2026年高考物理终极冲刺：压轴07 带电粒子在匀强磁场中的运动（压轴题专练）（全国适用）（原卷版及全解全析）

1/20压轴07带电粒子在匀强磁场中的运动命题预测带电粒子在匀强磁场中运动是2026年高考物理高频核心考点，命题概率高、综合性强。当粒子速度与磁场平行时，洛伦兹力为零，粒子做匀速直线运动；当速度与磁场垂直时，洛伦兹力充当向心力，粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力始终不做功，只改变速度方向而不改变速度大小。高考考查重点集中在匀速圆周运动的半径公式、周期公式及运动时间计算，常以直线、圆形等有界磁场为载体，要求确定轨迹圆心、利用几何关系求解半径与圆心角，并结合入射角等于出射角等对称性规律分析。命题趋势还会侧重动态圆模型、临界与极值问题，如轨迹相切、最大偏转角等，同时可能结合质谱仪、回旋加速器等实际应用情境。复习时需强化左手定则应用、轨迹作图能力，熟练几何运算，提升多模型迁移与临界分析能力。高频考法1.带电粒子在匀强磁场中的运动2.带电粒子在磁场中运动的多解问题3.带电粒子在磁场中运动的临界极值问题4.动态圆考向一带电粒子在匀强磁场中的运动1.带电粒子在有界磁场中的圆心、半径及运动时间的确定基本思路图例说明圆心的确定①与速度方向垂直的直线过圆心②弦的垂直平分线过圆心P、M点速度方向垂线的交点P点速度方向垂线与弦的垂直平分线交点半径的确定利用平面几何知识求半径常用解三角形法：左图中，R＝eq\f(L,sinθ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝eq\f(L2＋d2,2d)运动时间的确定利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度l求时间①t＝eq\f(θ,2π)T②t＝eq\f(l,v)t＝eq\f(θ,2π)T＝eq\f(φ,2π)T＝eq\f(2α,2π)Tt＝eq\f(l,v)＝eq\f(\o(AB,\s\up8(︵)),v)2.带电粒子在有界磁场中运动的常见情形(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)(2)平行边界：往往存在临界条件，如图所示。(3)圆形边界①速度指向圆心：沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏向角②速度方向不指向圆心：如图乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与半径夹角也为θ。③环形磁场：如图丙所示，带电粒子沿径向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一定沿半径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度。考向二带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。1.带电粒子电性不确定形成多解分析图例带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b2.磁场方向不确定形成多解分析图例只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解粒子带正电，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b3.临界状态不确定形成多解分析图例带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解考向三带电粒子在磁场中运动的临界极值问题解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键是以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。1.临界条件刚好穿出(穿不出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。2.几种常见的求极值问题(1)时间极值①当速度v一定时，弧长(弦长)越长或圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。②圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长。③最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直。如图，P为入射点，M为出射点，此时在磁场中运动时间最短。(2)磁场区域面积极值若磁场边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场的一条弦，以该条弦为直径的圆就是最小圆，对应的圆形磁场有最小面积。考向四动态圆1.“平移圆”模型适用条件粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝eq\f(mv0,qB)，如图所示轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行界定方法将半径为R＝eq\f(mv0,qB)的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法2.“旋转圆”模型适用条件粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝eq\f(mv0,qB)，如图所示轨迹圆圆心共圆如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝eq\f(mv0,qB)的圆上界定方法将一半径为R＝eq\f(mv0,qB)的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法3.“放缩圆”模型适用条件粒子源发射初速度方向一定，大小不同的粒子，在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线带正电粒子速度v越大，运动半径也越大。运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上界定方法以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法4.“磁聚焦”与“磁发散”模型磁发散磁聚焦带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线方向与入射方向平行典例·靶向·突破题型01带电粒子在直线边界磁场中运动1．如图，在xOy平面直角坐标系x>0、y<y0区域内存在大小为B0、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在x<0、y<y0区域内存在大小为3B0、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。开始计时时，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子以速度vA．若粒子的速度方向能再次沿x轴正向，所经历的时间可能为4B．若粒子的速度方向能再次沿x轴正向，此时粒子位置的纵坐标可能为6mC．若粒子离开磁场时速度与y轴成30°夹角，所经历的时间可能为13D．若粒子离开磁场时速度与y轴成30°夹角，y0的大小可能为题型解码题型解码粒子从同一直线边界入射、出射，满足入射角＝出射角，轨迹关于边界垂线对称。题型02带电粒子在矩形边界磁场中运动2．如图所示，宽为L、长为2L的长方形ABCD区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在AB的中点O处有一个离子源，沿图示的与AB成60°角的方向发射速度大小为0~v的相同带正电粒子，其中在磁场中运动时间最短的粒子的运动时间为其做圆周运动周期的六分之一，不计粒子重力及粒子间的相互作用，以下说法正确的是（）A．粒子的比荷为vB．从AB边射出的粒子运动时间均为4πLC．从CD边射出的粒子速度范围为(D．从AD边射出的粒子速度范围为2(2−题型解码题型解码上下左右四条直线边界组合，粒子多做部分圆弧运动，常见从一边进、邻边或对边出。先确定入射点与速度方向，画出完整轨迹圆，再截取矩形内圆弧；重点找圆心位置、偏转角、弦长。题型03带电粒子在圆形边界磁场中运动3．如图所示，xOy坐标平面内，以O点为圆心的两个圆，半径分别为r和3r。小圆区域I内的匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B，环形区域II内的匀强磁场垂直于纸面向外。一质量为m、电量为q的带正电粒子从A(0,r)点沿y轴负方向出发，由P(r,0)A．粒子运动的速度大小为qBrB．区域I、II内的磁感应强度大小之比为3C．粒子从A点出发到第一次返回区域I的过程中，速度方向改变了120°D．粒子返回A点的最短时间为(5+4题型解码题型解码抓住“径向入—径向出”快速定方向；相切为临界状态；偏转角度由轨迹半径与磁场半径比例决定。题型04带电粒子电性的不确定形成的多解问题4．如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（）

