寻“因”探“最”：公因数与最大公因数教学设计（青岛版五年级下册）

寻“因”探“最”：公因数与最大公因数教学设计（青岛版五年级下册）

一、指导思想与理论依据

本节课的教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为核心指导，立足于发展学生的核心素养，特别是数感、推理意识、模型意识和应用意识。设计秉承“以学生发展为本”的理念，将数学知识的建构过程与学生的认知规律深度融合。

理论层面，本设计依托建构主义学习理论，强调学生在已有知识经验（因数和倍数的概念）基础上的主动探究和意义建构。同时，融入“问题解决”学习理念，通过创设真实的、富有挑战性的情境——铺地砖问题，将抽象的数学概念（公因数与最大公因数）置于具体的问题解决过程中，使数学学习从“知识获取”转向“思维发展”和“能力形成”。教学过程倡导“做中学”、“思中悟”，鼓励学生通过独立思考、合作交流、操作验证等多种方式，经历观察、比较、分析、归纳、概括等数学思维活动，自主发现概念的本质属性，掌握寻求公因数和最大公因数的基本方法，并体会其在简化问题、优化方案中的实际价值。

二、教学背景分析

（一）教材分析

本课内容选自青岛版小学数学五年级下册第三单元“因数与倍数”。在此之前，学生已经系统学习了因数与倍数的意义，掌握了找一个数的全部因数的方法。本课“公因数与最大公因数”是“因数”概念的延伸和发展，是约分、解决实际问题（如分割图形、分配物品、规划布局）的重要基础，更是后续学习通分、分数四则运算的基石，在知识体系中起着承上启下的关键作用。

青岛版教材的编排特点是情境驱动、问题引领。通常以生活实例（如选用正方形地砖铺满长方形地面）引入，引导学生将生活问题数学化，转化为“求两个数的公有因数”的数学问题，进而抽象出公因数和最大公因数的概念。教材注重方法的多样化探索，既呈现了列举法，也蕴含了筛选法、集合图表示法等思想，为不同思维水平的学生提供了探究空间。

（二）学情分析

五年级学生已经具备了较好的整数知识基础和一定的抽象思维能力。对于“因数”，他们能够熟练地找出一个数的所有因数。但在认知上，从关注“一个数”的因数过渡到关注“两个或多个数”公有的因数，是一次思维的飞跃，学生可能会对“公有”这一集合思想感到陌生。同时，如何从众多的公有因数中聚焦到“最大”的那个，并理解其作为“最优解”的意义，也需要教师的精心引导。

学生的思维特点以具体形象思维为主，并逐步向抽象逻辑思维过渡。因此，教学需要提供充分的直观素材（如方格纸、学具卡片）和操作活动，帮助学生建立表象支撑。学生在探究方法上可能存在差异，有的倾向于有序列举，有的可能已经开始尝试更简捷的路径。教学应尊重这种差异，鼓励多样化的思维呈现，在交流比较中实现方法的优化。

（三）教学重点与难点

教学重点：理解公因数和最大公因数的意义，掌握求两个数公因数和最大公因数的基本方法。

教学难点：理解公因数和最大公因数在现实问题中的意义；探索并理解求最大公因数的特殊方法（如两个数互质、存在倍数关系时的规律），并能在具体情境中灵活运用。

三、教学目标

（一）知识与技能

1.结合具体生活情境，理解公因数和最大公因数的意义，明确概念的内涵。

2.学会用列举法、筛选法等方法找出两个数的公因数和最大公因数。

3.能判断两个数是否为互质数，或是否存在倍数关系，并能利用此规律快速求最大公因数。

4.能运用公因数和最大公因数的知识解决简单的实际问题。

（二）过程与方法

1.经历将现实问题抽象为数学问题的过程，发展数学建模能力。

2.在探索求公因数和最大公因数方法的过程中，体验观察、操作、比较、归纳、概括等数学活动，积累数学活动经验。

3.通过独立思考、小组合作、全班交流，体验解决问题策略的多样化，培养思维的条理性和灵活性。

（三）情感态度与价值观

1.在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，体会数学的应用价值。

2.在探究活动中获得成功的体验，增强学习数学的信心和兴趣。

3.培养合作交流的意识与能力，养成严谨求实的科学态度。

四、教学准备

教师准备：多媒体课件（包含铺地砖动画、习题等）、交互式白板、学习任务单、不同边长的正方形纸片（模拟地砖）、绘制好的长方形格子图（长16cm，宽12cm）。

学生准备：直尺、彩笔、作业本、因数的相关知识复习。

五、教学过程

（一）创设情境，提出问题（预计用时：8分钟）

1.情境导入：

课件出示：小明家正在装修卫生间，地面是一个长16分米、宽12分米的长方形。爸爸想去建材市场购买正方形地砖铺满地面（要求使用整块砖），为了美观和施工方便，地砖的边长必须是整分米数。

教师提问：“同学们，你们能帮小明的爸爸想想，可以选购边长是几分米的地砖呢？”

