三角形中的边角关系、命题与证明 单元作业设计 (二)

第13章三角形中的边角关系、命题与证明

（作业设计）

设计小组成员：

单元信息

基本学科年级学期教材版本单元名称

信息

三角形中的边角关系、命

数学八年级第一学期沪科版

题与证明

单

元

组

织

方

式0自然单元□重组单元

序号课时名称对应教材内容

1三角形的三边关系第13.1(P67-68)

2三角形的三角关系第13.1(P69-70)

课时3三角形的三条重要线段第13.1(P71-72)

4命题第13.2(P75-77)

信息

5证明（第1课时）第13.2(P78)

6证明（第2课时）第13.2(P79)

7三角形的内角和定理第13.2(P80-81)

8三角形的外角第13.2(P82-83)

二.单元分析

（一）课标要求理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，探

究并证明三角形

的内角和定理，掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证明

三角形的任意两边之和大于第三边.通过详细实例，了解定义、命题、定理、推论的

意义.结合详细实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识

别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.知道证明的意义和证明的

必要性，知道证明要符合逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证

明的格式.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的.

课标在“知识与技能”方面指出：能够借助数形结合、逻辑推理，理解三角形的

基本性质，掌握根本的证明方法；在“数学思考”方面指出：经历借助图形思考问题

的过程，初步建立几何直观；体会通过合情推理探究数学结论，运用演绎推理加以证

明的过程，在多种形式的数学活动中，开展合情推理与演绎推理的才能.能独立思考，

体会数学的根本思想和思维方式.

（二）教材分析

1.知识网络

2

边、角及其关系

三角形中元素

主要线段（角平分线、中线、高）

三角形中的边角关系

命题与证明

真命题推论

命题

假命题

2•重点与难点：本章的重点是三角形的边角关系，及区分一个命题的题设与结论,

综合法证

明一彳儿后命题的方法与步骤.本章的难点是简单反例的构造，一个几何命题综合

法证明思路的分析和证明

过程的规范表达.

（三）设计思路分析

1.呈现完整的知识体系：本章设计的内容有三角形的概念、三角形按边、角

分类，探究三角形的三边关系、三角形的三角关系以及与边、角有关联的三角

形中的三条重要线段及其三角形的内角与外角的关系。在探究三角形内角与外

角的关系时，很自然地引入命题与证明的学习.各个知识点虽然独立，但又相互

关联，使本章知识结构呈现出完整的体系.

2.注重知识的内涵与外延：本章不仅仅是学习二角形的有关知识，更重要的

是它是学习全等三角形、四边形、相似三角形的基础，乃至于在今后的几何学

习中有着重要的意义.

3.关注学生的已有经验与认知特征：本章利用学生小学学过的知识逐步展开，

在直观认识的基础上，引导学生步步深入，由感性认识向简单的理性分析转变。

特别是在命题与证明学习中，考虑学生的认知特征，结合生活中的实例认识命

题，弄清命题的条件与结论；在证明文字表达的命题时，要求学生根据已知条

件先画图、然后根据图形与命题的条件写出已知与求证，并要求学生在证明时

写出每步的依据，而且本章设置的是一些过程较为简单的命题证明.

4.考虑思想方法的渗透：本章在探究三角形三边关系和三角形内角与外角美

系时，运用类比的方法，使命题的表述中添加了“任意”的条件，从而扩大了

命题条件的范围.在证明三角形内角和定理时，通过剪拼转化为平行线的知识，

体现了化归思想的运用.

5.致力于核心素养的形成：本章在探究与运用三角形三边关系、三角关系以

及内角与外角关系时，由学生结合图形进行合理猜想，自主学习或者合作探究

解决问题，逐步形成数学抽象、直观想象，逻辑推理，数学建模等数学素养.

