光学成像系统的传递函数

光学成像系统是信息传递的系统。在一定条件下，成像系统可以看做空间不变的线性系统，因而可以用线性系统理论来研究它的性能，把输入信息分解为由本征函数构成的频率分量，研究这些空间频率分量在系统传递过程中，丢失、衰减、相移等等变化，即研究这些空间频率特性或传递函数。显然，这是一种全面评价光学系统像质的科学方法。输出像的质量完全取决于光学系统的传递特性。2026/4/291传递函数可由光学系统的设计数据计算得出。虽然计算传递函数的步骤比较麻烦，但是，大容量高速度电子计算机的出现以及高精度光电测试技术的发展，使光学传递函数的计算和测量日趋完善，并得到了实际的应用。2026/4/2923.1相干照明衍射受限系统的点扩散函数任何平面物场分布都可以看做是无数小面元的组合，而每个面元都可以看做一个加权的函数对于一个透镜或一个成像系统，如果能清楚地了解物平面上任一小面元的光振动通过成像系统后在像平面上造成的光振动分布情况，通过线性迭加，原则上便能求得任何物面光场分布通过系统后所形成的像面光场分布，进而求得像面强度分布这就是相干照明下的成像过程，关键是求出任意小面元的光振动所对应的像场分布。-即脉冲响应2026/4/293当该面元的光振动为单位脉冲函数时，这个像场分布函数叫做点扩散函数或脉冲响应，通常用它表示物平面上（x0,y0）点的单位脉冲通过成像系统后在像平面上（xi,yi）点产生的光场分布。一般来说，它既是（x0,y0）的函数，又是(xi,yi）的函数。表示2026/4/294一辐输入图像可看成是一个点物的集合，只要能确定所有点物的像，就可以完备地描述这一成像系统的效应。但要注意的是，一定要把所有物点的像叠加起来，才能得到输出图像。即完全确定一个线性系统的性质，需要知道系统对于输入平面上所有可能位置上的

