两角和与差的正弦余弦正切公式（第1-3课时）（分层练习）高一数学课堂（沪教版2020必修第二册）

6.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第1-3课时）

（分层练习）

【夯实基础】

一.选择题（共4小题）

1.设cosa+sinBsina+cosB的范围是£）,则函数y=iogi坐药［（x€D）的最小值为（）

X4x+10

2

A.返B.皂C.」D.V2

822

【分析】由已知结合同角平方关系，和差角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质求出D,然后利用换

元法，结合基本不等式即可求解.

【解答】解：设f=sina+cos0,

贝1]P+3=2+2sinacosB+2sinBcosa=2+2sin(a+0)G[0,4],

所以-IWfWl,即£>=[-1,1],

令“=<2x+3，则〃日1，收],2%=/-3,

所以亚叵J=亚8,当且仅当M=加时取等号,

4x+102/+42U42网

所以函数y=1og1手综(x€D)的最小值为log।1=2

X4x+10.L82

22

故选：B.

【点评】本题主要考查了同角平方关系，和差角公式及正弦函数的性质，还考查了基本不等式在最值求解

中的应用，属于中档题.

2.已知sinJ二系cosB=-日’且a£9兀），P€（与~，兀）•则a-B是（

A.第一象限的角B.第二象限的角

C.第三象限的角D.第四象限的角

【分析】由同角三角函数的平方关系求得cosa和sin。的值，并利用两角差的正弦公式可得sin（a-似的

值，再结合a-0的取值范围求解.

2__2

【解答】解：由题意知，cosa=-nQ—sinp-VlcosP

34

因为a6,兀），B€,兀），所以a-亚（-匹，匹），

"2，'22

所以sin(a-p)=sinacosp-cosasinp=—X(-3)-(-<0,

343412

所以a-(-三，0),即a-。是第四象限的角.

2

故选：D.

【点评】本题考查三角函数求值，熟练掌握两角差的正弦公式，同角三角函数的平方关系是解题的关键，

考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

3.已知/(X)=tanx,若存在a,⑹£(Q,今)，使得/(a)-/(p)=2,则a-0()

A.有最大值，有最小值B.有最大值，无最小值

C.无最大值，有最小值D.无最大值，无最小值

【分析】由已知结合两角差的正切公式进行变形，然后结合二次函数性质即可求解.

【解答】解：因为a,8€(0,卷)，

所以tana>0,tan0>O,(1+lanp)~>1,

因为f(a)-f(P)=tana-tan。=2,

贝i]tan(a-p)=J出a-tan」=-----2---=-----Z-----=---2------e(0,2),

1+tanCLtanP1+tanO.tanP1+tanB(2+tanB)(1+tanP产

即没有最大值，也没有最小值.

故选：D.

【点评】本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于中档题.

4.对任意的锐角a,0,下列不等关系中正确的是()

A.sin(a+|3)>sina+sinpB.sin(a+P)>cosa+cosP

C.cos(a+p)<sina+sin0D.cos(a邛)<cosa+cos0

【分析】对于A,B中的a,0可以分别令为30°,60°验证即可，对于C中的a,0可以令他们都等于15°,

验证即可，对于D我们可以用放缩法给出证明cos(a+p)=cosacosP-sinasinP<cosaXl+cos^X1=

cosa+cosp

【解答】解：对于A3中的a,0可以分别令为30°,60°则知道A,8均不成立

对于C中的a,p可以令他们都等于15°,则知道C不成立

cos(a+0)=cosacosp-sinasinp<cosaXl+cos^Xl=cosa+cosp

故选：D.

【点评】本题考查了两角和与差的正余弦公式，同时也考查了放缩法对命题的证明，属于基础题.

二.多选题(共1小题)

(多选)5.在aABC中，下列结论正确的是()

A.sin(A+B)+sinC=OB.cos(A+B)+cosC=0

C.sin(2A+2B)+sin2C=0D.cos(2A+2B)+cos2c=0

【分析】根据A+B+C=TT以及诱导公式对应各个选项逐个判断即可求解.

