《自动控制原理》-第4章

4.1引言线性系统的动态特性与系统特征根在s平面上的分布是直接关联的。对于闭环控制系统，其相对稳定性与瞬态性能对应于闭环特征根的分布。但往往已知开环系统的传递函数，或者说系统中各个环节的传递函数都能够比较容易获得和确定。而闭环传递函数则常常由于系统某个参数的变化而变得无法确定，从另一个角度说也需要通过参数的调整来确定一个相对较好的闭环传递函数。这就要求了解参数变化引起闭环特征根变化的规律，即闭环特征根在s平面上运动的轨迹——这就是所谓的根轨迹。下一页返回4.1引言但是，手工进行系统参数调整时，要逐步求解系统闭环特征根往往是非常困难的，尤其对于高阶系统而言。1948年，Evans首先提出根轨迹法，它是一种利用图解获得闭环根轨迹的简单方法，在控制工程实践中得到了迅速的发展和广泛的应用。根轨迹法的内容是，当系统某一个参数变化时，利用已知的开环零极点位置，绘制闭环特征根在s平面上位置变化轨迹的图解方法。上一页返回4.2根轨迹的概念在介绍根轨迹法之前先通过举例说明什么是根轨迹。如图4−1所示为单位负反馈闭环控制系统。系统的开环传递函数为由式（4−1）解得两个开环极点：p1=0,p2=−2，用符号“×”标注画于图4−2中。由式（4−1）求得系统的闭环传递函数为下一页返回4.2根轨迹的概念于是得到闭环系统的特征方程由式（4−4）可知，s1

、s2是参数k的函数，随着k的变化而变化。下面将说明当k从0→∞变化时，闭环极点s1

、s2在s平面上的分布变化情况。图4−2画出了图4−1

闭环系统在参数k从0变化到∞时的闭环特征根在s平面上的分布图，由此可对根轨迹作出定义。上一页下一页返回4.2根轨迹的概念根轨迹的定义：当闭环控制系统的某一参数由零变化到无穷大时，闭环极点在s平面上形成的轨迹。上述二阶系统的闭环特征根是通过方程求解直接获得的，但对高阶系统而言直接求取闭环特征根是十分困难的，因此希望能够存在简便实用的绘制根轨迹图的方法。上一页返回4.3绘制根轨迹的基本规则这一节讨论绘制常规根轨迹的法则。这些法则非常简单，熟练地掌握它们对分析和设计控制系统是非常有用的。首先将系统开环传递函数表示为用极点和零点表示的标准形式，即式中，s=zi

(i=1,2,,m)为系统的开环零点；S=pj

(j=1,2,,n)为系统的开环极点；k为根轨迹增益或根轨迹放大系数。如果将式（4−9）表示为用时间常数表示的标准形式下一页返回4.3绘制根轨迹的基本规则上一页下一页返回4.3绘制根轨迹的基本规则接下来讨论在根轨迹增益k，也即开环增益K变化的情况下根轨迹的绘制方法。当系统中其他参数变化时，可以通过一定的转换后进行同样讨论，这将在本章的后面进行讨论。以下是快速绘制根轨迹草图的步骤。规则1根轨迹的起点和终点。根轨迹起于开环极点，终于开环零点。写出闭环系统特征方程1+G(s)H(s)=0（4−11）将式（4−11）化为用零点、极点表示的标准形式，要求把可变参数k提取出来，作为一个乘积因子，即上一页下一页返回4.3绘制根轨迹的基本规则根据式（4−12）在s平面上标出系统开环传递函数的极点和零点，一般用“×”表示极点，“○”表示零点。要获得k在0～+∞之间变化时的根轨迹，首先考查根轨迹在0k=时的起始点和k→+∞时的终了点。将闭环特征方程式（4−12）改写为以下形式上一页下一页返回4.3绘制根轨迹的基本规则由式（4−13）可以看到，当0k=时，闭环特征方程变为开环传递函数的特征方程，其根也就是开环极点。由式（4−14）可以看出，当k→∞时，闭环特征方程的根是开环零点。因此可以得到以下结论：当k从0～+∞时，闭环特征根在s平面上的根轨迹从开环极点开始，到开环零点结束。一般物理系统的传递函数极点个数多于零点个数，可以认为其在s平面的无限远处存在多个零点，即开环传递函数可以增加这样的环节

