下册举一反三专题特训专题101分式【十大题型】(原卷版+解析)x苏科版八年级数学

专题10」分式【十大题型】

【苏科版】

【题型I分式的概念辨析】......................................................................1

【题型2分式有意义的条件】....................................................................2

【题型3分式值为零的条件】....................................................................2

【题型4分式的求值】..........................................................................2

【题型5求分式的值为正（负）时未知数的取值范围】.............................................3

【题型6求分式的值为整数时未知数的取值范围】.................................................3

【题型7分式的规律性问题】...................................................................4

【题型8分式的基本性质】......................................................................4

【题型9约分与通分】..........................................................................5

【题型10运用分式的基本性质求值】.............................................................6

“方祥一员三

【知识点1分式的定义】

A

一般地，如果4、方表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子2•叫做分式。

注：A.方都是整式，方中含有字母，旦》片0。

【题型1分式的概念辨析】

【例1】（2022•山东省济南第十二中学八年级阶段练习）在巳工［居警,;，幽中，分式的个数有（）

3X-y32X-12X

A.2个B.3个C.4个D.5个

【变式1-1］（2022•河南洛阳•八年级期中）若工是分式，则□不可以是（）

□

A.3/rB.x+1C.c—3D.2y

【变式1-2］（2022•陕西渭南•八年级期末）对于代数式①：，②:来说，有下列说法，正确的是（）

A.①、②均是分式B.①是分式，②不是分式

C.①不是分式，②是分式D.①、②均不是分式

【变式1-3］（2022•全国•八年级课时练习）下列各有理式，哪些是整式？哪些是分式？

x+lm-3_ba+3b41m-n

嬴F，2一荔,%丁,云等Q+办

整式｛_______

分式｛________

【题型2分式有意义的条件】

【例2】（2022•广西桂林•八年级期中）无论。取何值，下列分式总有意义的是（）

A.——B.——C.——D.

a2+l<z2a2-la+1

【变式2-1］（2022・浙江•八年级开学考试）当％=3时，分式悬没有意义，则〃的值为（）

A.-3B.—C."D.3

22

【变式2-2】（2。22•甘肃・兰州市第五十二中学八年级期末）要使分式缶有意义'那么”的取值范围是（）

A.%工3B.%#：3巨x。-3Jx*0且x#：-3D.%H—3

【变式2-3］（2022•河南•新乡市第一中学九年级期中）写出一个分式，并保证无论字母取何值分式均有意

义.

【题型3分式值为零的条件】

【例3】（2022•广东茂名•八年级期末）若分式的值为零，则

（m-2）（m+3）-------------

【变式3-1］（2022•新疆・乌鲁木齐市第九中学八年级期末）若分式急的值为零，则x的值为

【变式3-2］（2022•江苏无锡•八年级期末）分式詈的值为0,则x、y满足的条件为.

【变式3-3］（2022•山东洵泽•八年级期末）若分式字”的值为0,则x的值为

x2-6x+9-----------

【题型4分式的求值】

【例4】（2022•辽宁大连•八年级期末）已知彳=5=：，则3=

234yz-----

【变式4-1］（2022•山东泰安•八年级期末）已知哼£=竺山=空=处出=血，则血的值

acba

【变式4-2］（2022•山东济南八年级期中）阅读下面的解题过程：已知氏=%求磊的值.

解：由二匚=：知，x00,所以±丑=3,即％+工=3.

算2+13XX

所以^4^=x2+=(X+-}2-2=32-2=7.所以

x2x2\xJx4+l7

该题的解法叫做“倒数法”.

已知:X_1

X2-3X+1-5

请你利用“倒数法〃求金的值.求2/_以+妥的值.

【变式4-3］（2022・福建・九年级专题练习）若2%-丫+42=0,5+3、-22=0.则竽哼写的值为

JJx2+y2+z2-------

【题型5求分式的值为正（负）时未知数的取值范围】

【例5】（2022•全国•八年级专题练习）已知分式詈的值是正数，那么％的取值范围是（）

A.x>0B.x>-4

C.xwOD.x>-4且*0

【变式5-1］（2022•山东•东平县江河国际实验学校八年级阶段练习）使分式鲁的值为负的条件是（）

l-3x

A.x<0B.x>0C.x>-D.xT

33

【变式5・2】（2022•上海民办兰生复旦中学七年级期末）若分式—的值大于零，则x的取值范围是

（X-1）2

【变式5-3］（2022•全国•八年级单元测试）若分式方的值是负数，则工的取值范围是（）.