【解答】解：选项A：因为A+B+C=TT,所以sin(A+B)+sinC=sin(n-C)+sinC=sinC+sinC=2sinCW0,

故A错误，

选项B：由选项A可知，cos(A+B)+cosC=cos(n-C)+cosC=-cosC+cosC=0,故8正确，

选项C：sin(2A+2B)+sin2C=sin[2(n-C)J+sin2C=-sin2C+sin2C=0,故C正确,

选项。：cos(2A+2B)+cos2C=cos[2(IT-C)]+cos2C=cos2C+cos2c=2cos2CW0,故£)错误，

故选：BC.

【点评】本题考查了三角函数的诱导公式的应用，考查了学生的判断能力，属于基础题.

三.填空题(共21小题)

6.将sinx-J^cosx化为Asin(o)x+(p)(A>0)的形式为2sin(x-三-).

3

【分析】由题意，利用两角差的正弦公式，计算求得结果.

【解答】解：sinx-VScosx—2(Asinx-2/^-cosx)=2sin(x--2L),

223

故答案为：2sin(x-2L).

3

【点评】本题主要考查两角差的正弦公式的应用，属于基础题.

7.方程向sinx+cosxS在[0,2g上的解集为Z2L]_.

12~12

【分析】由题意利用两角和的正弦公式可得sin(x+—)=亚，可求范围》+三日工，工空],进而即可

62666

求解X+工=工，或查，从而得解.

644

【解答】解：因为我sinx+cosx=V2>

所以2sin(x+2I_)=J5，可得sin(x+——)=1,

662

因为xHO,2n],可得X+2L曰三，型2口，

666

所以x+二=工，或近，

644

故方程、行sinx+cosx=正在[0,2g上的解集为{三，22L}.

1212

故答案为：｛三，Z2L).

1212

【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数以及正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想，属于基础

题.

8.若a,0为锐角，且sinCl=-苫-,cos8=3，则cos(a+0)=___.

17585

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosa,sin0的值，进而根据两角和的余弦公式即可求解

cos(a+p)的值.

【解答】解：因为a,0为锐角，且sinCL=&-,cos8=3，

175

所以cosa=、i-sin2a=4|，sin0=hcos2B=£，

1(b

贝！］cos(a+B)=cosacos0-sinasinB=-l^-x—~x—=-^--

17517585

故答案为：迫.

85

【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基

础题.

9.在平面直角坐标系中，已知两点A(cos80°,sin80°),B(cos200,sin20°),则依周的值是1.

【分析】根据向量模的坐标表示，把己知两个点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简，进而

求出向量模.

【解答】解:VA(cos80°,sin80°),B(cos20°,sin20°),

•"IABI-V(cos800-cos200)^+(sin800-sin200

-Vcos^80°+sin2800+cos^200+sin2200-2cos800cos200-2sin800sin200

-V2-2cos600-1-

故答案为：1.

【点评】本题考查了向量模的坐标运算，即把点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简求值,

是基础题.

2cos-1

10.已知tan20=-2衣，2L<g<—,则-------=------——=-3+272.

42后sin(0号)-

【分析】先求出tanO=&,再进行弦化切能求出结果.

【解答】解：Vtan20--2&,.♦.一2浊?_=-2&,

1-tan*2*49

解得tanO=或tan0=-YZ,

2

V—<e<—,.,.tane=V2,

42

2cos2-^--sin6-1_„_i—_

则_______1__________=cos8-sin8=l-tan8=1W2=_3+2^

^sin(0cos9+sin9l+tan©1+72

故答案为：-3+2五.

【点评】本题考查三角函数的运算，考查正切二倍角公式、正弦函数两角和公式等基础知识，考查运算求

解能力，是中档题.

11.已知a、pe（-—0）,Ktana+tanP+^/3tanatanP=V3>贝Ua+0=--^―

23

【分析】由两角和的正切公式计算可得所求值.

【解答】解：由a、肥（-三，0）,可得a+能（-IT,0）,

2

由tana+tanP+V3tanatanP=-\/3>

可得tan（a+p）=tana+tanB=遥一正tanCItanB=y,

1-tanCItanP1-tanCLtan?

