七年级上册有理数知识点总结及培优练习2

《有理数》知识点总结主讲：王老师

1.数轴：（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.

数轴的三要素：原点，单位长度，正方向.

（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有

理数.（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数.）

（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大.

2.相反数

（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0夕卜，

互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等.

（3）多重符号的化简：及“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”

号，结果为正.

（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加

如a的相反数是-a,m+n的相反数是-（m+n）,这时m+n是一个整体，在整

体前面添负号时，要用小括号.

3.绝对值：（1）概念：数轴上某个数及原点的距离叫做这个数的绝对值.

①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于

负数的数.

③有理数的绝对值都是非负数.

（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：

①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a：

②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；

③当a是零时，a的绝对值是零.即|a|={a(a>0)0(a=0)-a(a<0)

4,非负数的性质：绝对值：任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值

相加和为。时，则其中的每一项都必须等于0.根据上述的性质可列出方程求出未知数

的值.

5.倒数：

(1)倒数：乘积是1的两数互为倒数.一般地，a-l/a=l(aWO),

就说a(aWO)的倒数是1/a.

(2)方法指引：①倒数是除法运算及乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”.正像减

法转化为加法及相反数一样，非常重要.倒数是伴随着除法运算而产生的.

②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这及相反数不同.

【规律方法】求求一个数的相反数时，只需在这个数前面加

相反数、倒数的上“-”即可

方法：注意：0

没有倒数.

求一个数的相

反数

求一个数的倒求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之

数一

求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的

位置

6.有理数的加减混合运算

(1)有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法.

(2)方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都

转化成加法，并写成省略括号的和的形式.

②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化.

7.有理数的乘法

(1)有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.

(2)任何数同零相乘，都得0.

(3)多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负

因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.

②几个数相乘，有一个因数为0,积就为0.

(4)方法指引：①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘.

②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单.

8.有理数的乘方：

(1)有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方.

乘方的结果叫做累，在an中，a叫做底数，n叫做指数.an读作a的n次方.(将an

看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次基.)

(2)乘方的法则：正数的任何次事都是正数；负数的奇次基是负数，负数的偶次塞是

正数；。的任何正整数次事都是0.

(3)方法指引：①有理数的乘方运算及有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幕的

符号，然后再计算幕的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减

乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减.

9.有理数的混合运算

12.幕的乘方及积的乘方：

（1）第的乘方法则：底数不变，指数相乘.（am）n=amn（m,n是正整数）

注意：①幕的乘方的底数指的是幕的底数;

②性质中“指数相乘”指的是幕的指数及乘方的指数相乘，这里注意及同底数幕的

乘法中“指数相加”的区别.

（2）积的乘方法则；把每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘.（ab）

n=anbn（n是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用;

②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果.

七年级上册《有理数》培优

一.选择题（共10小题）

1.若x的相反数是3,|y|=5,则x+y的值为（)A-8B.2C.8或D.-8

-2或

2

2.下列各组数中，数值相等的是（）A3)和43B.-4。和(-4)

C-2,和(-2)D.(-2X3)2

3-22X32

3.数轴上表示整数的点称为整点.某数轴的单A2019或B.2019C,2019或D.2019

位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条.2019或2019或

长为2019厘米的线段AB,则线段AB盖住的整点20192019

的个数是（）

4.其种鲸的体重约为L36X105kg.关于A精确到百分位，有3个有效数字

这个近似数，下列说法正确的是（）

B精确到个位，有6个有效数字

C精确到千位，有6个有效数字

D精确到千位，有3个有效数字

5.（-2）100比（-2）99大（）A2B.-2C.2"D.3X2"

6.下列说法正确的是（）A倒数等于它本身的数只B.平方等于它本身的数只有

.有11

C立方等于它本身的数只D.正数的绝对值是它本身

.有1

7.两个互为相反数的A.正数B.负数C.零D.负数或零

有理数相乘，积为

()

8.一个有理数及A一定是正数B.一定是负数C.一定不大于0D.一定不小于0

它的相反数的乘积.

()

9.的所有A1个B.2个C.3个D.4个

可能的值有.