（四）学情分析

3

层层深入逐步提ri]

知识脉络

概念—基本知识、基本技能T拓展与提高

设

题型特征

计■i作业设置要有针对性，突出学生对重点知识的掌握，对难点知识的思考

思题型形式

作业题型

路

选择题填空题解答题选做题

从不同角度对学生进行训练，提高学生数学能力与素养

五、课时作业

13.1三角形中的边角关系作业设计(1)

班级年—月―日

*

科目数学版本沪科版早下第13章第1节

作业时间要求建议用时25分钟评价主体教师

题型作业内容作业分析与设计意图

【分析】在三角形概念中要求学生

基抓住三角形满足的两个条件：三条

线段和首尾相接.四个备选答案中，

1.下面每个图形都是一位同学用三根木

只有D符合三角形的概念，故本题

棒拼成的，其中符合三角形概念的是

答案为D.

()

础

5

性

【设计意图】本题考查学生对三角

A.B.形概念的理解与掌握，同时也考查

作学生的识图能力.

业C.D.

【分析】备选答案A中，1+1=2；

2.下列各组数中，能作为一个三角形三边

在备选答案B中1+2=3<4；在备选

边长的是()

答案D中2+3=5；只有备选答案C

A.1,1,2

符合“三角形任意两边之和大于第

B.1,2,4

三边”.故本题答案为C.

C.2,3,4

【设计意图】本题考查学生对三角

D.2,3,5

形三边关系的掌握,培养学生的数

感和解题能力.

【分析】这里已知两边长求第三边

的取值范围，借助不等式组8—5V

3.己知三角形的三边长分别为5,2m一1,

2/7?-1V8+5解得2Vm<7.

8,则机的取值范围是__________.

【设计意图】本题是考查学生利用

三角形的三边关系建立不等式组模

型解决问题的能力，培养学生数学

建模的素养。

【分析】本题要求学生结合等腰三

4.已知等腰三角形的周长为20,其中一

角形的概念和三角形的三边关系，

边长为5,则其它两边的长分别为

根据三角形周长求另外两条边.学

()

生容易选备选答案A,而没有考虑

A.5,10或7.5,7.5

5,5,10这个三角形不存在，故本

B.5,10

发题答案为c.

C.7.5,7.5

【设计意图】本题考查学生会运用

D.少了条件，不能求出.

分类讨论的思想解决等腰三角形的

概念与三角形的三边关系结合运用

的问题，提高学生分析问题的能力.

5.如图，在△八BC中，E、。分别为BC、【分析】由三角形的概念可知，图

展AC边上的点，则图中的三角形共有中有贵个三角形，它们分别为：△

个.其中DE是ABD,/XBDE,△COE,ABCD,

的边；ZC是___________的内角；在△ABC；很显然VE是△3DE,△

△BDE中,/史所对的角是_________；C22的边，/C是"DE,4BCD,

在中，NC所对的边是_______△ABC的角;从图形中可以看出：

*在△8DE中，DE所对的角是上

6

性DBE；在△3OC中，NC所对的边

是BD_.

【设计意图】本题是考查学生识图

能力.学生要会在复杂的图形中找

出三角形，并指出它们的边或角.

作本题设计“三角形边所对的角或角

所对的边”的问题是为学习《全等

二角形》奠定基础.

6.数学老师为了了解同学们对三角形三

边关系的掌握情况，特设计一个活动:【分析】本题是三角形三边关系的

器材准备：长度分别为10cm、20cm、解决实际运用的问题，问题（1）

20+30>40故能；问题（2）中不能,

业30cm、40cm、50cm的木

因为20+30=50,所以不能.问题（3）

棒若干支（够学生选用.）

中三角形三边只能是：10cm,10

活动要求：每个同学从中任取三根木

cm,10cm；10cm,20cm,20cm；

棒拼成三角形.

解答下列问题：10cm,30cm,30m；10cm,40cm,

40cm；10cm,50cm,50cm.共5

（1）小明选取的三根木棒的长度分别丽兄,很显然这些线段组成的三

为20cm、30cm、40cm,他

（填“能”或“不能”）拼成三角形都是等腰三角形.

角形.

