期末考试详解版

期末考试详解版一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合M={x∣2x−1>5},N={1,2,3}，则M∩N=(

)A.{1,2,3} B.{2,3} C.{3} D.⌀【答案】D

【解析】解：因为M={x|2x−1>5}={x|x>3}，N={1,2,3}，所以M∩N=⌀

．故选：D．2.已知复数z满足i⋅z+2=2i，则|z|=(

)A.2 B.22 C.4【答案】B

【解析】解：由i⋅z+2=2i

，可得z=−2+2i所以|z|=2故选：B．3.已知双曲线C的虚轴长为实轴长的7倍，则C的离心率为(

)A.2 B.2 C.7 【答案】D

【解析】解：由题意知2b=7×2a双曲线离心率为e=c故选D．4.已知点A(1,0)，B(0,2)，C(3,2)，则AB在AC上的投影向量的坐标为(

)A.(−12,12) B.(【答案】C

【解析】【分析】本题考查向量的坐标运算和投影向量的概念，属于基础题．先求出AB=(−1,2)，AC=(2,2)，利用AB在AC方向上的投影向量为【解答】解：由点A(1,0)，B(0,2)，C(3,2)，得AB=(−1,2)，AC所以AB在AC方向上的投影向量为AB=(1故选C．5.已知x>0，y>0，且1x+2y=1，则x+2y的最小值是A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C

【解析】【分析】本题考查由基本不等式求最值或取值范围，属于基础题．根据题意，分析可得x+2y=(x+2y)(1【解答】解：根据题意，若x>0，y>0，且1x则x+2y=(x+2y)(1当且仅当x=y=3时，等号成立，故x+2y的最小值是9．故选：C．6.已知等差数列an和bn的前n项和分别为Sn、Tn，若SnA.11113 B.3713 C.11126【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查等差数列前n项和的性质，等差数列的前n项和公式，，属于中等题．计算出S11T11=37【解答】解：因为等差数列an和bn的前n项和分别为Sn、T所以S11又S11T11故选：B．7.已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=3A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞)【答案】B

【解析】解：由题x2+(y+2)2=圆心到直线的距离为|与直线y=3x+21.外侧平行线：3x−y+4=0，圆心到该线的距离为2.内侧平行线：3x−y=0，圆心到该线的距离为圆与这两条平行线的相交情况：1.当r>3时，圆与外侧平行线相交于两点，与内侧平行线也相交于两点，总共有4个点.不符合条件；2.当r=3时，圆与外侧平行线相切，有一个点，与内侧平行线相交于两点，总共有3个点.不符合条件；3.当1<r<3时，圆与内侧平行线相交于两点，与外侧平行线不相交，总共有2个点，符合条件；4.当r=1时，圆与内侧平行线相切，有一个点，与外侧平行线不相交，总共有1个点，不符合条件；5.当r<1时，圆与两条平行线都不相交，没有点，不符合条件．因此，r的取值范围是(1,3)，故选B．8.已知函数f(x)=x+2,x≤0log2x,x>0，关于x的方程[f(x)]2=mf(x)+1有A.−32,1 B.−∞,32 【答案】B

【解析】【分析】本题考查根据方程根的个数求解参数范围，属于难题．利用分段函数的解析式，作出f(x)的图象，将方程[f(x)]2=mf(x)+1有4个不同的实数根，转化为方程x2−mx−1=0必有一正一负两个根，即可得到【解答】解：因为f(x)=x+2要使关于x的方程[f(x)]2=mf(x)+1有4个不同的实数根，即[f(x)]2令f(x)1=a，f(x则a<00<b≤2或a=0b>2因为a×b=−1，所以a=−1所以方程x2−mx−1=0且a+b=m，所以m=b−1b函数y=x−1x在0,2上单调递增，当x=2时，所以m≤32故选：B．二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数fx=2sinA.函数fx的图象关于点πB.函数fx的图象关于直线x=C.若x∈0,π2，则函数D.函数fx的单调递减区间为【答案】AD

【解析】【分析】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．直接利用正弦型函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：已知函数f(x)=2sin(2x−π对于A：当x=π6时，f(π对于B：当x=2π3时，f(2π对于C：由于x∈[0,π2]，故2x−故f(x)的值域为[−3,2]对于D：令π2+2kπ≤2x−π函数f(x)的单调递减区间为[kπ+5π12,kπ+故选：AD．10.已知数列{an}满足a1A.an=n+1 B.{anC.{(−1)nan}的前100项和为100 D.【答案】AD

