振动力学-非线性振动课件 第22章 能量法

振动力学——非线性振动VibrationMechanics——NonlinearVibrationFOR

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第4篇

弱非线性振动

第16章

非线性自由振动

第17章

非线性受迫振动

第18章

自激振动

第19章

参数激励振动

第20章

二维离散-时间动力系统的不动点与分岔

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第5篇

强非线性振动

第21章

改进的摄动法

第22章

能量法

第23章

同伦分析方法

第24章

谐波-能量平衡法

第25章

三维连续-时间动力系统的奇点与分岔

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第6篇

分岔和混沌

第26章

转子的非线性振动

第27章

板的非线性振动

第28章

三维离散-时间动力系统的不动点与分岔

附录C非线性微分方程的椭圆函数解

附录D部分思考题和习题参考答案

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第5篇强非线性振动

本篇讨论强非线性振动,共分5章。

第21章~第24章介绍强非线性振动的定量分析方法。

第25章介绍非线性振动的定性分析方法。

第21章讨论改进的摄动法。

传统的摄动法是以线性派生方程

的解作摄动法的零阶解,用三角函数(圆函数)表示,以小参数ε

的高阶摄动解也是三角函数表示的。

这些圆函数来表示解的方法可以统称为圆函数摄动法。

强非线性振动在以下方面改进摄动法:

(1)当

ε

为大参数时,我们可以构造一个小参数μ,经过时间或频率变换,将大参数ε展开成小参数

μ

的幂级数,仍可使用传统的摄动法求解,称为人工参数展开法。

这类方法有改进的

L-P

法、改进的多尺度法、改进的KBM

法和推广的平均法(K-B

法)等。

(2)

选择有解析解的非线性振动方程作为派生方程,采用广义谐波函数作摄动法的零阶解,仍然以小参数ε进行摄动。

这类方法有椭圆函数摄动法、广义谐波函数摄动法。

(3)其他方法还有增量谐波平衡法(IHB法),摄动增量法。

第

22章讨论能量法。

能量法的基本思想是如果物体的运动是周期运动,则在每一个周期的时间长度中对物体的能量进行平均,所得的平均能量应为一个不变的常数。

此外,如果上述周期运动为渐近稳定,则位于该周期运动领域内的其他一切运动,在与上述周期同样的时间长度中所求得的平均能量,最终将趋于该周期运动的平均能量,并且以此平均能量为其极限。

