小学二年级数学下册“有余数的除法”起始课教学设计

小学二年级数学下册“有余数的除法”起始课教学设计

  一、设计理念与理论框架

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》核心素养为导向，深度融合建构主义学习理论与具身认知理论，致力于在小学二年级学生的数学认知结构中，系统建构“有余数的除法”这一核心概念。我们超越将“余数”视为简单计算剩余的传统视角，而是将其定位为刻画“平均分”过程中“分不完”或“有剩余”这一普遍现象的数学模型，是整数除法概念域的一次关键扩展。设计强调从“整除”到“非整除”的认知跨越，通过序列化的具身操作活动、结构化的问题情境与层次化的符号化进程，引导学生在“动作表征—形象表征—符号表征”的递进转化中，完整经历数学概念的抽象与形式化过程。本课将数学知识的内在逻辑与二年级学生的心理逻辑相统一，将算法理解与算理探究相结合，并有机渗透“函数思想”（除数与余数的关系）和“模型思想”的早期萌芽，旨在培养学生严谨的推理意识、清晰的表达能力以及灵活解决真实问题的综合素养，为后续学习除法试商、解决问题及更复杂的数论知识奠定坚实的认知与情感基础。

  二、教材与学情深度剖析

  （一）教材内容解构与地位分析

  本课内容在苏教版小学数学教材体系中处于承上启下的枢纽位置。此前，学生已熟练掌握表内乘除法，理解了“平均分”的两种含义（等分除、包含除），并能够用乘法口诀求商，完成“整除”状态下的除法运算与简单应用。本课时是学生首次正式接触“非整除”的除法情境，是除法概念从“理想化均分”向“现实化非均分”的一次实质性拓展。教材通常通过分铅笔、摆图形等操作活动引入“余数”概念，进而学习有余数除法的横式与竖式写法，并初步探索“余数小于除数”的规律。此内容不仅是除法运算能力的延伸，更是学生数感、符号意识、运算能力和推理意识等核心素养综合发展的关键载体。后续学习多位数除以一位数、分数的初步认识乃至循环小数的概念，均与此有着千丝万缕的内在联系。

  （二）学习者特征与认知起点诊断

  小学二年级下学期的学生，年龄约为7-8岁，其思维正处于具体运算阶段的前中期，仍高度依赖直观感知和动手操作来建构抽象概念。他们的优势在于：对“平均分”活动具有丰富的操作经验与直观理解；乘法口诀熟练，具备快速进行表内乘除法计算的能力；具备初步的观察、比较和简单归纳能力。然而，其认知挑战同样显著：首先，“分完”与“分不完”的认知冲突需要被清晰引发和聚焦；其次，“余数”作为一个新的数学对象和术语，需要被准确命名并理解其意义；再次，有余数除法算式的写法（特别是竖式中商与余数的位置）是对原有除法算式结构的一次更新，容易产生混淆；最后，理解“余数为什么一定要比除数小”这一核心规律，需要基于大量操作事实进行合情推理，这对学生的观察归纳与逻辑表达能力提出了较高要求。因此，教学必须创设安全、开放的探索环境，提供充足的、结构化的学具，让学生在“分一分、摆一摆、记一记、比一比、说一说”的完整探究链条中，实现概念的自主建构与内化。