()

10.若A.aW3B.a<3C.〃芬3D.a>3

Ia-3|-

3+a=0,

则a的取

值范围是

()

二.填空题(共6小题)

11.如果数轴上的点A对应的数为-1,那么及A点相距3个单位长度的点所对应的有

理数为,

12.如图，在长方形草地内修建了宽为2米的道路，则草地面积为米

13.立方等于的数是

14.若n为自然数，那么(7)2n+(-1)2n+l=

15.760340（精确到千位）%，640.9（保留两个有效数字）

16.近似数0.002350精确到位，有有效数字；近似数3.45万精确到

位.

三.解答题（共14小题）

17.•在数-5,1,-3,5,-2中任取三个数相乘，其中最大的积是a,最小的积是

b,

（1）求a,b的值；

（2）若|x+a|+|y-b|=0,求（x-y）+y的值.

18.观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：

（1）猜想并写出：=;

（2）直接写出下列各式的计算结果：

（3）探究一二三四五

并计算：

*

19.小王上

周五在股

市以收盘

价（收市时

的价格）每

股25元买

进某公司

股票1000

股，在接

下来的一

周交易日

内，小王

记下该股

票每日收

盘价格相

比前一天

的涨跌情

况：（单位：

元）

星期

每股涨跌+2-0.5+1.5-1.8+0.8

（元）

根据上表回答问题：

（1）星期二收盘时，该股票每股多少元？

（2）本周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少？

（3）已知买入股票及卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费.若小王在

本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？

20.（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b,A、B两点之间的

距离表示为|AB|.当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1,

|AB|=|OB|=|b|=|a-b|

当A.B两点都不在原点时,

①如图2,点A.B都在原点的右边|AB|二|0B|-|OA|:|b|-|a|二b-a=|a-b|；

②如图3,点A.B都在原点的左边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|；

③如图4,点A.B在原点的两边,|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-（-a）=|a-b|；

综上,数轴上A.B两点之间的距离|AB|=|a-b|.

（2）回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示-2和-5的两点

之间的距离是，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是；

②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|=2,那么x为；

③当代数式|x+l|十|x-2|取最小值时，相应的x的取值范围是

21.阅读下列材料，解答问题.

饮水问题是关系到学生身心健康的重要生活环节，东坡中学共有教学班24个，平均每

班有学生50人，经估算，学生一年在校时间约为24。天（除去各种节假日），春、夏、

秋、冬季各60天.原来，学生饮水一般都是购纯净水（其它碳酸饮料或果汁价格更高），

纯净水零售价为L5元/瓶，每个学生春、秋、冬季平均每天买1瓶纯净水，夏季平均

每天要买2瓶纯净水，学校为了减轻学生消费负担，要求每个班自行购买1台冷热饮水

机，经调查，购买一台功率为500w的冷热饮水机约为150元，纯净水每桶6元，每班

春、秋两季，平均每1.5天购买4桶，夏季平均每天购买5桶，冬季平均每天购买1桶,

饮水机每天开10小时，当地民用电价为0.50元/度.

问题：（1）在未购买饮水机之前，全年平均每个学生要花费元钱来购买纯净

水饮月：

（2）请计算：在购买饮水机解决学生饮水问题后，每班当年共要花费多少元？

（3）这项便利学生的措施实施后，东坡中学一年要为全体学生共节约元.

22.商场为了促销，推出两种促销方式：

方式①：所有商品打7.5折销售：

方式②：一次购物满200元送60元现金.

(1)杨老师要购买标价为628元和788元的商品各一件，现有四种购买方案：

方案一：628元和788元的商品均按促销方式①购买；

方案二：628元的商品按促销方式①购买，788元的商品按促销方式②购买；

方案三：628元的商品按促销方式②购买，788元的商品按促销方式①购买；

方案四：628元和788元的商品均按促销方式②购买.

你给杨老师提出的最合理购买方案是

(2)通过计算下表628638648768778788

中标价在600元到

800兀之间商品的

付款金额，你总结

出商品的购买规律

是.

商品标价(元)付

款金额(元)

方式①

方式②

23.水葫芦是一种水生飘浮植物，有着惊人的繁殖能力.据报道，现已造成某些流域

河道堵塞，水质污染等严重后果、据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利

的，关键是科学管理和转化利用.若在适宜条件下，(不考虑植株死亡、被打

捞等其它因素).

