七年级下册数学期末压轴题试卷含答案

一、解答题

1.在平面直角坐标系xQy中描出下列两组点，分别将每组里的点用线段依次连接起来.

6-

5-

4-

3-

2-

1-

1，11』」」」114

-4-3-2-10123456x

第一组：4—3,3）、C（4,3）；

第二组：ZX-2,-1）、E（2「1）.

（1）线段AC与线段OE的位置关系是；

（2）在（1）的条件下，线段AC、OE分别与丁轴交于点6,F.若点M为射线08上一

动点（不与点。，3重合）.

①当点M在线段08上运动时，连接AM、DM,补全图形，用等式表示NC4M、

ZAMD.NM/汨之间的数量关系，并证明.

②当反。例与△OEM面积相等时，求点M的坐标.

2.如图，已知直线A"〃射线CD,NCEB=1000.P是射线E8上一动点，过点P作

PQ//EC交射线8于点Q,连接CP.作/PCF=NPCQ,交直线A8于点F,CG平分

NECF.

（1）若点P，F,G都在点E的右侧，求NPCG的度数；

（2）若点P,F,G都在点E的右侧，NEGC-/ECG=3（r,求NC。。的度数；

（3）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使/叩C:/a，C=4:3?若存在，求出

NCPQ的度数；若不存在，请说明理由.

3.如图，已知AB//CD,OV是N3CE的平分线.

（1）若CM平分N3C。，求乙WCN的度数；

（2）若CM在N8CO的内部，且CM_LC7V于C,求证：CM平分N8CO；

（3）在（2）的条件下，过点8作BP_L8Q,分别交CM、CN于点、P、Q,NPBQ绕着

3点旋转，但与CM、CW始终有交点，问：N4PC+NBQC的值是否发生变化？若不变,

求其值；若变化，求其变化范围.

4.综合与实践

背景阅读：在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有相交、平行，若两条不重合的

直线只有一个公共点，我们就说这两条直线相交，若两条直线不相交，我们就说这两条直

线互相平行两条直线的位置关系的性质和判定是几何的重:要知识，是初中阶段儿何合情推

理的基础.

己知：AMl\CN,点B为立面内一点，AB±BC^B.

问题解决：(1)如图1，直接写出N人和NC之间的数量关系；

(2)如图2,过点B作8D_L4M于点。，求证：NA8D=NC；

(3)如图3,在(2)间的条件下，点E、F在DM上，连接8£、BF、CF,8F平分ND8C,

BE平分NABD,若NFCB+乙NCF=180°,ZBFC=3ZDBE,则NEBC=_.

5.已知，ABWCD.点M在48上，点N在CO上.

(1)如图1中，ZBME.NE、NEN。的数量关系为：;(不需要证明)

如图2中，ZBMF.NF、NF/V。的数量关系为：：(不需要证明)

(2)如图3中，NE平分4FND,M8平分NFME,且2/E+NF=180。，求NFME的度

数；

(3)如图4中，NBME=60a,E尸平分NMEN,/VP平分NEND,且fQIINP,则NFEQ的大

小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出NFEQ的度数.

6.已知，AE//BD,ZA=AD.

（1）如图1,求证：AB//CD；

（2）如图2,作的平分线交。。于点/，点G为A5上一点，连接尸G,若NCFG的

平分线交线段AG于点”，连接AC,若NACE=NB4C+NBGM,过点”作〃M_L砧交

FC的延长线于点A7,且3N石一5/AF〃=18。，求NE4F+NGW〃的度数.

7.阅读型综合题

对于实数X,），我们定义一种新运算〃.*），）=双十外（其中〃，人均为非零常数），等式右

边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为L（x,y）,其中力

叫做线性数的一个数对.若实数刘），都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这

时的X，y叫做正格线性数的正格数对.

（1）若L（x,y）=x+3y,则”2,1）=,乙传，；=；

（2）已知L（x,y）=3x+加，d）=2.若正格线性数〃用"）=18,（其中k为整

Iz乙）

数），问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出：若没有，请说明理由.

8.阅读下面的文字，解答问题.

对于实数。，我们规定：用符号⑷表示不大于a的最大整数；用｛a｝表示a减去⑷所得的

差.

例如：[6]=1，[2.2]=2,｛百｝=6-1,｛2.2｝=2.2-2=0.2.

（1）仿照以上方法计算：[/]=____｛5-V7）=____;

(2)若[4]=1,写出所有满足题意的整数x的值：—.

