上海大同某中学七年级下册数学期末试卷测试与练习(解析版)

上海大同初级中学七年级下册数学期末试卷测试与练习（word解析版）

一、解答题

1.如图，直线HO〃G£,点A在直线HD上，点C在直线GE上，点8在直线HD、GE之

（2）如图2,AF平分NHW8,BCFCG,NBCG=20°,比较N8,NF的大小；

（3）如图3,点P是线段AB上一点，P/V平分NAPC,CN平分NPCE,探究/44P和NN

的数量关系，并说明理由.

2.综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如

图，已知两直线。力，且"/"-ABC是直角三角形，ZBC4=90°,操作发现：

图1图2图3

（1）如图1.若Nl=48。，求N2的度数；

（2）如图2,若44=3/,/I的度数不确定，同学们把直线〃向上平移，并把N2的位置改

变，发现N2-Nl=120。，请说明理由.

（3）如图3,若NA=30。，AC平分此时发现N1与N2又存在新的数量关系，请

写出N1与Z2的数量关系并说明理由.

3.问题情境：

如图1,ABWCD,ZPAB=130°,NPC。=120。.求NAPC的度数.小明的思路是：过P作

PEWAB,通过平行线性质，可得NAPC=NAPE+NCPE=50°+60°=110°.

问题解决：

（1）如图2,ABWCD,直线/分别与48、CD交于点M、N,点P在直线/上运动，当点P

在线段MN上运动时（不与点M、N重合），ZPAB=a,/PCO=0,判断/4PC、a、B之

间的数量关系并说明理由；

（2）在（1）的条件下，如果点P在线段M/V或NM的延长线上运动时.请直接写出

4APC、a、8之间的数量关系；

（3）如图3,4811c。，点P是48、C。之间的一点（点P在点4、C右侧），连接力、

PC,N8AP和NOCP的平分线交于点Q.若NAPC=116。，请结合（2）中的规律，求NAQC

的度数.

（1）如图1,求证：ZA+ZC=90°；

（2）如图2,过点。作用）J_M4的延长线于点Q,求证：Z48D-ZC：

（3）如图3,在（2）问的条件下，点E、尸在0M上，连接BE、BF、CF,且8/平分

NDBC,BE平分ZABD,若ZAFC=/BCF,NBFC=3NDBE,求NE8C的度数.

5.如图，已知直线A3//射线CD,ZCE5=100°.P是射线£8上一动点，过点P作

PQ//EC交射线CD于点Q,连接CP.作/PC^=/PCQ,交直线48于点F,CG平分

Z.ECF.

（1）若点P，F,G都在点E的右侧，求NPCG的度数；

（2）若点P,F,G都在点E的右侧，ZEGC-ZECG=*r，求NCPQ的度数；

（3）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使/EGC:N"T=4:3?若存在，求出

NCPQ的度数；若不存在，请说明理由.

二、解答题

6.将两块三角板按如图置，其中三角板边A8=AE,N3AC=N£4O=90。，ZC=45°,

ZD=30°.

D

（1）下列结论：正确的是.

①如果N8ED=60。，则有3C〃"＞；

（2）NBAE+ACAD=180°；

③如果8C/A4O,则46平分NE4O.

（2）如果NC4O=150。，判断NBb）与NC是否相等，请说明理由.

（3）将三角板48C绕点A顺时针转动，直到边4C与4。重合即停止，转动的过程中当两

块三角板恰有两边平行时，请直接写出NE46所有可能的度数.

7.如图1,AB//CD,在AB、。。内有一条折线EP/L

（1）求证：ZAEP+/CFP=/EPF；

（2）在图2中，画N40的平分线与/£＞尸P的平分线，两条角平分线交于点。，请你补全

图形，试探索NEQ”与NEP户之间的关系，并证明你的结论；

（3）在（2）的条件下，己知N8EP和ND尸P均为钝角，点G在直线48、。。之间，且满

足NBEG=、NBEP,NDFG=\/DFP,（其中〃为常数且〃＞1）,直接写出NEG/与

nii

/的数量关系.

8.已知直线AB//CQ,M,N分别为直线AB,CO上的两点且NMN/）=70。，。为直线

上的一个动点.类似于平面镜成像，点N关于镜面M尸所成的镜像为点Q,此时

/NMP=NQMP、NNPM=4QPM,4MNP=NMQP.

（1）当点P在/V右侧时：

①若镜像。点刚好落在直线A/6上（如图1）,判断直线MN与直线PQ的位置关系，并说

明理由；

②若镜像Q点落在直线A8与CD之间（如图2）,直接写出NBMQ与NOPQ之间的数量

关系；

（2）若镜像PQLCD,求NBMQ的度数.