A．πm3qB B．C．4πm3qB D．题型解码题型解码1.常见多解来源电性正负不确定、速度方向不确定、磁场方向不确定、轨迹半径大小不确定、周期性重复出入边界。2.解题思路先按单一情况画轨迹，再逐一考虑方向、电性、磁场反向等情况，分类讨论不重不漏。3.关键技巧多解常表现为轨迹上下对称、左右对称、旋转对称；注意周期性带来的通式解；做完一定要检查是否漏解。题型05磁场方向的不确定性形成的多解问题5．如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行两块足够长的平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示（垂直于纸面向里的磁场方向为正方向），有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场，已知正离子质量为m，带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为TA．磁感应强度B0大小等于B．当入射速度大小为2πdT0时，粒子能从C．当入射速度大小为πd4T0D．若正离子能从O′孔垂直于N板射出磁场，则当离子做匀速圆周运动的半径为d题型解码题型解码磁场方向可能垂直纸面向里或向外，导致洛伦兹力方向截然相反，粒子轨迹分别向左、向右偏转。解题时必须分类讨论，根据题意画出两种可能的轨迹，通常会得到关于边界对称的两组解题型06临界状态的不唯一形成的多解问题6．如图所示为半径为R的半圆形有界匀强磁场（含圆形边界），磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外，位于圆心O点处的质子源可在纸面内沿各个方向以相等速率向磁场区域内连续发射质量m、电荷量为q的质子（重力不计），则下列说法正确的是（）A．为使所有质子均不会从磁场圆弧边界ACD射出磁场，则质子的速度v≤B．从圆心O处以斜向右与AD夹角为60°的方向发射的质子恰从D点射出，则质子的轨道半径为3C．若质子的速率v=3qBRD．若质子的速率v=3qBR题型解码题型解码临界条件往往不唯一，如粒子刚好穿出磁场、刚好不飞出、或与边界相切等情况，可能对应不同的入射位置或速度大小。当存在两个或多个临界位置时，粒子轨迹会呈现出对称分布特征，形成多解，解题关键是找出所有可能的临界边界。题型07带电粒子在磁场中运动的临界极值问题7．如图所示，xOy平面的第一象限存在一圆形匀强磁场区域，与x轴、y轴分别相切于P、Q点，其圆心为O1，半径为R，磁感应强度大小为B、方向垂直xOy平面向里。一带电粒子从P点沿PO1方向以速度v射入磁场区域，该粒子恰好经过Q点。现使大量此种带电粒子从P点沿不同方向以速度v射入磁场区域，其速度方向均处于与PO1(1)该带电粒子的比荷；(2)粒子在第一象限内运动的最长时间（结果可保留根号）；(3)圆形磁场区域内，有粒子经过的区域的面积。题型解码题型解码核心抓“相切”与“最远”，找粒子轨迹圆与磁场边界的切点是求解临界条件的关键。当粒子速度或入射点变化时，轨迹圆的半径或位置发生改变，最大偏转角度、最长运动时间、最小半径等极值通常出现在相切状态，解题时需结合几何图形确定极值位置。题型08“平移圆”模型8．如图，在直角三角形ABC内存在垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB边长度为d，∠C=π6，现垂直AB边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子，已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为2B．该匀强磁场的磁感应强度大小为πmC．粒子在磁场中运动的轨道半径为3D．粒子进入磁场时速度大小为3题型解码题型解码解题核心是平移轨迹圆，找出覆盖范围的边界或最远点，通常用于求解粒子能到达的最远位置、最大偏转角度等问题，直观易懂。题型09“旋转圆”模型9．如图，在竖直平面内的Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为qBdmA．粒子在磁场中做圆周运动的半径为2dB．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为3C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为dD．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为π题型解码题型解码旋转圆模型针对的是粒子入射点固定、速度方向变化的情况，轨迹圆绕入射点旋转。解题关键是旋转轨迹圆，根据速度方向的全角度变化，确定圆心的分布轨迹，常用于分析粒子出射点的分布范围，或寻找特定出射角度对应的入射方向。题型10“磁聚焦”与“磁发散”模型10．磁聚焦和磁发散技术在许多真空系统中得到了广泛应用，如电子显微镜技术，它的出现为科学研究做出了重大贡献。现有一个磁发散装置，如图所示，在半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向外，磁感应强度为B的匀强磁场，在圆形磁场区域右侧有一方向竖直向下，电场强度为E的匀强电场，电场左边界与圆形磁场右边界相切。在水平地面上放置一个足够长的荧光屏PQ，它与磁场相切于P点。粒子源可以持续的从P点向磁场内发射速率为v方向不同的带正电同种粒子。经观测：有一粒子a以竖直向上的初速度射入磁场，该粒子经磁场偏转后恰好以水平方向离开磁场，然后进入电场区域。粒子b进入磁场的速度方向与粒子a的速度方向夹角为θ（未知），进入磁场后，粒子b的运动轨迹恰好能通过圆形磁场的圆心O，最终也进入到电场区域。已知电场强度和磁感应强度的关系满足E=Bv，不计粒子重力及粒子间相互作用。求：（1）粒子的比荷qm（2）粒子b与粒子a的夹角θ和b粒子打在荧光屏上的亮点到P点的距离x；（3）入射方向与荧光屏所在平面成60°~120°区间范围内的粒子，最终打到荧光屏上形成的亮线长度。

题型解码题型解码磁聚焦是指平行入射的粒子经圆形磁场偏转后汇聚于同一点，条件是轨迹圆半径等于磁场圆半径。磁发散则是聚焦的逆过程，粒子从焦点出发经磁场偏转后平行出射。1．（2025·福建泉州·模拟预测）我国研制的世界首套磁聚焦霍尔电推进系统已经完成了全部在轨飞行验证工作，可作为太空发动机使用，带电粒子流的磁聚焦是其中的关键技术之一。如图，实线所示的两个圆形区域内存在垂直于纸面的匀强磁场I、II，磁感应强度分别为B1，B2。两圆半径均为r，相切于O点。一束宽度为2r的带电粒子流沿x轴正方向射入后都汇聚到坐标原点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为+q、进入磁场的速度均为v，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（