3X—2

A.|<x<2B.x>：或不<-2

C.-2<x<2且工工？D.三<%<2或％<-2

33

【题型6求分式的值为整数时未知数的取值范围】

【例6】（2022•浙江舟山•七年级期末）若悬表示一个整数，则整数x可取的个数有个.

【变式6-1】（2022•安徽•合肥市第四十五中学七年级阶段练习）若加为整数，则能使吟竽的值也为整数

m2-l

的机是.

【变式6-2］（2022•江苏盐城•七年级阶段练习）已知上=修，则满足k为整数的所有自然数x的值

【变式6-3】（2022•浙江衢州七年级期末）阅读理解：我们知道：当a是c的因数时，沁、,为整数）的

值是整数.例如，当。=±1或±2时，三的值是整数；乂如，因为”=3+勺，所以当m=±l或±5时，—

的值是整数.

⑴如果分式震的值是整数，那么〃的正整数值是

⑵如果分式*的值是提数，那么x的负整数值是

【题型7分式的规律性问题】

[ft7]（2022•湖南・长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级阶段练习）若QW2,则我们把称为

2-a

的“友好数〃，如3的“友好数〃是白=-2,-2的“友好数"是丁夫=已知%=3,即是由的“友好数"，的是

2一（一N）N

的“友好数〃，心是。3的"友好数"，……，依此类推，贝必2021=（）

A.3B.-2D.

【变式7-1]（2022•青海・海东市教育研究室八年级期末）给定一列分式：y,-*弃-输…根据你发

现的规律，试写出第6个分式为..第〃（〃为正整数）个分式为

【变式7-2]（2013•江苏徐州•一模）如果记y=5/=f（x）,并且f（1）表示当x=l时y的值，即f⑴

1+12=：；fG）表示当x=决寸V的值，即f(1)那么f(l)+f(2)+f0)+f(3)4-f(1)+...+f

⑵⑶+f扁)=

【变式7-3](2022•全国•八年级专题练习)已知a>0,S1=-,S2=-Sr-1,53=^,S4=S3-1,S5=g

Cl$2S4

（即当九为大于1的奇数时，Sn=";当〃为大于1的偶数时，Sn=-Sn_1-1）,按此规律,

Sn-i

【知识点2分式的基本性质】

分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

AACAA+C.小

—=-------;—=---------(CWO)o

BBCBB+C

【题型8分式的基本性质】

【例8】（2022•湖南•临武县第六中学八年级阶段练习）下列运算正确的是（）

A-x-y—x-yB.^-=a+b

•-x+yx+y(a-b)2

X-L_1

D.

U-=a-1-X2X+l

【变式8-1]（2022•全国•八年级专题练习）将卷-0.5+0.01X=1的分母化为整数，得（

0.03

.X0.5+0.01%y

A.----------=1B.5一等二1。。

23

-L50+Xy

竺1"竺=]00D.5%-----=1

【变式8-2]（2022•山东荷泽•八年级阶段练习）若把分式号（/k0且/），）中的x和），都扩大为原来的3

倍，那么分式的值（）

A.变为原来的3倍B.变为原来的:C.不变D.变为原来的;

•5x

【变式8-3］（2022•山东•八年级课时练习）不改变分式等瞽三的值，使分子、分母最高次项的系数为正

-5x3+2x-3

数，正确的是（）

.3X2+X+2_3X2-X+2_3X2+X-2_3x2-x-2

A.—；----B.—；-----C.-------D.—；-----

5r3+2r-35.r3+2.r-35x3-2.r+35.r3-2.r-t-3

【题型9约分与通分】

【例9】（2022•全国•九年级专题练习）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（）

A.会约分的结果是二

x2-lX

B.分式六与三的最简公分母是x-1

C.与约分的结果是1

xz

D.化简名-去的结果是1

【变式9-1］（2022•上海市徐汇中学七年级阶段练习）分式告，/，z:.”2的最简公分母是

a2+abab-i-b2a2-ab-2b2

【变式9-2】（2022•山东•宁阳县第十一中学八年级阶段练习）化简下列分式

524

ri}i2xyz

1J-18X3Z7

⑷9-m2

【变式9-3】（2022・全国•八年级课时练习）将下列式子进行通分.