（2）小华选取的三根木棒分别为20cm、

30cm、50cm,问她能不能拼成三

【设计意图】本题是通过设计数学

角形？并说明理由。

活动考查学生对三角形三边关系和

（3）小亮手上只拿了一根10cm的木棒，

等腰三角形的定义的熟练掌握，不

正为第二、第三根木棒发愁，请你

仅巩固学生的基本知识，而且提高

为他选取另外两根拼成三角形.写

学生的基木技能，培养学生数学分

出所有情况；并说出这些三角形按

析能力的素养.

边分类，它们分别是什么三角形？

等级

评价指标备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

B等，答案正确、过程有问题。

答题的准确性

C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程

错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。

C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。

AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合

综合评价等级

评价为B等；其余情况综合评价为C等。

7

13.1三角形中的边角关系作业设计（2）

班级年月H

科目数学版本沪科版章节第13章第1节

作业时间要求建议用时25分钟评价主体教师

题型作业内容作业分析与设计意图

1.在△ABC中，NA是锐角，那么△43C【分析】在这个三角形中最大的角

是（）A.不能确定，故本题答案为D.

锐角三角形【设计意图】本题考查从角的角度

B.直角三角形上定义三种三角形的概念，理解三

C.钝角三角形种三角形是以最大内角进行定义

D.不能确定的.

【分析】由NA-NBANC转化为

基2.在△A8C中，若NA—则N3+NCVNA,又由N8+NC=

此三角形是（）180°—NA,得至1800-ZA<Z

A.钝角三角形A,于是有NA>900,故本题答案

B.直角三角形为A.

础C.锐角三角形【设计意图】本题考查三角形的内

D.无法确定角和定理，同时考察学生对整体代

入方法的运用，为他们在后面的学

习中运用整体代入方法创造条件.

性【分析】本题是三角形内角和定理

的运用，把ZC=90°,ZA=2ZB

3.在△A8C中，ZC=90°,NA=代入NA+N5+NC=180°即得

2ZB,则NA=______________________,NBZB=30°,于是NA=60°

作【设计意图】本题虽然考查三角形

内角和定理，但实际上也是考查解

含特殊角的直角三角形中的问题.

4.如图是一个三角形缺了一个角后的图【分析】补全缺的角，由二角形内

业形，经测得余下的两个角分别为60\角和定理可知，/\

50°,则缺的那个角的度数为_______.缺的的那个角的/\

度数为70°.

二

【设计意图】构造三角形运用三角

形内角和去解决问题，提高学生数

学应用的能力.

8

5.已知：如图是李师傅设计的一块四边

【分析】根据题意，延长与CO

形模板，设计要求与CO的延长线

相交，由三角形内角和定理可得，

相交成20°,D4与C8的延长线相交

交角为180°—NB—NC=20°；延

成40°,现测得NB=75。,ZC=85°,

长D4与CB相交，由三角形的内

Z7)=55%请判断该模板是否合格，

角和定理可得，交角为180°—

并说明理由.

-ZC=40°,满足要求，故该模板

合格.

发【设计意图】本题是构造三角形运

用三角形内角和解决实际问题，进

展一步提高学生解决问题的能力，使

学生体验数学知识在生活中的重要

性意义.

作6.已知I：如图，AB//ED.。为4。上一【分析】由△A8C的内角和+a

点，Z1=Z4,Z2=Z3,求：OCE内角和=360",ZA-\-ZD=

N8CE的度数.180°知，Nl+N2+N3+N4=

180°,又由N1=N4,N2=N3知

业

N1+2=90。，即可得NBCE=90°

【设计意图】本题考查学生对三角

形内角和定理、平行线性质的综合

运用，培养学生分析问题的能力，

学会运用化归思想与整体代入的方

法解决问题.

等级

评价指标备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

B等，答案正确、过程有问题。

答题的准确性

C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程

错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。

C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。

、综合评价为等；、、综合

综合评价等级AAAAABAABBBBBAAC

评价为B等；其余情况综合评价为C等。

9

13.1三角形中的边角关系小结作业设计

班级年月0

科目数学版本沪科版章节第13章第1节

作业时间要求建议用时25分钟评价主体教师

题型作业内容作业分析与设计意图

1.下列四个图形中，8C边上的高画得正

确的是（）【分析】钝角三角形钝角边上的高

在三角形外.根据三角形底的概念，

从BC边所对的顶点A作BC边的

垂线段，垂足在C3的延长线上.故

本题的答案为A.

