湖南岳阳市岳阳楼区2025-2026学年高二上学期期末试卷高二数学

2025年下学期期末试卷高二数学本试卷分试题卷和答题卷两部分，请将答案填（涂）在答题卷上，考试结束后只交答题卷.本试卷共4页，有19道题.全卷满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题.（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】应用交集定义计算求解.【详解】因为集合，，则.故选：A.2.若，则复平面内复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义直接判断即可.【详解】因为，，所以复数在复平面内所对应的点为，位于第二象限.故选：B3.已知等差数列满足，则等于（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】根据等差中项的概念，求出结果即可.【详解】因为为等差数列，所以，由得，解得.故选：C.4.抛物线的焦点到准线的距离是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的性质可知，其焦点到准线的距离为，由题中方程可求得值，即可求解.【详解】依题意，抛物线方程为，其焦点到准线的距离为，所以由抛物线可得，则其焦点到准线的距离为；故选：B.5.已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（）A.相切 B.内含 C.相交 D.外离【答案】A【解析】【分析】求出两圆圆心距，并比较与两圆半径和、差的绝对值的大小关系，可得出结论.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，圆心距为，故，故两圆外切.故选：A.6.如图，M，N分别是四面体的棱OA，BC的中点，是上靠近点的三等分点，，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量基本定理，以为基底表示出即可.【详解】易知.故选：D7.近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月，中国航天硕果累累，令国人倍感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：），是火箭起飞时的总质量（单位：kg），是火箭自身的质量（单位：kg）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为，火箭自身的质量为，燃料的质量为，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，至燃料燃尽时，该试验火箭的理想速度大约为（，）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将数据代入理想速度方程，再结合对数的运算性质即可求解.【详解】由，代入数据可得，故选：C8.设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求出，由，利用之间的关系得到关于的方程，解出即可.【详解】双曲线的渐近线方程为：，即，到渐近线的距离为，，则直角的内切圆的半径为，如图，设三角形的内切圆与切于，则，又，，，即，则，，同时除以，得，，.故选：B.二、多项选择题.（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列命题是假命题的是（）A.已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为B.样本数据4，8，12，16，20的第80百分位数为16C.“”是“直线与垂直”的充要条件D.已知事件A，B互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率，则事件A，B都不发生的概率是【答案】BC【解析】【分析】A:利用平行线间的距离公式，计算即可判断，对于B，根据题意结合百分位数定义计算判断B，应用垂直关系得出系数关系结合充分必要条件定义判断C，应用概率的基本性质结合已知条件计算即可判断D．【详解】对于选项A：由平行线间的距离公式：，故A正确；对于B，由，故数据4，8，12，16，20的第分位数为第四个数和第五个数的平均数，故B错误；对于C，当时，直线与满足，所以直线垂直，直线与垂直则，即，不一定，“”是“直线与垂直”的充分不必要条件，C选项错误；对于D，事件A，B互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率，，则事件A，B都不发生的概率是，D选项正确；故选：BC.10.已知圆和直线，则下列说法中正确的是（）A.直线恒过定点B.圆心到直线的最大距离是C.若直线与圆相切，则D.若与圆相交于A，B两点，且为直角三角形，则的方程为：或【答案】ABD【解析】【分析】对于A，将直线方程化成，结合即可求解；对于B，由时，圆心到直线的距离最大，即可求解；对于C，由圆心到直线的距离等于半径，列出等式即可求解；对于D，由圆心到直线的距离等于，列出等式即可求解.【详解】，圆心，半径，对于A，由，得到：，由，解得：，即直线恒过定点，A正确，对于B，由A知，当时，圆心到直线的距离最大，即为，B正确，对于C：由圆心到直线的距离等于半径得到：，解得：或，故C错误；对于D，由题意，即是以为直角的等腰直角三角形，则，则到的距离为，即，解得或，当时，直线方程为：，当时，直线方程为：，故D正确，故选：ABD11.如图，在棱长为3的正方体中，是侧面内的一点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（）A.过点A，P，E的平面截该正方体所得的截面图形不可能为五边形B.当点是线段的中点时，存在点，使得平面C.存在点，使得平面平面D.当为棱的中点且时，点的轨迹长度为【答案】BCD【解析】【分析】A当为中点，为中点时，作出截面判断；B当点重合时，利用线面垂直的性质定理和判定定理求证；C当为中点，为中点时，利用面面平行的判定定理求证；D求出点的轨迹即可.【详解】A选项，当为中点，为中点时，在上取点Q，使，在上取点T，使连接、，则，则四边形为平行四边形，则,在平面内过点作，交于N，则,连接，则同理可证,则五边形为过点A，P，E的平面截该正方体所得的截面，故A错误；B选项，当点重合时，平面，若是线段的中点，则为和的交点，因为平面，平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，同理可证，，因为平面，所以平面，即平面，故B正确；C选项，当为中点，为中点时，平面平面，因为，平面，平面，则平面，因为，又平面，平面，则平面，又，则平面平面，故C正确；D选项，当为棱的中点且时，点的轨迹长度为取线段的中点，连接，则平面，因为平面，所以，因为，，所以，则点在以为圆心，为半径且位于侧面内的圆上，该圆分别交于点，因为，所以，则，故点的轨迹长度为，故D正确.