第

23章讨论同伦分析方法。

同伦分析方法是通过构造同伦方程将已知解的方程与未知解的方程作为桥梁连接起来,逐步求解强非线性问题近似解析解的一般方法。

该方法从根本上克服了摄动理论对小参数的过分依赖,其有效性与所研究的非线性问题是否含有小参数无关,因此,适用范围广。

同伦分析方法(HAM)为非线性问题的解析近似求解提供了一个全新的思路,为非线性问题(特别是不含小参数的强非线性问题)的求解开辟了一个全新的途径。

本章简要描述同伦分析方法的基本思想及其在非线性振动的应用举例。

第

24

章讨论谐波-能量平衡法。

李银山等提出了求解一类强非线性动力系统的谐波-能量平衡法,这种方法将谐波平衡与能量平衡有机结合起来,把微分方程和初始条件同时处理。

用谐波平衡,将描述动力系统的二阶常微分方程化为以角频率、振幅为变量的非线性代数方程组,考虑能量平衡,构成角频率、振幅为变量的封闭方程组求得解析解。

谐波-能量平衡法将谐波平衡与能量平衡相结合,克服了二者的缺点,吸取了二者的优点。

实例表明,谐波-能量平衡法方法简单,取较少谐波就可以达到较高的精度。

第

25

章讨论三维连续-时间动力系统的奇点与分岔。

第

5

章和第

15章讨论了一维、二维连续-时间系统的奇点与分岔。

本章对三维线性自治系统的奇点进行分类,讨论了双曲极限环和极限环的分岔问题。仅供内部使用FOR

INTERNALUSEONLY第22章能量法

22

本章讨论用能量法求解强非线性系统的周期解问题。

首先介绍能量坐标系;然后讲述单自由度强非线系统的能量法;最后讲述多自由度强非线系统的能量法。仅供内部使用FOR

INTERNALUSEONLY22.1

能量坐标系

应用能量法研究物体的周期运动,首先需要了解物体运动时其能量的变化情况。

为了得到这种能量变化的表达式,一般的直角坐标系或曲线坐标系(如极坐标系、球面坐标系等)显然是难以胜任的。

因此,需要构造新的坐标系,这就是以物体运动时的能量为基础而构造的能量坐标系。

当然,这一坐标系应具有的最基本的性质,即坐标应与物体的运动状态呈一一对应关系。

本节首先研究能量坐标系的构造方法,并且证明,当物体所受之力具有恢复力性质时,所构造的能量坐标系中的坐标与物体的运动状态的确存在一一对应的关系;然后,推导了将相平面坐标系中的坐标变换为能量坐标系中的坐标的变换公式,并且证明了这一坐标变换公式有着单值的对应关系。

由式(22.1.12)与式(22.1.13)可得

将式(22.1.12)代入式(22.1.11),有得将式(22.1.10)与式(22.1.16)重写为

上式为我们所要推导的能量坐标变换公式的基本形式。

接着求a、b与

E

的关系。

首先,由式(22.1.14)得据此可求出

为了方便起见,将能量坐标变换公式(22.1.17)重写为

将式(22.1.18)对b求导数,并注意到式(22.1.3),得条件式(22.1.2)表明

x

与g(x)

应同号。

此外由图22.1.1a)知

a+b>

0

与-a+b<0,从而有将式(22.1.22)代入式(22.1.21),得于是,由隐函数定理可知,上述解对于式(22.1.19)是唯一的。

将式(22.1.19)代入式(22.1.12),得据此可解得

将式(22.1.25a)代入式(22.1.19),得

将式(22.1.25a)与式(22.1.25b)代入式(22.1.17),得

上式为所要推导的能量坐标变换公式的最终形式。

至于x右端的符号,按以下规定选取:(1)当

0<θ<π

时,选“-”;

(2)π<θ<2π时,选“+”。对于速度

x

的方向,当0<θ<π时,指向

x

轴的负向,当π<θ<2π

时,指向x轴的正向。

容易看出,在此规定下,θ的转向为逆时针转向。

应指出,只有简单的非线性函数,a(E)与b(E)才能比较容易地求出。

对于一般的非线性函数

g(x),a(E)与b(E)的求出就相当困难甚至不可能。

但这对能量法在理论上与应用上不会构成任何障碍。

因为,在证明周期解的存在性与稳定性的有关定理时,只需知道

a(E)与b(E)

是

E

的函数就足够了,并不需要知道它们的具体表达式。

此外,在应用这些定理来导出周期解的近似表达式时,并不是先求出与周期解相应的E,然后再借助a(E)

与b(E)

的表达式来计算出对应的a(E)与b(E)的值,而是将这些定理进行某些变形,使之直接得到与周期解相应的a(E)与b(E)之值,从而避免了求解

a(E)

与b(E)

表达式的麻烦。

dθ/dt0的条件,由r×

v≠0得到,其中r=(x-b)i+xj,v=ri+xj,于是

将系统式(22.1.27)代入式(22.1.35)得

现研究在何种条件下,系统式(22.1.27)能有一周期解,其周期为

T=2πω,此处

其中

m

和

n

为互质的两整数。

如系统式(22.1.27)存在一周期解,周期为

T=2π/ω,其必要与充分条件之一是

θ(t)应具有如下的表达式

式中,

ϕ(t)

