不定积分的计算方法及其应用初稿

摘要

不定积分的相关内容在数学分析中占有着重要的地位，属于基础内容，同时

也是处理一些具体应用的重要途径。我们知道，微分是已知一函数，求这一函

数的导函数，而积分是已知一函数的导函数，求这一函数，两者为互逆运算。积

分的研究相对于微分来说要更复杂，是学习中的难点。而掌握不定积分的计算方

法则是积分学习的基础，为今后的学习提供了很大的帮助。

在计算不定积分的过程中，需要根据具体的题目，采用不同的方法进行计算,

一题多解的情况也时有发生。本篇中重点介绍了不定积分的直接积分法（即公式

法），第一换元积分法（即凑微分法），第二换元积分法（即三角代换以及无理

根式的代换）以及分部积分法四种主要求解不定积分的方法。此外还介绍了第二

换元积分法和分部积分法结合使用，使用VATLAB等儿种特殊的求解不定积分的方

法。同时，举例说明了不定积分在几何中，物理中以及生活中的实际应用。

关键词：不定积分计算方法应用

Abstract

Therelatedcontentofindefiniteintegraloccupiesanimportantpositionin

mathematicalanalysis,whichbelongstothebasiccontentandisalsoanimportant

waytodealwithsomespecificapplications.Asweknow,differentiationisaknown

function,andthederivativefunctionofthisfiinctionisobtained,whileintegrationisa

derivativefunctionofaknownfunction.Findingthisfiinctionisareciprocal

operation.!hestudyofintegralismorecomplicatedthanthatofdifferential,whichis

adifficultpointinlearning.Thecalculationmethodofindefiniteintegralisthebasis

ofintegrallearning,whichprovidesgreathelpfbrfiiturcstudy.

Intheprocessofcalculatingindefiniteintegral,itisnecessarytochoosedifferent

methodstocalculateaccordingtospecificproblems,andthesituationofmultiple

solutionstooneproblemalsohappensfromtimetotimc.Tliispapermainlyexpounds

thedirectintegrationmethod(formulamethod),thefirstsubstitutionintegration

method(gatherdifferentiationmethod),thesecondsubstitutionintegrationmethod

(trianglesubstitutionandunreasonablerootsubstitution)andintegrationbyparts's

fourmainmethodsfbrsolvingindefiniteintegral.Inaddition,italsointroducesseveral

specialmethodstosolveindefiniteintegrals,suchasthesecondsubstitutionintegral

methodcombinedwithintegrationbypartsandMATLAB.Atthesametime,

examplesaregivenofthepracticalapplicationofindefiniteintegralsingeometry,

physics,andlife.

KeyWords:IndefiniteintegralCalculationmethodApplication

1绪论

1.1选题背景和研究意义

不定积分一直是高等数学里面的重点和难点，在课堂教学过程中，教师教学

不好把握，大多数学生在学习的时候有困难，并且不定积分在考研试题经常涉及

到;此外，不定积分这部分内容在求极限,求导数,求最值，证明积分等式与不等式、

求解函数方程、求塞级数的和函数、确定全微分等方面具有重要的作用.透彻理

解积分上限的定义,准确掌握相关的性质，是解决不定积分问题的关键所在.所以,

研究不定积分的性质和应用，能够帮助教师更好的教学，也能够帮助学生更好理

解积分上限这部分知识，同时对于想要升学的学生也有很大的帮助.通过不断研

究,能够为解决实际的积分上限问题提供了更多地方法，优化了解题途径,提高知

识应用能力.

