(2025年)统计学第六章假设检验课后答案

(2025年)统计学第六章假设检验课后答案一、基本概念与假设设定1.某食品厂宣称其生产的饼干每袋平均重量为250克，标准差为5克（已知总体方差）。质检部门随机抽取36袋，测得平均重量为248克。要求在显著性水平α=0.05下检验该厂宣称是否成立。解答：（1）设定假设：原假设H₀:μ=250（宣称成立），备择假设H₁:μ≠250（双侧检验）。（2）确定检验统计量：总体方差已知，使用Z统计量，公式为Z=(X̄-μ₀)/(σ/√n)。（3）计算统计量：X̄=248，μ₀=250，σ=5，n=36，代入得Z=(248-250)/(5/√36)=(-2)/(5/6)=-2.4。（4）确定拒绝域：α=0.05，双侧检验临界值为±Zα/2=±1.96。（5）决策：计算得Z=-2.4，绝对值2.4>1.96，落在拒绝域内，故拒绝H₀，认为该厂宣称的平均重量不成立。2.某医院使用新疗法治疗高血压患者，随机选取25名患者，治疗后收缩压平均降低12mmHg，样本标准差为5mmHg（总体方差未知）。要求检验新疗法是否能显著降低收缩压（α=0.01）。解答：（1）假设设定：H₀:μ=0（无降低效果），H₁:μ>0（单侧检验，显著降低）。（2）检验统计量：总体方差未知，n=25<30，使用t统计量，t=(X̄-μ₀)/(s/√n)。（3）计算统计量：X̄=12，μ₀=0，s=5，n=25，t=(12-0)/(5/√25)=12/1=12。（4）确定临界值：自由度df=n-1=24，α=0.01单侧检验，查t表得t₀.01(24)=2.492。（5）决策：t=12>2.492，拒绝H₀，认为新疗法能显著降低收缩压。二、两独立样本均值检验3.某企业为比较两条生产线的产品合格率，分别从A线抽取50件（合格42件），B线抽取60件（合格51件）。检验两条生产线合格率是否有显著差异（α=0.05）。解答：（1）假设设定：H₀:p₁=p₂（无差异），H₁:p₁≠p₂（双侧检验）。（2）计算样本比例：p̂₁=42/50=0.84，p̂₂=51/60=0.85，合并比例p̄=(42+51)/(50+60)=93/110≈0.8455。（3）检验统计量：Z=(p̂₁-p̂₂)/√[p̄(1-p̄)(1/n₁+1/n₂)]。（4）代入计算：分子=0.84-0.85=-0.01；分母=√[0.8455×0.1545×(1/50+1/60)]≈√[0.1306×0.0367]≈√0.00479≈0.0692；Z≈-0.01/0.0692≈-0.1445。（5）临界值：α=0.05双侧检验，Zα/2=±1.96。（6）决策：|Z|=0.1445<1.96，不拒绝H₀，认为两条生产线合格率无显著差异。三、配对样本检验4.某公司对10名员工进行销售培训，培训前后月销售额（万元）如下：培训前：12,15,18,10,14,16,11,13,17,9培训后：15,17,20,13,16,19,14,15,18,12检验培训是否显著提高销售额（α=0.05）。解答：（1）计算差值d=培训后-培训前：3,2,2,3,2,3,3,2,1,3。（2）假设设定：H₀:μ_d=0（无提高），H₁:μ_d>0（单侧检验）。（3）计算差值统计量：d̄=(3+2+…+3)/10=24/10=2.4；s_d=√[Σ(d_i-d̄)²/(n-1)]=√[(0.6²+0.4²+…+0.6²)/9]≈√(3.6/9)=√0.4≈0.6325。（4）检验统计量：t=(d̄-0)/(s_d/√n)=2.4/(0.6325/√10)≈2.4/(0.1995)≈12.03。（5）临界值：自由度df=10-1=9，α=0.05单侧检验，t₀.05(9)=1.833。（6）决策：t=12.03>1.833，拒绝H₀，认为培训显著提高了销售额。四、方差齐性检验与t检验修正5.比较两种药物的起效时间（分钟），A药样本（n₁=15）：均值28，方差25；B药样本（n₂=18）：均值32，方差49。