）A．B1的大小为mvB．从O点进入磁场II的粒子的速度仍相等C．若B2D．若B2=0.52．（2026·云南昆明·二模）在同一平面内，三个半径均为R的圆形区域内分别存在垂直于该平面的匀强磁场，Ⅱ、Ⅲ区域内的磁感应强度大小均为B0，a、b、c为圆形区域的切点，如图所示。Ⅰ区域的圆心为O，其边界上P点有一粒子源，能沿Ob方向发射大量比荷不同、速度均为v0的带电粒子。某粒子恰好能依次经过a、b、c点后返回P点。不计粒子重力及粒子间的相互作用，已知A．Ⅰ、Ⅱ区域的磁场方向相同B．该粒子通过Ⅰ、Ⅱ区域时运动轨迹的半径之比为3:1C．该粒子的比荷为3D．该粒子从射出到返回P点的时间为6+73．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）地磁场可以减少宇宙射线中带电粒子对地球上生物体的危害。某研究小组模拟了一个地磁场，如图，模拟地球半径为R，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球、厚度为d、方向垂直该剖面的匀强磁场（磁感应强度大小为B），d=2R。磁场边缘A处有一粒子源，可在赤道平面内以不同速度向各个方向射入某种带正电粒子。研究发现，当粒子速度为2v时，沿半径方向射入磁场的粒子恰不能到达模拟地球。不计粒子重力及大气对粒子运动的影响，且不考虑相对论效应，取sin42A．粒子的比荷qB．速度小于v的粒子，无法到达模拟地球C．速度为v的粒子，到达模拟地球的最短时间为tD．速度为2v的粒子到达地球的粒子数约占进入地磁场粒子总数的23.34．（2026·河北邯郸·一模）如图所示，坐标系Oxyz所处空间中存在着平行于y轴正方向、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m的带电粒子从坐标原点O处以方向与y轴正方向夹角为37°、大小为v0的速度射入yOz平面，粒子恰好能经过坐标为d,y0,0（A．粒子的电荷量为mB．粒子一定经过坐标为0,2yC．粒子从O点运动到P点的过程中受到洛伦兹力的冲量大小为6D．y0可能为5．（25-26高三上·北京海淀·期末）自由电子激光器是把电子束的能量转换成相干辐射的激光器，其核心部件是扭摆磁铁。如图所示，扭摆磁铁由沿y方向周期性交错排列的2n对、宽度均为a的永磁体组成（n≫10）。电子经加速后，从坐标原点O射入xOy平面，在周期性磁场力作用下，电子几乎沿y轴方向前进，同时在x方向上做小幅摆动，并向外辐射出电磁波。电子运动情况相同时，可以辐射出相位相同的电磁波。已知磁场沿z轴方向的分量Bz随y的变化关系为Bz=B0sinπA．在y=0到y=a范围内，电子做匀速圆周运动B．电子运动过程中，若经过点（0，a，0），则一定会经过点（0，2a，0）C．电子穿过扭摆磁铁的时间为2πmnD．沿y方向相距为2a的两点处运动情况相同的电子，辐射出的电磁波相位相同6．（2026·福建福州·二模）如图，圆心为O、半径为R的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场。从圆周上的P点在纸面内沿不同方向射入各种速率的同种粒子（不计重力），粒子的质量为m、电荷量为+q。其中沿PO方向射入速率为v0的粒子，经时间t后从A点离开磁场，∠POA=90°A．所有速率为v0B．不同速率的粒子在磁场中运动的时间都为2tC．速率为3v0D．速率为v02的粒子不可能从7．（24-25高二上·安徽滁州·期末）如图所示，光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于中心轴的、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直横截面向里，筒上P点开有一个小孔，过P点的横截面是以O为圆心的圆。若一个（不计重力）质量为m，电量为q的带正电粒子以速率v1沿PO射入，与筒壁碰撞2次后刚好从小孔射出，若此带电粒子以速率v2（大小未知）沿PO射入，与筒壁碰撞3次后刚好从小孔射出，每次碰撞均为弹性碰撞且电荷量保持不变，不计粒子重力，圆筒的半径R和A．R=3mv12qB；vC．R=3mv13qB；v8．（25-26高三上·河南开封·期末）如图所示，直角三角形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界），磁感应强度为B，∠A=90°，∠B=30°，AC=L，A处有一个粒子发射源，可以在0~90°内发射不同速率的同种带负电粒子，粒子的比荷为k。若粒子的速率用v0（未知）表示，初速度与AB边的夹角用θA．若v0=3kBLB．若θ=30°，粒子从AB边射出的最大速率为kBLC．若θ=90°且粒子恰好不从BC边射出，则vD．若θ=90°且粒子恰好不从BC边射出，则v9．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图所示，光滑水平桌面上有边长为L的正方形区域abcd，区域内存在竖直向下的匀强磁场，在ab边的中点O有一粒子发射源，可以沿与ab成30∘角方向发射速度大小不同的相同带正电粒子，已知粒子的比荷为k，磁感应强度大小为BA．若粒子从ab边射出，粒子射出的速度大小υ≤B．若粒子从ad边射出，粒子射出的速度大小满足kBLC．粒子在磁场中运动的最长时间为t=D．从cd边射出磁场的粒子在磁场中的运动时间满足π10．（2025·新疆·二模）如图所示，底部中央开孔、三面有绝缘挡板的正三角形（边长为a）区域内有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外。比荷为k的带电粒子从小孔垂直磁场方向射入磁场内，与挡板发生弹性碰撞后，以最短的时间从小孔穿出磁场。带电粒子的重力忽略不计，碰撞过程中所带电荷量保持不变。下列说法正确的是（）A．带电粒子一定为正电荷B．带电粒子的入射速度为aBC．带电粒子在磁场中的运动时间为πkD．带电粒子做圆周运动的向心加速度大小为a11．（2026·安徽黄山·一模）如图所示，直径为AB=2R、圆心为O的圆形区域内有磁感应强度为B的匀强磁场。圆形磁场区域右侧有足够长的平行金属板ab，ab两板延长线与圆形磁场相切于A、B两点，两板间存在磁感应强度也为B的匀强磁场，两板间磁场和圆形磁场刚好不重叠。平面内与AO夹角不大于60∘的范围内，大量粒子以相同速率从A点向各方向均匀持续入射。已知沿AO入射的粒子在圆形磁场中速度方向变化了90A．粒子从A点入射的速率为qBRB．开关S闭合时a极板接地，a板上有粒子击中的区域长度为RC．开关S闭合时a极板接地，粒子从A点到a极板最长时间为5D．断开开关S，足够长时间后，增大两板间距，粒子运动不受影响12．（2026·湖南邵阳·二模）如图所示为扇形聚焦回旋加速器的部分原理图。将半径为R的圆形区域分成2nn=2、3、4…个扇形区域，相互间隔的n个圆心角相同的区域内存在垂直纸面向外，磁感应强度大小为B的匀强磁场，另外n个圆心角相同的区域内没有磁场，其中有磁场区域的圆心角等于无磁场区域圆心角的一半。一群速度大小不同，质量为m，电荷量为q的同种带电粒子，依次经过2nA．粒子在n个磁场区域运动的时间为2B．粒子在n个无磁场区域运动的时间为4nmC．粒子的运动周期与n无关D．粒子运动最大半径为R13．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）如图所示，长方形abcd区域内有匀强磁场，ab=2bc=2L，磁感应强度大小为B，ab边中点处S有一粒子源，向磁场内各方向均匀发射速率相同的带电粒子，已知带电粒子的比荷为qm=k，有二分之一的粒子从cd边射出，A．粒子源发射的粒子带负电B．粒子源发射的粒子速率为v=kBLC．有六分之一的粒子从aS边射出D．从cd边中点S'射出的粒子，所用时间跟从a点射出的粒子所用时间相同14．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图所示，平面内有一个半径为R=0.2m的圆柱区域，右侧存在一个截面为矩形的区域abcd，两个区域的切点O为ad边的中点，bc=2ab=0.64m。两个区域内存在垂直纸面向外且相同的匀强磁场（两区域磁场方向平行），磁感应强度B=0.3T。现有一簇粒子以速度vA．射入柱形区域的粒子均由O点射入矩形区域B．进入矩形区域的粒子在bc边射出的长度为0.4C．进入矩形区域的粒子运动的最长时间为2πD．由cd边射出的粒子数与进入矩形区域的粒子数之比为3:515．（2026·山东日照·一模）某磁约束装置的截面图如图所示，一环形区域截面的内圆半径为R，外圆半径为3R，圆心均在O点。环形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。内圆上的O1点有一粒子源，可在纸面内发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子，其中粒子甲垂直于OOA．粒子甲的速度大小为1+B．粒子乙的速度大小为3C．粒子乙从射入磁场到第n次返回O1点所需时间为D．粒子乙从射入磁场到第n次返回O1点所需时间为16．（2026·江西上饶·一模）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab=bc=L，∠β=60°，且ab//cd。一束带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。已知该粒子的比荷为A．2π3kB B．πkB C．4π3kB17．（2026·四川绵阳·模拟预测）如图所示，在xOy坐标系内，0≤y≤3a区域存在垂直于坐标平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B。