1.2研究现状

不定积分是一类特殊的定积分,深入了解不定积分性质和应用，有助于解决

微积分问题.许多学者也一直研究有关不定积分的相关问题.毕迎鑫，陈华平，杨

应明(2018)发表高等数学中不定积分及其导数在教学中的策略，针对不定积分及

其导数进行深入推广.宋传静(2019)在高等数学教学中变限积分函数求导公式的

应用中结合多个版本的《高等数学》教材,针对多个变限积分的求导公式,指出求

导公式的合理性.杨天明，唐孝法(2011)根据不定积分的结论,对积分上限性质的

进行进一步推广,并介绍不定积分的应用.吕端良，王云丽(2016)对不定积分在一

定条件下是可导函数,奇偶函数,周期函数，凸函数作出证明.邱香兰(2016)从定

义出发,探讨积分上限的性质，指出被积函数在闭区间上连续，当积分上限趋于积

分下限时时,不定积分为无穷小量,并给出积分上限的相关应用.杨磊(2018)分析

了使用洛必达法则去求解变限积分问题时的适用条件.场芮(2020)指出将一元含

参量变上限积分看作是一类特殊的一元诱导函数，可以对积分限和被积函数做相

应的等价无穷小替换,在满足等价无穷小的替换要求下，替换前的一元含参变量

积分与替换后的一元含参变量积分等价，使得复杂计算%化为简单计算.姜翠美，

姜英,王海霞(2013)针对变限积分的求导，指出通过积分限变量和积分变量之间

的关系进行分类，再采用求导公式,分离变量法，换元法进行求导.陈庆，华梦霞

（2018）针对不定积分的被积函数在不连续点处的导数关系进行了探讨，结合间断

点的分类,指出当某点为第一类间断点时,它的可导性是确定的，当某点属于第二

类间断点时,它的可导性是不明确的，比第一类间断点复杂.

1.3研究方法和研究内容

在研究不定积分的过程中，主要采用了文献研究法和归纳法.运用文献分析

方法根据不定积分的定义，性质以及运用，通过杳阅期刊,论文，著作去搜集,提取

整理有关不定积分的相关文献,然后进行分析、整理,从而全面准确的理解掌握有

关不定积分的基本知识,为论文书写做知识储备.归纳法是通过对各文献的学习

研究，归纳目前所研究出的积分上限的基本性质和推导过程，并对应用积分上限

求解的典型例题做简单整理.

本文主要介绍不定积分的定义，性质及应用.全文的内容安排结构如下：笫一

部分是绪论部分,介绍不定积分的选题背景、研究意义,对积分上限的研究现状给

出说明，简述的本文的研究方法和主要内容.第二部分介绍不定积分的定义及其

几何意义，着重介绍了性质并对其性质进行证明.第三部分重点归纳了不定积分

的应用，列举五类常见题型，并给出相应的例题.

2不定积分的定义与性质

2.1不定积分的定义

定义1：设，在【a,b】上可积，对任何*七［4句，在【a,x】上也可积，于

是有

似K）=1re\a,b}（］）

从而定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称函数IK*）为变上限积分,

变上限积分又称为不定积分.

类似地定义变下限积分：

或称“口）=17"时为积分下限函数。

变上限积分函数和变下限积分函数统称为变限积分函数。

2

由于不定积分是一类特殊的定积分,有着定积分的重要性质，可得

因此，不定积分与积分下限函数之间密切相关。所以，在研究变限积分函数时

只需研究不定积分即可。

2.2不定积分的几何意义

定积分是特殊的求和的极限，定积分的几何意义是表示曲边梯形的面积，从

而类比定积分的几何意义，可以推出不定积分的几何意义。

不定积分的几何意义：(。式表示由曲线y=/e动MI在区间【ax比腑刈

围成的曲边梯形的面积.也就是当给定的值时,就确定了曲边梯形的面积为.

S=［/(/.

如图阴影所示：

A

图1积上限函数的几何意义

2.3不定积分的性质

23.1连续性

性质1：设，在【a,b】上可积，任意的*向，则3(x)二］/(人”在

［a,b］上连续。

证明：因为Vxo4o>］,有与+Arw［o.何，

所以有A仙r)=<t>(r„+Ar)<D(%)

,♦♦aft

又因为，在［a,b］上可积，所以f在［a,b］上有界，即设“>0时,

3

仃fSSMte[a,b]0

即，Vr>0

他(叫)而玳。(明我皿Mdt\=MAx\^M\x<£

得H<^

令b=£,即任给£>o,存在b=£>o,

"M

当时Ax<S,|A4>(x)|=|A0(x)-0|<.

即kmA<t>-=0.