函数输入的脉冲响应。2026/4/2953.1.1透镜的点扩散函数如图，在单色光照明下，一个薄的无像差的正透镜对透射物成实像的简单情况。下面研究四个面上的光场的复振幅分布，进而求出系统的输入和输出的关系。菲涅耳衍射公式2026/4/296透镜的复振幅透过率为为光瞳函数2026/4/297透镜后的透射光场为光波传播距离，需要再次运用菲涅耳衍射公式计算将代入上式，并弃去常量相位因子得2026/4/298这是一个复杂的四重积分，必须作进一步的简化。我们来看三个含有二次相位因子的项：不影响最终探测的强度分布，可以弃去。积分号内的两个二次相位因子和积分变量（x,y）、（x0,y0）有关，只有在一定的条件下才能弃去。2026/4/299假定点物产生的影响是一个很小的像斑，那么能够对于像面上（xi,yi）点光场产生有意义的贡献的，必定只是物面上以几何成像所对应的物点为中心的微小区域。如果在这个微小区域内的相位变化不大于几分之一弧度，则可作以下近相似。2026/4/2910其中是系统的放大倍率。经过近似后的相位因子不再依赖于(x0,y0),它同样不会影响xiyi平面强度探测，因此，可以弃去。另外，假定选择观察平面，使它与透镜距离di满足：则积分号内关于（x,y)的二次相位因子将消失，上式正是几何光学的透镜成像定律。这样上式已大简化。我们先对(x0,y0)积分2026/4/2911是U0的傅里叶变换。上式表明成像过程经历了两次傅里叶变换，物的频谱成分在传递过程中将受到有限大小的光瞳的截取。对二元函数作二次傅里叶变换，可得其倒立像2026/4/2912是U0的傅里叶变换。上式表明成像过程经历了两次傅里叶变换，物的频谱成分在传递过程中将受到有限大小的光瞳的截取。而上式等于该式的傅里叶变换，卷积定理2026/4/2913设为光瞳函数的傅里叶变换，即上式等于傅里叶逆变换2026/4/2914利用卷积定理得由于光波传播的线性性质，Ui本来就可以用下述迭加积分表示令：2026/4/2915因此可看作系统的脉冲响应，即点扩散函数。是几何光学理想像点的坐标。我们可以定义一个新函数表示几何光学的理想像假如不考虑衍射效应，即透镜的孔径为无限大，这时点物能产生严格的点像。这时物体能准确复现。2026/4/2916但是，实际上必须考虑透镜有限孔径的衍射效应，是一个衍射斑。上式就等于透镜孔径的夫琅和费衍射图样，其中心位于理想像点注：物平面上一点(x0,y0)经透镜成像后得到一个衍射斑这时像的光场分布等于几何光学理想像与系统脉冲响应的卷积2026/4/2917上述结论表明，由透镜构成的成像系统可看作线性空间不变系统。其输入物和输出像之间的关系由上式卷积积分确定。可以从叠加性质和不变性两方面理解卷积成像的物理含义。把输入物看作点源的集合，它们在像平面上以几何光学理想像点为中心产生各自的衍射斑，这些衍射斑的函数形式相同，都是透镜孔径的夫琅和费衍射图样，但受到对应物点光场的适当加权。2026/4/2918这些脉冲响应的相干叠加给出像面的复振幅分布。系统的作用正是把物平面上点的集合变换为像平面上重叠衍射斑的集合。因而像不再是物体的准确复现，而是物体的平滑变形，孔径愈小，脉冲响应愈宽，变形就愈严重。这种平滑化使像中失去物体的精细结构，尤其当这种细节变化的周期小于脉冲响应的宽度。下图是卷积成像的示意图=物函数脉冲响应像函数2026/4/29193.1.2衍射受限系统的点扩散函数1、成像系统的普遍模型考虑一个一般的成像系统，它可能由几个透镜（正透镜或负透镜）组成，透镜也不必是薄的，系统最终给出一个实像。我们将为这样一个系统建立一个普遍适用的模型。透镜组入瞳出瞳黑箱2026/4/2920由上图可知，任意成像系统都可以分为三个部分：物平面到入瞳；入瞳到出瞳；出瞳到像平面。透镜组入瞳出瞳黑箱2026/4/2921入瞳和出瞳是指系统限制光束的孔径光阑在物像空间的几何像。入瞳出瞳光阑2026/4/2922对整个光学系统而言，入瞳和出瞳保持物像其轭关系。由入瞳限制的物方光束必能全部通过系统，成为被出射光瞳所限制的像方光束。光波在一、三两个部分内的传播可按菲涅耳衍射处理，而对于第二部分，即透镜系统，在等晕条件下，可把它看作一个“黑箱”。只要能够确定它两端的边端性质，整个透镜组的性质就可以确定下来，而不必考虑其内部结构。这里黑箱的两端是入瞳和出瞳。所谓边端性质应是指成像光波在入瞳和出瞳平面的物理性质。透镜组入瞳出瞳黑箱2026/4/2923为了确定系统的脉冲响应，需要知道这个黑箱对于点光源发出的球面波的变换作用，即当入瞳平面输入发散球面波时，在出瞳平面透射波前的性质。对于实际的透镜组，这一边端性质千差万别，但总可以分为两类：衍射受限系统和有像差系统。衍射受限系统是指系统可以不考虑像差的影响，仅仅考虑光瞳产生的衍射限制。当像差很小，或者系统的孔径和视场都不大，实际光学系统就可以近似看作是衍射受限的系统。透镜组入瞳出瞳黑箱2026/4/2924它的边端性质是：物面上任一点光源发出的发散球面波投射到入瞳上，被透镜组变换为出瞳上的会聚球面波。有像差系统的边端性质是：点光源发出的发散球面波投射到入瞳上，出瞳处的波前明显偏离理想球面波。