位于坐标原点的粒子源，可在xOy平面内与x轴正方向间的夹角在0∼π之间发射大量速度方向不同、大小相等的同种带电粒子。已知沿y轴正方向发射的粒子经时间t0从边界上P（A．粒子的比荷为2πB．粒子在磁场中做圆周运动的半径2aC．粒子在磁场中运动的最短时间小于1D．从y=3a的边界离开的粒子距O18．（2026·江苏·一模）某质谱仪简化结构如图所示，在xOy平面的y>0区域存在方向垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场，在x轴处放置照相底片，大量a、b两种离子飘入（其初速度几乎为零）电压为U的加速电场，经过加速后，从坐标原点且与y轴成θ角的范围内垂直磁场方向射入磁场，最后打到照相底片上，测得最大发射角的余弦值cosθ=0.9，已知a、b两种离子的电荷量均为−q，质量分别为2m和mA．a离子在磁场中速度大小为2qUB．b离子在照相底片上形成的亮线长度为2C．打在照相底片上的a、b两种离子间的最近距离为18D．若加速电压在U−ΔU,U+ΔU之间波动，要在底片上完全分辨出a、b19．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（）A．粒子的入射速度为BqLB．粒子的入射速度为3C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为πLD．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为πm20．（2024·安徽·三模）如图所示，用边长为a的六块荧光屏组成的正六边形ABCDEF区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一束比荷（电荷量与质量之比）为k的带电粒子从A点沿AE方向射入磁场区域。粒子打在荧光屏上会使其感光且粒子被吸收并导走。粒子速率均匀分布在kBa2≤vA．若粒子带正电，DE屏（除D点外）会发光B．若粒子带正电，磁场中有粒子经过的区域的面积为13C．若粒子带负电，AF屏上会发光的长度为aD．若粒子带负电，在磁场中运动时间相等的粒子数目占总粒子数的一半21．（2026·江西南昌·一模）如图甲所示，直三棱柱ABC−MNQ的底边是等边三角形，O为AB的中点，在三棱柱内（含边界）有一平行CQ向右的匀强磁场，在O点有一粒子源可沿某方向发射初速度不同的带电粒子，带电粒子的质量均为m、电荷量均为qq>0。当发射源沿OA方向发射粒子时（如图乙），限定粒子速度的最大值，使得速度最大的粒子恰好能垂直AC边离开磁场，其在磁场中运动的时间为t(1)求磁感应强度B的大小；(2)求AC边界有粒子飞出的长度与AC的长度之比；(3)若将发射源发射的方向改为沿OM（如图甲），且不再限定粒子速度的最大值，求能从MNQ面射出的粒子中，所用时间的最小值。22．（25-26高三下·云南红河·月考）如图甲所示为某一粒子控制装置的原理图。平行金属板M、N水平放置，两板的长度及两板间距均为d，在两板间加有如图乙所示的交变电压（图中纵轴上U0已知、横轴上T未知），两板左侧有一放射性粒子源，沿两板中线向右不断射出比荷为k的正电粒子，所有粒子穿过两板间电场的时间均为T，两板右侧较远地方有一直径为d的圆形磁场区域(O点为圆心，CD为竖直直径）和一足够长、宽为d的矩形磁场区域PQGH，极板M的延长线与矩形区域的边界HG重合，与圆形区域在C点相切。圆形区域与矩形区域内磁场的方向均垂直纸面向里、磁感应强度大小分别为B1（未知量）、B2（未知量）。已知t=0时刻从两板左侧飞入的粒子刚好从N板右端边缘射出电场，t=0.25T时刻射入的粒子经圆形区域偏转后刚好从C点进入矩形区域，之后从边界PQ(1)交变电压的周期T及粒子射入两板间的初速度大小v0(2)B1与B(3)在矩形区域内有粒子经过的区域的面积。23．（23-24高三上·辽宁·月考）如图所示，多边形区域内有磁感应强度为B的垂直纸面向里的匀强磁场（边界处有磁场），粒子源P可以沿底边向右发射质量为m、电荷量为+q的粒子，粒子速率各不相同；右侧边界中点处有一粒子源Q可以在纸面内沿各个方向向磁场内部发射质量为m、电荷量为−q、速率为v1=qBaA．由粒子源P发射的粒子，能够到达的边界长度为3aB．由粒子源P发射的粒子，能够到达的边界长度为4aC．由粒子源Q发射的粒子，首次到达边界（除Q所在的边界）的最短时间为πD．由粒子源Q发射的粒子，首次到达边界的最长时间为π24．（2025·甘肃白银·一模）如图所示，平面内有一个半径为R的圆形区域，右侧存在一个截面为矩形的区域abcd，两个区域的切点O为ad边的中点，ab=R，bc=2R，bc和cd边上分别有两个接收屏（接收屏的长度等于矩形区域的边长）。两个区域内存在垂直纸面向外且相同的匀强磁场（两区域磁场方向平行），磁感应强度B=mv0qR，现有一簇粒子（质量为m，电荷量为+qA．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动时间为πRB．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动半径为2RC．矩形区域内粒子所经过的面积为πD．打到cd屏上的粒子数占进入矩形区域粒子数的比例为325．（2026·河北石家庄·一模）在如图所示的平面直角坐标系xOy中，第一、四象限区域存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面的匀强磁场，第二象限存在磁感应强度大小为74B、方向垂直于纸面的圆形有界匀强磁场（磁场均没有画出）。从O点发射一质量为m、电荷量为+q的粒子，粒子依次经过M6d,0、P0,8d两点后进入第二象限。粒子经过第二象限圆形有界磁场偏转后恰好回到O点，且回到O(1)粒子从O点发射时的速度v大小；(2)第二象限圆形磁场区域的最小面积S；(3)粒子从P点第一次运动到O点的时间t。26．（25-26高二上·陕西渭南·期末）如图所示，静止于A处的带正电粒子，经加速电场加速后沿图中14圆弧虚线通过静电分析器，从P点垂直CN竖直向上进入矩形区域的有界匀强磁场（磁场方向如图所示，其中CNQD为匀强磁场的边界）。静电分析器通道内有均匀辐向分布的电场，方向如图所示。已知加速电场的电压为U，圆弧虚线的半径为R，粒子质量为m、电荷量为q，QN=2d，PN=3d(1)求粒子刚进入静电分析器时的速度大小；(2)求粒子在辐向电场时其所在处的电场强度E；(3)要求带电粒子最终能打在边界QN上，求磁场磁感应强度B的取值范围。27．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系xOy内有一圆形有界磁场Ⅰ和一矩形有界磁场Ⅱ（未画出）。磁场Ⅰ圆心坐标为2d,0，半径为2d，磁场Ⅱ位于y轴左侧。磁场Ⅰ、Ⅱ的方向均垂直纸面向外，磁感应强度的大小分别为2B、B，有界区域边界上均有磁场。位于坐标原点的粒子源（大小忽略不计）可以向y轴右侧任意方向发射质量均为m、电荷量均为q、速率均为v0=2qBdm的同种带正电粒子，这些粒子的出射点都位于x轴下方的一段圆弧OP（P为圆弧上离O点最远的点，未画出）上。若从P点出射的带电粒子依次经过真空区域、磁场Ⅱ、真空区域后恰好能回到O点，且该粒子先后两次经过(1)P点的坐标；(2)从P点射出的粒子在矩形磁场区域中运动的时间；(3)矩形磁场区域的最小面积。28．（2026·四川成都·二模）托卡马克装置是一种利用磁约束来控制粒子在环形容器内部运动从而实现受控核聚变的装置。图示为该装置截面的简化模型。两个圆心均在O点，半径分别为2R和5R的圆将装置分成区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ无磁场，区域Ⅱ（含边界）有方向垂直于纸面向里、大小为B的匀强磁场。区域Ⅰ内有一粒子源可向纸面内各个方向发射质量为m，电荷量为qq>0(1)若粒子源固定在O点，求在磁场中运动半径为23R3的粒子速率v(2)若粒子源可放置在区域Ⅰ内任意位置，要使发射的所有粒子均被“束缚”在装置内，求粒子速率v的取值范围；(3)由于加热功率限制，粒子最大速率为vm=7qBR4m，要使所有粒子均被“束缚”在装置内，粒子源仅能放置于区域Ⅰ内部分位置，求粒子源放置位置与圆心29．（2025·重庆·模拟预测）如图所示，在PM和QK之间有大量相同的带电粒子以初速度v0沿水平方向射入半径为R的圆形区域，PM与圆心O在同一水平直线上，PM和QK间的距离为0.5R，圆形区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），所有粒子均从O点正下方的N点射出圆形区域，已知带电粒子的质量为m，带电荷量为q(1)匀强磁场的磁感应强度大小B；(2)匀强磁场的最小面积S。