四川省资阳市2024～2025学年高一数学下学期期中试题【含答案】

考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知向量，若，则实数（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由平面向量的数量积的坐标运算即可求解．【详解】由题意得，，因为，所以，解得，故选:C.2.如图，已知水平放置的的直观图中，，，那么的面积为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】画出原图可计算面积.【详解】由已知可知，的原图如下：其中，所以.故选：D3.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】利用三角形图象平移变换逐项求出解析式判断.【详解】对于A，的图象向左平移个单位，得，A不是；对于B，的图象向右平移个单位，得，B是；对于C，的图象向左平移个单位，得，C不是；对于D，的图象向左平移个单位，得，D不是.故选：B4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值.【详解】因为，则.故选：C.5.某市居民小区内的重兴塔，在2013年被列为国家级重点保护单位.塔身为八角形楼阁式建筑，九层十檐，最下层为双檐木回廊，檐下系砖雕斗拱.上八层为单檐，砖雕仰莲承托，层层紧缩，造型浑厚拙朴，气势雄伟、如图，某校高一学生进行实践活动，选取与塔基B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在C点测得重兴塔在北偏东75°的点B处，塔顶A的仰角为45°，在D点测得重兴塔在北偏西60°的B处，通过测量两个测量基点C与D之间的距离约为米，则塔高约为（）米.A.54 B.30 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，求出各个角，再用正弦定理求解即可.【详解】根据题意，，，所以，在中由正弦定理可知，所以，在中，所以.故选：B．6.若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据球的截面圆的性质，得到棱柱底面与球的截面圆的半径，进而求得底面三角形的边长为，结合棱柱的体积公式，即可求解.【详解】由题意可知球的半径，因为正三棱柱的高为，则球心到三棱柱底面的距离，根据球的截面圆的性质，可得，即，解得，棱柱底面与球的截面圆的半径，三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，可得三角形的边长为，所以三角形的面积为，该棱柱的体积为.7.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得两次最大值1，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数在区间上是增函数，则有，在区间上恰好取得两次最大值1，得，即可求解.【详解】由函数在区间上是增函数，则有，由可得，所以，又函数在区间上恰好取得两次最大值1，得，所以，即.故选：B.8.已知中，，，，O为的外心，若，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知，O为外接圆的圆心，过O作，已知等式两边同乘以，结合数量积定义得，同理得，从而两式联立即可求得的值．【详解】由题意可知，为的外心，设半径为r，在圆O中，过O作，垂足分别为,因为，两边乘以，即，的夹角为，而，则，得①，同理两边乘，即，，则得②，①②联立解得，，所以，故选：D.【点睛】关键点睛：解答本题的关键是将两边分别乘以，结合数量积定义化简得到关于的方程，求得答案.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列关于平面向量的说法中正确的是（）A.设为非零向量，若，则B.若，则或C.设为非零向量，则D.若点为的重心，则【答案】AD【解析】【分析】根据向量数量积的运算律即可判断A；根据模的定义及向量共线的概念即可判断B；根据数量积的运算法则即可判断C；根据向量线性运算及重心的性质即可判断D．【详解】对于A，若，则，故A正确；对于B，表示是的2倍，或表示与共线，且是的2倍，故B错；对于C，，，所以与不一定相等，故C错误；对于D，如图，设为的中点，点为的重心，则，即，所以，故D正确；故选：AD．10.已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（）A.的图像关于直线对称B.的图像关于点对称C.将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像D.若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】首先根据题意得到，对选项A，根据即可判断A正确，对选项B，根据，即可判断B错误，对选项C，将向右平移，得到，即可判断C正确，对选项D，根据的图象即可判断D正确.【详解】由图可知：的最小正周期，当时，，所以；对于A，，正确；对于B，，错误；对于C，将向右平移，得到，正确；对于D，的大致图像如下：欲使得在内方程有2个不相等的实数根，则，正确；故选：ACD.11.在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（）A.B.