故选：BCD三、填空题.（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知向量，，若，则的值为_____.【答案】【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求出答案.【详解】因为，所以，因为，，所以，解得.故答案为：.13.米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行必备的用具.如图为一个正四棱台型米斗，高为，且正四棱台的所有顶点都在一个半径为的球的球面上，一个底面的中心与球的球心重合，则该正四棱台的体积为_____.【答案】【解析】【分析】根据题意作出正四棱台的对角面，可得外接球的球心为线段的中点，过作，可知长即为正四棱台的高，根据上下底正方形的边长可计算上下底面的面积，最后代入棱台的体积公式即可求解.【详解】如图，连接，作的中点，连接，过作，垂足为，则，所以，；所以正四棱台的上底面、下底面的边长分别为，所以正四棱台上底面、下底面的面积分别为，又正四棱台的高为，所以该正四棱台的体积为；故答案为：.14.在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为_____.【答案】【解析】【分析】在直三棱柱中，因为平面，，所以可以建立空间直角坐标系，利用参数设动点的坐标，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，再根据函数单调性求出最值.【详解】在直三棱柱中，因为平面，，所以三条两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.因为点是棱的中点，所以.设，其中，连接，则，，所以点到直线的距离．设，，则，所以．所以当，即，即点与点重合时，点到直线的距离取得最小值，最小值为.故答案为：.四、解答题.（本题共5个小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若.（1）求角；（2）若，，求的面积.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）应用正弦定理得出结合角的范围得出角；（2）应用正弦定理得出，再得出等腰直角三角形，最后应用面积公式计算求解.小问1详解】，由正弦定理得：，，，，，；【小问2详解】由正弦定理：，，又，所以是等腰直角三角形，所以.16.如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为正方形，且，E，F分别为AB，PC的中点.（1）求证：直线平面；（2）求平面与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，易证四边形是平行四边形，进而可求证；（2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解；【小问1详解】取的中点，连接，.因为F为的中点，所以且，因为底面为正方形，E为中点，所以且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以直线平面；【小问2详解】取的中点，的中点，连接，，因为为正三角形，故，因为侧面底面，交线为，平面，所以底面，又，以为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，又，故，，，故，，，，，，，，，设平面的法向量为，那么，，因为面的法向量为，设侧面与底面所成角为，，，所以平面与平面所成角正弦值为.17.已知数列前项和为，且满足，数列是单调递增的等差数列，，且，，成等比数列.（1）求数列和数列的通项公式；（2）记，求的前项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）对于可用迭代法，消去，结合构造法求解通项，对于可设出其公差，列方程求解；（2）对于奇数项部分由错位相减法处理，偶数项部分由公式法求和，可先求为偶数时的表达式，然后进而求出为奇数时的结果.【小问1详解】当时，，解得，当时，①，②，①②得：，又，，，∴数列是首项为8、公比为4的等比数列，，设等差数列的公差为，，且，，成等比数列，，即，解得【小问2详解】当为偶数时，当为奇数时，18.中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.乒乓球比赛个人单项赛事采取7场4胜制，当两人比分战成时，则第5场比赛被称为“天王山之战”.现假设甲乙两人比赛，首战甲获胜的概率为，每场结束后，败方在下一场获胜的概率提高为，每场比赛结果相互独立且每场比赛没有平局.（1）求两场后双方战成的概率；（2）若首战乙胜，求再战三场双方战至后甲在“天王山之战”中获胜的概率；（3）求至多进行5场比赛就能分出胜负的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】第一问由题目可分析出包含两种情况，由和事件概率可求得；第二问由通过具体分析包含三种情况，三者相加即为所求概率；第三问分为进行四场比赛和五场比赛，分别计算相应概率，最后求和.【小问1详解】设事件“第场比赛甲获胜”，事件“第场比赛乙获胜”，事件“两场后双方战成”，所以，故有.【小问2详解】记所求事件为，包含的所有结果：，，所以.【小问3详解】记为只进行场比赛的概率①只进行四场比赛的结果：，则对应的概率②只进行五场比赛甲获胜的结果：，，，，甲获胜的概率为：乙获胜的结果：，，，，乙获胜的概率为：所以综上，至多进行5场比赛就能分出胜负的概率.19.已知椭圆的上顶点为，左右焦点分别为，，O为坐标原点，为椭圆上动点，已知，且当垂直于长轴时，，直线与椭圆相交于不同的两点M，N.（1）求椭圆的方程；（2）若，O为坐标原点，求的面积最大时实数的值；（3）若直线AM，AN的斜率分别为，，且，直线AM，AN与圆分别交于点T，Q，证明：直线过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）（2）（3）证明见解析，【解析】【分析】（1）由椭圆定义可得，再把代入中，得到即可；（2）设直线，，，联立椭圆得到，，进而得到即可求解；（3）（i）若直线垂直于轴，，设的方程：，，，结合，得到；（ii）若直线不垂直于轴，则设