【解析】【分析】本题考查数列的递推式和等差数列的通项公式、求和公式，属于中档题．由数列的递推式推得an=n+1，可判断A；由等差数列的求和公式可判断B；由并项求和可判断C；由等差数列的求和公式可判断【解答】解：当n=1时，a1=2；当n≥2时，由a1即有an=n+1(对n=1也成立)，故{an}的前n项和为1{(−1)nan}的前100|an−5|=|n−4|，可得{|an−5|}的前故选：AD．11.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1A.三棱锥A1−EFGB.无论点G在线段B1C的什么位置，都有平面EFG⊥C.线段B1C上存在G点，使平面EFG/​/D.G为B1C上靠近B1的四等分点时，直线EG【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查直线与直线所成角的向量求法，面面平行的向量表示，棱锥的体积，面面平行的判定，面面垂直的判定，二次函数的最值，面面平行的性质，属于中档题．利用锥体的体积公式可判断A选项的正误；选项B，根据条件，可得EF⊥面A1B1CD，利用面面垂直的判定定理可得平面EFG⊥平面A1B1CD，即可作出判断，以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为【解答】解：对于选项A，因为平面BB1C1C//平面A所以点G到平面AA1D所以△AS△所以V=13S对于选项B，连接A1D，易知A1B1所以A1又E，F分别为棱A1D1所以EF/​/D1A所以EF⊥DA1，又所以EF⊥平面A1B1CD，又所以平面EFG⊥平面A1B1对于选项C，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，A1(2,0,2)，C1(0,2,2)，E(1,0,2)、F(2,0,1)，设平面BDC1的法向量为DB=(2,2,0)，D由m⋅令y1=−1，得故平面BDC1的一个法向量为设CG=λ可得点G(2λ,2,2λ)，其中0≤λ≤1，则EG=(2λ−1,2,2λ−2)所以m⋅解得λ=5所以平面EFG与平面BDC1不平行，故对于选项D，由选项C知：EG=(2λ−1,2,2λ−2)，B设直线EG与BC1所成角为则cos==1当λ=34时，此时θ最小，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.抛物线y2=2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3，则p=

．【答案】6

【解析】解：因为抛物线的顶点到焦距的距离为p2，故p2=3故答案为6．13.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，S5=5，S10=15【答案】40

【解析】【分析】本题考查等比数列的前n项和，属于基础题．根据题意，可得q5【解答】解：根据题意，设等比数列{an}若S5=5，即又由S10=15，则可得q5则a16故答案为：40．14.P是双曲线x24−y25=1右支在第一象限内一点，F1，F2分别为其左、右焦点，A为右顶点，如图圆C是△PF1F2的内切圆，设圆与PF1，PF2分别切于点【答案】43【解析】【分析】本题考查双曲线的定义，考查三角函数二倍角公式，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于难题．先根据定义得到A点即为圆C与x轴的切点，再求出tan∠CF2A，再利用tan∠P【解答】解：设圆C与x轴相切于A′x由题意可知|PD|=|PE|，|F1D|=|所以|PF则(x即A′x所以点A即为圆C与x轴的切点，设圆C的半径为r(r>0)，因为圆C的面积为4π，则πr因为CA⊥F1F于是tan∠C因为CF2是所以tan∠P所以tan∠PF2x=tan故答案为：43四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)等比数列{an}中，已知a(Ⅰ)求数列{a(Ⅱ)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，求数列{b【答案】解：(Ⅰ)设{an}由已知得16=2q3，解得故an(Ⅱ)由(Ⅰ)得a3=8，a5=32，则设{bn}的公差为d解得b1从而bn所以数列{bn}的前n项和【解析】本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查归化与转化思想．(Ⅰ)由a1=2，a4(Ⅱ)利用题中条件求出b3=8，b5=32，又由数列{bn}16.(本小题12分)如图，已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB//CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中

(1)求证D1N//平面(2)求平面CB1M(3)求点B到平面CB1【答案】(1)证明：取CB1中点P，连接NP，由N是B1C1的中点，故NP//C由M是DD1的中点，故D1则有D1M//NP、故四边形D1MPN是平行四边形，故又MP⊂平面CB1M，D故D1N//平面(2)解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，有A0,0,0、B2,0,0、B12,0,2、M0,1,1则有CB1=1,−1,2、设平面CB1M与平面BB1则有m分别取x1=x2=1，则有y1=3即m=1,3,1、则cos 故平面CB1M与平面B(3)解：由BB1=0,0,2，平面则有BB即点B到平面CB1M

【解析】本题考查线面平行的判定，考查平面与平面所成交的向量求法，点面距离的向量求法，属于中档题．(1)取CB1中点P，连接NP，MP，借助中位线的性质与平行四边形性质可得(2)建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；(3)借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解．17.(本小题12分)已知数列an的前n项和为Sn，an+1(1)证明：数列an2n(2)求数列an的前n项和为S(3)若Sn≤2an−4n−λ对任意【答案】解：(1)由an+1=2an+所以数列an2n是首项、公差均为1所以an(2)由Sn=1×2所以−S所以Sn(3)由(1)(2)，则(n−1)2n+1≤n⋅令cn=2当n=1时cn+1<cn，当n=2时cn+1所以c1>c2=综上，λ≤−5．

【解析】详细解答和解析过程见【答案】18.(本小题12分)如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(3,1)，焦距为42，斜率为−13的直线l与椭圆(1)求椭圆C的方程；(2)若|MN|=10，求(3)记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，证明：【答案】解：(1)由题意得9a2+故椭圆C的方程为x2(2)设直线l的方程为y=−13x+m，M(联立y=−13x+mx2由Δ=(6m)2−144(则x1|MN|===解得m=2或m=−2，当m=−2时，直线l的方程为y=−1当m=2时，直线l：y=−13x+2所以当|MN|=10时，MN的方程为(3)证明：直线PM，PN均不与x轴垂直，所以x1≠3，x2≠3，则所以k1=1=1所以k1k【解析】本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系及其应用，椭圆中的定值问题，属于较难题．(1)根据条件列方程组求解即可；(2)设直线l的方程为y=−13x+m(3)将韦达定理代入k119.(本小题12分)若函数fx满足：对任意的正数a，b，都有fa+b>fa+f(1)分别判断函数y=lnx和