，其零点位于无穷远。当系统n条根轨迹从n个开环极点出发时，其中m条到达开环有限零点，其余nm−条根轨迹则趋向于在无穷远处的开环零点。上一页下一页返回4.3绘制根轨迹的基本规则规则2根轨迹的分支数、对称性和连续性。因果系统根轨迹的分支数与开环极点的个数相等，并且根轨迹是连续的，对称于实轴的。根据定义可知，根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上的变化轨迹，因此根轨迹的分支数必然与闭环特征根的个数一致，而闭环特征根的个数又与开环极点的个数，即系统的阶次相同。随着系统中某一参数从零到无穷的连续变化，闭环系统特征方程的系数在不断变化，因此闭环特征根也在连续变化，因此根轨迹是连续的。由于线性定常系统的闭环特征方程的根只有实根和复根两种，实根位于实轴上，复根必然是共轭出现。因此，根轨迹对称于实轴。上一页下一页返回4.3绘制根轨迹的基本规则规则3确定实轴上的根轨迹段。若实轴上某一段右侧的开环零点和极点个数之和为奇数，则该实轴段为根轨迹段。应用相角条件可以证明该规则。如果点si是根轨迹上的点，则一定满足相角条件式（4−8）。而∠G(s)H(s)为点si到各个开环零点和开环极点所形成的向量角度之和。由于开环零点和开环极点位于实轴上，或者共轭对称于实轴，对于实轴上的点si，如图4−4所示，它到共轭的复极点或共轭的复零点所形成的向量角度正好一正一负抵消。而它相对于其左侧实轴上的开环零点和极点的向量角度都为0°，相对于其右侧实轴上的开环零点和极点的向量角度都为180°。上一页下一页返回4.3绘制根轨迹的基本规则根据相角条件式（4−8），只有点si右侧实轴上开环零点和极点个数为奇数时，才能满足相位条件。规则4当k→∞时，nm−条根轨迹将沿着nm−条渐近线趋向于无穷远处，这些渐近线在实轴上有公共点，而渐近线与实轴的夹角为根据前面的结论，如果nm＞，当k→∞时，有nm−条根轨迹将趋向于无穷远处。对于闭环特征方程上一页下一页返回4.3绘制根轨迹的基本规则即当k→∞时，n−m条根轨迹将沿着式（4−19）趋向于无穷远处，称其为趋向于无穷远处根轨迹的渐近线。由此可知，渐近线为经过公共点(σa,j0)的n−m条直线，直线的方向为上一页下一页返回4.3绘制根轨迹的基本规则上一页下一页返回4.3绘制根轨迹的基本规则规则5实轴上的分离点和会合点。若干条根轨迹在s平面上相交，然后分开，该交点称为根轨迹的分离点或会合点。通常，分离点和会合点多出现在实轴上。一般来说，实轴上两相邻开环极点之间若有根轨迹，则必有分离点；实轴上两相邻开环零点（包括无穷远处零点）之间若有根轨迹，则必有会合点；而实轴上开环极点和开环零点之间，或者分离点和会合点同时存在，或者都不存在。实轴上的分离点和会合点显然是闭环系统特征方程的实数重根。上一页下一页返回4.3绘制根轨迹的基本规则规则6根轨迹与虚轴交点。当根轨迹增益k增大到一定值时，根轨迹有可能穿过虚轴进入s右半平面，当进入右半平面后，意味着闭环系统出现了正实部根，会造成系统的不稳定。因此非常需要明确知道此时k的具体变化数值以及根轨迹在虚轴上的交点坐标。确定该交点的方法有以下两种。（1）根轨迹与虚轴相交，闭环特征根为虚数，设jsω=，应满足系统特征方程，即上一页下一页返回4.3绘制根轨迹的基本规则由方程组（4−35）可以计算得到根轨迹与虚轴交点的坐标ω和k的值。（2）根轨迹相交于虚轴时，可以令劳斯表第一列中包含k的项为零，即可确定根轨迹与虚轴交点的k值。此外，采用劳斯表中s偶次方行构造辅助方程得到纯虚根。上一页下一页返回4.3绘制根轨迹的基本规则规则7根轨迹的出射角θp与入射角θz。当系统具有复数的开环极点和复数的开环零点时，需要确定根轨迹进出这些点的方向。出射角θp

：根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与实轴正方向的夹角。入射角θz

：根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。由相角条件可得：根轨迹出射角等于180°减去所有从其他开环极点到该极点所引向量的幅角之和再加上从所有开环零点到该极点所引向量的幅角之和；上一页下一页返回4.3绘制根轨迹的基本规则根轨迹的入射角等于180°减去所有从其他开环零点到该零点所引向量的幅角之和再加上从所有开环极点到该零点所引向量的幅角之和。即规则8闭环特征根的和与积。系统的闭环特征方程可以表示为：上一页下一页返回4.3绘制根轨迹的基本规则式中，si为系统闭环特征根。规则9确定闭环特征根对应的根轨迹增益k。可以应用幅值条件，确定与闭环特征根px对应的根轨迹增益k。由闭环特征方程可得上一页返回4.4应用根轨迹进行参数设计通过根轨迹，能够确定闭环极点的位置。（1）绘制完根轨迹后，就能够确定闭环极点的走向；（2）参数k确定后，就决定了闭环极点的位置，从而能够计算出闭环系统的性能指标。返回4.5参数根轨迹法以上主要针对根轨迹增益k从0∞～变化时进行讨论和参数设计，但如果要讨论或设计的参数不是或不仅仅是根轨迹增益，是否仍然可以用根轨迹的方法呢，答案是肯定的，只需要把方程作一定的转化，把要求讨论的系数放到根轨迹增益的位置，就能够同样运用根轨迹方法展开讨论了。这种除了以开环根轨迹增益k为变化参数的根轨迹外，以其他可变参数绘制的根轨迹