四川省资阳市2024～2025学年高一数学下学期3月月考试卷【含答案】

考试时间：120分钟；满分：150分；一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列函数中，周期是，又是偶函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由三角函数的周期以及奇偶性，可得答案.【详解】对于A，易知函数的周期为，又是奇函数，故A错误；对于B，易知函数的周期为，又是奇函数，故B错误；对于C，易知函数的周期为，又是奇函数，故C错误；对于D，易知函数的周期为，又是偶函数，故D错误.故选：D.2.在中，已知点是边上靠近点A的一个三等分点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用向量加法的三角形法则即可求解.详解】由题可得，故选：D．3.（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】先应用诱导公式，再逆用两角和的正弦公式即可求值.【详解】.故选：C.4.下列各式正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式、三角函数单调性求解.【详解】解：选项A：,因为,又因为,所以,故A错误；选项B：,因为,在单调递减,又因为,,所以成立,故B正确；选项C.：,因为在单调递增,所以,故,故C错误；选项D：,因为在单调递增,在单调递减,且,,,故,故D错误.故选：B.【点睛】本题主要考查诱导公式在三角函数化简中的应用,考查利用三角函数单调性比较三角函数值的大小，属于中档题.5.已知.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量垂直及数量积的运算律得，结合向量数量积的定义求夹角余弦值.【详解】由题设，可得.故选：A6.已知平面向量且，则一定共线的三点是（

）A.，， B.，， C.，， D.，，【答案】A【解析】【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可.【详解】若向量共线，则共线，此时共线，当向量不共线时，对于A选项，，所以三点共线，A正确；对于B选项，设，则，即无解，B错误；对于C选项，设，则，即，无解，C错误；对于D选项，，设，即，即，无解，D错误．故选：A7.设，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二倍角的正切公式与两角和的正切公式求解，再分析角度范围得到即可【详解】因为，所以，且，所以，则故选：A．8.已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，下列说法错误的是（）A. B.直线是图象的一条对称轴C.在上单调递减 D.是奇函数【答案】B【解析】【分析】由可得，由对称中心可求得，从而知函数的解析式，再根据余弦函数的图象与性质，逐一分析选项即可.【详解】因为点在的图象上，所以.又，所以.因为图象的一个对称中心是，所以，，则，.又，所以，则，A正确.，则直线不是图象的一条对称轴，B不正确.当时，，单调递减，C正确.，是奇函数，D正确.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于任意一个四边形，下列式子能化简为的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据向量加法的运算法则即可得到答案.【详解】对于A，；对于B，；对于C，；对于D，.故选：ABD.10.（多选）对于任意三个向量，下列命题正确的是（）A. B.C.若满足，且与反向，则 D.若，则【答案】BD【解析】【分析】根据平面向量的三角形法则判断AB，根据向量不能比较大小判断C，根据向量的传递性判断D．【详解】对于A，根据向量减法法则可知，当和不共线时，两边之差小于第三边，即，当和反向时，，当和同向且时，，当和同向且时，，所以，故A错误；对于B，根据向量加法法则可知，当和不共线时，两边之和大于第三边，即，当和反向时，，当和同向时，，所以，故B正确；对于C，因为向量不能比较大小，故C错误；对于D，若，由向量的传递性可知，故D正确．故选：BD．11.已知函数部分图象如图所示，下列说法不正确的是（）A.的图象关于直线对称B.的图象关于点对称C.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象D.若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是【答案】ABC【解析】【分析】根据函数部分图象求出函数解析式，由可得选项A错误；由可得选项B错误；根据图象平移“左加右减”的原则可得选项C错误；数形结合可得选项D正确.【详解】由图象可得，，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴.当时，，选项A错误.当时，，选项B错误.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，选项C错误.