(3)已知yo是一个不大于280的非负数，且满足{J7o}=O.我们规定：力〃=

[6]，於=[41，…，以此类推，直到以第一次等于1时停止计算.当y。是符合条件的

所有数中的最大数时，此时yo=,n=.

9.对非负实数1四舍五入”到各位的值记为<x>.即:当〃为非负整数时，如果

〃一kx<n+g，则vx>=n；反之，当〃为非负整数时，如果vx>=n,则

22

22

例如：<0>=<0,48>=0,<0.64>=<1.49>=L<3.5>=<4,12>=4.

(1)计算：<1.87>=—；("〉=；

(2)①求满足的实数式的取值范围，

②求满足的所有非负实数4的值；

(3)若关于％的方程1一<:>'+%-2=-，有正整数解,求非负实数。的取值范围.

22

10.请观察下列等式，找出规律并回答以下问题.

1,1111111111

7^2~-2*2^3~2~3,3^4-3-4J4^5~4~5'……

(1)按照这个规律写下去，第5个等式是：：第〃个等式是：.

⑵①计算：—!—.

1x22x33x449x50

②若。为最小的正整数，求：

1।1।I।1I1

%十(〃+1)他+1)+(a+2)(b+2)+(a+3)p+3)++(a+97)(〃+97).

11.阅读下面的文字，解答问题:大家知道及是无理数，而无理数是无限不循环小数,因此及

的小数部分我们不可能全部写出来，而1V&<2于是可月1来表示正的小数部分.请解

答下列问题：

⑴历的整数部分是，小数部分是:

(2)如果近的小数部分为a,厉的整数部分为4求4+力-近的值；

⑶已知:100+JTiU=x+y,其中x是整数，且。V.V<1，求才+«记+24-丁的平方根.

12.如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个

非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列(GeometricSequences).这个常数叫做等比

数列的公比，通常用字母q表示(qwO).

(1)观察一个等比列数1,工，…，它的公比q=_____:如果如(。为正整数)

24816

表示这个等比数列的第。项，那么。18=，On=；

(2)如果欲求1+2+4+8+16+...+23。的值，可以按照如下步骤进行：

令5=1+2+4+8+16+...+23。“,①

等式两边同时乘以2,得25=2+4+8+16++32+...+23i…②

由②-①式，得2S-S=23-1

即(2-1)S=231-1

所以s==l=2'—1

2-1

请根据以上的解答过程，求3+32+33+...+323的值；

(3)用由特殊到一般的方法探索：若数列GI，02,G3,…，an,从第二项开始每一项与前

一项之比的常数为q，请用含6,q，〃的代数式表示如；如果这个常数就1,请用含内，

q,。的代数式表示。1+。2+。3+”.+5).

13.在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为(-1,0),(3,0),现同时将点A,

B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A,B的对应点C,D,连接

AC,BD.

(1)求点C,D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC;

(2)在y轴上是否存在一点P,连接PA,PB,使SAPAB=S*形ABDC?若存在这样一点，求出

点P的坐标；若不存在，试说明理由；

(3)点P是直线BD上一个动点,连接PC、PO,当点P在直线BD上运动时,请直接写

出NOPC与NPCD、ZPOB的数量关系

14.已知4811CD,N48E与NCDE的角分线相交于点F.

(1)如图1,若BM、DM分别是N八8尸和NCDF的角平分线，且N8ED=100。，求NM的

度数；

(2)如图2,若/CDM=g/CDF,ZBED=a\求NM的度数；

JJ

(3)若NA8M=LN4BF,NCDM=LRCDF,请直接写出NM与N8£。之间的数量关系

15.如图，在平面直角坐标系直为中，已知4(4,0),将线段OA平移至C4,点。在X轴正

半轴上，C(a,b),且右二i+|b-3|=0.连接。C,AB,CD,BD.

1备用图

(1)写出点C的坐标为_；点8的坐标为_；

(2)当△ODC的面积是△A8O的面积的3倍时，求点。的坐标：

(3)设NOCD=a,NDBA=p,匕BDC=6,判断。、口、，之间的数量关系，并说明理

由.

16.我们定义，关于同一个未知数的不等式4和3,若A的解都是8的解，则称A与3存

在“雅含〃关系，且A不等式称为。不等式的“子式

如A:x<0,B:xvl,满足A的解都是B的解，所以A与8存在"雅含”关系，A是4的“子

式”.

