三角函数的图像1

三角函数的图象

一、知识回顾

（一）熟悉.三角函数图象的特征:

（二）三角函数图象的作法：

1.几何法（利用三角函数线）

2.描点法：五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.

3.利用图象变换作三角函数图象.

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等，重点掌握函数y=Asin（ax+6）+B

的作法.

函数y=Asin（3x+。）的物理意义：

振幅|A|,周期，频率，相位初相（即当x=0时的相位）.（当A>0,3>0时以上公

式可去绝对值符号），

（1）振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.（用y/A替换y）由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不

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变，纵坐标伸长（当|A|A1）或缩短（当0<|A|Ul）到原来的|A|倍，得到y=Asinx的图象.

（2）周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.（用sx替换x）由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变,

横坐标伸长（0<|（o|<l）或缩短（|3]>1）到原来的回倍，得至Ijy=sin3x的图象.

（3）相位变换或叫做左右平移.（用x+小替换x）由y=sinx的图象上所有的点向左（当小>0）或

向右（当6V0）平行移动I6I个单位，得到y=sin（x+力）的图象.

（4）上下平移（用y+（-b）替换y）由y=sinx的图象上所有的点向上（当b>0）或向下（当b<0）平

行移动IbI个单位，得到y=sinx+b的图象.

注意：由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin（sx+小）+B（A>0,s>0）（x£R）的图象，要

特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。

二、基本训练

1.为了得到函数团的图象，只需把函数团的图象（）

A.向左平移团B.向左平移mC.I句石平移0D.向石平移团

2.函数团的部分图象是)

3.函数目的图象一个对称中心的坐标是)

A.因BEC.团D.团

4.（00）函数y=-xcosx的部分图象是

5、已知函数团，当团时团=0恒有解，贝幅的范围是

6.方程内有个实数根。

三、例题分析

例1.已知函数机

（1）求它的振幅、周期和初相；

（2）用五点法作出它的图象;

2

•3）说明团的图象可由团的图象经过怎样的变换而得到？

例2.把函数团的图象向左平移回个单位，所得的图象关于雪轴对称，求团的最小值。

例3.如图为团

的图象的一段，求其解析式。

3

例4.受日03691215182124

月的引

力,海水

会发生

涨落，这

种现象

叫做潮

汐，在通

常情况

下，船在

涨潮时

驶进航

道，靠近

船坞；缺

货后落

潮时返

回海洋。

某港口

水的深

度团（米）

是时间团

（0,单

位：时）

的函数，

记作胤

卜面是

该港口

在某季

节每天

水深的

数据：

f（时）

4

10.013.09.97.010.013.010.17.010.0

y（米）

（1）经长期观察，团曲线可以近似地看做函数⑶的图象。

（2）根据以上数据，求出函数田的近似表达式；

一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只

需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5大。如果该船想在同一天内安全进出港，问

它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）？

2

y.lcosx+^sinxcoSx+bxeR

例5.(00)已知函数22

（I）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（II）该函数的图象可由ksinx（xeR）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

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四、作业同步练习三角函数的图象

L若函数团对任意实数团，都有曲则团等于

A.OB.3C.—3D.3或一3

2、把函数团的图象向右平移0个单位，设所得图象的解析式为瓦则当团是偶函数时看的值可以是

A.0B.0C.0D.0

3.函数用的部分图象如图，则

A.0B.0

C.0D.0

4、函数团的部分图象如图所示，则函数表达式为)

(A)y=-4sin(—x+-j)(B)y=4sin(—

(C)y--4sin(—x——)(D)y=4sin(—x+—)

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5.函数团与团轴距离最近的对称轴是.

6.将函数团的图象向右平移回个单位后，再作关于回轴的对称变换，得到函数团的图象，则团可以是

7、给出下列命题：①存在实数国使团；②存在实数国使团；③回是偶函数；④团是函数回的一条对称

轴方程；⑤若团、团是第一象限角，且胤则团。其中正确命题的序号是______________o(注：把你认为

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正确命题的序号都填上)

8、函数团的图象与直线团有且仅有两个不同的交点，贝加的取值范围是

9、设函数.(x)的图象与直线.=a,.=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在［a,b］上的面积，已知函

数丫=5柄僦在。回上的面积为团(nEN.),(i)y=sin3x在［0间上的面积为；(ii)y=sin(3x

一n)+1在圆囿上的面积为..

10、已知函数/(x)=2sinx(sinx+cosx)。

(1)求它的振幅、周期和初相；(2)用五点法作出它的图象;

(3)说明回的图象可由回的图象经过怎样的变换而得到？

11.若函数团的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后将所得图象先向左

平移团个单位，再向下平移1个单位，得到的曲线与团的图象相同，求团的表达式。

12.函数团在团内只取到一个最大值和一个最小值，且当团时，函数的最大值为3,当团时，函数的最小值为

一3,试求此函数的解析式。

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13.设函数团，给出以下四个论断：

①它的图象关于直线x=C对称；②它的图象关于点(2,0)对称；

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③它的周期是不；④它在区间[-工,0]上是增函数。

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以其中的两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的两个命题，并对其中

一个命题加以证明。

参考答案：

基本练习：LB2.C3.B4.D5.[-4,5]6.6

例题分析：例1(1)振幅2,周期团，初相团；(2)略；(3)把团的图象上所有的点左移团个单位，得到

团的图象，再把团的图象上的点的横坐标缩短到原来的团(纵坐标不变)，得至峋的图象，最后把团图象上

点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到团的图象例2.0例3、0例4(1)0；

(2)该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口至多停留16小时

作业:1—4、DBCA

5.直线回6.团7、③④8、团9、团

8

10、振