  三、学习目标体系

  基于以上分析，确立以下三维学习目标：

  （一）知识与技能目标

  1.在具体的问题情境中，通过动手操作，感知平均分事物时有时会有剩余的现象，理解余数的产生及含义。

  2.学会用有余数的除法算式表示平均分后有剩余的过程和结果，掌握有余数除法横式与竖式的正确写法，会读算式。

  3.通过观察、操作、比较等活动，发现并初步理解“余数必须比除数小”的规律。

  （二）过程与方法目标

  1.经历从现实情境中抽象出有余数除法数学问题的过程，体验“具体—表象—抽象”的数学化路径。

  2.在探索“余数与除数关系”的活动中，发展初步的观察、比较、归纳和合情推理能力。

  3.学会与他人合作操作、交流想法，能用数学语言清晰表述操作过程和发现。

  （三）情感、态度与价值观目标

  1.在动手操作和探索规律的过程中，感受数学学习的趣味性和挑战性，获得成功的体验。

  2.体会数学与日常生活的紧密联系，感受有余数的除法在解决实际问题中的价值。

  3.初步养成乐于思考、勇于探究、言必有据的学习品质。

  四、教学重难点及其突破策略

  （一）教学重点

  1.理解余数的意义，掌握有余数除法的横式与竖式表示方法。

  2.初步理解“余数小于除数”的规律。

  （二）教学难点

  1.理解余数产生的必然性及其在除法算式中的含义。

  2.理解“余数为什么一定要比除数小”，并能据此初步判断除法计算（试商）的合理性。

  （三）突破策略

  针对难点一，采用“认知冲突法”与“多元表征链接法”。创设“正好分完”与“分不完”的对比情境，引发认知冲突。通过“实物操作—图示记录—语言描述—算式表达”的多元表征反复转化与链接，使“余数”概念在学生头脑中具象化、牢固化。针对难点二，采用“不完全归纳法”与“反证直观法”。组织学生进行分组操作实验（如用不同数量的小棒摆独立的正方形），系统记录多组数据，引导观察、比较除数和余数的大小关系，通过归纳得出结论。继而通过追问和演示（如“如果余数等于或大于除数，意味着什么？”），借助直观操作的反证，让学生心悦诚服地理解规律的必然性。

  五、教学准备

  （一）教师准备

  1.多媒体课件：包含情境动画、操作提示、对比表格、动态演示“余数小于除数”的直观模型等。

  2.演示教具：磁性小圆片、除法算式卡片、可粘贴的算式部件（被除数、除数、商、余数）。

  3.板书设计框架。

  （二）学生准备

  1.每小组一套学具袋：内含若干小棒（或围棋子、磁性扣等）、操作记录单。

  2.个人练习本、铅笔、尺子。

  （三）环境准备

  教室桌椅按4-6人合作小组形式摆放，便于开展操作与讨论活动。

  六、教学过程实施详案

  （一）第一阶段：情境激趣，孕伏概念——链接旧知，引发冲突（预计用时：8分钟）

    1.活动启动：课件呈现“欢乐午餐分享会”卡通情境。小明有6块糖果，要平均分给他的2位好朋友。教师提问：“可以怎么分？每人分得几块？你能用一个除法算式表示分的过程和结果吗？”学生快速口答，教师板书：6÷2=3（块）。此环节旨在快速激活学生关于“平均分”和“整除”的已有认知。

    2.认知冲突：情境延续，小红的妈妈给了她7颗漂亮的草莓，她也想平均分给刚才的2位好朋友。教师出示实物或图片，引导学生思考：“现在，每人分得几颗？分的结果和刚才有什么不同？”组织学生用课前准备的小圆片（或画图）进行模拟分一分。学生操作后，会直观发现：每人分3颗后，还剩下1颗。教师追问：“这剩下的1颗，还能再平均分给2个人吗？”学生自然得出结论：不能，因为每人再分不到1整颗。教师揭示：“在平均分的时候，有时能正好分完，有时会有剩余。今天我们就来深入研究这种‘有剩余’的除法。”

    3.课题揭示：教师板书课题：“有余数的除法”。引导学生齐读课题，并指出“余”就是“剩下”的意思。

  （二）第二阶段：操作探究，建构概念——多元表征，理解意义（预计用时：18分钟）

    1.活动一：多样操作，感受“余数”产生。

      任务布置：以小组为单位，完成两项操作任务，并填写记录单。

      任务A：用11根小棒，每4根摆一个正方形，可以摆几个？还剩几根？

      任务B：有13个圆片，每5个摆成一排，可以摆几排？还剩几个？

      教师巡视指导，重点关注学生的操作过程是否正确（是否按指定数量“一份一份地分”），并引导他们用语言描述操作过程和结果，如：“我每4根摆一个正方形，摆了2个，还剩3根，不能再摆一个了。”