偏离的程度可由波像差描述，它决定于透镜组本身的物理结构。透镜组入瞳出瞳黑箱2026/4/29252、阿贝（Abbe)成像理论阿贝基于对显微镜成像的研究，1873年提出了其衍射成像理论。他认为成像过程包含了两次衍射过程。焦平面物体-2级+2级-1级+1级0级采用相干光波照明物体，可以把物体看作一个复杂的衍射光栅，衍射光波在透镜后焦平面形成物体的夫琅和费衍射图样。像2026/4/2926把后焦面上的点看作相干的次级波源，发出子波，在像面上相干叠加产生物体的像。两次衍射过程也就是两次傅里叶变换的过程：由物面到后焦面，物体衍射光波分解为各种频率的角谱分量，即不同方向传播的平面波分量，在后焦面上得到物体的频谱。这是一次傅里叶变换过程。由后焦面到像面，各角谱分量又合成为像，这是一次傅里叶逆变换过程。焦平面物体-2级+2级-1级+1级0级像2026/4/2927当不考虑有限光瞳的限制时，物体所有频率分量都参与成像，所得的像应逼真于物。但实际上，由于物镜有限大小光瞳的限制，物体的频率分量只有一部分能参与变换。一些高频率成分被丢失，因而产生像的失真，即影响像的清晰度或分辨率。焦平面物体-2级+2级-1级+1级0级像2026/4/2928当高频分量具有的能量很弱，或者物镜足够大，丢失的高频分量的影响就小，像也就更近似于物。因此，光学系统的作用类相似于一个低通滤波器，它滤掉了物体的高频成分，而只允许一定范围内的低频成分通过系统，这正是任何光学系统不能传递物面全部细节的根本原因。Abbe认为衍射效应是由于有限的入瞳引起的，1896年瑞利提出衍射效应来自有限的出瞳。由于一个光瞳只不过是另一个光瞳的的几何像，这两种看法是等价的。衍射效应可以归结为有限大小的入瞳（或出瞳）对于成像光波的限制。焦平面物体-2级+2级-1级+1级0级像2026/4/2929瑞利衍射理论瑞利认为：衍射效应来自有效大小的出瞳由于一个光瞳不过是另一个光瞳的几何像与阿贝衍射理论等效衍射效应可归结为入瞳或出瞳对于成像光波的限制2026/4/29303、单色光照明的衍射受限系统单色光照明时，由于光传播的线性性质，像面复振幅分布可以用叠加积分表示：透镜组入瞳出瞳黑箱对衍射受限系统来说，h是由从出瞳向理想像点（Mx0,My0)会聚的球面波产生的。这里M是放大倍率。由于受有限大小光瞳的限制，该透射波传播到像平面产生一个衍射斑。2026/4/2931由于出射光瞳的限制作用，在像面上将产生以理想像点为中心的出瞳孔径的夫琅禾费衍射图样。因此，可写出物面上以点的单位脉冲通过衍射受限系统后在与物面共轭的像面上的复振幅分布，即点扩散函数:K为复常数，令2026/4/2932结果表明，单色光照明时，衍射受限系统的脉冲响应是光学系统出瞳的夫琅和费衍射图样，其中心在几何光学的理想像点略去积分号前的系数，脉冲响应就是光瞳函数的傅里叶变换,F例如，对于矩形或圆形孔径的光瞳，成像系统的脉冲响应分别是sinc函数和爱里斑。脉冲响应具有空不变性质，即物点发生变化时，像平面上的脉冲响应仅改变位置，函数形式不变。代入下式2026/4/2933定义则这一卷积积分表明，不仅对薄的单透镜系统，而且对更普遍的情形，衍射受限的成像系统仍可以看作是线性空间不变系统。像的复振幅分布是几何光学理想像和系统出瞳所确定的脉冲响应的卷积。2026/4/29343.3衍射受限相干成像系统的频率响应衍射受限的相干成像系统对于复振幅的传递是线性空间不变系统。这同时意味着系统对于强度变换是非线性的。原因是此时光场是相干叠加。所以，本节的讨论仅适用于线性的复振幅变换。3.3.1相干传递函数相干成像系统的物像关系由卷积积分描述。表示几何光学的理想像是系统的脉冲响应，即点扩散函数。2026/4/2935卷积成像是把点物看作基元物，像是点物产生的衍射图样的相干叠加。系统的特性完全由点物所成的像斑的复振幅分布所决定。我们也可以从频域分析成像过程。选择复指数函数为基元函数，考虑系统对各种频率成分的传递特性。F定义系统的输入频谱和输出频谱分别为F相干传递函数（CTF）为F由卷积定理2026/4/2936由上式可以看出，表征了衍射受限系统在频域中的作用它使输入频谱转化为输出频谱决定于系统本身的物理结构。由于是空不变系统，可以用的脉冲响应表示成像系统的特性2026/4/2937利用函数的比例性质和筛选性质，并略去常系数2026/4/2938上式指出，相干传递函数（CTF）等于光瞳函数，仅在空域坐标x,y和频域坐标之间存在着一定的坐标缩放关系。如果在一个反演的坐标中来定义P，则可以去掉负号的累赘。实际光瞳函数总是取1和0两个值，所以相干传递函数也是如此，只有0和1两个值，这表明，在频域中存在一个有限通频带，此通带内全部频率分量可以通过系统而没有振幅和相位畸变。而通带以外的频率分量完全被衰减掉。因此，衍射受限系统是一个低通滤波器，低于某一频率的分量按原样通过，高于该频率的分量将被截止。这个频率称为截止频率.2026/4/2939相干传递函数计算和运用的例子。例1、正方形出瞳的衍射受限系统的相干传递函数xy光瞳函数为相干传递函数为由rect定义，设2026/4/2940是