(1)51015…50…5n

假设

江面

上现

有1株

水葫

芦，

填写

下表：

第几

天

总株24……

数

（2）假定某流域内水葫芦维持在约33万株以内对净化水质有益.若现有10株水葫

芦，请你尝试利用计算器进行估算探究，照上述生长速度，多少天时水葫芦约有33

万株？此后就必须开始定期打捞处理水葫芦.（要求写出必要的尝试、估算过

程！）

24.某市有一块土地共100亩，某房地产商以每亩80万元的价格购得此地，准备修

建“和谐花园”住宅区.计划在该住宅区内建造八个小区（A区，B区，C区…H区），

其中A区，B区各修建一栋24层的楼房；C区，D区，E区各修建一栋18层的楼房；

F区，G区，H区各修建一栋16层的楼房.为了满足市民不同的购房需求，开发商准

备将A区，B区两个小区都修建成高档，每层800m2,初步核算成本为800元/成；将

C区，D区，E区三个小区都修建成中档住宅，每层800nl2,初步核算成本为700元/m2；

将F区，G区，H区三个小区都修建成经济适用房，每层750m2,初步核算成本为600

元/门2.

整个小区内其他空余部分土地用于修建小区公路通道，植树造林，建花园，运动场和

居民生活商店等，这些所需费用加上物业管理费，设置安装楼层电梯等费用共计需

要9900万元.

开发商一二三四五六日

打算在

修建完

工后，

将高档，

中档和

经济适

用房以

平均价

格分别

为3000

元/m2,

2600元

/m2和

2100元

/m2的

价格销

售.若

房屋全

部出售

完，请

你帮忙

计算出

房地产

开发商

的赢利

预计是

多少

元？

25某自

行车厂

一周计

划生产

1400辆

自行车,

平均每

天生产

200

辆.由于

各种原

因，实

际上每

天的生

产量及

计划量

相比有

出入.下

表是某

周的生

产情况

（增产

为正，

减产为

负）：

星期

增减+5-2-4+13-10+16-9

（1）根据记录可知，前三天共生产了辆自行车；

（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了辆自行车;

（3）该厂计费单位资费标准挂号费特制信封

实行计件（元）（元/封）（元/个）

工资制，

每生产一

辆得60元，

超额完成

则每辆奖

15元，少

生产一辆

则扣15元，

那么该厂

工人这一

周的工资

总额是多

少？

26.某单

位需以“挂

号信”或

“特快专

递”方式向

五所学校

各寄一封

信.这五封

信的重量

分别是

72g,90g,

215g,

340g,

400g.根据

这五所学

校的地址

及信件的

重量范围，

在邮局查

得相关邮

费标准如

下：

业务种类

挂号信首重100g,每重20g0.830.5

续重101〜2000g,每重2.00

100g

特快专递首重1000g内5.0031.0

（1）重量为90g的信若以“挂号信”方式寄出，邮寄费为多少元？若以“特快专递”

方式寄出呢？

（2）这五封信分别以怎样的方式寄出最合算？请说明理由.

（3）通过解答上述问题，你有何启示？（请你用一、两句话说明）

27.甲、乙、丙三个教师承担本学期期末考试的第17题的网上阅卷任务，若由这三人

中的某一人独立完成阅卷任务，则甲需要15小时，乙需要10小时，丙需要8小时.

（1）如果甲乙丙三人同时改卷，那么需要多少时间完成?

（2）如果按照甲、乙、丙、甲、乙、丙，…的次序轮流阅卷，每一轮中每人各阅卷

1小时，那么需要多少小时完成？

（3）能否把（2）题所说的甲、乙、丙的次序作适当调整，其余的不变，使得完成这项

任务的时间至少提前半小时？（答题要求：如认为不能，需说明理由；如认为能,

请至少说出一种轮流的次序，并求出相应能提前多少时间完成阅卷任务）

28.某学校为改善办学条件，计划购置至少40台电脑，现有甲，乙两家公司供选择：

甲公司的电脑标价为每台2000元，购买40台以上（含40台），则按标价的九折优惠;

乙公司的电脑标价也是每台2000元，购买40台以上（含40台），则一次性返回

10000元给学校.

（1）假如你是学校负责人，在电脑品牌，质量，售后服务等完全相同的前

提下，你如何选择？请说明理由；

（2）甲公司发现乙公司及他竞争（但甲公司不知乙公司的销售方案），便

主动及该校联系，提出新的销售方案；标价为每台2000元，购买40台以上（含40台）,

则按标价的九折优惠，在40台的基础上，每增加15台，便赠送一台.问：该学校计划

购买;20台（包括赠送），至少需要多少元？

29.若|a|=2,b=-3,c是最大的负整数，求a+b-c的值.