(1)若关于x的不等式4:x+2>l,B:x>3,请问A与8是否存在“雅含〃关系，若存

在,请说明谁是谁的“子式”；

(2)已知关于x的不等式C：F<_，D:2x-(3-x)<3,若C与。存在“雅含”关

系，且。是。的“子式〃，求。的取值范围；

(3)已知2〃?+〃=%,in-/?=3»加之3,〃〈-1,且攵为整数，关于x的不等式

P:履+6>x+4,(2：6(2.r-l)<4.v+2,请分析是否存在k,使得P与。存在“雅含”关系，

且。是产的“子式〃，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由.

17.在平面直角坐标系xOy中，对于给定的两点P,Q,若存在点M，使得AMPQ的面积

等于1,即SAMPQ=1,则称点M为线段PQ的“单位面积点〃，解答下列问题：

如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(1,0).

(1)在点4(1,2),8(-1,1),C(-1,-2),0(2,-4)中，线段0P的“单位

面积点"是;

(2)已知点E(0,3),F(0,4),将线段0P沿y轴向上平移t(t>0)个单位长度，

使得线段EF上存在线段0P的〃单位面积点〃，直接写出t的取值范围.

(3)已知点a(1,-2),H(0,・1),点M,N是线段PQ的两个"单位面积点"，点

M在HQ的延长线上，若S&HMN之6S&PQN,求出点/V纵坐标的取值范围.

平面直角坐标系，点A（O,a）,C（b,O）,并且满足L—6+2+M—8|=0.

（1）直接写出点A,点C的坐标；

（2）如图1,坐标轴上有两动点P,。同时出发，点P从点。出发沿工轴负方向以每秒2

个单位长度的速度匀速运动，点。从点。出发沿）'轴正方向以每秒I个单位长度的速度匀速

运动，当点P到达点。整个运动随之结束；线段4C的中点。的坐标是。（4,3）,设运动时

间为/秒.是否存在3使得△OOP与△力的面积相等？若存在，求出f的值；若不存

在，说明理由；

（3）如图2,在（2）的条件下，若/DOC=NDCO,点G是第二象限中一点，并且0A

平分/“心，点七是线段OA上一动点，连接CE交。。于点”，当点E在OA上运动的过

程中，探究/DOG,NO〃C,乙4C£之间的数量关系，直接写出结论.

19.学校将20乂乂年入学的学生按入学年份、年级、班级、班内序号的顺序给每一位学生编

号，如2015年入学的8年级3班的46号学生的编号为15080346.张山同学模仿二维码的

方式给学生编号设计了一套身份识别系统，在5x5的正方形风格中，黑色正方形表示数字

1，白色正方形表示数字0.我们把从上往下数第i行、从左往右数第，列表示的数记为

Dip（其中，i、y=l,2，3»4,5），规定4：=16。口+8。己+4。，3+2。/+。，5.

图1困2图3图4

（1）若4表示入学年份，4表示所在年级，A3表示所在班级，4表示编号的十位数字，

4表示编号的个位数字.

①图1是张山同学的身份识别图案，请直接写出张山同学的编号；

②请在图2中画出2018年入学的9年级5班的39号同学的身份识别图案；

（2）张山同学又设计了一套信息加密系统，其中4表示入学年份加8,4表示所在年级

的数减6再加上所在班级的数，小表示所在年级的数乘2后减3再减所在班级的数，将编

号（班内序号）的末两位单列出来，作为一个两位数，个位与十位数字对换后再加2,所

得结果的十位数字用4表示、个位数字用4表示.例如：2018年9年级5班的39号同

学，其加密后的身份识别图案中，4=18+8=26,4=9—6+5=8,小=9、2—3—5=

10,93+2=95,所以4=9,4=5,所以其加密后的身份识别（26081095）图案如图3

所示.图4是李思同学加密后的身份识别图案，请求出李思同学的编号.

20.（阅读感悟）

•些关于方程组的问题，若求的结果不是每•个未知数的值，而是关于未知数的式子的

值，如以下问题：已知实数x,满足3x—），=5①，21+3），=7②，求x—4），和7x+5y

的值.

本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得主，的值再代入欲求值的式子得到

答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，木题

还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由①一②可得％-4），=-2,由①+②x2可得

7x+5），=19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想〃.

（解决问题）

3x+v=4

,■,则工7=—,.

{x+=12

（2）某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32

元，买9支铅笔、5块橡皮、3本口记本共需587匕，则购买20支铅笔、20块橡皮、20本

日记本共需多少元？

（3）对于实数凡立定义新运算：.冰丁=如+力+。，其中“，b,。是常数，等式右边

是通常的加法和乘法运算.已知照4=16,1%=21,求1※1的值.