检验两总体方差是否齐性（α=0.05），并在此基础上检验两药起效时间是否有差异（α=0.05）。解答：（1）方差齐性检验（F检验）：H₀:σ₁²=σ₂²，H₁:σ₁²≠σ₂²。F=s₂²/s₁²=49/25=1.96（取较大方差为分子）。临界值：分子自由度df₁=n₂-1=17，分母自由度df₂=n₁-1=14，α=0.05双侧检验，F临界值F₀.025(17,14)=2.94（查表或软件计算）。由于F=1.96<2.94，不拒绝H₀，认为方差齐性。（2）两样本t检验（方差齐性）：H₀:μ₁=μ₂，H₁:μ₁≠μ₂。合并方差s_p²=[(n₁-1)s₁²+(n₂-1)s₂²]/(n₁+n₂-2)=[(14×25)+(17×49)]/(15+18-2)=(350+833)/31=1183/31≈38.16。检验统计量t=(X̄₁-X̄₂)/√[s_p²(1/n₁+1/n₂)]=(28-32)/√[38.16×(1/15+1/18)]=(-4)/√[38.16×0.1222]≈-4/√4.66≈-4/2.16≈-1.85。自由度df=31，α=0.05双侧检验临界值t₀.025(31)=2.040。|t|=1.85<2.040，不拒绝H₀，认为两药起效时间无显著差异。五、卡方拟合优度检验6.某超市过去一年各类商品销售额占比为：食品50%、日用品30%、电器15%、其他5%。今年随机抽取100天，销售额占比为：食品45%、日用品35%、电器13%、其他7%。检验今年销售结构是否与去年有显著变化（α=0.05）。解答：（1）假设设定：H₀:今年分布与去年一致，H₁:分布不同。（2）计算期望频数E_i=100×p_i：食品50，日用品30，电器15，其他5。（3）计算卡方统计量χ²=Σ[(O_i-E_i)²/E_i]：食品：(45-50)²/50=25/50=0.5；日用品：(35-30)²/30=25/30≈0.833；电器：(13-15)²/15=4/15≈0.267；其他：(7-5)²/5=4/5=0.8；χ²=0.5+0.833+0.267+0.8=2.4。（4）自由度df=类别数-1=4-1=3，α=0.05临界值χ²₀.05(3)=7.815。（5）决策：χ²=2.4<7.815，不拒绝H₀，认为今年销售结构与去年无显著变化。六、p值计算与应用7.重复第1题（饼干重量检验），计算p值并解释其意义。解答：第1题中Z=-2.4，双侧检验p值为P(|Z|>2.4)=2×P(Z<-2.4)。查标准正态分布表，Z=-2.4对应累积概率为0.0082，故p=2×0.0082=0.0164。p值0.0164<α=0.05，说明在原假设成立的情况下，观测到样本均值248克或更极端值的概率仅为1.64%，小于显著性水平，因此拒绝原假设，结论与临界值法一致。七、第一类与第二类错误分析8.某疾病筛查试验的原假设为“无病”，备择假设为“有病”。解释α=0.05时第一类错误和第二类错误的含义，并说明如何降低两类错误。解答：第一类错误（弃真）：实际无病但被判定为有病，概率为α=0.05；第二类错误（取伪）：实际有病但被判定为无病，概率为β；降低两类错误的方法：增大样本量n，可同时降低α和β；或在固定n时，通过调整临界值权衡α和β（如降低α会增加β，反之亦然）。八、综合应用9.某手机厂商声称其新机型电池续航时间（小时）均值≥12，标准差为1.5（已知方差）。消费者协会抽取30台测试，均值为11.8小时。（1）检验厂商声明是否成立（α=0.05）；（2）若实际均值为11.7，计算β值（第二类错误概率）。解答：（1）假设设定：H₀:μ≥12（厂商声明成立），H₁:μ<12（单侧检验）。检验统计量Z=(11.8-12)/(1.5/√30)=(-0.2)/(0.2739)≈-0.73。临界值Zα=Z₀.05=-1.645（单侧左尾）。Z=-0.73>-1.645，不拒绝H₀，认为厂商声明成立。（2）β=P(不拒绝H₀|μ=11.7)=P(X̄≥临界值|μ=11.7)。原检验临界值X̄₀=μ₀+Zα×(σ/√n)=12+(-1