30.已知|a|二3,|b|=5,且a<b,求a-b的值.

七年级第一章《有理数》培优解析

一.选择题（共10小题）

1.（2019•哈尔滨）若X的相反数是3,|y|=5,则x+yA-B.2C.8或D.-8

的值为（D）8-2或

2

2.（2019秋•曲阜市期中）下列各组数中，数值A3"和下B.12和（-4）

相等的是（C）2

CV和(-2)3D.(-2X3)2

和-22X32

解：A.34=81,43=64,81764,

故本选项错误，

B.-42=-16,(-4)2=16,-

16W16,故本选项错误，

C、-23=-8,(-2)3=-8,-

8=-8,故本选项正确，

D、(-2X3)2=36,-22X32=

-36,36W-36,故本选项错

误，故选C.

D、(-2X3)2=36,-22X32=

-36,36W-36,故本选项错误,

故选C.

D.(-2X3)2=36,-22X32二

-36,36W-36,故本选项错误,

故选C.

D、(-2X3)2=36,-22X32=

-36,36W-36,故本选项错误,

故选C.

3.（2019秋•安徽期中）数轴上表示整数的A2019或B.2019C.2019或D.2019

点称为整点.某数轴的单位长度是1厘米，2019或2019或

若在这个数轴上随意画出一条长为2019厘米20192019

的线段AB,则线段AB盖住的整点的个数是

(C)

解：依题意得：①当线

段AB起点在整点时覆盖2019个数；

②当线段AB起点不在整

点，即在两个整点之间时覆盖2019

个数.

②当线段AB起点不在整

点，即在两个整点之间时覆盖2019

个数.

②当线段AB起点不在整

点，即在两个整点之间时覆盖2019

个数.

4.（2019•青岛）某种鲸的体重约为1.36A.精确到百分位，有3个有效数字

x105kg.关于这个近似数，下列说法正确

的是（D）

B.精确到个位，有6个有效数字

C.精确到千位，有6个有效数字

D.精确到千位，有3个有效数字

分析：有效数字的计算方法：从左边第一个不是

0的数字起，后面所有数字都是有效数

字.

用科学记数法表示的数的有效数字只及前

面的a有关，及10的多少次方无关.

用科学记数法表示的数的有效数字只及前

面的a有关，及10的多少次方无关.

用科学记数法表示的数的有效数字只及前

面的a有关，及10的多少次方无关.

解答：解：1.36X105kg最后一位的6表示6千,

共有1.3.6三个有效数字.

故选：D.

故选：D.

故选：D.

点评：此题考查了科学记数法表示的数的有效数

字的确定方法，要注意10的n次方限定的

乘号前面的最后一位数表示的数位.

5.（2019秋•德州校级期末）（-2）A2B.-2C.2"D.3X2"

100比（-2）99大（D）

解：（-2）100-（-2）99=2100+299=299X（2+1）=3X299.故选D.

求（-2）100比（-2）99大多少，用减法.

求（-2）100比（-2）99大多少，用减法.

求（-2）次比（-2）如大多少，用减法.

6.（2019秋•郸州区期末）下列A.倒数等于它本身的数B.平方等于它本身的数只有1

说法正确的是（D）只有1

C.立方等于它本身的数D.正数的绝对值是它本身

只有1

7.（2019秋•莱州市期末）A.正数B.负数C.零D.负数或零

两个互为相反数的有理数相

乘，积为（D）

8.（2019秋•滨湖区校A一定是B.一定是负数C.一定不大于0D.一定不小于0

级期末）一个有理数及.正数

它的相反数的乘积

（C）

9.（2019•南平）A.1个B.2个C.3个D.4个

的所有可能的

值有(C)

分析：由于a、b的符号不确定，应分a、b同号，a、b异号两种情况

分类求解.

解：①a、b同号时，、也同号，即同为1或-1；故此时原

式二±2；

②a、b异号时，、也异号，即一个是1,另一个是-1,故

此时

原式=1-1=0；所以所给代数式的值可能有3个：土2或0.故

选C.

原式=1-1=0；所以所给代数式的值可能有3个：±2或0.故

选C.

原式二1-1=0；所以所给代数式的值可能有3个：士2或0.故

选C.