21.每年的6月5口为世界环保口，为提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的

新机器，现有甲、乙两种型号的机器可选，其中每台的价格、产量如下表：

甲型机器乙型机器

价格（万元/台）b

产量（吨/月）240180

经调查：购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多12万元，购买2台甲型机器比购买3

台乙型机器多6万元.

（1）求。、b的值；

（2）若该公司购买新机器的资金不超过216万元，请问该公司有哪几种购买方案？

（3）在（2）的条件下，若公司要求每月的产量不低于1890吨，请你为该公司设计一

种最省钱的购买方案.

22.如图①，在平面宜隹坐标系中，点A在x轴上，直线OC上所有的点坐标（X），），都是

二元一次方程x-4.y=0的解，直线AC上所有的点坐标（黑对，都是二元一次方程x+2y=6

的解，过C作x轴的平行线，交y轴与点B.

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）如图②，点M、N分别为线段BC,OA上的两个动点，点M从点C以每秒1个单位

长度的速度向左运动，同时点N从点0以每秒1.5个单位长度的速度向右运动，设运动

时间为I秒，且0<t<4,试比较四边形MNAC的面枳与四边形MNOB的面枳的大小.

2|+J24-A+5=0,现同时将点A,B分别向右平移1个单位，再向上平移2个单位，分

别得到点A,B的对应点为C,D.

（1）请直接写出A、B、C、D四点的坐标.

（2）点E在坐标轴上，且SABCE=S四边形ABDC,求满足条件的点E的坐标.

（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC,PO,当点P在线段BD上移动时（不与B,

24.在平面直角坐标系xOy中.点4B,P不在同一条直线上.对于点P和线段48给出

如F定义：过点P向线段AB所在直线作垂线，若垂足Q落在线段AB上，则称点P为线段

48的内垂点.若垂足Q满足|AQ-8Q|最小，则称点P为线段A8的最佳内垂点.已知点A

(-2,1),B(1,1),C(-4,3).

(1)在点Pi(2,3)、巧(-5,0)、P3(・1,・2),P4(・J,4)中，线段48的内

垂点为;

(2)点M是线段48的最佳内垂点且到线段A8的距离是2,则点M的坐标为；

(3)点N在y轴上且为线段AC的内垂点，则点N的纵坐标〃的取值范围是；

(4)已知点。(m,0),E(m+4,0),F(2m,3).若线段CF上存在线段。E的最佳

内垂点，求m的取值范围.

25.在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为(2,-4),(c,0),且“，c满

足方程(〃-4)/4+/7=()为二元一次方程.

(1)求A,C的坐标.

(2)若点。为V轴正半轴上的一个动点.

①如图1,当AD〃8c时，/ADO与ZAC"的平分线交于点求NP的度数；

②如图2,连接3。，交工轴于点E.若成立.设动点。的坐标为(04)，求

d的取值范围.

26.定义；如果一个两位数a的十位数字为m,个位数字为。，.且加会，?、"?#0、八至0,

那么这个两位数叫做“互异数〃.

将一个“互异数〃的十位数字与个位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原

两位数的和与11的商记为WS).

例如：〃=14,对调个位数字与十位数字得到新两位数41,新两位数与原两位数的和为

41+14=55,和与11的商为55?115,所以W(14)=5.

根据以上定义，解答下列问题：

(1)填空：①下列两位数：20,21,22中，“互异数"为;

②计算：伙36)=：W(\0fn+n)=：(m、c分别为一个两位数的十位

数字与个位数字)

(2)如果一个“互异数〃b的十位数字是x,个位数字是y,且WS)=7；另一个“互异数々

的十位数字是x+2,个位数字是2)，-1,且W(c)=13,请求出“互异数"b和c；

(3)如果一个“互异数〃d的十位数字是x,个位数字是工+3,另一个“互异数〃e的十位数

字是一，个位数字是3,且满足W(d)+W(e)<25,请直接写出满足条件的所有x的值

(4)如果一个“互异数7的十位数字是无+4,个位数字是x,且满足的互异数有

且仅有3个，则t的取值范围.

27.如图所示，在平面直由坐标系xQy中，点48,C的坐标为(0,4),他,0),伽C),

其中/7,c满足(3々-2〃)2+4-〃+1=0,|c-4|<0.

(1)求4，b,c的值；

(2)若M在1轴上，且S^COM=；S△八纥，求M点坐标：

(3)如果在第二象限内有一点?加在什么取值范围时，的面积不大于

△A3C的面积？求出在符合条件下，AAOP面积最大值时点2的坐标.

