四川省成都市2025～2026学年高二数学上学期12月期中试题【含答案】

（时间：分钟；总分：分）85分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用一般式直线方程求出斜率，进而求出倾斜角.【详解】由直线方程，则直线的斜率为，即为倾斜角的正切值，所以倾斜角的大小为.故选：D2.已知空间三点，，，若三点共线，则（A.B.1C.D.2【答案】C【解析】【分析】求出向量与向量的坐标，根据三点共线，可得向量与向量共线，由此即可求出结果.【详解】因为，，且三点共线，所以向量与向量共线，所以，得．故选：C.3.下列命题中是假命题的是（）A.有，，三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为9，则样本容量为18第1页/共19页

B.一组数据2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同C.如果一组数据的方差为零，则这组数据的极差可能不为零D.若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16【答案】C【解析】【分析】由分层抽样公式求样本容量判断A选项；分别计算这组数据的平均数、众数、中位数，即可判断B选项；根据方差和极差的定义判断C选项；利用方差的性质可求得变化之后数据的标准差判断D选项.【详解】对于A：设样本容量为，则，解得，故A为真命题；对于B：平均数为，众数为3，中位数为，故B为真命题；对于CC为假命题.对于D：，则，故数据的标准差为16，故D为真命题.故选：C4.直线：被圆：所截得的弦长为（）A.B.1C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出弦心距，然后根据圆的弦长公式直接求解即可.【详解】圆：，所以圆心，半径，所以弦心距为，所以弦长为.故选：B5.“”是“直线与直线平行”的（）第2页/共19页

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案.【详解】当时，直线与平行；当直线与平行时，有，解得或，当时，与重合，不合题意；当时，直线与平行；故“”是“直线与平行”的充要条件，故选：C6.如图，用K、A、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576【答案】B【解析】AA2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04AA2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B.考点：相互独立事件的概率.7.已知点，.若直线：与线段相交，则的范围是（）第3页/共19页

A.B.C.D.【答案】A【解析】过定点.【详解】因为直线：，即，令，解得，所以直线过定点，又，，直线的斜率为，要使直线与线段有公共点，由图可知，即的取值范围是.故选：A8.已知，且，则代数式的最小值为（）A.B.18C.12D.8【答案】D【解析】【分析】设与，为的中点，可证明点在以为圆心，第4页/共19页

为半径的圆上，由，结合两点距离的几何意义即可求解.【详解】设与为圆上一点，则，得，，即为等腰直角三角形，设为的中点，则，得，即点在以为圆心，为半径的圆上，故，所以点到定点的距离的最小值为，因此的最小值为.故选：D36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.圆：与圆：相交，则的值可以是（）A.4B.5C.6D.7【答案】ABC【解析】【分析】根据圆与圆的位置关系列不等式即可得的取值范围，从而得所求.【详解】因为圆：的圆心为，半径为，第5页/共19页

圆：的圆心，半径为，由于两圆相交，则，所以，解得，故的值可以是4,5,6.故选：ABC.10.设，是同一试验中的两个事件，下列说法正确的是（）A.如果，那么与相互对立B.若，则，是互斥事件C.从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是对立事件D.已知事件，发生的概率分别为，且，则事件，相互独立【答案】BD【解析】ABC立事件的概念判断D.【详解】选项A：设连续掷一枚质地均匀的硬币2次的试验中，设“至少有一次正面向上”，“两次都是正面”，显然，但与不是对立事件，故A错误；选项B：由，，得，所以，是互斥事件，故B正确；选项C：从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，有如下结果：一个红球和一个黑球；两个都是红球；两个都是黑球；故事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是互斥事件，不是对立事件，故C错误；选项D：根据相互独立事件的定义，若事件与满足，则与相互独立，因为，，，满足，因此事件，相互独立，故D正确.第6页/共19页

故选：BD已知直线：：在直线作圆的两条切线；切点分别为、，则下列描述正确的有（）A.若，则B.圆上有2个点到直线的距离为1C.存在点，使得D.直线过定点【答案】BCD【解析】AB正弦函数的单调性确定的最大值即可判定C方程判定D.【详解】圆：圆心，半径，连接，对于A，若，则，故A错误；对于B，点到直线的距离，故直线与圆相离，因为，所以圆上有2个点到直线的距离为1，故B正确；对于C，由切线长定理知，，而，又是锐角，正弦函数在上单调递增，则的最大值为，当且仅当时取等号，因此的最大值为，故存在点，使得，故C正确；对于D，设，则以为直径的圆的方程为，第7页/共19页