当时，，，，函数在上的图象如下：由图可知，当时，函数的图象与直线有两个交点，即方程在上有两个不相等的实数根，选项D正确.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的最小正周期为__________.【答案】【解析】【分析】直接根据周期公式可的结果.【详解】函数的最小正周期为.故答案为：.13.在中，有命题：①；②；③若，则等腰三角形；④若，则为锐角三角形；上述命题正确的序号是__________.【答案】②③．【解析】【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，判断各个选项是否正确．，即可得出答案.【详解】解：在三角形中，由于，故①不正确．由于，故②正确．由于，故有，所有三角形为等腰三角形，故③正确．由于，故为锐角，但和的范围不确定，故不能推出三角形为锐角三角形，故④不正确．故答案为：②③．14.已知函数的最小正周期为，，且的图象关于点中心对称，若将的图象向右平移个单位长度后图象关于轴对称，则实数的最小值为__________.【答案】##【解析】【分析】根据周期范围得出范围，再结合对称性得出的值，即可得出的解析式，进而得出函数图象平移后的解析式，即可根据图象关于轴对称，得出，再根据得出实数的最小值.【详解】，，且，，即，图象关于点中心对称，，且，即，解得，，取，，，将图象向右平移个单位长度后得到的图象，此函数的图象关于轴对称，，解得，，当时，得.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，.（1）求向量，的夹角；（2）求的值；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据模长公式即可求解，即可根据夹角公式求解，（2）根据数量积的运算律即可求解.【小问1详解】由可得，故，故，由于，故，【小问2详解】16.已知函数（1）求在上的值域；（2）若函数在上的零点个数为2，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题设有，结合正弦函数性质求值域即可；（2）由，根据正弦函数的性质确定区间单调性及对应值域，结合零点个数确定参数范围.【小问1详解】由题意，令，则，由正弦函数性质有在上单调递增，在上单调递减，又,所以在上的值域为；【小问2详解】设，由可得，因为在上单调递增，在上单调递减，所以，在时，函数单调递增，，在时，函数单调递减，，要使函数在上的零点个数为2，则.17.函数（，）的部分图象如图所示，（1）求函数的解析式;（2）将该函数图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象，求满足不等式的解集.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用给定的函数图象，结合五点法作图求出函数解析式.（2）利用函数图象变换求得，再利用正弦函数性质求解不等式.【小问1详解】由函数的图象，得，的最小正周期，由，得，由，得，而，则，所以函数的解析式为.【小问2详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得，由，得，则，，所以不等式的解集为.18.已知函数（）.（1）求函数的最小正周期及在区间上的单调区间；（2）若，，求的值.【答案】（1）最小正周期是，增区间是，减区间是；（2）．【解析】【分析】（1）应用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求解；（2）由（1）求得，再求出，然后用两角差的余弦公式求解．【详解】（1），所以最小正周期为，时，，由，得，由得，所以的增区间是，减区间是；（2）由（1）得，即，因为，所以，所以，所以【点睛】本题考查求三角函数的周期与单调区间，考查两角和与差的正弦、余弦公式，二倍角公式，同角间的三角函数关系．解题关键是把三角函数化为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解．19.受日月引力影响，海水会发生涨退潮现象．通常情况下，船在涨潮时驶进港口，退潮时离开港口．某港口在某季节每天港口水位的深度（米）是时间（，单位：小时，表示0：00—零时）的函数，其函数关系式为．已知一天中该港口水位的深度变化有如下规律：出现相邻两次最高水位的深度的时间差为12小时，最高水位的深度为12米，最低水位的深度为6米，每天13：00时港口水位的深度恰为10．5米．（1）试求函数的表达式；（2）某货船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，安全条例规定船舶航行时船底与海底的距离不小于3．5米是安全的，问该船在当天的什么时间段能够安全进港？若该船欲于当天安全离港，则它最迟应在当天几点以前离开港口？【答案】(1);(2)17【解析】【详解】试题分析：（1）最高水位为A+K，最低水位为-A+K，联立方程组求得A和K的值，再由出现相邻两次最高水位的深度的时间差为12小时，可知周期为12，由此求得ω值，再结合每天13：00时港