9.如图，48J_4K,点4在直线上，AB.4K分别与直线EF交于点8、C,

ZMAB+NKCF=90°.

图3

(2)如图2,N%。的平分线AE与N8C。的平分线CE交于点E,ZADC=a°,/A8C邛。，

求NAEC的度数：

(3)如图3,PQ_LMN于点。，点4是平面内一点，A8、AC交MN于8、C两点，6。平

ZADP

分N8AC交PQ于点D,请问国/三函的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改

变，请说明理由.

(习题回顾)已知：如图1,在八3c中，ZACB=90°,4E是角平分线，C£＞是高，

AE.。。相交于点尸.求证：NCFE=NCEF；

(变式思考)如图2,在.A4C中，46=90。，以)是A3边上的高，若4A3c的外带

N8AG的平分线交8的延长线于点尸，其反向延长线与8c边的延长线交于点E,则

NCFE与NCM还相等吗？说明理由；

(探究延伸)如图3,在瓜8c中，A8上存在一点。，使得N4CO=N8,4AC的平分

线AE交CO于点产.八8C的外角N8AG的平分线所在直线MN与8c的延长线交于点M.

直接写出与NCFE的数量关系.

13.如图①，AO平分ZMC,AE-LBC,ZB=45°,ZC=73°.

(1)求ND4E的度数；

(2)如图②，若把"AE_L8C”变成"点F在必的延长线上，FE工BC”,其它条件不

变，求NDRE的度数;

(3)如图③，若把“AE_L8C〃变成“AE平分/8EC”,其它条件不变，ND4E的大小是

否变化，并请说明理由.

⑦②③

14.己知:如图①，直线MV_L直线PQ,垂足为0,点A在射线0P上，点6在射线0Q上

(A、8不与。点重合)，点C在射线ON上且OC=2,过点C作直线〃/PQ.点。在点C的

左边且。。=3

⑴直接写出的A5CD面积;

(2)如图②，若4CJL8C,作NCBA的平分线交OC于E,交AC于小，试说明

/CEF=/CFE;

H

③

(3)如图③，若NAOC=ND4C,点8在射线。。上运动,44C8的平分线交D4的延长线

于点，，在点“运动过程中的值是否变化?若不变，求出其值;若变化，求出变化范围.

/ABC

15.操作示例：如图1,在△A8c中，八。为8C边上的中线，△48。的面积记为5i,AADC

的面积记为S2.则S1=S2.

图1M2胤$厂工N

解决问题：在图2中，点。、E分别是边48、8c的中点，若△BDE的面积为2,则四边形

ADEC的面积为.

拓展延伸：

(1)如图3,在AABC中，点。在边8c上，且8D=2c0,2X48。的面积记为Si,△4DC的

面积记为S2.则Si与S2之间的数量关系为.

(2)如图4,在△ABC中，点。、E分别在边48、4c上，连接8ACO交于点。，且

B0=2E0,CO=DO,若△80C的面积为3,则四边形4D0E的面积为.

【参考答案】

一、解答题

1.(1)ZABC=100°；：2)ZABOZAFC；(3)ZN=900-ZHAP；理由见解析.

【分析】

(1)过点B作BMHD,则HDGEBM,根据平行线的性质求得NABM与NCBM,便可求得

最后

解析：(1)NA8c=100°；(2)ZABC>ZAFC：(3)/N=90。-g/HAP；理由见解

析.

【分析】

(1)过点B作HI]HD//GE//BM,根据平行线的性质求得NABM与NC8M,便可

求得最后结果；

(2)过8作8P〃HD〃G£,过F作FQ//HD//GE,由平行线的性质得，ABC=

ZHAB+ABCG,ZAFC=NHAF+AFCG,由角平分线的性质和已知角的度数分别求得

ZHAF,NFCG,最后便可求得结果；

(3)过P作PKHHDHGE,先由平行线的性质证明/A8C=NHA8+/8CG,ZAFC=

/H4F+NFCG,再根据角平分线求得N/VPC与NPCN,由后由三角形内角和定理便可求得结

果.