所以<D(x)=J：/“时在切上连续.

由X.的任意性，

(tHx)=J7(/k/r在【a,b】上连续.

2.3.2可导性

性质2:设/在【a,b】上连续，任意的xe[a>]则有在【a,b】上

处处可导，且

5(幻=工[/(/■=/(幻，xG[a^)•

证明：由导窝戒的定义可得，

,♦♦a

I桢..6外.J7/V〉dl

tin—■lun----------------=ImLi_________LL______

a死Ac”1Ar坐IAr

因为/在【a,b】上连续，任意的工W[a,6],有[x.K+Ax]u[a,川，根据积分

第一中值定理可得，则至少存在一点；w[x,x$&H，

即可得一工「皿人n,城二回

4

又由于连续gX的任意性，

可知limJ，/(吃

afArAr:Xfc)=/w

即证=xe[ayb]

由x在【a,b】的任意性,证得,C为常数，是函数/在区间[a,b】上的原函数.

该性质被称为原函数存在定理或微积分学基本定理.该定理把定积分和导数

连续起来，架起了导数利定积分之间的桥梁，同时证明了连续函数必有原函数这

一基本结论,具有重要的作用，因此被誉为微积分学基本定理⑴.

注:不定积分求导公式⑶的其他推导有：

推论1：4广=.

dxJt,

推论2：.〕：：t(t)dl=f(h(x))h\x)

2.3.3奇偶性

性质3：(1)设/(*)为奇函数，则中(外"是偶函数；

⑵设穴0为偶函|数,则中小〃是奇函数.

证明：⑴若/(*)为奇函数,则由奇函数的定义可知

似一幻=£/"w1城=J；/(-“w(-/(-“))疝

二曲y(力

即证＜Kx)为偶函数.

⑵同理可知，若/㈤为偶函数，则由偶函数的定义可知,/(7)=/(.().

即证小(X)为奇函数.

2.3.4周期性

5

性质4：设/在（-»,回）内是以周期pH。为周期的连续周期函数，

且［/"仙=0,则0（.（）］/（小。也是以P为周期的周期函数.

证明：己知中（K）-1/（小力，任意的根据定积分的性质，

可得中（月/〃…，］，“.=6刀）+［"/”其〃，

其中『'/（，.=1/"辿+£7"城+「'/"城,

又因为，是以周期为pi。的周期函数，

所以

+

可得（Mx+〃）=Wx）+J：/（，kZf+J：f（/W/£/（WMM=<t<x）.

即证任意的xeS*）存在时P♦0,使得（以刀+p）=.

所以<:>"）=（；/⑺力是以P为周期的周期函数.

2.3.5凹凸性

性质5：⑴设函数f在区间［a,b】上为单调递增函数,则任取c£【a,b】，

有<!>"）=［/“.为凸函数2

（2）设函数f在区间［a,b】上为单调递减函数，则任取c£【a,b］，有

索⑶）二］/⑺力为凹函数.

证明：（1）因为f在区间［a,b】上为单调递增，则，在区间【a,b】可积，故

积分有意义.

设任意的天冬&有gj-飒M）=_!_『“仙./（马）.

由积分中值定理可知，在［右巧］上至少存在一点《，

使得一一「/（工收=/（，，由已知得/（&）2/（口

故—之^「3二皿三2

x4-工2

2-X,Xj-X2

6

所以中3）=［八小〃为凸函数.

（2）同理可得,因为，在区间［a,b】上为单调递减,则/在区间【a,b】可积，

故积分有意义。

设任意的巧*55有6―）一则-―—「/（»人之/0分

由枳分中值定埋可知，在［弓/］上至少后在二点4,

使得—!—fr7（xMr=A0，由已知得/5）2/但）・

故也止啊八，『/（小二啊止啊］

Xy-XjXj-x2x,-x,

所以中（X）二］/为凹函数.

2.3.6无穷小量性质

性质6:⑹设f在闭区间［a,b］上连续，当xw［a,6］旦xTa时，则不定积

分。（幻=£’/（戊妩穷小量.