为周期函数,周期也为

T=2π/ω。

定理

22.1.1

系统式(22.1.27)在区域

D=D′∩D″内存在渐进稳定(或完全不稳定)周期解(周期为T=2π/ω,ω=n/mΩ)的必要与充分条件是:

(1)存在实数a∗以及

ϕ∗,使得

(2)对dθ/dt>0,有

D(a∗,ϕ∗)<0(或>0),对dθ/dt<0,有

D(a∗,ϕ∗)>0(或<0)。

在多自由度系统中,对于式(22.1.34),如果:

(1)在域

R

内存在实数

a∗i与

ϕ∗i(i=1,2,…,n),使得

(2)下面特征方程

的所有特征值均具有负实部。

亦即,若λ=μ±iν或λ=μ,将有

μ<0,则在域R

内,系统式(22.1.27)将存在一周期解,周期为T=2πn/ω(ω=n/mΩ),且此周期解为渐进稳定。

如果,在式(22.1.27)的特征根中,至少有一个具有正实部,则上述周期解为不稳定。

①周期解在相平面上的轨线表达式。

周期解在相平面上轨线的近似表达式

②周期解的能量E

在能量坐标系(E,θ)中的表达式。

周期解的能量E在能量坐标系(E,θ)中的表达式为式中,③周期解的x(t)

中的表达式。将

a=a∗

以及θ=ωt+ϕ=n/mΩt+ϕ∗

代入式(22.1.20a),得该周期解的

x(t)

一次近似表达式

下面求x(t)二次近似表达式,它可以用迭代法得到。

为此,将a=a∗,ϕ=ϕ∗

代入式(22.1.34),并令

此外,考虑到式(22.1.39),得

22.2

单自由度强非线性系统的能量法

例题22.2.1

考虑Mathieu

方程其中,A>0,B≫

1

。

求其周期解。解:采用能量法。由于此处参数B远大于1,一切以小参数为基础的近似方法全然失效。

但是,却可以用本节所介绍的能量法来加以解决。

在本例中

由于已假定

A>0,条件式(22.1.2)被满足,并且被满足的区域为

此外,由式(22.1.3)与式(22.1.6)可知,与g(x)

相应的势能以及系统式(22.2.1)的能量为

由此可知,当

A>B

时,不论x为何值,均有dθ/dt>0。

下面再应用式(22.1.36)来确定dθ/dt≠0

时参数A,B

应满足的条件。

将式(22.2.2)、式(22.2.3)以及式(22.2.6)代入式(22.1.36),并注意

b=0,得

由上式可见,如果有A>B,则只要

a≠0,由式(22.2.8)知dθ/dt>0。

显然,由式(22.1.36)所得到的判定结果与直接由dθ/dt的表达式(22.2.8)所得到的判定结果是完全相同的。

这也就验证了应用式(22.1.36)来判定dθ/dt≠0

的正确性。

总之,在

A>B的情况下,使得dθ/dt≠0

的区域

D″为

由于式(22.2.10)的

D″与式(22.2.4)的

D′完全相同,D=D′∩D″也就与D′以及

D″完全相同。

现研究式(22.2.1)的周期为

之解。

由式(22.1.38)得

由上式可知

代入式(22.2.7),得据此,得

如系统式(22.2.1)存在上述周期解,按照定理22.1.1,应满足以下条件:

式(22.2.14)的解为

将

ϕ=0与

ϕ=π/2

代入式(22.2.15),得

据此,可解得

式(22.2.16)、式(22.2.19)与式(22.2.20)表明,如果

Mathieu方程式(22.2.1)存在一周期解,周期为T=2π/ω,ω=Ω/2,则其初值应满足式(22.2.16),而参数A,B则应满足式(22.2.19)与式(22.2.20)。

下面来求此周期解的近似表达式。

首先,由式(22.1.41)与式(22.2.5)可知其轨线的近似表达式为

其E(θ)与x(t)

的近似表达式可根据式(22.1.42)