(1)1,和

2ab35a2b2c

(2)心和意

3c知a

(3)痂

(4)力和去

【题型10运用分式的基本性质求值】

【例I。】（2。22・江苏•八年级专题练习）已知三个正数a,b,c满足皿=1,则E+焉+G的

值为（）

A.2B.3C.-1D.1

x-y^xy

【变式I。/】（2022•江苏无锡・八年级期中）已知:;=2,

2xy-3x+3y

【变式02]（2。22•全国•七年级单元测试）已知a、b、c为有理数，且黑=1,检/言号，那么就右

的值是多少？

【变式10-3]（2。22・全国•八年级课时练习）已知a、氏c、d、e、f都为正数，等=（嘤=%等",

abccf-abcdf.abcde_

——=2,-----=4,——=8,则Q?+/++壮2+/+产_

def

专题10.1分式【十大题型】

【苏科版】

【题型1分式的概念辨析】......................................................................1

【题型2分式有意义的条件】....................................................................2

【题型3分式值为零的条件】....................................................................2

【题型4分式的求值】..........................................................................2

【题型5求分式的值为正（负）时未知数的取值范围】............................................3

【题型6求分式的值为整数时未知数的取值范围】.................................................3

【题型7分式的规律性问题】....................................................................4

【题型8分式的基本性质】......................................................................4

【题型9约分与通分1............................................................................................................5

【题型10运用分式的基本性质求值】..............................................................6

”崂A女三

【知识点1分式的定义】

A

一般地，如果X、方表示两个整式，并且方中含有字母，那么式子高叫做分式。

D

注：4、3都是整式，8中含有字母，且3r0。

【题型1分式的概念辨析】

【例1】（2022•山东省济南第十二中学八年级阶段练习）在当3,些中，分式

33ZXINX

的个数有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【分析】根据分式的定义，即可求解.

【详解】解团分式有十,当，军，共3个.

x+y2x-lx

故选：B

【点睛】本题主要考杳了分式的定义，熟练掌握形如3（其中A、B都是整式，且BM）的式

D

子叫做分式是解题的关健.

【变式1-1］（2022•河南洛阳•八年级期中）若5是分式，则□不可以是（）

A.37rB.x+1C.c-3D.2y

【答案】A

【分析】根据分式的定义进行判断即可.

【详解】解：碎是分式,

□

因分母中含字母，

而37r是一个常量，

故选项A不满足.

故选：A.

【点睛】本题考查分式的定义，理解形如3〃中含有字母且ZMO的式了•称为分式是解题关

D

犍.

【变式1-2］（2022•陕西渭南•八年级期末）对于代数式①：，②;来说，有下列说法，正确

的是（）

A.①、②均是分式B.①是分式，②不是分式

C.①不是分式，②是分式D.①、②均不是分式

【答案】B

【分析】根据分式的定义判定即可.

【详解】解：①白是分式，②彳是整式不是分式，

XN

故选：B.

【点睛】本题考查分式的定义，一般地，形如3,A、B为整式，且8中含有字母，叫分式.

D

【变式1-3］（2022•全国•八年级课时练习）下列各有理式，哪此是整式？哪些是分式？

x+lm-3ba+3b41m-n

嬴,丁'2o一懿%丁

整式｛...｝：

分式｛________

▼陕心、a+3bmn、

【答案】—，,~，I;(x/,+y)

O■M

【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字

母则不是分式.

【详解】解：噌，咛，L（x+y）的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式.

547r

三，I,2-A,二+y,-白，江的分母中含有字母，因此是分式.

x+2m5a3-2xx/3y-lx

x+lm-3_b41,22x2

故答案为：?，用—,,z,,­+y»---------,—

54x+2m5a3-24x'3y-lx

【点睛】本题主要考查分式的定义，分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以

不含字母，亦即从形式上看是3的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于

D

零，且只看初始状态，不要化简.