2.明确问题：

引导学生将生活语言转化为数学语言。

教师追问：“‘铺满’是什么意思？（没有空隙）‘使用整块砖’又是什么意思？（正方形的边长要能整除长方形的长和宽）”

学生思考后，教师进一步提炼：“实际上，这个问题就是要求什么？”引导学生初步感知：地砖的边长既要能整除16，又要能整除12。即，地砖的边长必须是16的因数，也必须是12的因数。

板书关键条件：16的因数，12的因数。

3.唤醒旧知：

“我们先来回顾一下，怎样找一个数的因数？16的因数有哪些？12的因数有哪些？”请两名学生分别板演。

16的因数有：1，2，4，8，16。

12的因数有：1，2，3，4，6，12。

（二）合作探究，建构概念（预计用时：20分钟）

1.初次探究，感知“公有”：

提问：“现在，请你们从16和12各自的因数中，找找哪些数既是16的因数，又是12的因数？”学生独立观察、圈画。

学生汇报：1，2，4。

教师利用课件，动态地将两个数的因数集合圈移动、重叠，直观展示“公有”的部分。

小结并揭示概念：像1、2、4这样，既是16的因数，又是12的因数，就叫做16和12的公因数。

板书：公因数：几个数公有的因数。

引导学生齐读概念，并举例说明“公有的含义”。

2.操作验证，深化理解：

活动：分发画有长16格、宽12格的长方形格子图纸。请学生用彩笔在图上分别画出边长为1、2、3、4、6、8分米的正方形（以格子数为单位），看哪些能正好铺满长方形。

学生动手操作，小组内交流发现。

汇报：边长为1、2、4分米的正方形可以正好铺满（没有剩余格子）；边长为3、6、8分米的正方形不能正好铺满（有剩余或超出）。

教师结合课件动画演示铺砖过程，强化视觉印象。引导学生将操作结果（1，2，4）与之前找到的公因数（1，2，4）建立联系，证实公因数就是从数学角度筛选出的可行方案。

3.聚焦“最大”，引出“最大公因数”：

提问：“在1、2、4这几个可行的地砖边长中，如果你是小明的爸爸，从节省成本和施工效率考虑，你会倾向于选择边长最大的还是最小的？为什么？”

学生讨论：倾向于选择边长最大的（4分米），因为用的砖块数量最少，铺起来更快，可能也更省钱。

教师肯定学生的想法，并指出：在所有的公因数中，4是最大的一个，我们给它一个专门的名称，叫做16和12的最大公因数。

板书：最大公因数：公因数中最大的一个。

介绍表示方法：16和12的最大公因数可以用（16，12）=4来表示。

让学生尝试口述：16和12的公因数有1，2，4；其中最大公因数是4。

4.方法提炼，形成策略：

提问：“我们是怎样找到16和12的公因数和最大公因数的？谁能总结一下步骤？”

引导学生回顾过程，总结出“列举法”：

第一步：分别找出两个数的所有因数。

第二步：找出两个数因数中相同的部分，即公因数。

第三步：从公因数中找出最大的一个，即最大公因数。

板书：“列举法”步骤。

（三）拓展方法，探索规律（预计用时：12分钟）

1.尝试应用，巩固列举法：

出示尝试题：找一找18和27的公因数和最大公因数。

学生独立完成，教师巡视，选取典型做法进行展示、评析。强调找因数时要有序、不重复、不遗漏。

2.引导发现“筛选法”：

提问：“找27的因数时，我们发现它比较大，因数有点多。能不能有更快捷的方法，直接从公因数里找最大的呢？”

启发：可以先找出较小数18的所有因数，然后从大到小（或从小到大）依次判断这些因数是不是也是27的因数。第一个满足条件的，就是最大公因数。

学生尝试：18的因数：1,2,3,6,9,18。从大到小看，18不是27的因数，9是27的因数吗？是。所以（18,27）=9。

教师介绍：这种方法可以叫做“筛选法”，有时更快捷。鼓励学生灵活选用。

3.探究特殊关系下的规律：

活动一：求下面每组数的最大公因数。

（1）4和7（2）5和11（3）8和9

学生计算后发现，它们的最大公因数都是1。

教师揭示：公因数只有1的两个数，叫做互质数。互质数的最大公因数就是1。

活动二：求下面每组数的最大公因数。

（1）3和12（2）6和18（3）5和20

学生计算后发现，它们的最大公因数就是较小的那个数。

教师引导观察每组两个数的关系（倍数关系），归纳：当两个数成倍数关系时，较小的数就是它们的最大公因数。

鼓励学生举例验证规律，并思考原因（因为较小的数是较大的数的因数，同时也是它本身的因数，所以它必定是两数的公因数，且没有比它更大的公因数）。

（四）联系实际，综合应用（预计用时：10分钟）

设计分层练习，兼顾基础巩固与思维拓展。

1.基础应用（巩固概念与方法）：

（1）填空：12的因数有（）；15的因数有（）；12和15的公因数有（）；12和15的最大公因数是（）。

（2）找出下面每组数的最大公因数。

6和910和2013和1724和36

2.情境应用（建模与解决问题）：

（1）有两根木料，一根长18米，另一根长24米。现在要把它们截成同样长的小段，不能有剩余，每段最长可以是几米？一共可以截成多少段？

引导学生分析：“截成同样长”意味着每段长度是18和24的公因数；“最长”就是求最大公因数。先求（18，24）=6（米），再计算段数：18÷6+24÷6=7（段）。