所以a+0=-

3

故答案为；-22L.

3

【点评】本题考查两角和的正切公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

12.将3sina-3J^cosa化成Asin(a+<p)(其中A>0,0^(p<2n)的形式为_6sin(a+§兀)

【分析】直接利用关系式的变换求出正弦型函数的关系式.

【解答】解：3sina-3V3cosa=§(sinCta«兀

cos=6sin(a—)=6sin(a

o

故答■案为：6sin（a+■日一）-

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的关系式的求法，主要考查学生的

运算能力和数学思维能力，属于基础题.

13.若？L〈a<3_,sin(3__a)="—,则cos(-^―+a)=」.

62633-3-

【分析】直接利用三角函数关系式的变换和三角函数的诱导公式的应用求出结果.

【解答】解：-^-<a<—,sin(—L_Q)=-A,则COS(2I_+Q)=CQS[—L_(_2L_Q)]=sin(-^-_Q)

62633266

_1

=3'

故答案为：

3

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式变换，三角函数的诱导公式的应用，主要考查学生的运

算能力和数学思维能力，属于基础题.

14.已知tan(2X+-L)=-近且》曰0,—],贝Ux=—

33214一

【分析】直接利用三角函数的关系式求出结果.

【解答】解：已知xjo,2L],

2

所6二以2兀x土了尸£[「兀―«4—兀-I

由于tan(2X+2I_)=-

33

所以2xg5兀

o

解得x=2L.

4

故答案为：2L.

4

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基

础题.

15.若sin(O+-ZL)=&,0G(-ZL,TT),则cos8=.

452-10—

【分析】直接利用三角函数的关系式的变换，和角的余弦的应用求出结果.

【解答】解：由于g(―,7T),

2

所以得"，旦上)；

且满足sin(0+—)=3,

45

-

痂故C8T兀E之，(34兀,F>、

所以cos(0+-2L)=-A,

45

故cose=cos[(84)—]=(4)X^-4又与鼻.

44DDZ1U

故答案为：jZl.

10

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，和角的余弦的应用，主要考查学生的运算能力

和数学思维能力，属于基础题.

16.在△ABC中，已知tag,tanB是x的方程7+m(x+1)+1=0的两个实根，则/C=士三.

一4一

【分析】结合韦达定理与两角和的正切公式，可得tanC=-1,从而得解.

【解答】解：YtanA、tanB是关于x的方程f+m(x+1)+1=0的两个实根，

.•・larL4+lanB=-m.taivUan8=〃?+l,

/.tanC=-tan(A+B)=-2，逋*'也殳=-1,

1-tanAtanB

VCG(0,n),

:.c=^L,

4

故答案为：12L.

4

【点评】本题考查了三角函数的性质，考查韦达定理的应用，是基础题.

17.已知cosa=5cos(a-8)■且0VB<a则cos0=—■—•

【分析】利用已知求出sina,sin(a-p)的值，然后利用余弦的和差角公式化简即可求解.

【解答】解：因为cosacos(a-8)=口.o<8<a

oo乙

所以sina=Vl-coS2aa-pG(0,-2L.),

32

则sin(a-p)^Vl-cos2(a-p)

o

所以cosp=cos[a-(a-p)]=cosacos(a-p)+sinasin(a-p)

息近江逅二旭

3X3F*39

故答案为：EW.

9

【点评】本题考查了两角和与差的三角函数的公式的应用，涉及到角的配凑，考查了学生的运算能力，属

于基础题.

18.化简：sin(0+105°)cos(0-15°)-cos(0+105°)sin(0-15")=近.

-2一

【分析】直接利用三角函数的关系式的变换，和角的正弦公式的应用求出结果.

【解答】化简：sin(0+105°)cos(6-15°)-cos(0+105°)sin(0-15°)=sin(9+105°-0+15°)

=sinI20。=2^3..

2

故答案为：近.

2

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，和角的正弦公式的应用，主要考查学生的运算

能力和数学思维能力，属于基础题.

19.函数y=sinxcos(x一微的最小正周期T=n.

