(2025年)应用光学课后习题附答案

(2025年)应用光学课后习题附答案1.已知介质1的折射率n₁=1.52，介质2的折射率n₂=1.33。当光线从介质1入射到介质2时，入射角i₁=25°，求折射角i₂；若光线反向从介质2入射到介质1，求发生全反射的临界角i_c。解答：根据折射定律n₁sini₁=n₂sini₂，代入数据得sini₂=(n₁/n₂)sini₁=(1.52/1.33)×sin25°≈1.142×0.4226≈0.482，故i₂≈28.8°。全反射临界角满足n₂sini_c=n₁sin90°（当i₂=90°时），但实际全反射发生在光密介质到光疏介质，因此正确公式应为n₂sini_c=n₁sin90°（错误，应为n₁sini_c=n₂sin90°，因为此时介质2为光密介质，介质1为光疏介质）。正确推导：当光线从介质2（n₂=1.33）入射到介质1（n₁=1.52）时，n₂>n₁不成立，无法发生全反射；若反向，即从介质1到介质2（n₁>n₂），则临界角i_c满足n₁sini_c=n₂×1，故sini_c=n₂/n₁=1.33/1.52≈0.875，i_c≈61°。2.一凹面反射镜的曲率半径R=-200mm（符号规则：顶点为原点，球心在左侧时R为负），物体位于镜前300mm处，求像的位置和横向放大率，并判断像的虚实、正倒。解答：球面反射镜物像公式为1/l+1/l'=2/R（l为物距，l'>0为实像，反之为虚像）。代入l=-300mm（物在镜前，符号取负），R=-200mm，得1/l'=2/R1/l=2/(-200)1/(-300)=-1/100+1/300=-2/300=-1/150，故l'=-150mm（负号表示像在镜后，为虚像）。横向放大率β=-l'/l=-(-150)/(-300)=-0.5，绝对值小于1，像缩小，负号表示倒立。3.一折射球面左侧为空气（n=1），右侧为玻璃（n'=1.6），球面曲率半径r=50mm。物体位于左侧400mm处（l=-400mm），求像距l'和轴向放大率α。解答：单个折射球面物像公式为n/l+n'/l'=(n'-n)/r。代入数据：1/(-400)+1.6/l'=(1.6-1)/50=0.6/50=0.012。整理得1.6/l'=0.012+1/400=0.012+0.0025=0.0145，故l'=1.6/0.0145≈110.34mm（正号表示像在右侧，为实像）。轴向放大率α=(n'l'²)/(nl²)=(1.6×110.34²)/(1×(-400)²)=(1.6×12175.9)/(160000)≈19481.4/160000≈0.122，即轴向放大率约为0.122，物沿光轴移动时像移动量为物移动量的0.122倍。4.一双凸透镜由K9玻璃制成（n=1.5163），在空气中使用时，前表面曲率半径r₁=100mm，后表面曲率半径r₂=-100mm（r₂为负表示右侧表面球心在左侧）。求该透镜的焦距f'；若将其浸入水中（n_w=1.33），新的焦距f'_w为多少？解答：薄透镜焦距公式为1/f'=(n-1)(1/r₁1/r₂)。空气中n=1.5163，r₁=100mm，r₂=-100mm，代入得1/f'=(1.5163-1)(1/1001/(-100))=0.5163×(2/100)=0.5163×0.02=0.010326，故f'≈96.85mm。浸入水中后，透镜材料相对折射率为n_rel=n/n_w=1.5163/1.33≈1.140，此时焦距公式为1/f'_w=(n_rel-1)(1/r₁1/r₂)=(1.140-1)(2/100)=0.140×0.02=0.0028，故f'_w≈357.14mm，约为空气中的3.69倍。5.两个薄透镜L₁和L₂共轴放置，L₁的焦距f₁'=+150mm，L₂的焦距f₂'=-100mm（负号表示凹透镜），两透镜间距d=50mm。求组合系统的等效焦距F'和主点位置H、H'（以L₁的顶点为原点）。解答：组合系统光焦度Φ=Φ₁+Φ₂-dΦ₁Φ₂，其中Φ₁=1/f₁'=1/150mm⁻¹，Φ₂=1/f₂'=-1/100mm⁻¹。代入得Φ=1/1501/10050×(1/150)×(-1/100)=(2/3003/300)+50/(15000)=(-1/300)+1/300=0？显然错误，正确公式应为1/F'=1/f₁'+1/f₂'d/(f₁'f₂')。代入数据：1/F'=1/150+(-1/100)50/(150×(-100))=(2/3003/300)+50/15000=(-1/300)+1/300=0，说明组合系统为平行光管（无穷远成像）。主点位置计算：H到L₁的距离x_H=-F'×f₁'/f₂'，但F'无穷大，需用另一种方法。实际当Φ=0时，组合系统的主点位于无穷远，出射光与入射光平行，等效为望远镜系统。6.某光学系统对轴上物点成像时，近轴光线的像距l'_p=200mm，边缘光线（孔径角u=0.2rad）的像距l'_m=195mm，求该系统的轴向球差Δl'，并说明球差对成像的影响。