【详解】

解：(1)过点8作BM//H。，则HO〃GE〃8M,如图1,

ZABM=1800-ZDAB,ZCBM=NBCG,

•「N048=120°,ZBCG=40°,

「.NA8M=60°,NCBM=40°,

ZABC=Z.ABM+ACBM=10Q°；

(2)过B作BP//HD//GE,过F作FQ//HD//GE,如图2,

图2

ZABP=ZHAB,ZCBP=ZBCG,ZAFQ=ZHAF,ZCFQ=AFCG,

ZABC=Z.HAB+Z.BCG,ZAFC=Z.HAF+NFC6,

,/Z028=120。，

/.ZHAB=180°-Z0A8=60°,

,「AF平分NH48,BC平分NFCG,ZBCG=20°,

ZHAF=30°,ZFCG=40°,

ZABC=600+20°=80°,ZAFC=300+40°=70°,

ZABC>Z.AFC；

(3)过P作PK//HD//GE,如图3,

图3

/.ZAPK=Z.HAP,ZCPK=£PCG,

：.ZAPC=NHAP+Z.PCG,

,/PN平分NAPC,

：.ZNPC=gzHAP+^Z.PCG,

,/ZPCE=1800-ZPCG,CN平分/PCE,

ZPCN=90°-PCG,

Z/V+ZNPC+NPCN=18D°.

ZN=180°-yZHAP-PCG-900+yZPCG=90°-HAP,

即：ZN=9Q°-^-ZHAP.

【点睛】

本题考查了角平分线的定义，平行线性质和判定：两直线平行，同位角相等；两直线平

行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，

注意掌握数形结合思想勺方程思想的应用，理清各角度之间的关系是解题的关键，也是本

题的难点.

2.(1)42°；(2)见解析；(3)N1=N2,理由见解析

【分析】

(1)由平角定义求出/3=42。，再由平行线的性质即可得出答案；

(2)过点B作BDIIa.由平行线的性质得N2+ZABD=180°

解析：(1)42°；(2)见解析；(3)Z1=Z2,理由见解析

【分析】

(1)由平角定义求出N3=42。，再由平行线的性质即可得出答案；

(2)过点8作孙CL由平行线的性质得N2+N480=180。，Z1=ZDBC,则24BD=NABC-

Z08c=60°-/1,进而得出结论；

(3)过点C作CPII。，由角平分线定义得N84C=30°,ZBAM=2Z.BAC=60°,由平

行线的性质得N1=N8AM=60。，ZPCA=ACAM=30°,Z2=ZBCP=60°,即可得出结论.

【详解】

解：(1),/Z1=48°,Z8CA=90°,

/.Z3=180°-/BCA-Al=180°-90o-48o=42°,

,/allb,

/.Z2=Z3=42°：

(2)理由如下：

过点8作8DIIa.如图2所示：

图2

则N2+NABD=180°,

:allb,

b\\BD,

：.Z1=ZDBCf

ZABD=Z.ABC-4DBC=60°-Z1,

Z2+600-Z1=180°,

Z2-Z1=120°；

(3)Z1=Z2,理由如下：

过点C作CPUa,如图3所示：

B

a

图3

,/AC平分/BAM

/.ZCAA4=ZBAC=30°,ZBAM=2N84c=60°,

又「allb,

：.CPWb,Z1=ZBAM=60\

ZPCA=/CAM=30\

Z8CP=ZBCA-Z.PC4=90o-30o=60°,

又丁CPWa,

Z2=ZBCP=6（r,

/.Z1=Z2.

【点睛】

本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、

角平分线定义、平角的定义等知识：本题综合性强，熟练掌握平移的性质和平行线的性质

是解题的关键.

3.（1）ZAPC=a+p,理由见解析；（2）NAPC二a-B或NAPC=B-a；（3）58°

【分析】

（1）过点P作PEIIAB,根据平行线的判定与性质即可求解；

（2）分点P在线段或NM的延长线

解析：（1）ZAPC=a+6,理由见解析；（2）ZAPC=a-6APC=6-a,（3）58°

【分析】

（1）过点P作PEH48,艰据平行线的判定与性质即可求解；

（2）分点P在线段M/V或NM的延长线上运动两种情况，根据平行线的判定与性质及角

的和差即可求解；

（3）过点P,Q分别作&IIA8,Q/-IIAB,根据平行线的判定与性质及角的和差即可求

解.