【分析】先利用差角的余弦公式展开，再利用差角的正弦公式化简，可得y号卷sin(2x令)，故可

求函数的周期.

(■ysin2x--^*cos2x)

2兀

=7T

故答案为ir

【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的恒等变形.把函数y的解析式利用三角函数

的恒等变形化为一个角的正弦函数是解本题的关键.

20.sin1050=迎+近.

—4―

【分析】利用105°=90°+15°,15°=45°-30°化简三角函数使之成为特殊角的三角函数，然后利用

两角和与差的正弦余弦公式进行求解.

【解答】解：sin105°=sin(90°+15°)=cos!5°=cos(45°-30°)

=cos45°cos30°+sin45°sin30°

=V6-K/2

故答案为：逅近.

4

【点评】本题考查三角函数的诱导公式，是基础题.

21.《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图(如图)是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成

一个大的正方形，若图中直角三角形的两锐角分别为a,p,且小正方形与大正方形的面积之比为I：25,

则cos(a-p)的值为2生.

-25一

【分析】设大正方形边长为5,则小正方形边长为1,依题意a,pG(0,―),a+0=2L,可求得sina、

22

sin6cosa、cos0的值，再利用两角差的余弦可求得cos(a-p)的值.

【解答】解：小正方形与大正方形的面积之比为1：25,不妨设大正方形边长为5,则小正方形边长为1,

贝ij5cosa=5sina+l①，

又sin2a+cos2(x=l②，a,06(0,—1_),

2

・「水“_・

•・sSiinnaa—-—3,COSQ——4；

55

又5cosa=5sin0②，

又a,pG(0,―),a+p=_,

22

/.cosp=sina=—,sin0=cosa=±

24

cos(a-p)=cosacosp+sinasinp=-^-±.,

25

故答案为：24.

25

【点评】本题考查两角和与差的三角函数，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题.

22.(理科)已知tan(a+-^-)=工，贝Ulana=-A.

42—3-

【分析】由已知tan(a+匹)=工=包山上，解方程求得tana的值.

421-tanCC

【解答】解：由己知tan(a+2L)-l=tanQ+1,解得tana=-1，

421-tanCl3

故答案为

3

【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题.

23.在八转。中，已知sirt4sin8sin(C-0)=入si/C,其中tan8=—8若一--+---+---

22tanAtanBtanC

为定值，则实数入=1.

—10―

【分析】由tanB=/"(()<9可求sin。，cos。，然后由siMsinBsin(C-0)=Asin2C,结合两角

差的正弦公式可求sinAsinB,然后进行化简」结合其特点及为定值可求人.

tanAtanBtanC

【解答】解：由tan8=工(0<8〈三)，可得，疝3=近_,cosO=2Z£

2255

VsinAsinBsin(C-0)=Asir^C,

sinAsinBsinC-Y^sinAsin3cosc=入$出2。,

55

______入sin2c娓入

sinAsinB=sin2c

2V5._V5~~~2sinC-cosC

-z-smC-rr-cosC

bb

••112_cosAcosB2cosC

•----+-----+----—----4-;---+~;----

tanAtanBtanCsinAsinBsinC

sinC(2sinC-cosC).

V5入sin2csinC

2sinC-cosC+2V5cosC

入sinC

2+啤人-1•空我为定值,

入V5入sinC

.2V5X-l

则实数X=JL

10

故答案为：近.

10

【点评】本题主要考查了同角基本关系，两角差的正弦公式等公式的综合应用，考查了学生的逻辑思维与

运算能力的综合应用.

24.在数学解题中，常会碰到形如“41”的结构，这时可类比正切的和角公式.如：设小匕是非零实

1-xy

.71兀

asin-^+bcos-^-

数，且满足--------------1=tan",则t=_我_.

,.Ji15a

acos'rr-bsi

3o

兀b

tail.十-

【分析】先把已知条件转化为tan"=,「;=tan(2L+0).利用正切函数的周期性求出生,

151争a653

即可求得结论.