【题型2分式有意义的条件】

【例2】（2022•广西桂林八年级期中）无论〃取何值，下列分式总有意义的是（）

【答案】A

【分析】根据分式的分母不为零，让分式的分母为零列式求。是否存在即可.

【详解】解：A、分母M+故选项正确，符合题意；

B、当s0,分母公为零，故选项错误，不符合题意；

C、当。=±1,分母。2一1为零故选项错误，不符合题意；

D、当分母。+1为零故选项错误，不符合题意.

故选:A.

【点睛】此题考查了分式有意义的条件，解题的关键是找出分母为零的情况.

【变式2-1］（2022・浙江•八年级开学考试）当％=3时，分式R没有意义，则力的值为（）

x+2b

A.-3B.--C.二D.3

22

【答案】B

【分析】先将％=3代入分式£捺，再根据分母等于。时分式没有意义即可得到答案.

X十4。

团分式急没有意义，

3+20

团3+2b=0»

帅=-|，

故选：B.

【点睛】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键.

【变式2-2］（2022•甘肃•兰州市第五十二中学八年级期末）要使分式小J有意义，那么工

X2+6X+9

的取值范围是（）

A.xH3B.xH3且x工一3C.x丰0且工工-3D.x-3

【答案】D

【分析】根据分式杓意义的条件列出关于力的不等式，求解即可.

【详解】解：vx2+6%+90»

Cx+3),0,

二%+3H0,

•••x—3,

分式缶有意义，无的取值范围工工一3,

故诜：D.

【点睛】本题考查了分式有意义的条件：分母不为0,掌握不等式的解法是解题的关键.

【变式2-3]（2022•河南•新乡市第一中学九年级期中）写出一个分式，并保证无论字母取

何值分式均有意义.

【分析】根据分式的分母不等于零，结合分式的概念解答即可.

【详解】①无论字母x取何值，

"+1心

片二是一个分式，并无论字母x取何值分式均有意义，

x2+l

故答案为：47（答案不唯一）.

x2+l

【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的概念，解题的关键利用偶次方的非负性列一

个代数式使分母不等于零.

【题型3分式值为零的条件】

【例3】（2022•广东茂各八年级期末）若分式尸理―；的值为零，则旭=

【答案】-2

【分析】根据分式的值为零的条件（分子为零、分母不为零）可以求出血的值.

【详解】解：根据题意，得

m+2=0,且m—2,0、m+3H0：

解得m=-2；

故答案是：一2.

【点睛】本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分

子为0;②分母不为0.这两个条件缺一不可，熟记分式值为0的条件是解题的关键.

【变式3・1】（2022•新疆乌鲁木齐市第九中学八年级期末）若分式不二的值为零，则x的值

1-X

为.

【答案】x=-l

【分析】根据分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零，即

可得到答案.

【详解】解；根据分式的值为零的条件得：x2-l=0,且1—XH0,

解得：X=-1,

故答案为：x=-1.

【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为

零.

【变式3-2]（2022•江苏无锡・八年级期末）分式1的值为0,则人），满足的条件为.

【答案】x=y且“*-1

【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，即可得出答案.

【详解】解：嗡=0，

(x+1*0

n0U-y=0,

解得％=y且％W-1.

故答案为：x=y且工工一1.

【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是解决本题的关键.

【变式3-3](2022•山东荷泽•八年级期末)若分式黑导的值为0,则x的值为.

【答案】1

【分析】根据分式的值为零的条件列出方程和不等式求解，即可以求出x的值.

【详解】解：团分式字总的值为。，

x2-6x+9

0|x-2|-1=0且F-61+9工0,

解得：x・2=-1或1且户3,

贝2—-1.贝ijx-l

故答案为：1.

【点睛】本题考查分式值为0的条件下，解答本题特别注意分式分母不为。这一条件.

【题型4分式的求值】

【例4】(2022•辽宁大连八年级期末)已知|彳=马=：,则厘=

234yz-----------

【答案】：

O

【分析】设;(二"h则有x=2幺尸3〃，2=4公代人即可求解.

【详解】设;=；=：=%根据题意有，上0,

则有x=2k,产3亿z=4k,

2

，3r|xy-x_(2/c)(3k)-(2k)2_6,2-41_i

'yz~~(3k)(4k)--12k2-6,

故答案为：j

o

【点睛】本题考查为了分式的求值，设:=:=;=k是解答本题的关键.

