9.2 课时1 正弦定理与余弦定理的应用-测量高度问题 2025-2026学年人教B版高中数学必修第四册_第1页
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9.2课时1正弦定理与余弦定理的应用——测量高度问题第九章

解三角形1.能建立实际问题的三角形模型，应用正、余弦定理解决不可测量的高度问题.探究1：应用正、余弦定理解决不可测量的高度问题.在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形，例如，如图所示是故宫角楼的高度，假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？1.若故宫角楼的顶端可到达，那么该如何设计方案，使得可以计算出建筑物的高度？

则△ADC在中，由正弦定理得

,所以

，2.若角楼顶端和底部都不便到达，不能直接测量，结合问题1的方案，如何设计方案计算出建筑物的高度？法一：(在一个竖直平面内进行研究)在可到达的与点B在同一水平面的地方选定两点C，D,并使得B,C,D三点共线，CD的长m可以测量，用测量角度的仪器测出在点C处对顶端A的仰角∠ACB=α，再测出点D处对顶端A的仰角∠ADC=β，在Rt△ABC中得

3.除了在一个竖直面内建立几何模型，在不同的三角形中求边和角外，还有什么方法可以解决问题？

法二:（在空间几何体中进行研究）设线段AB不便到达的两点之间的距离，在能到达的地方选定位置C进行测量.用测量角度的仪器可以测量出∠ACB的大小α，但是因为点A，B都不便到达，所以△ABC的3条边都无法用米尺测量.

如图所示，在可到达的地方再选定一点D，并使得CD的长m能用米尺测量，用测量角度的仪器测出：首先，在△BCD中，因为∠CBD=π-β-γ，因此

，最后，在△ABC中，根据AC，BC，α，利用余弦定理就可以得出AB的长.所以由正弦定理可得同理，从△ACD可得思考：结合上述情景问题的探索，如何利用正、余弦定理解决无法直接测量的物体的高度问题？

利用正余弦定理求解无法直接测量的物体的高度

用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解三角形的问题：

（1）在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，

（2）再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．1.如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为(

)．A．60m

B．

mC．

m D．

m解析：由正弦定理得∴树的高度h＝PBsin45°＝

．故选C.C

2.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，并在B处测得山顶D在西偏北75°的方向上，且仰角为30°，求此山的高度CD.解：在△ABC中，∠CAB=30°∠ABC=105°,

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