（2）学校合唱队有男生24人，女生36人。老师要将男女生分别排队，要求每排人数相等且没有剩余。每排最多可以站多少人？这时男、女生各有几排？

3.思维拓展（渗透集合思想与开放思维）：

用集合图表示出8和12的因数、公因数。你能在图中清晰地标出最大公因数吗？

一个数既是30的因数，又是45的因数，这个数最大是多少？

（五）回顾反思，总结提升（预计用时：5分钟）

1.知识梳理：

引导学生围绕以下问题回顾全课：

“今天我们学习了什么？（公因数和最大公因数）”

“什么是公因数和最大公因数？”

“我们可以用哪些方法求两个数的最大公因数？（列举法、筛选法）”

“有什么特殊情况能让求最大公因数变得更快？（互质关系、倍数关系）”

“你能举例说明最大公因数在生活中的应用吗？”

2.方法总结与思想渗透：

教师总结：我们从帮助小明爸爸铺地砖这个实际问题出发，通过“转化—探究—归纳—应用”的过程，学习了公因数和最大公因数。数学往往就是这样，从生活中来，抽象成模型，找到规律和方法，再回到生活中去解决问题。在探究过程中，我们用到了列举、筛选、操作验证等方法，并发现了特殊规律，这些都是宝贵的数学学习经验。

3.布置作业：

必做题：课本相应练习题；记录一两个生活中用到公因数或最大公因数原理的例子。

选做题：研究三个数的公因数（如12，18，24），你有什么发现？尝试探索短除法求最大公因数（为学有余力的学生提供预习和探究空间）。

六、板书设计

板书设计遵循“纲目清晰、重点突出、呈现过程”的原则。

寻“因”探“最”：公因数与最大公因数

问题：铺地砖（长16dm，宽12dm）→边长是16和12公有的因数

探究：

16的因数：1，2，4，8，16

12的因数：1，2，3，4，6，12

概念：

公因数：1，2，4←（既是…又是…）几个数公有的因数。

最大公因数：4←公因数中最大的一个。记作：（16，12）=4

方法：

1.列举法：①分别找因数②找相同③找最大

2.筛选法：从较小数的因数中找（从大到小）

规律：

互质数→最大公因数是1（如：4和7）

倍数关系→最大公因数是较小数（如：3和12）

应用：截木料、排队形……

七、教学评价设计

本课教学评价贯彻过程性评价与结果性评价相结合的原则，旨在全面评估学生的学习状态、思维过程与知识掌握情况。

（一）过程性评价

1.课堂观察：教师通过巡视、倾听、提问，观察学生在情境理解、操作探究、小组讨论、方法交流等环节的参与度、思维活跃度与合作情况。重点关注学生能否将生活问题有效转化为数学问题，能否有序地寻找因数，能否清晰地表达“公有”和“最大”的含义。

2.对话交流评价：通过师生问答、生生互评，评价学生对概念本质的理解深度。例如，针对学生找公因数的过程，追问“为什么这个数是公因数？”“如何确保没有遗漏？”评价其思维的严谨性。

3.操作活动评价：对学生在“铺地砖”验证活动中的操作规范性、观察的细致程度以及从操作中得出结论的能力进行评价。

（二）结果性评价

1.课堂练习反馈：通过分层练习的完成情况，评估不同层次学生对基础概念、基本方法、简单应用及拓展思维的掌握程度。重点分析学生在应用最大公因数解决实际问题时的建模能力（能否正确识别问题本质）和计算准确性。

2.课后作业分析：通过批改必做题和选做题，了解学生知识的巩固情况、迁移应用能力以及探究兴趣，为后续教学提供依据。

（三）评价维度

1.知识与技能：能否正确说出公因数、最大公因数的意义；能否用至少一种方法准确求出两个数的最大公因数；能否识别互质与倍数关系并应用规律。

2.过程与方法：能否主动参与探究活动；能否有条理地思考和表达；能否从具体实例中归纳概括一般规律。

3.情感态度：是否对问题情境表现出兴趣；是否在探究中保持积极、合作的态度；是否体会到数学的实际应用价值。

八、教学反思（预设）

成功的教学应来源于精心的预设和对生成的灵活把控。对本节课的反思将基于以下关键点进行：

首先，情境创设的有效性是激发学习动机的起点。“铺地砖”问题是否真正引发了所有学生的认知冲突和探究欲望？在实际教学中，需关注学生是否能顺利将“铺满”、“整块”转化为对因数的需求，对于理解有困难的学生，可能需要更直观的演示或更细致的语言引导。

其次，概念建构的过程是否充分且自然。从“各自因