【变式4-1】(2022•山东泰安•八年级期末)已知"衿="一=彳吧=处士=m,则m的

值.

【答案】为-1或3

【分析】根据题设知。工0"40,(学0,4工0,得到a+/?+c=‘/〃i,u+b+d=cm,a+c+d=bm,b+c+d=am,

推出3(a+O+c+M=〃7(a+〃+c'+M，得到(a+/?+c+d)(〃卜3)=0,当a+》+c+d=0时，得到a+A+c=-",

a+b+d=~c,a+c+d=-b,b+c^d=-a,推出，〃=-l；当a+/?+c+df0时，推出〃?-3=0,得到〃?=3.

■i«a+b+ca+b+da+c+db+c+d

［详解J01---=---=---=---=m.

团”0,〃工0,C*0,dwO,

a+b+d=cin,a+c+d=bm,b+c+d=am,

03(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，

0(«+/?+c+J)(6-3)=0,

当a+b+c+d=O时，

a+b+c=-d,a+b+d=-c,a+c+d=-b,b+c+d=-th

0/77=-l；

当a+b+c+d^O时，

in-3=0,m=3,

综上，，〃=-l或"7=3.

故答案为：为-1或3.

【点睛】本题主要考查了分式的值，解决问题的关键是熟练掌握分式有意义的条件，等式的

基本性质，分式值的意义及满足条件.

【变式4-2](2022•山东济南•八年级期中)阅读下面的解题过程：已知工7二(求£的

值.

解：由2=二知，所以立1=3,即％+工=3.

x2+l3xx

所以詈=，+爰=(X+9_2=32_2=7.所以高=

该题的解法叫做“倒数法”.

已知：《彳

X2-3X+15

请你利用"倒数法”求;7念的值.求2/-8x+点的值.

【答案】=32x2-8x+4=61

x4+x2+l63x2

【分析】计算所求式子的倒数，再将蜡二代入可得结论；将2/-8%+5进行变形后代入

x4+x2+lX2

即可.

【详解】解：4/口气，且XMO,

X2-3X+15

伫"=6.

X

0x+--3=5,

X

0x+-=8,

X

2

+J+1=(x+l)-1=63,

x2x2\x7

21

a--x——=—

x4+x2+l63

0X+-=8

0x2-8x=-l

2

团2%2—8%+妥=无2+妥+%2-8%=(x+：)-2-1=64-2-1=61

【点睛】本题考查分式的求值问题，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，注意分式

的变形，本题属于基础题型.

【变式4-3](2022•福建•九年级专题练习)若2%-y+4z=0,4x+3y-2z=0.则;

的值为______

【答案】—

6

【分析】先由题意2x-y+4z=0,4x+3y-2z=0,得出用含x的式子分别表示y,z,然后带入要

求的式中，化简便可求出.

【详解】2x-y+4z=。①，4x+3y-2z=0@,

将②x2得：8x+6y-4z=0③.

①+③得:10x+5y=0,

0y=-2x,

将y=-2x代入①中

得:2x-(-2x)+4z=0

0z=-x

将y=-2x,z=-x,代入上式

xy+yz+zx

产+y2+z2

_x(-2x)+(-2x)(-x)+(-x)x

r2+(-2r)2+(-r)2

_-2X2+2X2-XZ

-X2+4X2+X2

故答案为：一；

o

【点睛】本题考杳了分式的化简求值，解题的关键是根据题目，得出用含x的式子表示y,

z.本题较难，要学会灵活化简.

【题型5求分式的值为正(负)时未知数的取值范围】

【例】(•全国•八年级专题练习)己知分式号的值是正数，那么的取值范围是()

52022X2x

A.x>0B.x>-4

C.A*0D.x>-4且*0

【答案】D

【分析】若号X2的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x+4>0,且XH0,因而能

求出X的取值范围.

【详解】解：喈>0，

0x+4>O,XHO,

0x>-4且x#0.

故选：D.

【点睛】本题考查分式值的正负性问题，若对于分式三（bHO）>0时，说明分子分母同号；

b

分式E（bou）<U时，分子分母异号，也考查了解一元一次不等式.