解答：轴向球差定义为边缘光线与近轴光线像距之差，即Δl'=l'_ml'_p=195-200=-5mm（负号表示边缘光线像点在近轴像点左侧）。球差会导致轴上点成像模糊，形成以近轴像点为中心的弥散斑，影响成像清晰度，需通过透镜组合（如双胶合透镜）校正。7.设计一双胶合消色差透镜组，使用冕牌玻璃K9（n_D=1.5163，n_F=1.5219，n_C=1.5139）和火石玻璃F2（n_D=1.6128，n_F=1.6200，n_C=1.6099）。已知第一片透镜（冕牌）的光焦度Φ₁=+2m⁻¹，求第二片透镜（火石）的光焦度Φ₂，使组合系统消色差。解答：消色差条件为Φ₁/ν₁+Φ₂/ν₂=0，其中阿贝数ν=(n_D-1)/(n_F-n_C)。计算K9的ν₁=(1.5163-1)/(1.5219-1.5139)=0.5163/0.008≈64.54；F2的ν₂=(1.6128-1)/(1.6200-1.6099)=0.6128/0.0101≈60.67。代入条件得2/64.54+Φ₂/60.67=0，解得Φ₂=-2×60.67/64.54≈-1.88m⁻¹，即第二片透镜需为负光焦度（凹透镜），光焦度约-1.88m⁻¹。8.一各向同性点光源的发光强度I=500cd，悬挂于离地面2.5m的高度，求地面上光源正下方点A的照度E_A，以及地面上距离A点3m处点B的照度E_B（点B与光源的连线与地面夹角θ）。解答：点A的照度E_A=I/r²=500/(2.5)²=500/6.25=80lx（r为光源到A点的距离，即2.5m）。点B到光源的距离r=√(2.5²+3²)=√(6.25+9)=√15.25≈3.905m，夹角θ满足cosθ=2.5/r≈2.5/3.905≈0.640，故E_B=Icosθ/r²=500×0.640/(15.25)≈320/15.25≈20.99lx≈21lx。9.某显微镜物镜的数值孔径NA=0.95，使用波长λ=550nm的可见光，求其理论分辨率σ；若改用油浸物镜（n=1.5，α=60°，NA=nsinα），新的NA和分辨率σ'各为多少？解答：显微镜分辨率公式σ=0.61λ/NA。原NA=0.95时，σ=0.61×550nm/0.95≈(335.5nm)/0.95≈353nm。油浸物镜中，α=60°，sinα=√3/2≈0.866，NA=nsinα=1.5×0.866≈1.299，新分辨率σ'=0.61×550nm/1.299≈335.5nm/1.299≈258nm，分辨率提高约27%。10.阶跃型光纤的芯层折射率n₁=1.46，包层折射率n₂=1.44，外部为空气（n₀=1）。求光纤的最大入射角（孔径角）2U_max，以及当外部介质改为水（n₀=1.33）时，孔径角的变化。解答：光纤最大入射角满足n₀sinU_max=√(n₁²n₂²)（数值孔径NA=√(n₁²n₂²)）。空气介质时，NA=√(1.46²1.44²)=√[(1.46-1.44)(1.46+1.44)]=√(0.02×2.9)=√0.058≈0.241，故sinU_max=NA/n₀=0.241/1=0.241，U_max≈14°，孔径角2U_max≈28°。外部为水时，n₀=1.33，sinU_max=0.241/1.33≈0.181，U_max≈10.4°，孔径角2U_max≈20.8°，比空气中减小约7.2°。11.一平面反射镜以角速度ω=10rad/s绕垂直于纸面的轴旋转，一束平行光垂直入射到镜面上，求反射光线的角速度。解答：平面镜旋转θ角时，反射光线旋转2θ角（反射定律：入射角等于反射角，镜面旋转θ，入射角变化θ，反射角变化θ，总偏转角2θ）。因此反射光线的角速度为2ω=2×10=20rad/s。12.计算波长λ=632.8nm的氦氖激光通过直径D=2mm的圆孔时，在焦平面上的艾里斑半径r（透镜焦距f=500mm）。解答：艾里斑半径r=1.22λf/D。代入数据：r=1.22×632.8×10⁻⁶mm×500mm/2mm=1.22×632.8×10⁻⁶×250≈1.22×0.1582≈0.193mm。13.一光学系统的垂轴放大率β=-3（负号表示倒立），物方主点到物的距离l=-100mm（物在主点左侧），求像方主点到像的距离l'，并判断系统是放大还是缩小。解答：垂轴放大率β=l'/l（符号规则：l为物距，l'为像距，均以主点为原点）。已知β=-3，l=-100mm，故l'=β×l=(-3)×(-100)=300mm（正号表示像在像方主点右侧）。β的绝对值为3，系统为放大成像。14.比较理想光学系统与实际光学系统的区别，说明理想光学系统的主要应用。解答：理想光学系统假设光线严格遵循几何光学定律，无像差，物像满足点对应点、直线对应直线、平面对应平面的关系；实际光学系统存在像差（球差、彗差等），物像关系偏离理想。理想光学系统用于简化光学设计，通过高斯公式、主点/焦点概念快速计算物像位置，是光学系统初始设计的基础，如望远镜、显微镜的光路布局。15.某光源的光谱辐射通量分布为Φ(λ)=