30．（2026·湖北黄冈·二模）如图所示，平面直角坐标系xOy中，有一个半径为R的圆形磁场区域，其圆心坐标为−R,0，磁感应强度大小为B，方向垂直xOy平面向外。在直线y=−2R上放置长度为2R的线状粒子源，粒子源一端在y轴上，该粒子源沿+y方向均匀发射速度大小为v0的相同带电粒子，所有粒子经磁场偏转后从坐标原点O处射出，其中指向圆心射入的粒子恰好从O点沿x轴正方向射出。x=1.6R处有与y轴平行的荧光屏，荧光屏足够大。粒子的重力及粒子间的相互作用忽略不计，取sin(1)求粒子的比荷qm(2)若y轴与荧光屏之间存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B1(3)若y轴与荧光屏之间存在垂直xOy平面向外的磁场，磁感应强度大小B2与横坐标x满足B2=kx（k为常量），所有粒子均不能打到荧光屏上，（不考虑y31．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在坐标系Oxy内，圆心在O点、半径为R的四分之一圆形区域内无电场也无磁场，其左、右边界与x轴的夹角分别为30°和60°。放置在O点的粒子源，可沿四分之一圆形区域的半径方向发出质量为m，电荷量为q的带正电的粒子，粒子初速度大小为3qBRm。所有粒子从圆弧MN进入垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。经过该磁场（磁场区域范围未知）偏转后，所有粒子最终都平行于x轴飞出磁场，并垂直打在右侧的粒子接收板(1)粒子在匀强磁场中运动时间的最小值；(2)粒子打在接收板上的长度；(3)y轴右侧最小磁场区域对应的所有边界方程。32．（2025·湖北荆州·三模）如图所示，边长为L的正方形abcd内、外充满磁感强度为B、方向如图所示的匀强磁场。bc边中点的粒子源P不断发出速度不等，但方向均垂直于bc指向正方形内部的质子，质子电荷量为q，质量为m。若质子最终垂直于bc回到P点。(1)质子的最大速率vm(2)若质子速度分别为v1=qBL2m、v2=qBL6m，说明质子能否垂直(3)若质子的速度大小在qBL20m33．（2025·广东广州·一模）如图，半径为R和2R的同心圆a、b将足够大的空间分隔为I、II、III区域，圆心为O。I区存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场；II区存在沿半径方向向外的辐向电场；III区存在方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未标出）。一带电粒子从P点沿半径方向以速度v0射入I区，偏转后从K点离开I区，穿过II区后，以速率v02进入III区。已知∠(1)判断粒子的电性并求出其比荷qm(2)求a、b之间的电势差Uab；(3)若粒子第三次从II区进入III区之前能经过P点，求III区磁场磁感应强度大小。34．（2025·河北沧州·一模）用磁场实现对微观粒子的控制在高能物理、材料科学、核磁共振、微流控芯片等领域有着广泛的应用。如图所示为一种能够实现用磁场控制微观粒子的装置内部磁场分布图，x轴上方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小B1=22B，x轴下方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小B2=B；在坐标原点O处有一粒子源，可以同时发射速度大小为v0、方向分别沿y轴正、负方向的两个带电粒子(1)若P、Q两粒子同时经过Hx0,0(2)若B=B0，且在xOy坐标系内的磁场为矩形磁场，为使两粒子发射后能够在磁场中相遇(3)两粒子发射后的运动轨迹会有很多交点，若B=B0，且两粒子发射时间不同，为使两粒子能相遇在横坐标最小的轨迹交点处，求两粒子发射的时间差

压轴07带电粒子在匀强磁场中的运动命题预测带电粒子在匀强磁场中运动是2026年高考物理高频核心考点，命题概率高、综合性强。当粒子速度与磁场平行时，洛伦兹力为零，粒子做匀速直线运动；当速度与磁场垂直时，洛伦兹力充当向心力，粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力始终不做功，只改变速度方向而不改变速度大小。高考考查重点集中在匀速圆周运动的半径公式、周期公式及运动时间计算，常以直线、圆形等有界磁场为载体，要求确定轨迹圆心、利用几何关系求解半径与圆心角，并结合入射角等于出射角等对称性规律分析。命题趋势还会侧重动态圆模型、临界与极值问题，如轨迹相切、最大偏转角等，同时可能结合质谱仪、回旋加速器等实际应用情境。复习时需强化左手定则应用、轨迹作图能力，熟练几何运算，提升多模型迁移与临界分析能力。高频考法1.带电粒子在匀强磁场中的运动2.带电粒子在磁场中运动的多解问题3.带电粒子在磁场中运动的临界极值问题4.动态圆考向一带电粒子在匀强磁场中的运动1.带电粒子在有界磁场中的圆心、半径及运动时间的确定基本思路图例说明圆心的确定①与速度方向垂直的直线过圆心②弦的垂直平分线过圆心P、M点速度方向垂线的交点P点速度方向垂线与弦的垂直平分线交点半径的确定利用平面几何知识求半径常用解三角形法：左图中，R＝eq\f(L,sinθ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝eq\f(L2＋d2,2d)运动时间的确定利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度l求时间①t＝eq\f(θ,2π)T②t＝eq\f(l,v)t＝eq\f(θ,2π)T＝eq\f(φ,2π)T＝eq\f(2α,2π)Tt＝eq\f(l,v)＝eq\f(\o(AB,\s\up8(︵)),v)2.带电粒子在有界磁场中运动的常见情形(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)(2)平行边界：往往存在临界条件，如图所示。(3)圆形边界①速度指向圆心：沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏向角②速度方向不指向圆心：如图乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与半径夹角也为θ。③环形磁场：如图丙所示，带电粒子沿径向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一定沿半径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度。考向二带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。1.带电粒子电性不确定形成多解分析图例带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b2.磁场方向不确定形成多解分析图例只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解粒子带正电，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b3.临界状态不确定形成多解分析图例带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解考向三带电粒子在磁场中运动的临界极值问题解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键是以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。1.临界条件刚好穿出(穿不出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。2.几种常见的求极值问题(1)时间极值①当速度v一定时，弧长(弦长)越长或圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。②圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长。③最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直。如图，P为入射点，M为出射点，此时在磁场中运动时间最短。(2)磁场区域面积极值若磁场边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场的一条弦，以该条弦为直径的圆就是最小圆，对应的圆形磁场有最小面积。考向四动态圆1.