【详解】

解：（1）如图2,过点P作PEII48,

MB

E…女

cN'D

图2

V4611CD,

PEII4811CD,

ZAPE=a,ZCPE=6,

/.ZAPC=Z.APE+NCPE=a+&

,/ABWCD,ZPAB=a,

Z1=ZPAB=a,

1.,Z1=ZAPC+NPCD,ZPCD=6t

a=ZAPC+6,

ZAPC=a-6；

如图，在（1）的条件下，如果点P在线段A/M的延长线上运动时,

,/ABWCD,ZPCD=6,

Z2=ZPCD=6,

Z2=ZPAB+Z.APC,ZPAB=a,

7.0=a+ZAPC,

ZAPC=6-a；

（3）如图3,过点P,Q分别作PEII48,QFWAB,

B

E

图3

,「4811CD,

4811QFIIPEWCD,

Z8Ap=NAPE,ZPCD=Z.EPC,

Z4PC=116°,

ZBAP+NPCD=U6°f

AQ平分NBAP,CQ平分NPCD,

/BAQ=；NBAP,NOCQ=；NPC。，

ZBAQ+ZDCQ=y(ZBAP+ZPCD)=58°,

AB\lQFIICD,

Z8AQ=NAQF,ZDCQ=ZCQF,

ZAQF+NCQF=N8AQ+NOCQ=58°,

/.ZAQC=58°.

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线将两条平行线相关的角联系到一起是解趣的

关键.

4.(1)见解析；(2)见解析；(3).

【分析】

(1)先根据平行线的性质得到,然后结合即可证明；

(2)过作，先说明，然后再说明得到，最后运用等量代换解答即可；

(3)设NDBE=a,则，BFC=3

解析：(1)见解析：(2)见解析；(3)ZEBC=105°.

【分析】

(1)先根据平行线的性质得到NC=，然后结合AB_L3C即可证明；

(2)过B作先说明N44O=NC4”,然后再说明得到NC8"=NC,

最后运用等量代换解答即可；

(3)设N08E=a,则N8FC=3a,根据角平分线的定义可得NT8D=/C=2a,

ZF8C=；/DBC=a+45°,根据三角形内角和可得/BFC+ZFBC+ZBCF=180°,可得

ZAFC=ZBCF的度数表达式，再根据平行的性质可得/AFC+NNCF=130°,代入即可算出。

的度数，进而完成解答.

【详解】

(1)证明：:AM//CN,

4c=4BDA,

,/48,8。于8,

/.NB=90。，

ZA+ZBDA=90°,

ZA+ZC=90°；

(2)证明：过B作BH//DM,

ZABD+ZABH=90。,

又「AB1BC,

ZABH+NCBH=9Cf,

ZABD=NCBH,

BH/IDM,AM//CN

/.BH//NC,

/CBH=ZC,

ZABD=NC；

(3)设ND哙a,则N8FC=3a,

,/8E平分NABD,

ZABD=Z.C=2a,

又丁AB±BC,BF平分NDBC,

NDBC=N48。+/ABC=2a+90,即：NF8C=g/D8C=a+45°

又•••NBFC+NF8C+N8CF=180°,即：3a+a+45°+ZBCF=180°

NBCF=135°-4u,

/.ZAFCM8CF=135°-4a,

又「AM//CN,

N4FC+NA/CF=180°,HP：N4FC+N8C/V+N8CF=180°,

/.135°-4a+135°-4a+2a=180,解得。=15°,

NA8£=15°,

ZE8C=NABE+A48c=15°+90°=105°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质及角的计算，熟练应用平行线的性质、角

平分线的性质是解答本题的关键.

5.(1)40°；(2)65°；(3)存在，56°或20°

【分析】

(1)依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NPCG的度数；

(2)依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NECG二NG

解析：(1)40。；(2)65°；(3)存在，56。或20。

【分析】

(1)依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NPCG的度数；

(2)依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到/ECG=NGCG25。，再根据

PQWCE,即可得出NCPQ=ZfCP=65°；

(3)设N£GC=4x,ZEFC=3x,则NGCF=4x-3x=x,分两种情况讨论：①当点G、F在点E

的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可.

【详解】

解：(1)VZCEB=100°,4811CD,

ZfCQ=80°,

,/ZPCF=NPCQ,CG平分NECF,

NPCG=NPCF+NFCG=3NQCF+^-ZFCE=^Z£CQ=40°：

(2)'：ABWCD

/.ZQCG=NEGC,ZQCG+NECG=NECQ=80°,

...ZE6C+Z.£CG=80°,

又•「ZEGC-Z.£CG=30°,

/.ZEGC=55",ZKG=25°,

/ECG=/GCF=25°,/PCF=4PCQ=；(80°-50°)=15%

1.,PQIICE,

ZCPQ=ZECP=65°；

(3)设NEGC=4x,ZEFC=3x,则NGCF=NFCD=4x-3x=x,

①当点G、F在点E的右侧时，

•/Z£8=80°,

x+x+—x+—x=80°,

22

解得x=16。，

3

ZCPQ=NECP=x+x+—x=56°；

2

②当点G、F在点E的左恻时,

,/ZCGF=180°-4x,ZGCQ=800+x,

1800-4x=800+x,

解得x=20。，

ZFCQ=Z£CF+Z£CQ=4C°+80°=120°,

/.ZPCQ=yZFCQ=60°,

/.ZCPQ=ZECP=80°-60°=20°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，

内错角相等.