证明：因为函数f在闭区【a,b】间上连续，则由积分中值定理可知，在闭

区间【a,b】上至少存在一,点€＞。［❷耳，

伸得„

又因为闭区间上连续函数的性质可知，函数f在闭区间【a,b】上有界，即/©

在闭区间也引:有界.故re［a,b］当且xTa时/（贝-。）为无穷小量.

即证得中（］）=「/（小〃不定积分为无穷小量.

3不定积分的相关应用

3.1利用不定积分求解原函数问题

根据积分上限的定义和本文性质2原函数存在定理可以知道，若函数在

［a,b］上连续，那么/㈤在区间［a,b］上必定存在原函数Q力，

产（幻」/（四就是函数,㈤的其中的-个原函数.

依据上述性质和定理，可以求/（*）出的原函数为AD二［“小力+C.这一定理

7

可以用来求解分段函数的原函数⑺.

当被积函数是分段函数，由多个表达式构成时，在求解原函数问题时要注意

积分上限的取值和积分变量的取值范围.止匕外,利用不定积分求解原函数问题也

可以应用在概率论中已知概率密度函数去求解分布函数.

例1已知0,^o<x<0,试求分段函数/(*)的原函数.

/(x)=^x,0<2.

l,2<

解:设分段函数/㈤的原函数为"(力/F)=1/(人力.

⑴当时-4D<X<0，］f(t)dt-j0力二0；

⑵当时0v*42，「/(/WLf/QV-J；/".二

(3)当时2<“44®J♦『八MJ：

综上所述/1v)=­-x\0<x<X»

4

x-1,2<xxx».

3.2利用不定积分求解极限问题

3.2.1使用洛必达法则求解极限

求解极限问题是数学分析中常见的一类题型，求解极限的方法有很多，常用

到的有代入法,最高次基法，夹逼准则，使用洛必达法则，使用重要极限等方法.

在求解含有不定积分的极限时，通常是采用洛必达法则，其中洛必达法则的主要

形式有型导口型。下面将主要介绍采用洛必达法则求解含有不定积分的极

限问题.

例2.求解网的极限.

8

分析：原式中含有变限积分函数，首先考虑使用洛必达法则求解.当:TO时

jcosr</r->0此时极限类型为g型，因而可以使用洛必达法则进行求解.

»••

[ccsrdt[cosCdt,

解：原式=1吧.」=|淅父=|,

…XIXII

3.2.2做等价无穷小替换后求解极限

除去洛必达法则是求积分上限的常用方法外，在遇到比较复杂的一元含参量

变上限积分情况下，可以考虑使用等价无穷小做替换,将较复杂问题简单化,方便

求解.通过对被积函数,积分上下限做替换，替换前后的一元含参量上限积分等价,

通过做等价无穷小替换后,方便计算.

注意在使用等价无穷小替换时，要注意进行整体替换,不要分开替换.在整个

式子中，乘除法运算中乘除因子都可以做等价无穷小替换，而其中部分式子中的

乘除因子也不可以用等价无穷小替换;而在加减法运算中不能使用等价无穷小替

换.因而,在做等价无数、替换求极限时要注意替换的条件.

例3求|加____止_____L_______的极限.

分析:根据资料可知，式子中含有一元含参量变上限积分若使用洛必达法则

将比较复杂，考虑通过等价无穷下对积分限和被积函数做替换.通过观察可知，

当xT°时，以下式子等价,|,ccysx^lx2,tanxT，

一9

h(l+x)-x，

x[tan(x/)2J/，•-xr(.n)，力

解：原式=lim——■…-------------=hm/"—:―

3.3利用不定积分求导问题

9

求导在变限积分中很重要，是学习的重点和难点，下面通过将积分限变限与

积分变量进行分类，介绍分类后的变限积分问题的求导.

3.3.1类型一

当被积函数仅为积分变量函数，且积分限的变量与积分变量无关时.在求解

此类问题时根据变限积分的求导公式性质直接求导即可.

例4求解「、求2+憾的导数.