“平移圆”模型适用条件粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝eq\f(mv0,qB)，如图所示轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行界定方法将半径为R＝eq\f(mv0,qB)的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法2.“旋转圆”模型适用条件粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝eq\f(mv0,qB)，如图所示轨迹圆圆心共圆如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝eq\f(mv0,qB)的圆上界定方法将一半径为R＝eq\f(mv0,qB)的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法3.“放缩圆”模型适用条件粒子源发射初速度方向一定，大小不同的粒子，在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线带正电粒子速度v越大，运动半径也越大。运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上界定方法以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法4.“磁聚焦”与“磁发散”模型磁发散磁聚焦带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线方向与入射方向平行典例·靶向·突破题型01带电粒子在直线边界磁场中运动1．如图，在xOy平面直角坐标系x>0、y<y0区域内存在大小为B0、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在x<0、y<y0区域内存在大小为3B0、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。开始计时时，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子以速度vA．若粒子的速度方向能再次沿x轴正向，所经历的时间可能为4B．若粒子的速度方向能再次沿x轴正向，此时粒子位置的纵坐标可能为6mC．若粒子离开磁场时速度与y轴成30°夹角，所经历的时间可能为13D．若粒子离开磁场时速度与y轴成30°夹角，y0的大小可能为【答案】AD【详解】根据qvB=mv2r可知，粒子在右侧磁场中运动的半径在左侧磁场中运动的半径r2=A．若粒子的速度方向能再次沿x轴正向，所经历的时间t=n(当n=3时t=4πmB．若粒子的速度方向能再次沿x轴正向，此时粒子位置的纵坐标y=n(2则不可能为6mvCD．若粒子沿类似轨迹a的形式从磁场中沿与y轴成30°角方向射出，根据几何关系可知d1=2所以d故粒子离开磁场时不可能沿着轨迹a；若粒子沿类似轨迹b的形式从磁场中沿与y轴成30°角方向射出，则y当n=3时y粒子所经历的时间t则t'故选AD。题型解码题型解码粒子从同一直线边界入射、出射，满足入射角＝出射角，轨迹关于边界垂线对称。题型02带电粒子在矩形边界磁场中运动2．如图所示，宽为L、长为2L的长方形ABCD区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在AB的中点O处有一个离子源，沿图示的与AB成60°角的方向发射速度大小为0~v的相同带正电粒子，其中在磁场中运动时间最短的粒子的运动时间为其做圆周运动周期的六分之一，不计粒子重力及粒子间的相互作用，以下说法正确的是（）A．粒子的比荷为vB．从AB边射出的粒子运动时间均为4πLC．从CD边射出的粒子速度范围为(D．从AD边射出的粒子速度范围为2(2−【答案】ABD【详解】A．根据题意，运动时间最短的粒子的运动轨迹如图甲所示由图可得，轨迹半径R=L，该粒子的速度为v，根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m解得qmB．从AB边射出的粒子运动时间均为三分之二个周期，即t=2C．若粒子恰好从CD边射出，轨迹如图乙所示，由图可得L=R+Rsin30°由qv1因此从CD边射出的粒子的速度范围为23D．若粒子恰好从AD边射出，轨迹如图丙所示，由图可得L=R+Rcos30°由qv2因此从AD边射出的粒子的速度范围为2(2−3故选ABD。题型解码题型解码上下左右四条直线边界组合，粒子多做部分圆弧运动，常见从一边进、邻边或对边出。先确定入射点与速度方向，画出完整轨迹圆，再截取矩形内圆弧；重点找圆心位置、偏转角、弦长。题型03带电粒子在圆形边界磁场中运动3．如图所示，xOy坐标平面内，以O点为圆心的两个圆，半径分别为r和3r。小圆区域I内的匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B，环形区域II内的匀强磁场垂直于纸面向外。一质量为m、电量为q的带正电粒子从A(0,r)点沿y轴负方向出发，由P(r,0)A．粒子运动的速度大小为qBrB．区域I、II内的磁感应强度大小之比为3C．粒子从A点出发到第一次返回区域I的过程中，速度方向改变了120°D．粒子返回A点的最短时间为(5+4【答案】ACD【详解】由题意可知，粒子在磁场中的轨迹如图所示A．根据几何关系可知，粒子在区域I内的半径大小为r根据牛顿第二定律可得qvB=m解得v=qBrB．由几何关系可知tanθ2可得θ=60°，r根据牛顿第二定律可得qv可得B:BC．因为θ=60°，由轨迹图可知，粒子从A点出发到第一次返回区域I的过程中，速度方向改变了180°−θ=120°，故C正确；D．由轨迹可知，粒子在区域I绕O点转过90°，在区域II绕O点转过60°，所以当粒子在区域I运动10次，在区域II中运动9次时，粒子第一次回到A点，粒子在区域I中运动的周期为T则粒子在区域I中运动一次所需时间为t粒子在区域II中运动的周期为T则粒子在区域II中运动一次所需时间为t所以粒子返回A点的最短时间为t=10t故选ACD。题型解码题型解码抓住“径向入—径向出”快速定方向；相切为临界状态；偏转角度由轨迹半径与磁场半径比例决定。题型04带电粒子电性的不确定形成的多解问题4．如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（）

A．πm3qB B．C．4πm3qB D．【答案】AD【详解】由于带电粒子的电性不确定，其轨迹可能是如图所示的两种情况

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得qvB=m根据线速度和周期的关系，可得v=联立解得T=由图可知，若为正电荷，轨迹对应的圆心角为θ1＝300°，若为负电荷，轨迹对应的圆心角为θ2＝60°，则对应时间分别为tt故选AD。题型解码题型解码1.常见多解来源电性正负不确定、速度方向不确定、磁场方向不确定、轨迹半径大小不确定、周期性重复出入边界。2.解题思路先按单一情况画轨迹，再逐一考虑方向、电性、磁场反向等情况，分类讨论不重不漏。3.关键技巧多解常表现为轨迹上下对称、左右对称、旋转对称；注意周期性带来的通式解；做完一定要检查是否漏解。题型05磁场方向的不确定性形成的多解问题5．如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行两块足够长的平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示（垂直于纸面向里的磁场方向为正方向），有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场，已知正离子质量为m，带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为TA．磁感应强度B0大小等于B．当入射速度大小为2πdT0时，粒子能从C．当入射速度大小为πd4T0D．若正离子能从O′孔垂直于N板射出磁场，则当离子做匀速圆周运动的半径为d【答案】CD【详解】A．正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力B做匀速圆周运动的周期T联立两式得磁感应强度B选项A错误；BCD．要使正离子从N板O′孔射出磁场，v0的方向应如图所示结合粒子运动的方向可知，当运动的轨迹是一个周期时，运动的时间最短，所以tmin=T0此时离子做匀速圆周运动的半径为d4两板之间正离子运动n个周期，即nT0，则R联立上式可得，正离子的速度v当n=1时v当n=2时v选项B错误，CD正确。