项均为正数；②其和或积为常数；③等号必须成立.（2）应用此公式求最值时，还应注意配凑和一定或积一定，进而用公式求解.返回目录（1）已知x＞0，y＞0，lgx+lgy=1，求z=

的最小值.（2）x＞0，求f(x)=

+3x的最小值.（3）x＜3，求f(x)=

+x的最大值.（4）x∈R，求f(x)=sin2x+1+

的最小值.解：返回目录返回目录返回目录返回目录学点四实际应用某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次还要包1辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元，若使每名同学游8次，那么购买几张游泳卡最合算？每人最少交多少钱？

【分析】游泳活动的总费用包括两个方面，即包车费和买游泳卡费用，可先建立总开支y元的函数关系，再利用不等式求最值.返回目录【评析】解应用题应注意两个问题：一是读懂题意，建立数学模型，即通过题中已知的数量关系，把应用题转化为单纯的数学问题；二是建模后求解问题，即用相关的数学知识将其解答出来.

【解析】返回目录解：某单位用木料制作如图3-3-1所示的框架,框架的下部是边长分别为x，y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为8m2,问x、y分别为多少时用料最省?(精确到0.001m)图3-3-1返回目录返回目录1.如何理解均值不等式?返回目录返回目录2.对于公式a2+b2≥2ab以及均值不等式

≤

，应注意什么？返回目录返回目录

3.应用均值不等式求最值时，应注意什么？

（1）已知x,y都是正数，则①如果积xy是定值p,那么当x=y时,和x+y有最小值

;②如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值

S2.即两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.（2）利用此公式求最值，必须同时满足以下三个条件：①各项均为正数；②其和或积为常数；③等号必须成立.（3）应用此公式求最值时，还应注意配凑和一定或积一定，进而用公式求解.

1.在理解和应用定理时，要特别注意定理成立的条件，避免因条件遗漏导致解题结果错误.2.利用两个正数的算术平均数和几何平均数的关系定理求函数的最值，是本学案内容的一个重点.这里要指出的是，应用定理解决实际问题时，使定理成立的条件不一定现成摆在那里，这