四川省凉山州2025～2026学年高二数学上学期10月月考试题【含答案】

本试卷满分分考试时间分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出直线斜率，进而求出其倾斜角.【详解】直线的斜率，倾斜角范围为，所以直线倾斜角为.故选：B2.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性质结合题意求解即可.【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为，故选：A3.已知直线和直线平行，则这两条线之间的距离为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据两平行线间的距离公式即可求解.第1页/共16页

【详解】设两平行线间的距离为，则.故选：B4.已知点P(－1,1)与点Q(3,5)关于直线l对称，则直线l的方程为()A.x－y＋1＝0B.x－y＝0C.x＋y－4＝0D.x＋y＝0【答案】C【解析】【详解】中点，直线斜率，所以直线为，即，故选C．5.经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（）A.B.C.或D.或【答案】C【解析】【分析】当直线过原点时直线方程为，满足题意，当直线不过坐标原点时，设直线的截距式，代入点坐标可得解.【详解】当直线过原点时，直线方程为，即，在两坐标轴上的截距均为，满足题意；当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数，设直线方程为，代入点，得，解得，则直线方程为，即，综上所述直线方程为或，故选：C.第2页/共16页

6.班上有5名数学爱好者，其中3.若从这5人中随机选出22人都选修了《数学史》的概率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出样本空间的样本数和恰好2人都选修了《数学史》的样本个数，再利用古典概率公式，即可求解.【详解】由题知班上有5名数学爱好者，其中3记选修了《数学史》的3人为，其余的2人为，从5人中选取人有：，共有10种情况，恰好2人都选修了《数学史》的有，共3种情况，所以从这5人中随机选出2人，则恰好2人都选修了《数学史》的概率为.故选：A.7.过点作一条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为，进而得出交点，根据点为两交点的中点建立等式，求出的值，从而即可解决问题.【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：，不符合题意；所以直线斜率存在设为，则直线方程为，第3页/共16页

联立直线得：，联立直线，所以直线与直线，直线的交点为：，又直线夹在两条直线和之间的线段恰被点平分，所以，解得：，所以直线的方程为：，故选：B.8.如图，在棱长为的正四面体中，侧棱与底面所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】在平面的射影为正与底面所成角为，并求出的长，即可求出.【详解】如图，因为四面体为正四面体，所以点在平面射影为正的重心，第4页/共16页

延长交于点，则为的中点，且，易知平面，因为平面，所以，所以直线与平面所成角为，由勾股定理可得，故，故，因此侧棱与底面所成角的余弦值为.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知事件，且，则下列结论正确的是（）A.如果，那么B.如果与互斥，那么C.如果与相互独立，那么D如果与相互独立，那么【答案】ABD【解析】【分析】对A根据包含事件的定义可得，对B根据互斥事件的定义及概率的加法公式可得，对C、D则根据相互独立事件的定义及公式可得.【详解】对A选项：由，所以，，第5页/共16页

因此，，故A正确；对B选项：若与互斥，因此是不可能事件，所以，再由概率的加法公式，故B正确；对C选项：若与相互独立，则与也相互独立，.因表示“A不发生且B不发生”，即，且与也相互独立，所以，故C错误；对D选项：因与相互独立，所以，再由概率的加法公式，故D正确.故选：ABD.10.下列说法正确的是（）A.直线的一个方向向量为，则直线的斜率等于B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C.当点到直线的距离最大时，的值为D.已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是【答案】CD【解析】AB错误，利用直线过定点以及垂直关系可判断C正确，由两点间的斜率公式以及斜率的取值范围可得D正确.【详解】对于A，当方向向量为时直线的斜率等于，因此A错误，对于B，当时，两直线和，此时两直线互相垂直，即充分性成立；若两直线垂直，当时，两直线分别为和，满足互相垂直，因此必要性不成立，即B错误；对于C，将直线整理可得，第6页/共16页