轴和轴方向的截止频率。这里是高斯像面的截止频率。实际物面的截止频率还应乘以放大倍数M。因为物被放大以后，空间频率变小。例2、圆形出瞳的衍射受限系统的相干传递函数2026/4/2941xy为各个方向的截止频率。2026/4/2942例3、如图所示为衍射受限系统的相干成像系统，矩形光阑缝宽l

=3cm,透镜焦距f=5cm，照明光波长成像倍率M=1,如果物体是振幅透过率的理想光栅，周期d=0.01mm,求像的强度分布。解：首先确定系统的相干传递函数2026/4/2943周/mm1,0,采用单位振幅平面波垂直照射，几何光学理想像的场分布Ug就等于物体的透过率，输入频谱输出频谱周/mm由例1结论2026/4/2944原函数

↔

频谱函数原函数

↔

频谱函数11常用函数的傅里叶变换对2026/4/2945略去常系数，像光场分布为成像系统在空域和频域的作用如下图所示，从像面强度分布，还可以看出光栅仍能分辨。像与物具有相同的周期，但在两个主极大之间出现次极大，光栅条纹已经变形。系统通过频带愈宽，像与物愈相似。假如周/mm物的基频成分也不能传递到像面，将看不到光栅的像。光栅成像的强度分布2026/4/2946空域和频域的运算结果光栅成像的强度分布2026/4/2947例4用一直径为D，焦距为f的理想单透镜对相干照明物体成像。若物方空间截止频率为