基

A.B.

.4zL

【设计意图】本题考查三角形高的

础概念，学生对钝角边上的高容易出

错，设置这题的目的是加深学生对

高的概念的理解.

3CRC

性C.D.

2.己知，如图，在△ABC中，AD为△43C

【分析】：在备选答案A中点。不

的中线，8E为角平分线，AD.BE交

是线段BE的中点，故答案A错误；

于。点，下列说法正确的是（）

由于线段8E为角平分线，点E不

作A.40为△ABE的中线

一定为线段AC的中点，故备选答

B.8。为的角平分线

案C错误；由于点。也不是线段

C.AE=EC

AO的中点，故备选答案D错误，

D.OA=OD

业备选答案B中，符合三角形角平分

线的概念，故本题的答案为B.

【设计意图】本题是考查学生对三

角形角平分线与中线的概念的理

解，让学生从稍微复杂的图形中辨

BDC别它们，提高学生的识图能力.

10

【分析】中线人。是点A与8c边

中点。的连线；角平分线是NACB

3.如图，已知△ABC

的角平分线与边交点间的线段;

(1)作中线AD

AC边上的高是B点到直线AC的垂

(2)作角平分线CE.

线段.本题的答案如图：

(3)作AC边上的高BE

【设计意图】本题不仅考杳学生对

三角形三条线段概念的掌握，而且

要考查学生的动手操作能力.

4.已知，如图，在△ABC中，ZA=60°,

【分析】利用△ABC的内角和180

BD、CE分另1为/ABC、NAC8的平分

°可以求出NA3C+NACB=

线，BD、CE交点为O,求NBOC的

120°,由8。、CE为角平分线可

度数.

发得到N1

和180°可得/8。。=180。一(Z1

+Z2)=120°

【设计意图】本题考查学生对三角

形的内角和的理解，同时考查学生

展

对整体代入方法的掌握情况.

【分析】由AQ为中线可得，△A3。

5.已知，如图，在△ABC中，AD为中线,

的面积等于△ACO的面积，原因是

。为人。的中点，若△ABC的面积为

BD=CD,高是同一条高；同理可

12,求阴影部分面积.

得到的面积等于AAOB的

性

A面积，△CO。等于△AOC的面积，

这样可得△ANC被分成的四个小三

角形的面积相等，故阴影的面积为

6.

【设计意图】本题考查学生对三角

作形的中线把三角形分成面枳相等的

BDC两个三角形的掌握情况，培养学生

数学思考的素养.

11

【分析】(1)从条件上看，图中/

6.已知，如图，在△ABC中，BD、CE

ABD与/ACE分别是RdBD、Rt

为高，交点为。，解答下列问题：

△ACE的两个内角，这两个三角形

(1)试说明：/ABD=/ACE.

业有一个公共的角为NA,故/ABD

(2)图中与乙4相等的角__________.

+/4=N4CE+NA=901得到

NABD=NACE；(2)同理

+ZBOE=ZABD+ZA=90°,Z

ACE+ZCOD=NACE+/A=90

°,故与N人相等的角有N2OE、Z

COD.

【设计意图】本题利用三角形的高

构造直角三角形，运用“同角或等

BC角的余角相等”的性质，这种图形

在以后的学习中经常用到，

等级

评价指标备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

等，答案正确、过程有问题。

答题的准确性B

C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程

错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。

C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。

、综合评价为等；、、综合

综合评价等级AAAAABAABBBBBAAC

评价为B等；其余情况综合评价为C等。

13.1三角形中的边角关系小结作业设计

班级年—月―日

科目数学版本沪科版章节第13章第2节

作业时间要求建议用时45分钟评价主体教师

题型作业内容作业分析与设计意图

12

【分析】把一个三角形剪成两个三

角形，裁剪线须经过三角形一个内

角的顶点和这个顶点所对的边，如

图，N1与N2关系有两种情况：若

1.将一个三角形纸片剪开分成两个三角

Nl=N2=90°,则两个三角形都是

形，这两个三角形不可能（）

直角三角形；若/1WN2时，其中

A.都是锐角三角形B.都是直角三角

必有一个钝人

形C.都是钝角三角形D.一个锐角

角，则至少有

三角形和一个钝角三角形

基一个钝角三角/；\

形.故本题的/1尔2\

答案为A・L--------Q2-------

【应计意图】本题考查学生画图、

能结合图形进行猜想、分析的能力,

培养学生直观想象、数据分析的核

心素养.