28.在平面直角坐标系中，点4(々,1),B(b⑹,C(G3),且〃，b,。满足

28+c=3a+13

a+c=2b+\

（1）请用含4的式子分别表示8,C两点的坐标；

（2）当实数。变化时，判断的面积是否发生变化？若不变,求其值；若变化，求其

变化范围；

（3）如图，已知线段A8与>轴相交于点E,直线AC与直线08交于点/，，若

2PA<PC,求实数。的取值范围.

29.在平面直角坐标系中，已知线段A3,点A的坐标为（1,-2）,点8的坐标为（3,0）,如

图1所示.

⑴平移线段A3到线段C。，使点A的对应点为，点8的对应点为C,若点C的坐标为

（-2,4）,求点。的坐标：

（2）平移线段A6到线段CO,使点C在y轴的正半轴上，点。在第二象限内（A与。对

应，笈与C对应），连接如图2所示.若S.Q=7（5.0表示△BCD的面积），求

点C、。的坐标；

S2

⑶在⑵的条件下，在了轴上是否存在一点尸，使产=a（S“e表示4PCD的面积）？若存

\&BCD二

在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

/.iaj（+by（x>y）

30.对x,丁定义一种新的运算A,规定：Ax,），）=<。彳（其中必工0）.

ay+bx（x<y）

（1）若已知a=l,b=-2,则A（4,3）=.

（2）已知A（l/）=3,A（—l,2）=0.求"，〃的值；

（3）在⑵问的基础上，若关于正数〃的不等式组也干2/一恰好有2个整数

A（-\-3py-2p）>m

解，求加的取值范围.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1.（1）ACWDE：（2）①/C4M+/MDE=/AM。，证明见解析；②点M的坐标为

（0,—）或（0,g）.

【分析】

（1）根据两点的纵坐标相等，连线平行X轴进行判断即可；

（2）①过点M作M/VIIAC,运用平行线的判定和性质即可；②设M（0,m）,分两种

情况：（D当点M在线段。8上时，（ii）当点M在线没OB的延长线上时，分别运用三

角形面积公式进行计算即可.

【详解】

解：（1）'：A（-3,3）、C（4,3）,

/.ACWx轴，

,/D（-2,-1）、E（2,-1）,

DEWx轴，

/.ACWDE；

（2）①如图，ZCAM+AMDE=ZAMD.

理由如下：

,/MNWAC（作图），

.•.NCAM=/AM/V（两直线平行，内错角相等），

VACWDE（已知），

/.MNWDE（平行公理推论），

ZMDE=ANMD（两直线平行，内错角相等）,

/.ZCAM+ZMDE=NAMN+NNMD=AAMD（等量代换）.

②由题意，得：AC=7,DE=4,

设M(0,m),

(i)当点M在线段08上时，BM=3-m,FM=m+lf

21-7/zz

SAACM=-^AC»BM=x7x(3-m)

2

SADEM=yDE^FM=x4x(m+1)=2m+2,

SAACM=SADEM，

2\-lm

=2m+2,

17

解得：zn=—,

M(0,—)；

11

(ii)当点M在线段。8的延长线上时，BM=m-3,FM=m+l,

Ii7/z?-21

SACM=—AC»BM=­x?x(.m-3)=------,

A222

SADEM=DE*FM=x4x(m+1)=2m+2,

•「SAACM=S&DEM，

hn-2\

~2~=2m+2,

解得：m=y,

25

(0,y);

1775

综上所述，点M的坐标为(o,YY)或(o,—).

【点睛】

本题考查了三角形面积，平行坐标轴的直线上的点的坐标的特征，平行线的判定和性质

等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想.

2.(1)40。；(2)65°；(3)存在,56。或20。

【分析】

(1)依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NPCG的度数；

(2)依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NECG=/GCG25。，再根据

PQIICE,即可得出NCPQ=ZECP=6S°i

(3)设N£GC=4x,zEFC=3x,则NGCF=4x-3x=x,分两种情况讨论：①当点G、F在点E

的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可.

【详解】

解：(1)NCEB=100°,ABWCD,

ZECQ=80°,

•••ZPCF=NPCQ,CG平分NECF,

•••ZPCG=NPCF+ZFCG=3NQCF+^-ZFCE=^ZECQ=40°；

(2)VABWCD

：.ZQCG=NEGC,ZQCG+NECG=NECQ=80。，

ZEGC+NECG=80°,

又•「ZEGC-Z£CG=30°,

ZEGC=55°,ZECG=25°.