若，且有一解，则的取值范围为C.若，且为锐角三角形，则的取值范围为D.若，且，为的内心，则【答案】ACD【解析】【分析】选项A：根据条件求出；选项B：由余弦定理得，将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有一个正解，利用跟的判别式求得的取值范围；选项C：根据正弦定理得，利用为锐角三角形求角的范围，从而求边的范围；选项D：利用正弦定理求出角，从而判断出是直角三角形，利用等面积法求得内切圆半径，从而求的面积.【详解】对于A，由可得，即，因为，所以，且，所以，故A正确；对于B，根据余弦定理可得，，即，将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有一个正解，因为，所以或解得或，因为，所以或，故B错误；对于C，由正弦定理可得，，即,因为为锐角三角形，所以，即，解得，所以，故C正确；对于D，因为，所以.因为，所以.由正弦定理可得，，即，即，所以，即，因为，所以，又因为，所以为锐角，则.所以，所以为直角三角形，所以内切圆的半径满足，即，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________．【答案】【解析】【详解】因为，，平面向量，的夹角为，且，所以

13已知，，，，则________．【答案】【解析】【分析】根据同角关系以及余弦的和差角公式即可求解.【详解】由以及可得，故，由以及可得，故，故，，故，故答案为：14.在平面四边形中，，，，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】设，利用三角函数函数得，再利用余弦定理结合三角恒等变换即可得到最值.详解】设，，则，代入数据得，，，在中运用余弦定理得，即，，所以当，即时，的最大值为3，则的最大值为.故答案：.【点睛】关键点睛：本题的关键在于引角，设，再利用三角函数和余弦定理得到，最后结合诱导公式和三角恒等变换即可求出最值.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知向量与的夹角，且，.（1）求；（2）与的夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量数量积定义及运算律求结果；（2）由向量夹角公式、数量积的运算律求夹角余弦值.【小问1详解】已知向量与的夹角，且，，则，所以；【小问2详解】由（1）知：，所以，所以与的夹角的余弦值为.16.在平面直角坐标系中，已知，，.（1）若三点共线，求实数的值；（2）若，以的边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，求该几何体的表面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三点共线可知，由向量共线的坐标表示即可求解；（2）由可知，根据向量垂直的坐标表示求出实数的值，进而可根据向量模长计算公式可计算，，.以的边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是底面半径，高，母线长的圆锥，根据圆锥的表面积公式即可求解.【小问1详解】∵，，，，.∵三点共线，，，解得，即实数的值为.【小问2详解】由（1）知，.，，，即.，，，，.以的边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是底面半径，高，母线长的圆锥，故该几何体的表面积为.17.已知向量，，设．（1）求函数的表达式及单调减区间；（2）将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，直接写出函数的表达式，并求关于的方程在区间上的解集．【答案】（1），；（2），.【解析】【分析】（1）由平面向量数量积的坐标运算公式，降幂公式及辅助角公式求得，再求出函数单调递减区间.（2）由求出解析式；在上求出方程的解.【小问1详解】依题意，，由，解得，所以函数的表达式，单调减区间为.【小问2详解】由（1）知；由，得，由，得，则或或，解得或或，所以方程在区间上的解集为．18.在中，角的对边分别为，已知．（1）若，求的外接圆的周长；（2）若为锐角三角形，且，①求角的取值范围；②求面积的取值范围．【答案】（1）；（2）①；②．【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用二倍角的正弦求出，再利用正弦定理求解.（2）①由（1）的结论，结合锐角三角形条件求出的范围；②由正弦定理及三角形面积公式，结合正切函数的性质求出范围.【小问1详解】在中，由及正弦定理，得，而，则，，又，于是，，因此，设的外接圆半径为，由正弦定理得，所以的外接圆的周长为.【小问2详解】①由为锐角三角形，得，又，则，解得，所以角取值范围是；②的面积，由正弦定理得．由，得，则，因此，所以面积的取值范围是.19.已知函数的最小正周期为．（1）求的解析式；（2）设函数,若对任意的,总存在,使得成立,求的取值范围；（3）若函数在上有3个零点,求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简得，再由最小正周期为，求得，即可得到的解析式；（2）利用指数函数和正弦函数的性质可得，的值域，再根据值域的包含关系列不