二、解答题

6.（1）②③：（2）相等，理由见解析；（3）30°或45°或75°或120°或135°

【分析】

（1）根据平行线的判定和性质分别判定即可；

（2）利用角的和差,结合NCAB二NDAE=90。进行判断

解析：（1）②③；（2）相等，理由见解析；（3）30,或45。或75。或120。或135。

【分析】

（1）根据平行线的判定和性质分别判定即可；

（2）利用角的和差，结合NCA8=NOA£=90,进行判断；

（3）依据这两块三角尺各有一条边互相平行，分五种情况讨论，即可得到/E4B角度所有

可能的值.

【详解】

解：（1）①/8FO=6（T,N8=45°,

/.ZBAD+ND=ZBFD+N8=105°,

J.Z8>40=105°-30°=75°,

Z84。工/B,

「.8C和A。不平行，故①错误；

（2）-：Z8AC+NDAE=180°,

ZBAE+NCAD=ZBAE+NCAE+ADAE=180°,故②正确;

③若8Gl48,

则NBADE8=45°,

Z8A£=45°,

即48平分/EAD,故③正确；

故答案为：（2）®：

（2）相等，理由是：

1/ZCAD=150°,

Z84E=180°-150°=30°,

/.ZBAD=60°,

ZBAD+Z.D=ZBFD+Z.B,

Z8FO=60°+30°-45°=45°=NC；

（3）若ACIIDE,

则NGAIN£=60。，

J.ZE48=90°-60Q=30°：

若BCWAD,

则/8=Z840=45°,

Z08=45°；

若BCWDE,

则/E=ZAFB=60°,

...ZE48=180°-60°-45°=75°；

B

D

若48IIDE,

则ND=ZDAB=30n,

J.ZE48=300+90o=120°；

若4EIIBC,

则NC=ZCAE=A5°,

ZE48=45°+90°=135°；

综上:ZEAB的度数可能为30°或45°或75°或120。或135°.

【点睛】

本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，制题的关键是理角不题意，分情况画出

图形，学会用分类讨论的思想思考问题.

7.（1）见解析；（2）；见解析；（3）

【分析】

（1）过点作，根据平行线性质可得；

（2）由（1）结论可得：，，再根据角平分线性质可得；

（3）由（2）结论可得：.

【详解】

(1)证明：如图1,过

解析：(1)见解析；(2)/EP尸+2NEQ/=360。；见解析；(3)

ZEPF+/?ZEGF=360°

【分析】

(1)过点尸作PG//44,根据平行线性质可得；

(2)由(1)结论可得：NEPF="EP+NCFP,ZEQF=ZBEQ+ZDFQ,再根据角平

分线性质可得/EQ/7=/BEQ+/OFQ=1(360°-ZEPF)；

⑶由(2)结论可得：ZEGF=ZBEG+ZDFG=i(ZBEP+ZDFP)=i(3600-ZEPF).

【详解】

(1)证明：如图1,过点尸作PG//A3,

AB//CD,

PG//CD,

/.ZAEP=ZbZCFP=Z2,

又•••/T+/2=NEPF,

ZAEP+Z.CFP=ZEPF；

图1

(2)如图2,

由(1)可得：NEPF=ZAEP+NCFP,NEQF=NBEQ+/DFQ,

NHKP的平分线与ZD厂P的平分线相交于点Q,

...NEQF=ZBEQ+ZDFQ=g(ZBEP+NDFP)

=^[360°-(ZAEP+^CFP)]=g(360。-Z.EPF),

ZEPF+2ZEQF=360°;

图2

(3)由(2)可得：ZEPF=ZAEP+CFP,ZEGF=ZBEG+ZDFG,

•「/BEG=二/BEP,ZDFG=-ZDFP,

nn

：.ZEGF=ZBEG+ZDFG=-(ZBEP+ADFP)

n

=-[360°-(ZAEP+ZCFP)]=-(3600-NEPF),

ZEPF+/?ZEGF=360°；

【点睛】

考核知识点：平行线性质和判定的综合运用.熟练运用平行线性质和判定是关键.

8.(1)①，证明见解析，②，(2)或.