D

【变式5-1】（2022•山东冻平县江河国际实验学校八年级阶段练习）使分式鲁的值为负的

l-3x

条件是（）

A.x<0B.x>0C.x>-D.x<-

33

【答案】c

【分析】分子分母异号即可，而分子恒为正，因此令分母小于0,最终求得不等式的解集.

【详解】0x2+1>0

国若使分式的值为负，则1-3%<0

解得

«5

故答案为

【点睛】本题考查了分式方程的求解，使分式的值为正艮J为分子分母同号，分式的值为负即

为分子分母异号.

【变式5-2]（2022•上海民办兰生复旦中学七年级期末）若分式曲的值大于零，则x的

（X1）

取值范围是_______________

【答案】X>-1

【分析】根据两数相除，同号得正，异号得负，分式的分母不为0解答.

【详解】0（x-I）2>0

而x-l#0

0（x-I）2>0

回分式卢力的值大十零

（x-l）2

0x+l>O

X>-1

故答案为：x>-l

【点睛】本题考查的是分式的值，掌握分式有意义的条件及判定分式值的符号的方法是关键.

【变式5-3]（2022•全国•八年级单元测试）若分式段的值是负数，贝卜的取值范围是（）.

A.<x<2B.x>:或％<—2

C.-2<%<2且xH|D.|Vx<2或x<-2

【答案】D

【分析】根据题意列Hl不等式组，解不等式组则可.

【详解】蛤是负数，

gdx|—2>0,或俨|—2<0,

t3x-2<0(3x-2>0,

0x<-2或；<x<2.

故选D.

【点睛】此题考查分式的值，解题关键在于掌握运算法则

【题型6求分式的值为整数时未知数的取值范围】

【例6】(2022•浙江舟山•七年级期末)若昌表示一个整数，则整数x可取的个数有

个.

【答案】4

【分析】由原式为整数，.r为整数确定出x可取的值个数即可.

【详解】解：*=竽­=1一三为整数，

2x+32x+32X+3

02.V+3为±1,±3,

当2x+3=l,即x=-l时,原式=-2；

当2r+3=-l,即x=-2时，原式=4；

当2x+3=3>即x=0时,原式=0；

当2%+3=-3,即4-3时,原式=2.

取的值可取0,-1,-2,-3.

故答案为：4.

【点睛】本题考查了分式的值，把原式化成1-高是解题的关键.

【变式6-1](2022・安徽•合肥市第四十五中学七年级阶段练习)若m为整数，则能使吟f

的值也为整数的爪是.

【答案】0或-2或-3

【分析】根据平方差公式和完全平方公式进行因式分解，再约分，得出答案即可.

【详解】解：而一累+】=胃-1-等,且血工±1,

m2-l(tn+l)(m-l)m+1m+1

若〃，为整数，1-一，的值也为整数，

m+1

则m+l=±l,m+l=±2,且m工±1,

解得：m=0或m=-2或—3,

故答案为：0或一2或-3.

【点睛】本题考查了分式的值，掌握分式的性质，平方差公式和完全平方公式是解题的关键.

【变式6-2］（2022•江苏盐城•七年级阶段练习）已知k=艺，则满足改为整数的所有自然

数X的值.

【答案】0,1,4.

【分析】将k变形为3缶，据此可得2x-l=±l或7时卜取得整数，解之求得x的值可得答

2x-l

案.

【详解】解：龈=慧GX-3+7_3(2/-1)+7=3+

2X-1-2X-12x-l

团当2x-l=l或2x-l=-l或2x-l=7或2x-l=-7时，k为整数,

解得：x=l,或x=0或x=4或x=・3,

0x为自然数，

0x=O,1或4,

故答案为：0,1,4.

【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，解题的关键是将k变形为3+£,并根据k为整

数得出关于x的方程.

【变式6-3］（2022•浙江衢州•七年级期末）阅读理解:我们知道:当。是c的因数时,£（八

a

c为整数）的值是整数.例如，当。=±1或±2时，2的值是整数；又如，因为乂”=3+三,

amm

所以当m=±l或±5时，金的值是整数.

m

（1）如果分式w的值是整数，那么。的正整数值是_______.