即，与已知圆的方程相减可得直线的方程为，即，由，解得，即直线过定点，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则______.【答案】【解析】【分析】利用线面平行的向量性质，将几何问题转化为向量的数量积运算问题，通过解方程求解实数即可.【详解】因为直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，当，可得，所以，即，所以，解得.故答案为：.13.为了估计某自然保护区中天鹅的数量，使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天15020只.根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量为________.【答案】1500只【解析】【分析】根据样本数据估计总体数据即可.【详解】由题可设该自然保护区中天鹅的数量的估计值为，从而可得，解得，故该自然保护区中天鹅的数量估计值为1500只.故答案为：1500只.第8页/共19页

14.圆是他的研究成果之一.阿波罗尼斯圆指的是：若平面内动点与两定点，的距离之比，那么点的轨迹是圆.已知动点与定点和定点的距离之比为2，动点的轨迹方程为.若点在直线上，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】令，应用两点距离公式列方程求轨迹，结合已知圆的方程求出及点的坐标，再由，数形结合求目标式最小值.【详解】设，依题意，，即，整理得，则，解得，即，点到直线的距离为，由得，当且仅当三点共线时取等号，此时直线的斜率为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，故存在点使得三点共线，所以最小值为.第9页/共19页

故答案为：四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线．（1）求经过点，且垂直于直线的直线的方程；（2）求与直线平行，且到直线的距离为的直线的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】1）根据直线垂直的斜率关系好点斜式方程可得；（2）设出所求方程，利用平行直线的距离公式求解可得.【小问1详解】由题知，直线的斜率为，所以，所求直线的斜率为，又直线过点，由点斜式方程得所求直线方程为，整理得．【小问2详解】设所求直线方程为：，则，，或，或为所求．第10页/共19页

16.已知圆经过和两点，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）从点向圆C作切线，求切线方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)根据弦的中垂线过圆心,;(2)根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解.【小问1详解】由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1，又因为的中点为，所以线段的中垂线的直线方程为，即，联立解得，所以圆心又因为半径等于,所以圆的方程为.【小问2详解】设圆的半径为，则，若直线的斜率不存在，因为直线过点，所以直线方程为，此时圆心到直线的距离，满足题意;若直线的斜率存在，设斜率为，则切线方程为，即，因为直线与圆相切，所以圆心到直线距离，第11页/共19页

解得，所以切线方程为，即.所以切线方程或.17.某高校承办了2025怒江傈僳“阔时”文化节志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）求的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的众数和分位数（分位数精确到0.1（3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.【答案】（1），（2）众数为70；分位数为71.7（3）【解析】1）由每个小矩形面积代表频率，根据所有频率之和为1可得；（2）根据频率分布直方图中百分位数和中位数的计算求解即可；（3）先由分层抽样得出第四、第五两组志愿者抽取的人数，再利用古典概型的概率公式求解．【小问1详解】因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以，解得，第12页/共19页

所以前两组的频率之和为，即，所以.【小问2详解】根据频率直方图可知，众数为；前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以分位数在第三组，且为．【小问3详解】第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，第五组志愿者人数为1，设为，这5人中选出2人，所有情况有，共有10种情况，其中选出的两人来自不同组的有，共4种情况，故选出的两人来自不同组的概率为．18.如图，在四棱锥中，，，，，，，，点是的中点.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3与平面所成角的正弦值为?说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，第13页/共19页

【解析】1中点，，再根据几何计算结合勾股定理逆定理可得，由线面垂直判定定理得平面，再根据面面垂直判定定理证得结论；与平面与平面夹角的余弦值；（3的法向量以及直线求解的值即可得结论.【小问1详解】取中点，连接，，因为，点为中点，所以，则，所以，因为，，，所以，又，则，故，因为平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小问2详解】平面为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，第14页/共19页

则，设平面的一个法向量为，又，则，令，得，设平面的一个法向量为，又，则，令，得，所以，故平面与平面夹角的余弦值为；【小问3详解】设平面的一个法向量为，又，则，令，得，因为，且直线与平面所成角的正弦值为，第15页/共19页

所以，整理得，解得，故存在时，使得直线与平面所成角的正弦值为.19.已知的两个顶点，C的轨迹记为曲线T的直线l与曲线T相交于M，N两点．（1）求曲线T的方程；（2）若点，记的面积为，求的取值范围；（3x轴上的定点Q存在，说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，，【解析】1）设动点坐标，方法1由直线垂直斜率乘积为求得轨迹方程；方法2由直角三角形斜边上的中线得到即可求得轨迹方程；方法3,由勾股定理建立方程求得轨迹方程；（2）方法1设，联立方程组整理得一元二次方程，由三角形面积公式结合韦达定理列出的代数式，然后借助双勾函数的单调性求得最值；方法2讨论斜率是否存在，设直线方程，联立方程组整理得一元二次方程，由三角