10.(2019A.aW3B.a<3C.D.a>3

•黑龙江)

若|a-3|

-3+a=0,

则a的取

值范围是

A)

分析：移项，|a-3|-3+a=0可变为，|a-3|二3-a,根据负数的绝对值是其

相反数，0的绝对值是0可知，a-3^0,则aW3.

解答：解：由|a-3|-3+a=0可得，|a-3|=3-a,

根据绝对值的性质可知，a-3^0,aW3.故选A.

根据绝对值的性质可知，a-3<-0,a<3.故选A.

根据绝对值的性质可知，a-3W0,aW3.故选A.

二.填空题（共6小题）

11.（2019考虑在A点左边和右边两种情形解答问题.

秋•赵县期

末）如果数

轴上的点

A对应的

数为-1,

那么及A

点相距3

个单位长

度的点所

对应的有

理数为

-4或

2.

分析:

分析：

12.如图，在长方形草地内修建了宽为2米的道路，则草地面积为144米2.

13.（2019秋•靖江市期中）平方等于的数是

14.近似数和有效数字.菁优

（2019

秋•雁江

区期末）

若n为自

然数，那

么（・1）

2n+（-1）

2n+l=

0.

15.760

340（精确

到千位）

-7.60

X105,

640.9（保

留两个有

效数字）

%6.4

X102

考占,

考占・

分析：对于较大的数，进行精确到个位以上或保留有效数字时，必须用科学记数法

取近似值，再根据题意要求四舍五入.

解答:解:760340-7.60340X105^7.60X105；640.9~6.409X102^6.4X102.

点评：本题注意精确到十位或十位以前的数位时，要先用科学记数法表示出这个数,

这是经常考查的内容.

16.（2019秋•常州期中）近似数0.002350精确到百万分位，有4有效数字;

近似数3.45万精确到百位.

三.解答题（共14小题）

17..在数-5,1,-3,5,-2中任取三个数相乘，其中最大的积是a,最小的积是

b,

(1)求a,b的值；

(2)若解：(1)共有以下几种情况：

|x+a|+|y(-5)XIX(-3)=15,(-5)X1X5=-25,

-b|=0,-5X1X(-2)=10,-5义(-3)X5=75,

求(x-y)-5X(-3)X(-2)=-30,-5X5X(-2)=50,

+y的IX(-3)X5=-15,IX(-3)X(-2)=6,

值.（-3）X5X（-2）=30,最大的积是"75,最小的积是b=-30,

解答：(2)|x+75|+|y+30|=0,Ax+75=0,y+30=0,

解答：，x=-75,y=-30,・•・(x-y)4-y=(-75+30)+(-30)=1.5.

x=-75,y=-30,/.(x-y)4-y=(-75+30)4-(-30)=1.5.

/.x=-75,y=-30,/.(x-y)4-y=(-75+30)4-(-30)=1.5.

18.(2019•邵阳)观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：

(1)猜想并写出：=;

(2)直接写出下列各式的计算结果：

(3)探规律型.

究并计

算：.

专题：

专题：

分析•(1)从材料中可看出规律是工-，；

nn+1

(2)直接根据规律求算式(2)中式子的值，即展开后中间的项互相抵消为零,

只剩下首项和末项，要注意的是末项的符号是负号，规律为；

(3)观察它的分母，发现两个因数的差为2,若把每一项展开成差的形式，则

分母是2,为了保持原式不变则需要再乘以，即得出最后结果.

(3)观察它的分母，发现两个因数的差为2,若把每一项展开成差的形式，则

分母是2,为了保持原式不变则需要再乘以，即得出最后结果.

(3)观察它的分母，发现两个因数的差为2,若把每一项展开成差的形式，则

分母是2,为了保持原式不变则需要再乘以上即得出最后结果.

2

解答：解：(3)原式二

=10-里-旱-4..上一，)

226%820062008

=1(11)=1003

~2120084016

19.（2019•芜一二三四五

湖）小王上周五

在股市以收盘

价（收市时的价

格）每股25元

买进某公司股

票1000股，在

接下来的一周

交易日内，小

王记下该股票

每日收盘价格

相比前一天的

涨跌情况：（单

位：元）

星期

每股涨跌（元）+2-0.5+1.5-1.8+0.8

根据上表回答问题：

（1）星期二收盘时，该股票每股多少元？

（2）本（1）由题意可知：星期一比上周的星期五涨了2元，星期二比星期一跌了0.5

周内该元，则星期二收盘价表示为25+2-0.5,然后计算；

股票收（2）星期一的股价为25+2=27；星期二为27-0.5=26.5；星期三为26.5+1.5=28；

盘时的星期四为28-1.8=26.2；星期五为26.2+0.8=27；则星期三的收盘价为最高价,

最高星期四的收盘价为最低价；

价，最（3）计算上周五以25元买进时的价钱，再计算本周五卖出时的价钱，用卖出

低价分时的价钱-买进时的价钱即为小王的收益.