Q+3

（2）如果分式互乎的值是整数，那么”的负整数值是

X-4-----------

【答案】2-3

【分析】（1）将分式变形得丐=1+2，则〃+3=±1或±5,即可求解；

a+3a+3

（2）将分式变形得正二二=我士=%-1，则心4=±1或±7,即可求解.

X-4X-4X-4

【详解】解：⑴嘿=1+左，

乂喘的值是整数，

0t/+3=±l或±5,

M-2或-4或2或-8,

刖的正整数值为2：

⑵=…工，

X-4X-4X-4

又限士F的值是整数，

X-4

0A-4=±1或±7,

ELr=5或3或11或-3,

取的负整数值为-3,

故答案为：（1）2；（2）-3.

【点睛】本题考查使分式值为整数时求未知数值的问题，理解并能应用阅读材料的解题方法

将分式化简是解题的关键.

【题型7分式的规律性问题】

【例7】（2022・湖南・长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级阶段练习）若QH2,则我

们把"称为a的“友好数”,如3的“友好数〃是工=-2,一2的“友好数〃是丁2已知

2-a2-32-（-2）2

%=3,是出的"友好数"，。3是电的“友好数"，心是。3的“友好数"，……，依此类推，则的021=

（）

A.3B.-2C.iD-

【答案】A

【分析】根据题目中的数据，可以写出前几个数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可

写出。2021的值•

【详解】...Q工2,则七称为a的“友好数〃，%=3,

=百万=?

2

二该数列每4个数为一个循环周期，

•••2021+4=505……1,

•4,a2021=3,

故选：A.

【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出

相应的数据.

【变式7-1］（2022•青海•海东市教育研究室八年级期末）给定一列分式：手，-捺,弃

根据你发现的规律，试写出第6个分式为.第“（〃为正整数）个分式为.

132n+l

【答案】一v三（-1）1+1.y

yo、/yn

【分析】根据“分式分子及分母对•应的底数及其指数的数字规律以及符号的规律〃即可得出第

6个分式和第n个分式.

【详解】解：观察分式力，一马，马，，…，可以得出

分子得底数为X指数为序数的2倍加1,分母的底数为y指数等于序数，当序数为偶数时符

号为负，序数为奇数时符号为正，即符号为（-1尸+1,

132n+i

故第6个分式为一之V,第〃(〃为正整数)个分式为：(-1尸+1・y沁-.

yO、/yfl

132n+i

故答案为：一V黄，(—1)-1•v会•

【点睛】本题考查了分式的定义，探索与表达规律.注意观察每一个分式的分子、分母以及

符号的变化，然后找出的规律.

【变式7-2](2013•江苏徐州•一模)如果记丫=三=£(x),并且f(1)表示当x=l时y

的值，即f(l)=鼻=a，中表示当x=；时y的值，即「弓)=蠡7=〃那么「⑴

+f(2)+f(-)+f(3)+f(-)+...+f(2013)+f(—)=

232013------

【答案】2012.5

【详解】试题分析：由题意f(2)+f(2)=55=1,f(3)+f(3)=1,f(2013)

+f(2013)=1,根据这个规律即可求得结果.

1£]

由题意得f(1)+f(2)+f(2)+f(3)+f(3)4-...+f(2013)+f(2013)

2

=2+1+1+1...+1=2012.5.

考点：找规律-式子的变化

点评：解答此类找规律的问题的关犍是仔细分析所给式子的特征得到规律，再把这个规律应

用于解题.

【变式7-3](2022•全国•八年级专题练习)已知Q>0,1=-,S2=—Si—1,S3=白国=S3-

1,S5=^,-......,(即当n为大于1的奇数时,Sn=9—：当n为大于1的偶数时,=一Sn_i-1),

又sn-i

按此规律，52020=•

【答案】-公

[分析】根据Sn数的变化找出Sn的值每6个一循环，结合2020=336x6+4,即可得出S2020

=33此题得解.

【详解】解：5/=-,

a

52=~Si-1=--a-1=-a

S5=}="（4+1）,

S6=-Ss-1=(a+1)-l=a,

团S〃的值每6个一循环.

02020=336x6+4,

团S2O?0=S4=--7

a+1

故答案为：-

a+l

【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出5〃的值，每6个一循环

是解题的关键.

【知识点2分式的基本性质】

分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。

AAC