重庆市2025-2026学年高二上学期期末考试数学

2027届高二第一学期1月期末质量检测数学试题考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知正项等比数列，若=9，则（）A.6 B.12 C.15 D.18【答案】B解析：由可得，由于，所以，故选：B.2.设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，有下列四个值：①；②；③；④．则直线的倾斜角为（）A.①② B.②③ C.③④ D.①④【答案】B解析：直线l绕点A顺时针旋转后得直线，当时，直线的倾斜角为；当时，直线的倾斜角为．综上，直线的倾斜角为或.故选：B3.平面与三个坐标面围成四面体的体积是（）A. B. C.2 D.4【答案】A解析：在平面方程中，令，得，令，得，令，得，则平面与三个坐标面围成四面体的三条棱长分别为2，1，2，且三条侧棱两两垂直，则所求四面体的体积是.故选：A4.在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（）A. B. C. D.【答案】B解析：如图，建立平面直角坐标系，设该双曲线的方程为），焦距为，由题意得，得，所以双曲线的方程为1.当时，，所以该进料口的上口宽度为.故选：B5.在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（）A. B.C. D.【答案】A解析：，分别是线段，上靠近，的三等分点，，，，，又，，，即，故A正确．故选：A．6.设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（）A. B. C. D.【答案】C解析：直线的方程为，设直线的倾斜角为，当时，，②当时，直线的斜率，由于或，所以,,，所以，综上所述：；故选：C．7.已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点，若，则（）A. B.3 C. D.2【答案】D解析：由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，设，，则，因为，则，得，由抛物线定义得.故选：D.8.已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C解析：将直线变形为，则可知直线恒过定点，且，若，则直线可和圆相切，如图所示，此时重合，若直线与圆交于不同的两点，则可不断趋于0，不存在最小值，与题意不符，故，即在圆内，直线与圆一定交于两点，此时对于任意给定的半径，根据圆的性质，当时，弦最短，最小，此时弦长，在中，当时，此时，由题意，已知最小值不大于，则最小值对应的弦满足，即，解得，综上，的取值范围为.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知空间向量，则下列说法正确的是（）A.B.C.与夹角的余弦值为D.若，则共面【答案】BCD解析：A：，又，故A错误；B：，则，故B正确；C：因为，所以，所以，故C正确；D：因为，故D正确.故选：BCD.10.已知等差数列的前项和为，若，则（）A公差 B.C.的最大值为 D.满足的的最小值为16【答案】AC解析：因为，则，即，则，故A正确；，故B错误；由，得，,因为，所以数列是递减数列，且当时，，当时，，所以的最大值为，故C正确；，令，解得，所以满足的的最小值为，故D错误.故选：AC.11.双曲线的左、右焦点分别为，，过上一点作切线与轴交于点，直线与的两条渐近线分别交于点，，满足，则（）A. B.满足条件的点有2个C. D.点为外接圆圆心【答案】ACD解析：A选项，由双曲线光学性质知为的平分线，由角平分线性质可得，即，A正确；B选项，设，，，则，所以，得，即，所以，结合为的内角可得，或，又，所以或，当时，满足条件的点在右支上，有2个，当时，满足条件的点共4个，左支2个，右支2个，所以满足条件的点有6个，B错误；C选项，当时，，由于，故，当时，，综上，．设，则，联立，可得交点，，其中，因为，所以，所以，C正确；D选项，，结合C选项，可知中点坐标为，所以是线段中点，又，所以为外接圆圆心，D正确．故选：ACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数在上的最大值为4，则实数的值为______.【答案】解析：函数在上单调递增，则当时，，因此，解得，所以实数为.故答案为：.13.已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为______________.【答案】解析：解：设是椭圆的右焦点，连接，，由对称性可知：，，则四边形为平行四边形，则，即，且，因为，则，，在中，由余弦定理可得，即，解得，所以椭圆的离心率为.故答案为：.14.数列中，．定义：使数列的前项的积为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于______.【答案】解析：因为，所以，设，则，所以为的整数次幂，因为，所以，故满足条件的，，，，，，，，，故区间内的所有期盼数的和为：．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是.（1）求点的坐标；（2）求的外接圆的标准方程.【答案】（1）（2）（1）设，因为边的高线所在直线方程是，所以，又，所以①，又点在直线上，所以②，由①②解得，，所以点的坐标为；（2）设，则的中点坐标为，将代入直线的方程得③，将代入直线的方程得④，将③④联立解得，，即，设的外接圆的一般方程为，则，解得，所以外接圆的一般方程为，所以的外接圆的标准方程为.16.已知椭圆的离心率为，长轴长为4．（1）求C的方程；（2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求．【答案】（1）（2）（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故，故，故椭圆方程为：.（2）由题设直线的斜率不为0，故设直线，，由可得，故即，且，故，解得，故.17.如图，在四棱锥中，为矩形，底面，，，为棱的中点，为棱上一点，且，连接，，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若平面与四棱锥的棱交于点，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.（1）因为底面，底面，所以，又底面为矩形，所以，又平面，平面，且、相交于点，所以平面，又平面，所以，又，为棱的中点，所以，又平面，平面，且、相交于点，所以平面，又平面，所以；（2）由（1）可得，，，，所以，以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，则，，，设平面的法向量为，则，即，令，解得，，即平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则；（3）因为平面与四棱锥的棱交于点，设，则，设，则，，则，所以，所以，由（2）得，平面的法向量为，所以，即，解得，所以的值为.18.已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，，其中为非零常数.（1）证明：；（2）若，求；（3）是否存在，使得数列为等差数列？若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，（1）数列的各项均为正数，，则，两式相减，整理得，而，所以.（2）解法1：当时，由（1）得，则，，于是，数列是公差为6的等差数列，由，，得，则，.解法2：由，，得，当时，由（1）得，因此数列的奇数项构成首项为1，公差为3的等差数列，偶数项构成首项为3，公差为3的等差数列，.（3）由，，得，由（1）知：，则，假设存在使得数列为等差数列，则，即，解得，下面证明：当时，数列为等差数列.由，，，得数列是首项为1，公差为2的等差数列，，数列是首项为2，公差为2的等差数列，因此，，所以存在使得数列为等差数列，.19.已知抛物线.过点的动直线与交于两点（在第一象限），且（为坐标原点）.（1）求的值；（2）设抛物线在处的切线交于点，求面积的最小值；（3）面积最小时，过作直线