别是多（3）计算上周五以25元买进时的价钱，再计算本周五卖出时的价钱，用卖出

少？时的价钱-买进时的价钱即为小王的收益.

（3）已（3）计算上周五以25元买进时的价钱，再计算本周五卖出时的价钱，用卖出

知买入时的价钱-买进时的价钱即为小王的收益.

股票及

卖出股

票均需

支付成

交金额

的千分

之五的

交易

费.若

小王在

本周五

以收盘

价将全

部股票

卖出，

他的收

益情况

如何？

分析：

分析：

解答：解：（1）星期二收盘价为25+2-0.5=26.5（元/股）.

（2）收盘最高价为25+2-0.5+1.5=28（元/股），收盘最低价为25+2-0.5+1.5

-1.8-26.2（元/股）.

（3）小王的收益为：27X1000（1-5%0）-25X1000（1+5%。）=27000-135-

25000-125=1740（元）.，小王的本次收益为1740元.

（3）小王的收益为：27X1000（1-5%o）-25X1000（1+5%。）=27000-135-

25000-125=1740（元）.，小王的本次收益为1740元.

（3）小王的收益为：27X1000（1-5%o）-25X1000（1+5%。）=27000-135-

25000-125=1740（元）.二•小王的本次收益为1740元.

20.（2019•南京）（1）阅读下面材料：点A.B在数轴上分别表示实数a、b,A.B两点

之间的距离表示为|AB|.当A.B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1,

|AB|=|OB|=|b|=|a-b|

当A.B两点都不在原点时，

①如图2,点A.B都在原点的右边|AB|=|0B|-|0A|=|b|-|a|=b-a=|a-b|；

②如图3,点A.B都在原点的左边，|AB|=|0B|・|0A|=|b|-|a|=b・a=|a-b|；

③如图4,点A.B在原点的两边,|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-（-a）=|a-b|；

综上，数轴上A.B两点之间的距离|AB|二|a-b|.

（2）回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是3,数轴上表示-2和-5的两点之间的距

离是3,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是4；

②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是|x+l|,如果|AB|=2,那么x为1

或-3；

③当解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2-5|=3,数轴上表示-2和-5的

代数两点之间的距离是I・2-(-5)|二3.数轴上表示1和-3的两点之间的距离是

式|1-(-3)|=4.

|x+l|②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是|x-(-1)|-|x+l|,如果

+|x|AB|=2,那么x为1或-3.

-2|③当代数式|x+l|十|x-2|取最小值时，，x+120,x-2W0,J-1WXW2.

取最③当代数式|x+l|十|x-2|取最小值时，・,・x+120,x-2W0,J-1WXW2.

小值③当代数式|x+l|十|x-2|取最小值时，・,・x+120,x-2<0,・•・-lWx<2.

时，

相应

的x

的取

值范

围是

-1W

xW

2.

解答：

解答：

点评:此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直

观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点.

21.（2019•黄冈）阅读下列材料，解答问题.

饮水问题是关系到学生身心健康的重要生活环节，东坡中学共有教学班24个，平均每

班有学生50人，经估算，学生一年在校时间约为240天（除去各种节假日），春、夏、

秋、冬季各60天.原来，学生饮水一般都是购纯净水（其它碳酸饮料或果汁价格更高），

纯净水零售价为1.5元/瓶，每个学生春、秋、冬季平均每天买1瓶纯净水，夏季平均

每天要买2瓶纯净水，学校为了减轻学生消费负担，要求每个班自行购买1台冷热饮水

机，经调查，购买一台功率为500w的冷热饮水机约为150元，纯净水每桶6元，每班

春、秋两季，平均每L5天购买4桶，夏季平均每天购买5桶，冬季平均每天购买1桶,

饮水机每天开10小时，当地民用电价为0.50元/度.