    2.活动二：表征转化，学习算式写法。

      （1）语言表征到符号表征：选取一组学生汇报任务A的结果。教师引导：“刚才我们用摆小棒和说话的方式表示了分的过程和结果。在数学上，我们能用一种更简洁的算式来表示它吗？”启发学生联系整除除法算式“6÷2=3”的写法进行迁移尝试。学生可能写出“11÷4=2……3”或类似形式。教师予以肯定，并规范介绍有余数除法的横式写法：11÷4=2（个）……3（根）。带领学生认读：“11除以4等于2余3”。重点讲解：“2”表示摆出的正方形个数，是分得的份数或每份数（商）；“3”表示剩下的、不能再分的根数，我们给它起个名字叫“余数”。在算式中的“……”是余号，表示剩余。

      （2）横式到竖式的过渡：教师指出，为了更清楚地看出分的过程，我们还可以用竖式来计算。动态演示竖式书写过程：先写“厂”字形除号，被除数11写在里面，除数4写在外面。思考：4和几相乘最接近11且小于11？口诀“二四得八”，商2写在个位（与被除数个位对齐）。用商乘除数，2×4=8，把8写在11的下面，画横线。用11减8等于3，这个3就是剩余不能再分的，写在横线下面，它就是余数。完整呈现竖式形态，并与横式“11÷4=2……3”的每一部分对应讲解，强调余数的位置及其与减法步骤的关联。

      （3）独立尝试与巩固：让学生根据任务B的操作结果，独立尝试写出横式和竖式（13÷5=2（排）……3（个）及其竖式）。同桌互查，教师选取有代表性的作品投影展示、评议，重点纠正商的位置、乘减的步骤以及余数的书写。

    3.概念辨析与强化：课件出示两组对比操作：

      ①10根小棒，每5根摆一个图形，结果如何？（10÷5=2，正好分完，余数为0。）

      ②12根小棒，每5根摆一个图形，结果如何？（12÷5=2……2，有余数。）

      引导学生讨论：什么情况下会有余数？余数表示什么意思？在除法算式中，它和谁有关系？通过对比，深化理解：当平均分后不能再继续分完时，就产生余数；余数是被除数减去分掉的部分后剩下的数；余数单位与被除数单位相同。

  （三）第三阶段：合作探索，发现规律——聚焦关系，深化理解（预计用时：12分钟）

    1.探究活动：余数与除数的“大小秘密”。

      驱动性问题：“观察我们刚才写的几个有余数的算式：11÷4=2……3，13÷5=2……3，12÷5=2……2。请比较每个算式中的‘余数’和‘除数’，你有什么有趣的发现吗？”学生初步观察可能发现余数都比除数小。教师追问：“这是巧合吗？余数可不可能等于除数，或者比除数大呢？我们来做个实验。”

    2.实验验证：

      小组合作任务：用小棒摆正方形（每4根摆一个）。分别用不同数量的小棒来摆：9根、10根、11根、12根、13根、14根、15根……（序列化数据）。要求：每摆一次，就记录对应的除法横式（或简单记录商和余数）。