7T

ta唁4T

【解答】解：因为tan空--------7T-=tan且tan0=A

15b兀a

.♦.——兀+,n0-=AJnr+1—8——兀

515

/.0=Znr4--2L.tan。=tan(加+_ZL)=^3.

33

a

故答案为：V3.

【点评】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查.

25.已知sin(-^~+8)=曰，sin6)=_—,

【分析】利用诱导公式即可得出.

【解答】解：:sin(-^-+0)二日一,

'sin(r?~-8)=sin［兀-d-+8)］=sin+8)=

6662零一

故答案为返.

2

【点评】熟练掌握诱导公式是解题的关键.

26.已知sina+sinBcosCl+cosP则cos(a-0)=——,

【分析】利用平方求sind+sinB」，cosa+cosB」的值，然后求和，化简出cos(a-0),求解即

23

可.

【解答】解：因为sinJ+sinBcosCl+cosP

乙o

所以cos1+2cosacosB+cos2B=_l_；sin2a+2sinasinp+sin2p=A；

94

所以2+2cosacosP+2sinasin|3=-12.

36

2cos(a-B)=--^5.

36

cos(a-B)=

72

故答案为：JI.

72

【点评】本题考查两角和与差的余弦函数，同角三角函数基本关系的运用，考查计算能力，是基础题.

四.解答题(共8小题)

27.已知a是第三象限的角且tana=3.

(1)求6sina+cosa的值;

3sina-2cosa

(2)求cos(atan(a4^-)的值•

【分析】(1)利用“同除余弦可化切的思想”，即可得解；

(2)由同角三角函数的关系求得cosa和sina的值，再结合两角和的正弦公式求解.

【解答］解,(1)6sina+cosa=6tana+1=6X3+1=19

一'3sinCl-2cosCl3tanCt-23X3-2V

(2)因为a是第三象限的角，且tana=3,所以cosa=-Y出，sina=-百口R

_1010

所以cos(atan(a-k-^-)=sin(a+-^-)=~^~(sina+cosa)

=&r-3V10_V10=.2V5

210105

【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式是解题的关键,

考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

28.己知a£(-T-,兀)，BC(-T-，兀)，sina=告cos(a+B)=--

22blo

(1)求cosa和sin(a+p)的值;

(2)求sinp的值.

【分析】(1)由已知结合同角平方关系即可求解；

(2)结合两角差的正弦公式即可求解.

【解答】解：⑴因为atg,兀)，8€兀)，sinaj,cos(a+B)=」|

22513

所以cosa=--,sin(a+B)=-

513

(2)sin[3=sin[(a+|3)-a]=sin(a+P)cosa-sinacos(a+0)=-x(―X(—

13~551365

【点评】本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题.

_8

VSsinQ.+cosa=^—

29.设aE(0,工)，6£二，二)，且a，B满足＜3•

362sinB+V3cosP=V2

(1)求COS(a"k■卷)的值;

(2)求cos(a+p)的值.

【分析】(1)利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值求出sin(a+三)的值，由a的范围

6

求出a+三的范围，利用同角三角函数间的基本关系化简即可求出cos(a+2L)的值；

66

(2)利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出sin(p+2L)的值，由B的范围求

3

出0+三的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos(P+2L)的值，将所求式子利用诱导公式sin

33

(2L+0)=cose变形，其中的角三+a+G变形为(a+工)+(P+2L),利用两角和与差的正弦函数公式

2263

化简后，将各自的值代入即可求出值.

【解答】解：(1)I,由题意可得5j§sina+5cosa=8,

/.10(^^-sina+-lcosa)=8,即sin(a+-2I_)=A,

2265

••—z八TT、・兀z7T7Tx

・aW(0,—),•♦a+"G(-,—)t

3662

(2),由题意可得J^sin0+J^cosB=2,

/.2A/2(Asinp+^l-cosp)—2,即sin(0+3_)=2^_,

2232

vpe(―,2L),.•邛+2屋(2L,12L),

62326

COS(p+-^—)=-

32

/.cos(a+p)=sinl—1-+(a+p)]=sin[(a+—1-)+(P+---)J

263

=sin(a+-ZL)cos(R+-1_)+cos(a+^—)sin(R+2I_)

6363

=Ax(-2^2.)+3x2^.