显然直线恒过定点，当与直线垂直时距离最大，此时满足，即可得，解得，因此C正确；对于D，如下图所示：易知，直线与轴平行，显然直线必须在至之间，以及至之间才满足题意，所以可知直线的斜率的取值范围是.故选：CD如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，，则（）A.B.C.异面直线与夹角的余弦值为D.点到平面的距离为1【答案】ACD【解析】【分析】根据已知建立空间直角坐标系，应用向量模长的坐标表示、线线角、点面距离的定义判断B、C、第7页/共16页

D；由空间向量加减、数乘的几何意义用相关向量表示出判断A.【详解】因为平面，平面，所以，在正方形中，有，所以两两互相垂直，以A为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，而，，故为的中点，从而，对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，则直线与夹角的余弦值为，故C正确；对于D，因为平面，则点到平面的距离为，故点到平面的距离为，所以D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分．12.已知直线：，：，若，则_____.【答案】【解析】【分析】根据两直线平行的判定列方程，解方程即可.第8页/共16页

【详解】由直线：，：，因为，可得，即，解得.故答案为：13.已知为直线，P到直线的距离为________．【答案】【解析】【分析】根据空间点到直线的距离计算方法求得正确答案.【详解】因为，，所以点P到直线的距离为.故答案为：14.已知点，直线将分割为面积相等的两部分，则实数的值是___________．【答案】【解析】过点将分割为面积相等的两部分，则直线必需过中点，得到即可求解．【详解】，，即时，，过定点，即点，又直线将分割为面积相等的两部分，所以直线必需过中点，，解得．第9页/共16页

故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知空间中三点．（1）若，求a的值；（2）若与夹角为，求a的值.【答案】（1）或（2）或【解析】1）由向量的线性运算、数量积的坐标运算列方程即可求解；（2）由向量数量积的坐标运算列方程即可求解.【小问1详解】因为，所以，则．因为，所以，所以，即，解得或．【小问2详解】由（1）可知，则，．因为与的夹角为，所以，即，所以，解得或．16.已知，，的平分线所在的直线的方程为．（1）求的中垂线的一般方程；（2）求直线的一般方程．第10页/共16页

【答案】（1）（2）【解析】1）求出的中点坐标及，故可得到的中垂线斜率，点斜式求出方程；（2关于的对称点在直线AC，利用两点式求出直线方程，得到答案.【小问1详解】的中点坐标为，又，故的中垂线斜率为4，故的中垂线方程为，即．【小问2详解】由对称性可知，关于的对称点在直线上，故，解得，故，故直线的方程为，即．17.如图，已知正方体的棱长为1，和分别是和的中点．第11页/共16页

（1）求的值；（2）求证：；（3）求直线和所成角的大小．【答案】（1）（2）证明见解析（3）60°【解析】1）由向量的线性运算及数量积的运算律计算即得；（2）计算即可证明；（3）根据向量的夹角公式计算即可.【小问1详解】由题易知，所以．【小问2详解】证明：因为和分别是和的中点，则为的中点，所以且，即，所以，所以．【小问3详解】设直线和所成角为，第12页/共16页

又，，则，所以和所成的角为60°．18.甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响；（1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率．（2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率．【答案】（1）（2）【解析】1）利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解；（2）先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解.【小问1详解】设“甲答对3道题目”,“甲答对2道题目”“乙答对3道题目”，“乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得，，，，，设为“甲、乙两人共答对5道题目”，则，因为与互斥，与，与分别相互独立，，第13页/共16页

所以甲、乙两人共答对5道题目的概率．【小问2详解】C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，与相互独立，，E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则，因为与互斥，与，与分别相互独立，所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率19.如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，平面，为的中点（1）证明：平面；（2）求与平面所成的角；（3）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】1）连接BD交AC于O，连接OE，据此可得，可完成证明；第14页/共16页

（2）如图做，由题可得平面，连接，则为与平面所成的角，据此可得答案；（3）如图建立空间直角坐标系，可得平面的法向量，然后由空间向量知识可得答案.【小问1详解】连接BD交AC于O，连接OE.易得O为BD中点，又为