ZECG=NGCF=25°,ZPCF=ZPCQ=；(80°-50°)=15°,

VPQIICE,

ZCPQ=ZECP=65“；

(3)设/EGC=4x,ZEFC=3x,则/GCF=NFCD=4x-3x=x,

①当点G、F在点E的右恻时，

ZECD=80°,

x+x+—x+—x=80°,

22

解得x=16°,

3

ZCPQ=NECP=x+x+—x=56°；

②当点G、F在点E的左侧时,

,/ZCGF=180°-4x,ZGCQ=800+x,

/.1800-4x=800+x,

解得x=20°,

ZFCQ=ZECF+NECQ=4C0+80<>=1200,

ZPCQ=^ZFCQ=60°,

：.ZCPQ=NECP=80o-60°=20°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，

内错角相等.

3.(1)90°；(2)见解析；(3)不变，180°

【分析】

(1)根据邻补角的定义及角平分线的定义即可得解；

(2)根据垂直的定义及令;补角的定义、角平分线的定义即可得解：

(3)/8QC+/8QC=180。，过Q,。分别作QG//4B,PHHAB,根据平行线的性质及

平角的定义即可得解.

【详解】

解(1)•.•CN,CM分别平分N8CE和/BCD,

:.BCN=L/BCE,ZBCM=-ZBCD,

22

•.NBCE+48=180°,

/.NMC7V=4BCN+/BCM=-NBCE+-/BCD=-(ZBCE+/BCD)=90°；

222

(2)•.•CM_LCN,

ZMCN=90°,即N8CN+N8CM=90°,

/.2ZBGV+2ZBCM=180°,

•.•CN是N8CE的平分线，

:.^BCE=imCN,

.-.ZBCE+2ZBGW=180°,

XvZBCE+ZBCD=18(T,

:.^BCD=2Z.BCM,

又在/8CO的内部，

二.CM平分N8CO；

(3)如图，不发生变化，ZBPC+ZBQC=\S00,过Q,尸分别作QG//A8,PHUAB,

则有@7//A4//P////CD,

;"Bg=ZABQ,4CQG=4ECQ,ZBPH=/FBP,NCPH=NDCP,

VBPI.BQ,CPICQ,

NPBQ=NPCQ=9(F,

ZABQ+NPBQ+F3P=180°,NECQ+NPCQ+ZDCP=180°,

/.ZABQ+ZFBP+ZECQ+Z.DCP=180°,

/.ZBPC+NBQC=NBPH+NCPH+NBQG+Z.CQG

=幺BQ+/FBP+NEC。+/DCP=180°,

/.ZBPC+/BQC=180°彳;变.

【点睛】

此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质及作出合理的辅助线是解题的关键.

4.(1)Z4+ZC=90°；(2)见解析；(3)105°

【分析】

(1)通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解.

(2)过点8作8GliDM,根据平行线找角的联系即可求解.

(3)利用(2)的结论，结合角平分线性质即可求解.

【详解】

解：(1)如图1,设2M与8c交于点OJ—MIICN,

ZC=ZAOB,

'：AB±BC,

Z48c=90°,

/.Z4+z408=90°,

Z4+ZC=90。，

故答案为：Z/A+zC=90°；

图2

,/BD±AM,

：.08JL8G,

Z08G=90°,

/.ZA8D+N48G=90°,

•/AB±BC,

ZC8G+N48G=90。，

ZABD=Z.CBG,

,/AMWCN,

：.ZC=ZCBG,

：.Z48D=NC：

(3)如图3,过点B作8GliDM,

图3

••,8F平分N08C,8E平分N48。，

ZDBF=Z.CBF,/DBE=NABE,

由(2)矢口NA80=NCBG，

/ABF=Z.GBF,

设/08£=a,^ABF=6,

则/ABE=a,ZABD=2a=Z.C8G,

ZG8F=NAFB=6t

ZBFC=3NDBE=3a,

ZAFC=3a+6,

ZAFC+ANCF=180°,/FCB+N/VCF=180°,

ZFCB=N4FC=3a+6,

△8CF中，由/C8F+NBFC+N8CF=180°得：2a+6+3a+3cr+6=180°,

•「AB±BC,

6+6+2a=90°,

a=15°,

NA8E=15°,

/.ZFBC=ZABFA-Z4BC=150+90°=105°.

故答案为：105°.

【点睛】

本题考查平行线性质，画辅助线，找到角的和差倍分关系是求解本题的关键.