5252

=一亚

10

【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式,

灵活变换角度是解本题的关键，同时注意角度的范围.本题中灵活运用角的变换的技巧达到了用已知表示

未知，在求值题中，这是一个重要的经验！

30.已知函数f(x)=«sinx，g(x)=2sin2-1-

(1)若a是第一象限角，且f(a)者g，求g(a)的值；

(2)求使=g(x)成立的x的取值集合.

【分析】(1)由已知可求sina,然后结合同角平方关系求出cosa,代入所求式子后利用二倍角公式进行变

形可求；

(2)由已知代入后结合辅助角公式进行化简，然后结合特殊角的三角函数值可求.

【解答】解：(1)因为f(a)普巨=Esina,

5

所以sina=—,

5

因为a是第一象限角，

所以cosa=A,

5

所以g(a)=2sin2-5_=l-cosa=A；

25

(2)因为f(x)=g(x),

所以遍sinx=2sir?三=1-cosx,

2

所以2sin(x+-2L)=1,即sin(x+?L)=—f

662

所以x+_ZL=2L+2k兀或了+工=^^+2日，kEZ,

6666

所以x=2日或X=^2L+2E,Jtez,

3

故X的取值集合为{小=2Kt或x=Zn+2hr,Q}.

3

【点评】本题主要考查了同角平方关系，二倍角公式及辅助角公式的应用，属于中档题.

31.已知函数f(x)=sin2x-J§cos2x，xeR.

(1)求/(x)的单调递增区间；

(2)若h(x)=f(x+t)的图像关于点(工，0)对称，且(0,—))求f的值；

32

(3)不等式/(x)-刑<3对任意的吁，寺)恒成立，求实数机的取值范围.

【分析】(1)由两角差的正弦公式和正弦函数的单调性，可得所求增区间；

(2)由正弦函数的对称中心，解方程可得所求，的值;

(3)由正弦函数的图像和性质，求得f(x)在x£[千，上的最值，再由绝对值不等式的解法和不

等式恒成立思想，可得所求取值范围.

【解答】解：(1)函数f(x)=sin2x-Ecos2x=2sin(2x-—),

3

由2kn-—^2x-—^2lai+—,解得lai-2LWxW*n+且L,髭Z,

2321212

则/(X)的单调递增区间为伙n-雪，m+*J，依Z；

(2)h(x)=f(x+z)=2sin(2x+2/-A),

由/?(x)的图像关于点告，0)对称，可得2sin(2JL+2/-A)=0,

即2/+三=而，kez,解得/=©L--,kez,

326

由于tc(0,5),可取氏=1,可得尸与_；

(zQ3\)由U-./「——TT,——兀]r,可TTT[得旦2ox-——兀uG[r——兀，—2—兀1J,

亡L42」363

则sin(2x--)GlX1J,f(x)的最小值为1,最大值为2,

32

不等式/(X)-网<3对任意的x£吁，恒成立，

等价为/(x)-3<m<f(x)+3对任意的x€[-y,今]恒成立,

因为f(x)-3的最大值为2-3=-1,/(x)+3的最小值为1+3=4,

则-1＜机＜4,可得相的取值范围是(-1,4).

【点评】本题考查三角函数的单调性和对称性和最值，考查转化思想和运算能力，属于中档题.

32.已知函数f(x)=sin4x+2\/3sinxcosx-cos4x-

(1)求函数/(x)的最小正周期和单调减区间；

(2)求函数/(x)的对称轴和对称中心；

(3)求函数/(x)在[0,上的值域.

【分析】(1)由题意，利用三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，得出结论.

(2)由题意，利用正弦函数的图象的对称性，得出结论.

(3)由题意，利用正弦函数的定义域和值域，得出结论.