问题：

（1）在未购买饮水机之前，全年平均每个学生要花费450元钱来购买纯净水饮用；

（2）请（1）通过每个学生每天的用水量，计算出每个季节的用水量，进而算出全年用

计算：水量；

在购买（2）购买饮水机解决学生饮水问题后，每班学生全年共花费：水费+电费；

饮水机（3）原水费-现在水费二节约水费.

解决学（3）原水费-现在水费二节约水费.

生饮水

问题

后，每

班当年

共要花

费多少

元？

(3)这

项便利

学生的

措施实

施后，

东坡中

学一年

要为全

体学生

共节约

424080

元.

分析：

分析：

解答：解：(1)•・,每个学生春、秋、冬季每天1瓶矿泉水，夏季每天2瓶，

・•・一个学生在春、秋、冬季共要购买180瓶的矿泉水，夏天要购买120瓶矿泉

水，

.・・一年中一个学生共要购买300瓶矿泉水，即一个学生全年共花费1.5X

300=450元钱；

(2)购买饮水机后，一年每个班所需纯净水的桶数为：春秋两季，每L5天4

桶，

则120天共要(4X120)X=320桶.

夏季每天5桶,共要60X5二300桶，

冬季每天1桶，共60桶，

・,•全年共要纯净水(320+300+60)=680桶，

故购买矿泉水费用为：680X6=4080元，

使用电费为：240X10XX0.5=600元，

故每班学生全年共花费：4080+600+150-4830元；

(3),・•一个学生节省的钱为：450-=353.4元，

・•・全体学生共节省的钱数为：353.4X24X50=424080元.

.・・全体学生共节省的钱数为：353.4X24X50=424080元.

.・・全体学生共节省的钱数为：353.4X24X50=424080元.

点评：此题是一道实际问题，通过解答，不仅学会了阅读分析题目条件解题，更培养

了同学们关注生活、将数学应用于生活的好习惯.

22.(2019•宁夏)商场为了促销，推出两种促销方式：

方式①：所有商品打7.5折销售：

方式②：一次购物满200元送60元现金.

(1)杨老师要购买标价为628元和788元的商品各一件，现有四种购买方案：

方案一：628元和788元的商品均按促销方式①购买；

方案二：628元的商品按促销方式①购买，788元的商品按促销方式②购买；

方案三：628元的商品按促销方式②购买，788元的商品按促销方式①购买；

方案四：628元和788元的商品均按促销方式②购买.

你给杨老师提出的最合理购买方案是方案三.

(2)通过计算628638648768778788

下表中标价在

600元到800

元之间商品的

付款金额，你

总结出商品的

购买规律是

商品标价接近

600元的按促

销方式②购

买，商品标价

接近800元的

按促销方式①

购买.或商品

标价大于600

元且小于720

元按促销方式

②购买，商品

标价大于720

元且小于800

元按促销方式

①购买..

商品标价(元)

付款金额（元）

方式①

方式②

专题：应用题；方案型.

分析：（1）将四种方案都计算出来，选出最省钱的方案；

（2）先计算出表中数据，根据数得出规律.

（2）先计算出表中数据，根据数得出规律.

（2）先计算出表中数据，根据数得出规律.

解答：解：（1）方案一：（628+788）X0.75=1062元；

方案二：628X0.75+788-3X60;1079元；

方案三:788X0.75+628-3X60=1039元；

方案四：628-60X3+788-60X3=1056元

选方案三.（2分）

（2）正确填写下表

规律：商品628638648768778788

标价接近

600元的按

促销方式②

购买，商品

标价接近

800元的按

促销方式①

购买.或商

品标价大于

600元且小

于720元按

促销方式②

购买，商品

标价大于

720元且小

于800元按

促销方式①

购买.（其

它表述正

确，或能将

两种购物方

式抽象概括

成一次函数

并能正确解

答的均可给

分）

商品标价

（元）付款

金额（元）

方式①471478.5486576583.5591

方式②448458468588598608

点评：此题是一道实际问题，在购物时经常遇到.虽然有许多购物方

案，但是需要选择最省钱的一种，这也体现了数学中的最优化

思想.

23.（2019•南平）水葫芦是一种水生飘浮植物，有着惊人的繁殖能力.据报道，现已

造成某些流域河道堵塞，水质污染等严重后果、据研究表明：适量的水葫芦生长对水质

的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用.若在适宜条件下，1株水葫芦每5天

就能新繁殖1株（不考虑植株死亡、被打捞等其它因素）.