故选CD。题型解码题型解码磁场方向可能垂直纸面向里或向外，导致洛伦兹力方向截然相反，粒子轨迹分别向左、向右偏转。解题时必须分类讨论，根据题意画出两种可能的轨迹，通常会得到关于边界对称的两组解题型06临界状态的不唯一形成的多解问题6．如图所示为半径为R的半圆形有界匀强磁场（含圆形边界），磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外，位于圆心O点处的质子源可在纸面内沿各个方向以相等速率向磁场区域内连续发射质量m、电荷量为q的质子（重力不计），则下列说法正确的是（）A．为使所有质子均不会从磁场圆弧边界ACD射出磁场，则质子的速度v≤B．从圆心O处以斜向右与AD夹角为60°的方向发射的质子恰从D点射出，则质子的轨道半径为3C．若质子的速率v=3qBRD．若质子的速率v=3qBR【答案】ABD【详解】A．质子在磁场中做圆周运动，根据题意分析知，要使质子均不从圆弧边界ACD射出磁场，则质子的半径应满足r1由qvB=mv2rB．图甲中，根据几何关系可知r解得r2C．若质子的速率v=3由几何关系可知tmax=120°D．若质子的速率v=3则S=1故选ABD。题型解码题型解码临界条件往往不唯一，如粒子刚好穿出磁场、刚好不飞出、或与边界相切等情况，可能对应不同的入射位置或速度大小。当存在两个或多个临界位置时，粒子轨迹会呈现出对称分布特征，形成多解，解题关键是找出所有可能的临界边界。题型07带电粒子在磁场中运动的临界极值问题7．如图所示，xOy平面的第一象限存在一圆形匀强磁场区域，与x轴、y轴分别相切于P、Q点，其圆心为O1，半径为R，磁感应强度大小为B、方向垂直xOy平面向里。一带电粒子从P点沿PO1方向以速度v射入磁场区域，该粒子恰好经过Q点。现使大量此种带电粒子从P点沿不同方向以速度v射入磁场区域，其速度方向均处于与PO1(1)该带电粒子的比荷；(2)粒子在第一象限内运动的最长时间（结果可保留根号）；(3)圆形磁场区域内，有粒子经过的区域的面积。【答案】(1)v(2)4π+6−3(3)1【详解】（1）沿PO1方向入射的粒子恰好经过Q由牛顿第二定律得qvB=m解得比荷q（2）由图可知，粒子从P点沿O1P偏右磁场中运动为三分之一周长，t第一象限没有磁场区域运动的位移x=R−R时间t粒子在第一象限内运动的最长时间为t=（3）由r1=R可知，所有粒子从磁场区域离开时，速度方向均垂直于设磁场区域上有粒子离开的最低点为M，最高点为N，根据几何关系可知，点M与圆心O″重合，右侧轨迹经过O1有粒子经过区域为虚线阴影部分，灰色阴影部分面积相等，则有粒子经过磁场区域的面积S=题型解码题型解码核心抓“相切”与“最远”，找粒子轨迹圆与磁场边界的切点是求解临界条件的关键。当粒子速度或入射点变化时，轨迹圆的半径或位置发生改变，最大偏转角度、最长运动时间、最小半径等极值通常出现在相切状态，解题时需结合几何图形确定极值位置。题型08“平移圆”模型8．如图，在直角三角形ABC内存在垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB边长度为d，∠C=π6，现垂直AB边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子，已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为2B．该匀强磁场的磁感应强度大小为πmC．粒子在磁场中运动的轨道半径为3D．粒子进入磁场时速度大小为3【答案】BD【详解】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间是141则得周期T=4故A错误；B．由T=得B=故B正确；C．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ，则有θ得θ=画出该粒子的运动轨迹如图设轨道半径为R，由几何知识得R可得R=故C错误；D．根据5解得v=故D正确。故选BD。题型解码题型解码解题核心是平移轨迹圆，找出覆盖范围的边界或最远点，通常用于求解粒子能到达的最远位置、最大偏转角度等问题，直观易懂。题型09“旋转圆”模型9．如图，在竖直平面内的Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为qBdmA．粒子在磁场中做圆周运动的半径为2dB．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为3C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为dD．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为π【答案】C【详解】A．根据洛伦兹力提供向心力有qvB=mv2B．当粒子沿x轴正方向射出时，上表面接收到的粒子离y轴最近，如图轨迹1，根据几何关系可知s上min=d；当粒子恰能通过N点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离y轴最远，如图轨迹2，根据几何关系可知，s上maxC．根据图像可知，粒子可以恰好打到下表面N点；当粒子沿y轴正方向射出时，粒子下表面接收到的粒子离y轴最远，如图轨迹3，根据几何关系此时离y轴距离为d，故下表面接收到粒子的区域长度为d，故C正确；D．根据图像可知，粒子恰好打到下表面N点时转过的圆心角最小，用时最短，有tmin故选C。题型解码题型解码旋转圆模型针对的是粒子入射点固定、速度方向变化的情况，轨迹圆绕入射点旋转。解题关键是旋转轨迹圆，根据速度方向的全角度变化，确定圆心的分布轨迹，常用于分析粒子出射点的分布范围，或寻找特定出射角度对应的入射方向。题型10“磁聚焦”与“磁发散”模型10．磁聚焦和磁发散技术在许多真空系统中得到了广泛应用，如电子显微镜技术，它的出现为科学研究做出了重大贡献。现有一个磁发散装置，如图所示，在半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向外，磁感应强度为B的匀强磁场，在圆形磁场区域右侧有一方向竖直向下，电场强度为E的匀强电场，电场左边界与圆形磁场右边界相切。在水平地面上放置一个足够长的荧光屏PQ，它与磁场相切于P点。粒子源可以持续的从P点向磁场内发射速率为v方向不同的带正电同种粒子。经观测：有一粒子a以竖直向上的初速度射入磁场，该粒子经磁场偏转后恰好以水平方向离开磁场，然后进入电场区域。粒子b进入磁场的速度方向与粒子a的速度方向夹角为θ（未知），进入磁场后，粒子b的运动轨迹恰好能通过圆形磁场的圆心O，最终也进入到电场区域。已知电场强度和磁感应强度的关系满足E=Bv，不计粒子重力及粒子间相互作用。求：（1）粒子的比荷qm（2）粒子b与粒子a的夹角θ和b粒子打在荧光屏上的亮点到P点的距离x；（3）入射方向与荧光屏所在平面成60°~120°区间范围内的粒子，最终打到荧光屏上形成的亮线长度。

【答案】（1）vBR；（2）θ=30°，x=(3【详解】（1）由a粒子的运动可知粒子在磁场中运动的半径为r=R由牛顿第二定律有Bqv=m可得粒子的比荷q（2）画出粒子b的运动轨迹，如图所示

根据几何关系可知POQO′构成一个边长为θ=30°由于QO′//OP，b粒子经过Q点的速度方向与QOxb=v解得x所以b粒子打在荧光屏上的亮点到P点的距离为x=（3）入射方向与P点右侧荧光屏成60°的粒子，在磁场与电场中的运动轨迹如图所示

由几何关系可知，粒子进入电场时距离荧光屏的距离为ℎ=0.5R进入电场后，粒子做类平抛运动，有x′=vt解得x所以该粒子打到荧光屏的位置距离P点的距离为2R；根据（2）可知，入射方向与P点左侧荧光屏成60°的粒子，打到荧光屏的位置距离P点的距离为(3+1)R，所以入射方向与荧光屏所在平面成d=(题型解码题型解码磁聚焦是指平行入射的粒子经圆形磁场偏转后汇聚于同一点，条件是轨迹圆半径等于磁场圆半径。磁发散则是聚焦的逆过程，粒子从焦点出发经磁场偏转后平行出射。1．（2025·福建泉州·模拟预测）我国研制的世界首套磁聚焦霍尔电推进系统已经完成了全部在轨飞行验证工作，可作为太空发动机使用，带电粒子流的磁聚焦是其中的关键技术之一。如图，实线所示的两个圆形区域内存在垂直于纸面的匀强磁场I、II，磁感应强度分别为B1，B2。两圆半径均为r，相切于O点。一束宽度为2r的带电粒子流沿x轴正方向射入后都汇聚到坐标原点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为+q、进入磁场的速度均为v，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（