42222

【解答】解：⑴二,函数ffQri4Y+入巧nYrnc：Y-cnc：¥~(sinx+cosx)(sinx-cosx)+MsinZr

=-cos2x+V^sin2x=2sin(2x--2I_),

6

故函数/(x)的最小正周期为

2

令2E+2Lw2r-2LW2E+32L,kel,求得hr+2LwxWE+旦三，kez,

26236

函数的单调减区间为[E+三，kn+^2L],kWZ.

36

(2)对于/(x)=2sin(2x--L.),令2x-二-二e+3-,求得x=Xn.+_ZL,keZ,

66223

可得函数的图象的对称轴方程为x=©L+三，在Z.

23

令2X-2L=E,求得X=A2L+2L,kez,

6212

可得函数的图象的对称中心为(©L+三，0),k€Z.

212

(3)在「0,—1±,2x--e[--2L,^2L],sin(2X+2L)e[-A,1],/(x)e[-1,2],

L2」66662

即函数/(x)在[0,子]上的值域为[-1,2].

【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，定义域和值域，以及正弦函数的图象

的对称性，属于中档题.

33.已知sinCL0,£兀)，tan(兀-B)]，求：

(1)tana和tanp的值；

(2)tan(a-20)的值.

【分析】(1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosa,tana的值，利用诱导公式可求tan0的值.

(2)利用两角和的正切函数公式可求tan20的值，进而根据两角差的正切函数公式即可计算得解.

【解答】解：(1)•.•siria=W，a6(―»兀)，

52

，cosa=-71-sin2a=-去

b

・，・tana=sina=_3_t

cosa4

tan(兀-B)+

••一tan0=,

2

tanB=---

R2X(1)

(2)Vtan2p=2tanP_=-----^―=-A,

1-tan2B1-(—)23

v2

一)-，)

；.tan(a-20)=tana：tan26=—三——=J_

1+tanCltan2Bi+(W)24

【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，两角和的正切函数公式，两角差的正切函

数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

34.已知函数/(x)=25/3sinxcosx+2sin2jc-1

(1)求函数/(X)的最小正周期；

(2)若[o,Ap求函数/(X)的值域；

【分析】(1)推导出函数/(x)=2sin(2x-A),由此能求出函数/(x)的最小正周期.

(2)由xG「0,—L得级-三日-二，旦L],当2x-匹=-2L时，/(x)mi，产-1，当2x-』l=

52」666666

工时，/(X)”g=2.由此能求出函数『CO的值域.

2

【解答】解:⑴.函数/(x)=2<^sinxcosx+2sin2E-1

=V3sin2x-cos2x

TT

=2sin(2x-—),

6

・・・函数/(x)的最小正周期T="=n.

2

(2)[0,等]'.・.2G%-——兀Gu「[--兀--,—5——兀]1,

666

...当2x-匹=-三时，f(x)，"加=-1,

66

当lx-21=匹时，f(X)max=2.

62

二函数/（x）的值域为[-1,2].

【点评】本题考查函数的最小正周期、值域的求法，考查二倍角公式、三角函数性质等基础知识，考查运

算求解能力，是中档题.

【能力提升】

填空题（共5小题）

1.（2022春•浦东新区校级期中）在△ABC中，若cosB=春"，则（tan2A-3）sin2c的最小值为_4\历

【分析】由已知结合同角基本关系，二倍角公式进行化简，然后结合基本不等式即可求解.

【解答】解：因为c°sB=坐，所以8=45°,

则(tan2A-3)sin2C=(tan2A-3)sin[2n-2(A+B)]=-(tan2A-3)sin(2A+2JL.)=-

2

l-cos2A…l+cos2A

sin%-3cos2A_^-3X—「

xz•cos2A=2(l+2cos2A)・cos2A①,

------------2---------Xcos2A~■l+cos2A

cosAl+cos2A

2

令/=l+cos2A,

因为AC(0,2IL),所以/€(0,2),

4

①=2*挈<七L)1」上11=2⑵2-3t+l)=4I+JLX2-6>2J4t・2•6=4&-6,当且仅当4『工

tttVtt

X2,即[=亚时取等号.

2

故答案为：472-6.

【点评】本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式在三角化简中的应用，还考查了利用基本不等式求解

最值，属于中档题.

2.（202