【分析】

(1)①根据和镜像证出，即可判断直线与直线的位置关系，②过点Q作

QFIICD,根据平行线的性质证即可；

⑵过点Q作QFIICD,根据点P的位置不同，

解析：(1)①MNI/PQ,证明见解析，②/BMQ+NDPQ=70。,(2)160。或20。,

【分析】

⑴①根据A8//CO和镜像证出=,即可判断宜线MN与直线尸。的位置关

系，②过点Q作QFIIC。，根据平行线的性质证N8MQ+NOPQ=N"QP即可：

⑵过点。作QFIICD,根据点P的位置不同，分类讨论，依据平行线的性质求解即可.

【详解】

(1)①MNUPQ,

证明：・•.AB//CD,

：.乙NPM=NQMP,

•「NNMP=NQMP、NNPM=4QPM,

/NMP=NQPM,

MN//PQ.

②过点。作QFIICD,

,/ABI/CD,

AB//CD//QF,

/.NBMQ=Z1,Z2=NQPD,

/BMQ+/DPQ=NMQP,

•「4MNP=4MQP=10。，

：.ZBMQ+ZDPQ=70°；

(2)如图，当点P在N右侧时，过点Q作QFIICD,

同(1)得，AB//CD//QF,

：.Z.FQP+NNPQ=180°,ZFQM=NBMQ,

•「PQ±CD,

NNPQ=90。，

ZFQP=90°f

•/4MND=/PQM=10。,

4FQM=20°,

/BMQ=70°,

如图，当点P在/V左侧时，过点Q作QFIICD,同（1）,AB//CD//QF,

同理可得，NFQP=90。，

1/NMND=70。，

/MNP=/PQM=\\2。,

/FQM=20°,

•「ABI/QFf

：.N/'QM+N4MQ=180。，

NBMQ=16O。；

综上，N8MQ的度数为160。或20。.

【点睛】

本题考查了平行线的性质与判定，解题关键是恰当的作埔助线，熟练利用平行线的性质推

导角之间的关系.

9.(1)见解析；(2)NCGA=45°；(3)NFCP=2NACP或

ZFCP+2ZACP=180°.

【分析】

(1)有垂直定义可得/MAB+NKCN=90。，然后根据同角的余角相等可得

ZKAN=ZK

解析：(1)见解析；(2)/CG4=45°；(3)ZFCP=2ZACPFCP+2ZACP=130°.

【分析】

(1)有垂直定义可得NMA8+NKC/V=90。，然后根据同隹的余角相等可得NKA心NKCF,从

而判断两直线平行；

(2)设NKAN=NKCF=a,过点G作GHIIEF,结合角平分线的定义和平行线的判定及性质

求解；

(3)分CP交射线AQ及射线AQ的反向延长线两种情况结合角的和差关系分类讨论求解.

【详解】

解：(1),/ABA.AK

ZBAC=90°

/.ZMAB+/KAN=90°

,/ZMAB+Z.KCF=90°

ZKANSKCF

EFWMN

(2)设NKAN必KCF=a

则NBAN=NBAC+NKAN=9Q9+a

Z/CCB=1800-ZKCF=180°~a

AG平分/NAB,CG平分/ECK

ZGAN=^Z.8/4/V=45°+ga,ZKCG=；NKCB=90°~^a

ZFCG=ZKCG+NKCF=90°+ga

过点G作GHIIEF

ZHGC=NFCG=90°+/Q

又「MNWEF

：.MNWGH

ZHGA=Z.G4/V=45°+ga

；.NCGA=NHGC—NHGA=(90°+^a)一(45°+^a)=45°

.•Z.CT\+ZTAC+ZACP=180°

ZCTA+ZQAB+ZBAC+ZACP=\80°

又丁NC7^=60°,NMC=90。

NQA8+乙4cp=30。

由(1)可得：EFWMN

/.ZFG4-ZMAC

,/4FCP=4FCA+ZACP

/.ZFCP=ZMAC+ZACP

•.•ZM4C=ZMAQ+Z,QAB+^BAC,ZMAQ=2ZQAB

「.ZMAC=3ZQAB+90°=3(30°-ZACP)+90°=180°-3ZACP

ZFCP=180°-3ZACP-ZACP

BPZFCP+2N4cp=180°

②当CP交射线AQ的反向延长线于点T,延长BA交CP于点G

AFCP=ZFCA-ZACP,由EFIIM/V得NM4C=N/C4

」.4FCP=/MAC-ZACP

又•.■N7>1G=NQA4,ZMC+ZC4G=180°,ZBAC=90°

NC4G=180。-NB4C=90°

ZCAT=ZCAG-ZTAG=90°-ZQAB

•「NC47+NS+NACP=180°,ZC7^=60°

ZC47'+Z4CP=120°

90°-ZQAB+ZACP=120°

NQA4=4CP-30。

由①可得NM4c=3NQ/tB+90°

ZM4C=3(Z4CP-30o)+90°=3ZACP

ZFCP=ZMAC-ZACP=3ZACP-ZACP=2ZACP

综上，ZFCP=2Z.ACP或NFCP+2AACP=180°.