5.(1)ZBME=AMEN-ZEND；NBMF=ZMFN+4FND；(2)120°；(3)不变，30。

【分析】

(1)过£作EHII48,易得EHII4811CD,根据平行线的性质可求解；过F作FHII4B,易

得FHIIA8IICD,根据平行线的性质可求解；

(2)根据(1)的结论及角平分线的定义可得2(ZBME+ZEND)MBMFNFND-180",

可求解N8MF=60。，进而可求解：

(3)根据平行线的性质及角平分线的定义可推知NFEQ=g/BME,进而可求解.

【详解】

解：(1)过E作EHWAB,如图1,

B

H——--^>E

C—---------D

A

图1

ZBME=Z.MEH,

,/ABWCD,

/.HEWCD,

ZEND=NHEN,

：.ZMEN=4MEH+/HEN=N8ME+NEND,

即/BME=NMEN-ZEND.

如图2,过F作FHWAB,

：.ZBMF=NMFK,

•「A8IICD,

...FHIICD,

ZFND=NKFN,

：.ZMFN=4MFK-ZKFN=Z.BMF-ZFND,

图2

故答案为/BME=Z.MEN-ZEND；ZBMF=NMFN+NFND.

(2)由(1)得/BME=£MEN-ZEND；ZBMF=NMF/V+NFND.

NE平分NFND,MB平分NFME,

ZFME=NBME+ZBMF,ZFND=NFNE+NEND,

■：2ZMEN+NMFN=18(r,

」.2(Z8ME+/END)+zBMF-Z.FND=130°,

2Z8ME+2NEND+NBMF-ZFND=180°,

即2Z8MF+/FND+匕BMF-ZFND=180°,

解得/BMF=60°,

ZFME=24BMF=120°；

(3)NFEQ的大小没发生变化,ZFEQ=309.

由(1)知：ZMEN=Z.BM£+ZEND,

'：EF平分NMEN,NP平分/END,

...NFEN=』NMEN=；QBME+,END),乙ENP=；4END,

「EQIINP,

：.NNEQ=NENP,

二NFEQ=NFEN-NNEQ=g(NBME+NEND)-gNEND=gNBME,

,/ZBME=60°,

「.ZF£Q=gx60°=30°.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键.

6.(1)见解析；(2)72°

【分析】

(1)根据平行线的性质得出乙4+/8=180°,再根据等量代换可得N8+NO=180。，最后根

据平行线的判定即可得证；

(2)过点E作EP//CD,延长DC至Q,过点M作MN〃AB,根据平行线的性质及等量

代换可得出/ECQ=N8GM=/OR7,再根据平角的含义得出NEB=NCFG,然后根据

平行线的性质及角平分线的定义可推出NBHF=NCFH/CFA=ZFAB;设

NFAB=a,KFH小根据角的和差可得出NAEC=2ZA”,结合已知条件

314员?-5乙4%=180。可求得NAAH=18。，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可

得出答案.

【详解】

(1)证明：vAE//BD

.•.44+4=180。

-：ZA=ZD

/.ZB+ZD=180°

/.ABHCD；

(2)过点、E作EP//CD,延长OC至Q,过点M作MN〃48

AB//CD

ZQCA=ZCAB,/BGM=4DFG,4CFH=4BHF,^CFA=FAG

ZACE=ZI3AC+/BGM

Z.ECQ+ZQCA=ZBAC+/BGM

ZECQ=/BGM=4DFG

NECQ+ECD=180。,/DFG+CFG=180°

:"ECF=NCFG

AB“CD

AB//EP

NPEA=NEAB,Z.PEC=ZECF

ZAEC=NPEC-/PEA

ZAEC=NECF-/EAB

Z.ECF=ZAEC+ZEAB

•••AF平分ZBAE

NEAF=ZFAB=-NEAB

2

•••F”平分/CFG

4CFH=ZHFG=-ZCFG

2

QCD//AB

/BHF=ZCFH,ZCFA=/FAB

设/FAB=a、/CFH=。

•/ZAFH=NCFH-ZCFA=Z.CFH-ZFAB

:.ZAFH=fi-at乙BHF=4CFH=。

/.ZECF+2ZAFH=ZAEC+ZEAB+2ZAFH=ZAEC+2〃

NECF+2ZAFH=NE+2/BHF

/.ZAEC=2ZAFH

•：3ZAEC-5ZAFH=180°

/.Z4f7/=I8°

rFH1.HM

.•."”"=90。

:./GHM=90。-0

NCFM+NNMF=180。

4HMB=NHMN=90°-p

\-ZEAF=^FAB

NEAF=4CFA=/CFH-ZAFH=4一18°

/.ZE4F+NGMH=尸一180+90。一/=72。

/.乙EAF+4GMH=7T.