）A．B1的大小为mvB．从O点进入磁场II的粒子的速度仍相等C．若B2D．若B2=0.5【答案】AD【详解】A．由磁聚焦的特点可知，粒子在磁场中的运动半径与磁场圆的半径相等，即B解得B故A正确；B．洛伦兹力只改变带电粒子的运动方向不改变其速度的大小，其速度大小相等，但速度的方向不同，故B错误；C．若B2r可知粒子离开磁场II最远的位置离原点为r，如图所示由几何关系，弦所对最大圆心角为60°，故粒子在磁场II的边界的射出点在六分之一圆周上，故C正确；D．若B2r由此可知，粒子离开磁场II运动轨迹的弦越长，运动的时间越长，如图所示粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为60°，则粒子在磁场II中运动的最长时间为t=故D正确；故选AD。2．（2026·云南昆明·二模）在同一平面内，三个半径均为R的圆形区域内分别存在垂直于该平面的匀强磁场，Ⅱ、Ⅲ区域内的磁感应强度大小均为B0，a、b、c为圆形区域的切点，如图所示。Ⅰ区域的圆心为O，其边界上P点有一粒子源，能沿Ob方向发射大量比荷不同、速度均为v0的带电粒子。某粒子恰好能依次经过a、b、c点后返回P点。不计粒子重力及粒子间的相互作用，已知A．Ⅰ、Ⅱ区域的磁场方向相同B．该粒子通过Ⅰ、Ⅱ区域时运动轨迹的半径之比为3:1C．该粒子的比荷为3D．该粒子从射出到返回P点的时间为6+7【答案】C【详解】A．由题意作出带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示若粒子带正电，由左手定则可知Ⅰ区域的磁场方向为垂直纸面向外，Ⅱ区域的磁场方向为垂直纸面向里，Ⅰ、Ⅱ区域的磁场方向相反；若粒子带负电，由左手定则亦可知Ⅰ、Ⅱ区域的磁场方向相反，故A错误；B．设在Ⅰ区域的圆周运动轨迹圆的圆心为O1，由对称性可知粒子从Ⅰ区域a点射出时，速度方向沿Oa方向指向Ⅱ区域圆心，故粒子在Ⅰ区域转过的圆心角为粒子在Ⅰ区域圆周运动的轨迹圆半径R同理可知故粒子在Ⅱ区域转过的圆心角为θ粒子在Ⅱ区域圆周运动的轨迹圆半径R故R1C．Ⅱ区域内的磁感应强度大小为B0，由洛伦兹力充当圆周运动的向心力可知解得R可知该粒子的比荷qmD．由上述分析可知，粒子从射出到返回P点，在Ⅰ区域总共转过的角度为2粒子转过的弧长为l在Ⅱ、Ⅲ区域粒子总共转过的圆心角为2对应的弧长为l2=因洛伦兹力不做功，粒子的速度大小不变，故粒子从射出到返回P点的时间为t=l故选C。3．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）地磁场可以减少宇宙射线中带电粒子对地球上生物体的危害。某研究小组模拟了一个地磁场，如图，模拟地球半径为R，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球、厚度为d、方向垂直该剖面的匀强磁场（磁感应强度大小为B），d=2R。磁场边缘A处有一粒子源，可在赤道平面内以不同速度向各个方向射入某种带正电粒子。研究发现，当粒子速度为2v时，沿半径方向射入磁场的粒子恰不能到达模拟地球。不计粒子重力及大气对粒子运动的影响，且不考虑相对论效应，取sin42A．粒子的比荷qB．速度小于v的粒子，无法到达模拟地球C．速度为v的粒子，到达模拟地球的最短时间为tD．速度为2v的粒子到达地球的粒子数约占进入地磁场粒子总数的23.3【答案】CD【详解】A．其轨迹如图所示（和地球相切）设该粒子轨迹半径为r，则根据几何关系r+R解得r=又q(2v)B=m解得qmB．速度越小半径越小，当粒子速度垂直OA入射时，粒子恰能到达模拟地球有d=2可得r洛伦兹力提供向心力q解得v即速度小于v2C．速度为v的粒子进入磁场有qvB=m可得r若要时间最短，则粒子在磁场中运动的弧长最短，故从A斜向上射入，在交点E到达地球的弦长最短时间最短，AE=AD=DE=故∠ADE=故有t解得tminD．沿径向方向射入的粒子会和地球相切而出，和AO方向成θ角向上方射入磁场的粒子也恰从地球上沿相切射出，在此θ角范围内的粒子能到达地球，其余进入磁场粒子不能到达地球。作过A点与该速度的垂线和过切点与O点连线延长线交于F点，则F点为圆心，如图根据几何关系可得AF=4R，AO=OF=3R可得sin故η=解得η=23.3%故选CD。4．（2026·河北邯郸·一模）如图所示，坐标系Oxyz所处空间中存在着平行于y轴正方向、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m的带电粒子从坐标原点O处以方向与y轴正方向夹角为37°、大小为v0的速度射入yOz平面，粒子恰好能经过坐标为d,y0,0（A．粒子的电荷量为mB．粒子一定经过坐标为0,2yC．粒子从O点运动到P点的过程中受到洛伦兹力的冲量大小为6D．y0可能为【答案】BC【详解】A．将粒子的初速度分解为垂直y方向和平行y方向，则有v⊥=垂直于y方向粒子做匀速圆周运动，由题可知，粒子圆周运动的半径r=洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有Bq联立解得粒子的电荷量为q=1.2mB．由题可知，粒子沿z方向做匀速圆周运动，沿y方向做匀速直线运动，半个周期后粒子沿y方向的位移为y0，总位移为2y0C．根据动量定理可知，粒子运动过程中，只受到洛伦兹力的作用，因此洛伦兹力的冲量等于粒子动量的变化量，结合上述分析可知，粒子沿y方向的动量不变，选取初始速度方向为正方向，则沿垂直y方向的动量变化量为Δ因此粒子从O点运动到P点的过程中受到洛伦兹力的冲量大小为65D．由题可知，粒子圆周运动的周期为T=沿y方向则有y0=结合上述结论q=整理可得y因此y0不可能为3故选BC。5．（25-26高三上·北京海淀·期末）自由电子激光器是把电子束的能量转换成相干辐射的激光器，其核心部件是扭摆磁铁。如图所示，扭摆磁铁由沿y方向周期性交错排列的2n对、宽度均为a的永磁体组成（n≫10）。电子经加速后，从坐标原点O射入xOy平面，在周期性磁场力作用下，电子几乎沿y轴方向前进，同时在x方向上做小幅摆动，并向外辐射出电磁波。电子运动情况相同时，可以辐射出相位相同的电磁波。已知磁场沿z轴方向的分量Bz随y的变化关系为Bz=B0sinπA．在y=0到y=a范围内，电子做匀速圆周运动B．电子运动过程中，若经过点（0，a，0），则一定会经过点（0，2a，0）C．电子穿过扭摆磁铁的时间为2πmnD．沿y方向相距为2a的两点处运动情况相同的电子，辐射出的电磁波相位相同【答案】BD【详解】A．由evB=mv2r得r=mveB，由于B=BzB．电子运动过程中，磁场不做功，速度不变，则从点（0，0，0）到点（0，a，0）的加速度大小变化和从点（0，a，0）到点（0，2a，0）的加速度大小变化相同；电子的运动具有对称性，从点（0，0，0）到点（0，a，0）电子的运动轨迹与从点（0，a，0）到点（0，2a，0）轨迹对称，但分居两侧，故B正确；C．由于B=Bz是y的函数，随y增大而变化，且电子在每一对永磁体组成的磁场区域中的运动不是完整的匀速圆周运动，电子穿过扭摆磁铁的时间不等于D．由磁场Bz=B0sinπay可知沿故选BD。6．（2026·福建福州·二模）如图，圆心为O、半径为R的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场。从圆周上的P点在纸面内沿不同方向射入各种速率的同种粒子（不计重力），粒子的质量为m、电荷量为+q。其中沿PO方向射入速率为v0的粒子，经时间t后从A点离开磁场，∠POA=90°A．所有速率为v0B．不同速率的粒子在磁场中运动的时间都为2tC．速率为3v0D．速率为v02的粒子不可能从【答案】AD【详解】由几何关系，粒子轨迹半径r粒子在磁场中的运动轨迹为四分之一圆周，t=A．速率为v0时，轨迹半径r=R。粒子从圆周上P点射入，轨迹半径等于磁场半径R，根据几何关系，所有这类粒子离开磁场时的速度方向都平行于OAB．粒子在磁场中的运动时间t′=θ2πT速率不同，轨迹半径不同，圆心角θ也不同，因此运动时间不一定相同，B错误；C．速率为3v0时，轨迹半径r=由几何关系可得因sinθ2最长运动时间t′=θD．速率为v02时，轨迹半径r=R2。若粒子从A点射出，弦长因为2R>R，所以不可能从A故选AD。7．（24-25高二上·安徽滁州·期末）如图所示，光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于中心轴的、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直横截面向里，筒上P点开有一个小孔，过P点的横截面是以O为圆心的圆。若一个（不计重力）质量为m，电量为q的带正电粒子以速率v1沿PO射入，与筒