【点睛】

本题考查平行线的判定和性质以及角的和差关系，准确理解题意，正确推理计算是解题关

键.

10.(1)ZDAC；(2)360°；(3)65°

【分析】

(1)根据平行线的性质即可得到结论；

(2)过C作CFIIAB根据平行线的性质得到ND=ZFCD,ZB=ZBCF,然后根据

已知条件即可得到结论；

解析：(1)ZDAC；(2)360°；(3)65°

【分析】

(1)根据平行线的性质即可得到结论；

(2)过C作CFWAB根据平行线的性质得到/D=ZFCD,ZB=ZBCF,然后根据已知条件即

可得到结论；

(3)过点E作EFII48,然后根据两直线平行内错角相等，即可求NBE。的度数.

【详解】

解：(1)过点八作EDIIBC,

：.ZB=ZEAB,ZC=ZDCA,

乂•「ZEAB+Z.BAC+Z.DAC=180°,

Z8+N8AC+NC=180°.

故答案为：ZDAC；

(2)过C作CFIIAB,

即

•「A8IIDE,

/.CFWDE,

ZD=ZFCD,

CFWAB,

/.Z8=ZBCF,

「ZBCF+N8C0+NOCF=360°,

Z8+NBCD+Z0=360°；

(3)如图3,过点E作EFIIAB,

AB\\CD,

A8IICDIIEF,

Z八8£=NBEF,ZCD£=ZDEF,

,/BEABC,DEADC,NA8c=60°,ZADC=7T,

：.ZABE=^Z.ABC=30\NCOE=gN4OC=35°,

ZBED=ZBEF+ND£F=300+35o=65o.

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行

推算.

三、解答题

11.(1)ZE=45°；(2)ZE=；(3)不变化，

【分析】

(1)由三角形内角和定理，可得ND+NECD=NE+NEAD,

ZB+ZEAB=ZE+ZECB,由角平分线的性质，可得/ECD二NECB二N

解析：(1)NE=45°；(2)/£=纥巴；(3)不变化，?

22

【分析】

(1)由三角形内角和定理，可得ND+NECD=NE+NEAD,ZB+ZEAB=ZE+ZECB,由角平

分线的性质，可得NECD=/ECB=1/BCD,ZEAD=ZEAB=-ZBAD,则可得/E=1

222

(ZD+ZB),继而求得答案：

(2)首先延长BC交AD于点F,由三角形外角的性质，可得/BCD=ZB+ZBAD+ZD,又

由角平分线的性质，即可求得答案.

(3)由三角形内角和定理，可得

ZADP+900=ZACI3+ZDACZADP+NDFO=ZABC+NOEB,利用角平分线的性质与三

角形的外角的性质可得答案.

【详解】

解：(1),/CE平分NBCD,AE平分NBAD

11

ZECD=ZECB=-ZBCD,ZEAD=ZEAB=-ZBAD,

22

,/ZD+ZECD=ZE+ZEAD,ZB+ZEAB=ZE+ZECB,

ZD+ZECD+ZB+ZEAB=ZE+ZEAD+ZE+ZECB

ZD+ZB=2ZE,

/.ZE=-(ZD+ZB),

2

ZADC=50°,ZABC=40°,

ZAEC=-x(500+40。)=45°；

2

图1

(2)延长BC交AD于点F,

,/ZBFD=ZB+ZBAD,

ZBCD=ZBFD+ZD=ZB+ZBAD+ZD,

,/CE平分NBCD,AE平分/BAD

/.ZECD=ZECB=-ZBCD,ZEAD=ZEAB=-ZBAD,

22

,/ZE+ZECB=ZB+ZEAB.

1

ZE=ZB+ZEAB-ZECB=ZB+ZBAE——/BCD

2

1、

=ZB+ZBAE--(zZB+ZBAD+ZD)

2

=-(ZB-ZD),

2

ZADC=a\Z48c=0°,

即NAEC="^.