J<l

分析：1％(2+。力的导数可以表示为、通过观察可知，积

分变量为t,积分限变量为x,因而积分变量与积X限变量无关,则直接使用求导性

质.«—LIN2+/”/

解：原式=(2K+l)ln(2+x).

3.3.2类型二

当被积函数为积分限变量与积分变量构成时，并且积分限变量与积分变量可

以进行分离，则采用分离变量法,将积分限变量与积分变量进行分离后再根据求

导原则进行求导.

例5.设/为连续可微函数，试求，并4「(犬-小皿力.

dxJadxJu

分析:通过观察分析,根据定积分的性质曲一

g的自变量是X,其积分变量是t,积分限变量是：《,所以被积函数中的4口)

对于不定积分来说是一个常数，可以把常数X提到积分号外面，

解:[](“-。”如却沏加加叶热力/砌-和:八"

fV)dtxf\x)-xf\x)

=[/皿

求解项已知(-cosf)'=sin/,

10

则:J0(V-Osin/J/=j^anAft=-COSX-(-COSO)=1-cosx

3.3.3类型三

当被积函数为积分变量和积分限变量构成，并且不可以进行分离时，可以考

虑换元法,进行换元,使得积分变量与积分限变量可以进行变量分离，再使用求导

法则.

例6求导数:Jtcos(xf)Jf.

分析：被积函数/cos(r-/)中不但含有积分变量t而且含有积分限变量X,所

以无法将积分变量与积分限变量分离开来,此时采用换元法,然后再求导.

解：令*=XT,得,力一，K一〃)=-du；

—flcos(x-t)dl(x-〃)cos(〃W(一〃)

dr儿dxL

(Jfl

--I(x-W)CO!»<WMM

d#

=“cos”血］

一［fuctxmdu

=如:xcosudu

nxrnthi=sin〃|：=sinx

在例6中需要注意在使用换元法做恒等替换时要注意连同积分限一起做替换,

切不可忽略，替换前后的式子等价，因而计算时只需计算替换后的即可.

3.4利用不定积分求解最值问题

在求解含有不定积分的最值求解问题中，先要观察分析,最值可能出现的情

况,再利用积分函数的性质进行分析求解.

例7.求证产(力，ewZ，在60上取得的最大值为.

分析：先求出了(劝的导数，分析函数在区间［0.MD)上的单调性质，根

据单调性质求出最大值点.

证明：/'(A)=(x-Y)sin(x产，当时，令八*)=0,

即y(x)=(x-r)sin(x)2*=0

11

解得x=l或x=kn(k=l.2.3.....)

所以，当OWxWl时，有/㈤,>0;当xel时，有/(*)'<0;

因此任意的*20,都有f(I)Z/(©,*=1时就是函数的最大值.

y(l)=£(/-/2XsinO2*<*=J'(r**,-12^2)^

(产・，产丫__j______1_

12〃♦22/14-3，2〃+22/»+3

1

(2〃+2X2"3)

即证得/（A）=[〃T，sirw产山.wZ4，在*N0上取得的最大值为

(2m+2R2m+3)

3.5利用不定积分证明不等式

证明不等式的方法有很多，在证明有关不定积分的不等式中，考虑使用变限

法和构造辅助函数.将需要证明的不等式转化为不定积分,通过对积分限的替换

后，转变成对不定积分的不等式，从而利用不定积分的性质，进而证明相应不等

式.

例8.证明施瓦茨（Schwarz）不等式:若，（*）和gQ邮」a>]上可积，

分析：采用变限法来构造辅助函数.将不等式中的参数b变成变量，x从而构

成变限积分函数,将原式不等式恒等替换成变限积分不等式，因而利用变限积分

的性质来证明.，

证明:要证明不等式n岳成立，只需证明

优/（皿同】0（幻.门（―近40成立即可

构造辅助函数，

设函数眄幻二。：/”总〃）小）一

Wtx)=2/(x)g(x)J7".仍(劝]或，.+铲

且(〃X)g〃)-g(A)/(/))&0，根据定积分的性质可得

[(/(x)g“)g(x)/"))42。・

又因为加。)=0，所以必力&“。)=0.

即证。：/(五奴(幻4】£广⑴