础2.下图中表示△ABC边48上的高的线

段是（）【分析】图中有四条垂线段，但△

A.AEB.BDC.BFD.CGABC边AB上的高由A5所对的顶

点C作边的垂线段，故本题的

答案为D.

性

【设计意图】本题考查学生认识三

角形高的熟练程度，同时也是为了

提高学生的识图能力.

3.如图，在△A3C中，CO平分/AC8

【分析】在AABC中，利用三角

作交AB于点D,过点D作DE//BC交

形的内角和定理由NA、的度

AC于点E,若NA=54°,ZB=48°,

数可求得NAC8=78°,由为

则NCDE的大小为（）

角平分线可得NOCB=391由

A.44°B.40°C.39°D.38°

DE〃8c可得到NCDE=39°,故木

为C.

业

【设计意图】本题是考查学生对三

角形的内角和定理、角平分线与平

行线性质的综合运用，培养学生数

学分析,、逻辑推理的素养.

13

4.如图，某公园有一片水域，水域边有4、

B、C、。四个景点，为了游客方便，【分析】连接80,利用△BCD的

公园管理人员在BD间架设一座浮桥，三边关系可得100m<BD<500m,

现测量4B=200m,BC=200m,CD=利用△A8O三边关系可得300m<

300m,4。=500nb则浮桥8。的长度BD<700m,HP300m<B£）<500m,

可能为（）从而可得满足条件只有答案C.故

A.200mB.300mC.400mD.500m本题的答案为C.

A

发J\

/、“

【设计意图】本题考查学生利用三

角形的三边关系建立不等式组模型

解决问题，培养学生数学建模的数

学素养.

c

展

【分析】在aABC中，利用三角形

5.如图，A尸、AD4》别是△A4C的高和内角和定理可得N84C=70",由

角平分线，且3=32°,ZC=78°,AD为角平分线可得/840=35°；

则ND47AE为高，可得N5F4=90。，再利

用三角形内角和定理可得到N84O

性A+ZDAF+ZB+ZBE4=180°,从

/h而有NQA产=23°.

【设计意图】本题考查高、角平分

线所涉及到角的综合运用，同时联

系三角形的内角和定理解决问题，

BD」Fc培养学生数学分析、逻辑推理的素

作养.

【分析】题（1）中是两个非负数的

和为0,满足条件时只有a~b和a

—c同时为0,即可得Q=）=C,故

6.已知△ABC的三边长分别为〃、b、c.

该三角形为等边三角形；题（2）|

若〃、、满足2

（1）b、c（a-b）+卜-ca—b-\-c1=G+C——力，1a-\~b—c

业1=a+Z?——c,Ia-b-c1=b-\-c

=0,该AABC的形状是_________.

-a,代入化简即可得。十。一3小

【设计意图】本题是培养学生的基

（2）化简|a-b+cI-Ia+b-c\—

本技能题，题（1）是考查学生等边

Ia-b—c|的值为______.

三角形的概念，题（2）是考查学生

把三角形三边关系与绝对值的结合

运用情况.

14

【分析】本题无图形，要求学生画

出图形，然后结合图形进行解答.

7.已知：4。是△48C的边BC上的高，高八。可能在三角形内，也可能在

ZBAD=70°,ZC4D=20°,则N8AC三角形外，故有两个答案：50°或

90°

【设计意图】本题考查学生画图能

力，同时考察学生对分类讨论思想

的运用.

【分析】由题意可知，三角形的面

8.有一块肥沃的三角形土地，其中一边积被分成甲家1等份，乙家1