（1）假设51015…50…5n

江面上现

有1株水葫

芦，填写

下表：

第几天

总株数24……

（2）假（1）根据题意，水葫芦总株数按2的乘方增长；

定某流（2）求出水葫芦约为33万株时的2的次数n的值，再乘以5就是天数.

域内水（2）求出水葫芦约为33万株时的2的次数n的值，再乘以5就是天数.

葫芦维（2）求出水葫芦约为33万株时的2的次数n的值，再乘以5就是天数.

持在约

33万株

以内对

净化水

质有益.

若现有

10株水

葫芦，

请你尝

试利月

计算器

进行估

算探究,

照上述

生长速

度，多

少天时

水葫芦

约有33

万株？

此后就

必须开

始定期

打捞处

理水葫

芦.（要

求写出

必要的

尝试、估

算过

程！）

分析：

分析：

解答：解：⑴51015…50…5n

依次填8,

1024,2n,

如表格

第几天

总株数248…1024…2n

(2)当n=13时，10X213=81920

当n=14时，10X214=163840

当n=15时，10X215=327680

当n=16时,10X216=655360

・••当n=15时,10X215P33(万)

・・・5n=75.答：75天时水葫芦约有33万株.

・・・5n=75.答：75天时水葫芦约有33万株.

・・・5n=75.答：75天时水葫芦约有33万株.

24.（2019•黄冈）某市有一块土地共100亩，某房地产商以每亩80万元的价格购得此

地，准备修建“和谐花园”住宅区.计划在该住宅区内建造八个小区（A区，B区，C

区…H区），其中A区，B区各修建一栋24层的楼房；C区，D区，E区各修建一栋18

层的楼房;F区，G区，H区各修建一栋16层的楼房.为了满足市民不同的购房需求，开

发商准备将A区，B区两个小区都修建成高档，每层800nl2,初步核算成本为800元/m2；

将C区，D区，E区三个小区都修建成中档住宅，每层800m2,初步核算成本为700元

/m2；将F区，G区，H区三个小区都修建成经济适用房，每层750nl2,初步核算成本为

600元/m2.

整个个区内其他空余部分土地用于修建小区公路通道，植树造林，建花园，运动场和

居民生活商店等，这些所需费用加上物业管理费，设置安装楼层电梯等费用共计需要

9900万元.

开发商打算在修建完工后，将高档，中档和经济适用房以平均价格分别为3000元

/m2,2600元/m2和2100元加2的价格销售.若房屋全部出售完，请你帮忙计算出房

地产开发商的嬴利预计是多少元？

解：开发商共投资：

100X800000+24X800X800X2+18X800X700X3+16X750X600X3+99000000=26156

（万元），

房屋全部出售完可得：（2X24X800X3000+3X18X800X2600+3X16X750X2100）

4-10000=30312（万元）,

房地产开发商的赢利预计:30312-26156=4156万元=4.156X107元.

所以房地产开发商的赢利预计是4.156X107元.

所以房地产开发商的赢利预计是4.156XIO,元.

此题计算量不大，思维含量也较小，但是有很大的阅读量.从大量的信息中找到和解

题相关的条件，去掉无关的条件是解答此题的关键.

25.一二三四五六日

（2019

秋•新泰

市期中）

某自行

车厂一

周计划

生产

1400辆

自行车，

平均每

天生产

200辆.

由于各

种原因，

实际上

每天的

生产量

及计划

量相比

有出入.

下表是

某周的

生产情

况（增产

为正，

减产为

负）：

星期

增减+5-2-4+13-10+16-9

（1）根据记录可知，前三天共生产了599辆自行车；

（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了3辆自行车；

（3）（1）根据记录可知，前三天共生产了200X3+（5-2-4）辆自行车；

该厂（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了16-（-10）辆自行车;

实行（3）先计算超额完成几辆，然后再求算工资.

计件（3）先计算超额完成几辆，然后再求算工资.

工资（3）先计算超额完成几辆，然后再求算工资.

制，

每生

辆得

60

元，

超额

完成

则每

辆奖

15

元，

少生

☆b

)

辆则

扣15

元，

那么

该厂

工人

这一

周的

工资

总额

是多

少？

分析：

分析：

解:(1)3X200+(5-2-4)=599；

解