      小组活动，教师巡回指导，收集典型数据。

    3.归纳概括：

      各小组汇报数据，教师有选择地板书，形成数据阵列：

      9÷4=2……1

      10÷4=2……2

      11÷4=2……3

      12÷4=3……0

      13÷4=3……1

      14÷4=3……2

      15÷4=3……3

      16÷4=4……0

      引导学生观察并思考：

      （1）在所有有余数（余数不为0）的情况中，余数可能是哪些数？（1，2，3。）

      （2）这些余数与除数4相比，大小关系怎样？（都小于4。）

      （3）如果余数等于4，比如“8÷4=1……4”，可能吗？用小棒摆一摆证明。（如果剩下4根，正好可以再摆一个正方形，余数实际为0，商应该是2。）

      （4）如果余数比4大，比如“10÷4=1……6”，可能吗？（不可能，因为剩下的6根里还包含一个4根，可以继续分。）

      通过操作反证和逻辑分析，师生共同总结规律：“在有余数的除法中，余数一定要比除数小。”教师将此规律板书于课题下方醒目位置，并让学生齐读、背诵，形成初步记忆。

    4.规律初用：

      快速判断练习（用手势表示对错）：

      ①17÷3=4……5（错，余数5大于除数3）

      ②29÷6=4……5（对）

      ③33÷7=4……5（对）

      ④40÷8=4……8（错，余数等于除数，商应是5，余0）

      通过即时反馈，巩固对规律的理解和应用意识。

  （四）第四阶段：分层应用，拓展延伸——联系实际，发展素养（预计用时：10分钟）

    1.基础巩固层：看图写算式练习。课件出示分铅笔、分苹果等情境图，让学生独立写出有余数的除法横式和竖式，并说出算式中每个数的含义。重点检查竖式书写的规范性。

    2.综合应用层：解决简单实际问题。

      问题1：有22个小朋友去划船，每条船最多坐4人。他们至少要租多少条船？

      引导学生理解“至少”的含义，即要让所有小朋友都上船，且船要尽量坐满。列式：22÷4=5（条）……2（人）。讨论余下的2人怎么办？明确需要再加1条船，所以至少要租5+1=6条船。此题渗透“进一法”的数学模型思想。

      问题2：一件衣服需要钉5颗扣子。现有27颗扣子，最多能钉几件这样的衣服？还剩几颗扣子？

      列式：27÷5=5（件）……2（颗）。讨论“最多”的含义，剩下的2颗不够再钉一件衣服，所以直接回答即可。此题渗透“去尾法”思想。通过两题对比，让学生初步感受余数在解决实际问题中的不同处理方式，体会数学的应用价值。

    3.思维拓展层：开放探究题。

      □÷6=□……□你能写出几个不同的算式？想一想，余数可能是几？（根据“余数小于除数”，余数可能是1、2、3、4、5。让学生尝试写出被除数不同的几个算式，如13÷6=2……1，19÷6=3……1等。）此题为学有余力的学生提供挑战，进一步内化“余数小于除数”的规律，并渗透有序思考。

  （五）第五阶段：总结反思，评价提升——梳理脉络，升华认知（预计用时：5分钟）

    1.知识梳理：教师引导学生共同回顾本节课的探索之旅。“今天我们认识了除法家族的一位新成员，它是谁？（余数。）我们是怎么认识它的？（通过分东西，发现有时分不完，产生了剩余。）我们学会了怎么表示它？（用有余数的除法算式，包括横式和竖式。）我们还发现了一个关于它的重要规律？（在有余数的除法中，余数一定要比除数小。）”

    2.方法反思：“我们是怎样得到这些知识的？（动手操作、仔细观察、合作交流、大胆猜想、举例验证。）”强调动手操作和合作探索在数学学习中的重要性。

    3.情感体验与评价：“这节课你对自己的表现满意吗？你印象最深刻的活动是什么？你还有什么疑问吗？”鼓励学生分享学习收获和感受，教师给予积极评价。同时，通过课堂练习的完成情况、操作活动的参与度、讨论发言的质量等进行过程性评价。

    4.布置作业：分为必做题和选做题。必做题：完成练习册基础题，巩固有余数除法的计算和简单应用。选做题：（1）寻找生活中遇到的需要用有余数除法解决的问题，记录下来并尝试解决。（2）挑战题：一个数除以7，商是5，余数最大是几？这时被除数是几？（反向运用规律）。

  七、板书设计（结构化呈现）

  板书设计力求突出重点，揭示联系，体现思维过程。

  左侧主板书区：

    有余数的除法

    1.意义：平均分后有剩余

    2.写法：

      横式：11÷4=2（个）……3（根）

        被除数除数商余数

      竖式：（规范书写11÷4的竖式计算过程）

    3.规律：余数<除数

  右侧副板书区（课堂生成）：

    操作记录示例：9÷4=2……1，10÷4=2……2，11÷4=2……3

    问题解决关键思路：“至少”→进一法；“最多”→去尾法。

  八、教学特色与创新点说明

  1.认知路径的完整性：教学设计严格遵循“情境冲突—操作感知—多元表征—抽象建模—发现规律—实际应用”的完整认知建构路径，确保学生概念形成的稳固性与深刻性。

  2.核心素养的渗透性：将运算能力、推理意识、模型思想、应用意识等核心素养的培