2

ED

图2

ZADP一、.ZADP1

（3）|NAC8—NA8q的值不发生变化'"\ZACB-ZABC\~2'

理由如K：

如图，记45与22交于E,A。与QT交于产，

PQA.MN、

/.NDOC=/BOE=90。、

•/ZADP+900=ZACB+ZDAC①,

ZADP+/DFO=ZABC+/OEB②，

/.①一②得：90°-ADFO=AACB-ZABC+ZDAC-^OEB,

900-ZDFO+NOEB-ZDAC=NACB-NABC,

/ADP=90°-NDFO,NOEB-NEAD=ZADP.

,/AD平分/BAC,

：./BAD=/CAD、

NOEB-ACAD=NADP,

2Z.ADP=ZACB-ZABC,

ZADP1

"\ZACB-AABC\"2'

Q

图3

【点睛】

此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及免平分线的定义.此题难度较大，

注意掌握整体思想与数形结合思想的应用.

12.［习题回顾］证明见解析；［变式思考］相等，证明见解析；［探究延伸］

ZM+ZCFE=90°,证明见解析.

【分析】

［习题回顾］根据同角的余角相等可证明NB=ZACD,再根据三角形的外角的性质

即可

解析：［习题回顾］证明见解析；［变式思考］相等，证明见解析；［探究延伸］

ZM+ZCFE=90°,证明见解析.

【分析】

［习题回顾］根据同角的余角相等可证明NB=ZACD,再根据三角形的外角的性质即可证明；

［变式思考］根据角平分线的定义和对顶角相等可得NCAE=ZDAF、再根据直角三角形的性质

和等角的余角相等即可得出NCFE=ZCEF；

［探究延伸］根据角平分线的定义可得/EAN=90。，根据直角三角形两锐角互余可得

ZM+ZCEF=90%再根据三角形外角的性质可得NCEF=NCFE,由此可证NM+NCFE=9T.

【详解】

［习题回顾］证明：•.•NACB=90°,CD是高,

/.ZB+ZCAB=90°,ZACD+ZCAB=90°,

ZB=ZACD,

AE是角平分线，

/.ZCAF=ZDAF,

,/ZCFE=ZCAF+ZACD,NCEF=ZDAF+ZB,

ZCEF=ZCFE；

［变式思考］相等，理由如下：

证明：:AF为NBAG的角平分线，

ZGAF=ZDAF,

ZCAE=ZGAF,

/.ZCAE=ZDAF,

;CD为AB边上的高，NACB=90°,

/.NADC=90%

ZADF=ZACE=90%

ZDAF+ZF=90°,ZE+ZCAE=90°,

ZCEF=ZCFE；

［探究延伸］NM+ZCFE=90\

证明：•・・（：、A、G三点共线AE、AN为角平分线，

/.ZEAN=90°,

又•「ZGAN=ZCAM,

ZM+ZCEF=90°,

ZCEF=ZEAB+ZB,ZCFE=ZEAC+ZACD,ZACD=ZB,

ZCEF=ZCFE,

/.ZM+ZCFE=90°.

【点睛】

本题考查三角形的外角的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的有关证明，等角或同

角的余角相等.在本题中用的比较多的是利用等角或同用的余角相等证明角相等和三角形

一个外角等于与它不相邻为两个内角之和，理解并掌握是解决此题的关键.

13.(1)ZDAE=14°；(2)ZDFE=14°；(3)/DAE的大小不变，NDAE

=14。，证明详见解析.

【分析】

(1)求出/ADE的度数,利用NDAE=90°-ZADE即可求出/DAE

解析：(1)NDAE=14。；(2)ZDFE=14°；(3)NDAE的大小不变，ZDAE=14°,证明详

见解析.

【分析】

(1)求出NADE的度数，利用NDAE=90°-ZADE即可求出NDAE的度数.

(2)求出/ADE的度数,利用NDFE=90°-ZADE即可求出NDAE的度数.

(3)利用AE平分NBEC,AD平分NBAC,求出NDFE=15。即是最好的证明.

【详解】

(1),/ZB=45°,ZC=73\

ZBAC=62°,

1.,AD平分NBAC,

ZBAD=ZCAD=31°,

/.ZADE=ZB+ZBAD=450+31°=76°,

•/AE±BC,

/.ZAEB=90°,

ZDAE=900-ZADE=14°.

(2)同(1),可得，ZADE=76°,

•••FE±BC,

ZFEB=90°,

•••NDFE=90°NADE=14°.

(3)的大小不变.ND4£=14。

理由：:AD平分NBAC,AE平分NBEC

/.ZBAC=2ZBAD,ZBEC=2ZAEB

ZBAC+ZB+ZBEC+ZC=360°

2ZBA