【点睛】

本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行

推理是解此题的关键.

7.（1）5,3：（2）有正格数对，正格数对为“2,6）

【分析】

（1）根据定义，直接代人求解即可;

（2）将上=2代入L（x,y）=3x+力求出b的值，再将L（x,依）=18代入

乙乙）

L^y）=3x+by,表示出kx,再根据题干分析即可.

【详解】

解：（1）L（x,y）=x+3y

.•山2,1）=5,呜，；）=3

故答案为：5,3；

（2）有正格数对.

将m=2代入加3x+〃y,

得出，q14r^xl+lx/,=2>

解得，b=2,

L（x,y）=3x+2y,

则L（x,区）=3x+2kx=18

・•.x,米为正整数且人为整数

3+2k=9,k=3,x=2,

・••正格数对为："2,6）.

【点睛】

本题考查的知识点是实数的运算，理解新定义是解此题的关健.

8.（1）2；3-五；（2）1、2、3；（3）256,4

【分析】

（1）依照定义进行计算即可；

（2）由题可知，0<x<4,则可得满足题意的整数的x的值为1、2、3；

（3）由{仄}=0,可知，%是某个整数的平方，又先是符合条件的所有数中最大的数,

则为=256,再依次进行计算.

【详解】

解：（1）由定义可得，［万］=2,［5-。）=2,

.-.{5-S/7}=3-N/7.

故答案为：2：3-J7.

（2）=

:.[4X\<2,即0<XV4,

整数」的值为1、2、3.

故答案为：1、2、3.

（3）•.•｛豉｝=（）,即｛瓜1=瓜一【瓜1=0,

••・可设6=/,且/是自然数，

•••先是符合条件的所有数中的最大数，

•a•%=256,

•••,=1屈=[16]=16,

心[6]=网=4,

*【屈<2]=2,

以=[H]=【夜]=i，

即〃=4.

故答案为：256,4.

【点睛】

本题属于新定义类问题，主要考食估算无埋数大小，无理数的整数部分和小数部分，理解

定义内容是解题关键.

5733

9.（1）2,3（2）®-<x<-（2）（3）0<a<0.5

2242

【分析】

（1）根据新定义的运算规则进行计算即可；

（2）①根据新定义的运算规则即可求出实数x的取值范围；②根据新定义的运算规则和

为整数，即可求出所有非负实数％的值；

2

⑶先解方程求得AE，再根据方程的解是正整数解，即可求出非负实数〃的取

值范围.

【详解】

(1)<1.87>=2；(外=3；

(2)①•「<x-l>=2

/.2--<x-l<2+-

22

解得5三Y7；

22

②<x>=^x

4I...41

..-X-----Wx<-XH-----

3232

解得-

gY为整数

3八33

,•x=一^7，°，二，77

442

故所有非负实数x的值有际3,3

⑶

2

!-<«>x+2x-4=-l

2

2-<a>

方程的解为正整数

/.2-va>=l或2

①当2—时，x=2是方程的增根，舍去

②当2-<〃>=2时，0<«<0.5.

【点睛】

本题考查了新定义下的运算问题，掌握新定义下的运算规则是解题的关键.

】。•⑴2击；⑵①条②篇

【分析】

（1）根据规律可得第5个算式；根据规律可得第n个算式；

（2）①根据运算规律可得结果.

②利用非负数的性质求出〃与〃的值，代入原式后拆项变形，抵消即可得到结果.

【详解】

根据规律得：第5个等式是息1《1小1第〃个等式是南1两

(1)

n〃+1'

111

(2)---------1---------H----------+•••+,.

®1x22x33x449x50

11111111

---1----------1--------+・,•+-----------,

T223344950

=心，

49

50

②••・〃为最小的正整数,历3:0,

\a=\,6=3,

原式二----F

1x32x43x54x698x100

=lx(1_l)+lx(l-l)+lx(l-l)+lx(l-l)+...+lx(±-^),

23224235246298100

2324354698100

2299100

14651

-19800,

【点睛】

本题主要考查了数字的变化规律，发现规律，运用规律是解答此题的关键.

11.(1)4,V21-4；(2)1;⑵士12.

【分析】

(1)先估算出&T的范围，即可得出答案；

(2)先估算出近、加的范围，求出a、b的值，再代入求出即可：

(3)先估算出J而的范闱，求出x、y的值，再代入求出即可