oc,试问当系统的放大率M为何值时，oc有最大值？解：设物距为d0,像距为di,放大率为M。则系统的截止频率2026/4/2948此时，物置于透镜前焦面，像在像方无穷远处，在物空间的通频带为由上式可知，只有当M为无穷大时，系统才有最大的空间截止频率2026/4/2949例5如图表示两个相干成像系统，所用透镜的焦距都相同。单透镜系统中光阑的直径为D，双透镜系统为了获得相同的截止频率，光阑直径a应等于多大（相对D写出关系式）。解：这两个系统都是横向放大率为1的系统，故不必区分物方截止频率和像方截止频率。对于单透镜系统的截止频率为2026/4/2950对于双透镜系统，其孔径光阑置于频谱面上，故入瞳和出瞳分别在物方和像方无穷远处。入瞳与孔径光阑保持物像其轭关系，出瞳与孔径光阑也保持物像其轭关系。能通过光阑的最高空间频率出必定能通过入瞳与出瞳，因此，系统的截止频率可通过光阑的尺寸来计算。2026/4/29513.3.2相干线扩散函数和边缘扩散函数测量传递函数的方法，一种是计算或测量出系统的点扩散函数，然后对它做傅里叶变换以确定传递函数。但在有些情况下，得不到点扩散函数的精确表达式，这种方法不好使用。另一种方法是把大量频率不同的本征函数逐个输入系统，并确定每个本征函数所受到的衰减及其相移，从而得到传递函数。这种方法较第一种方法直接，但测量数目大，有时实现起来相当困难，由线扩散函数确定传递函数是另一种方法。2026/4/29521、线扩散函数和边缘扩散函数的概念一个物点在像面上造成的强度为点扩散函数，在理想成像下，是圆对称的。现在以一亮狭缝作为输入通过光学系统后，光强分布是往两侧散开的，散开的情况取决于光学系统的点扩散函数。因为一根亮直线或一个亮狭缝，可以看成是由许多亮点的集合组成的，这许多沿直线排列的点源的像点（点扩散函数）的叠加就构成亮直线的光强分布，这就是线扩散函数。2026/4/2953设系统输入一线脉冲，平行于y0轴，即线性空不变系统的线扩散函数为是点扩散函数。它等于点扩散函数沿yi方向的线积分。2026/4/2954现用一个与狭缝方向平行的刀片放置在像面上，开始时刀片完全挡住狭缝像，刀片逐渐移动，也就是逐渐放入狭缝像的光。如下图，放入光通量与图中阴影面积成比例。这样一来，在刀片的整个移动过程中，进入探测器的光通量随刀口位置的变化构成一个函数E(xi),这个函数就叫做边缘扩散函数。由上式又可得2026/4/2955边缘扩散函数也可以用下面方法导出。对系统输入一个阶跃函数，例如均匀照明的直边或刀口形成的光分布。系统的输出阶跃响应或边缘扩散函数，即2026/4/29562、相干线扩散函数和边缘扩散函数在相干照明下的狭缝在像面上产生的复振幅分布叫相干线扩散函数，它的一维傅里叶变换等于系统的传递函数沿方向截面分布。FF2026/4/2957在衍射受限系统中的相干传递函数在通频带内为常数，无论孔径形状如何，相干传递函数的截面总是矩形函数，因而将呈sinc函数变化。如对于直径为D的圆形出瞳，垂直于孔径的任意截面，都是矩形函数，即2026/4/2958线扩散函数为F-1边缘扩散函数为展开式为2026/4/29591上图给出了衍射受限的相干线响应与直边响应函数。注意直边的振荡性质。直边的像不再是亮暗严格分明的，在亮区与暗区都会产生一些亮暗交替的条纹。2026/4/2960P扩展面光源3.4衍射受限非相干成像系统的传递函数在非相干照明下，物面上各点的振幅和相位随时间变化的方式是彼此独立的、统计无关的。这样一来，虽然物面上每一点通过系统后仍可得到一个对应的复振幅分布，但由于物面的照明是非相干的，故不能通过对这些复振幅分布的相干迭加得到像的复振幅分布，而应该先由这些复振幅分布分别求出对应的强度分布，然后将这些强度分布叠加（非相干叠加）而得到像的强度分布。若成像系统是空不变的，则非相干成像系统是强度的线性空不变系统。2026/4/29613.4.1非相干成像系统的光学传递函数非相干成像系统，物像关系满足下面卷积关系式式中是几何光学理想像的强度分布，K是常数，由于它不影响Ii的分布形式，所以不用给出具体表达形式。hI为强度脉冲响应或强度点扩散函数。它是点物产生的像斑的强度分布，它应该是复振幅点扩散函数绝对值的平方，即是像的强度分布2026/4/2962对于非相干照明下的强度线性空不变系统，在频域中来描述物像关系更加方便。对上式两边进行傅里叶变换并略去无关紧要的常数后得FFF输入光强频谱函数输出光强频谱函数强度脉冲响应频谱函数2026/4/2963下面以的傅里叶分解来说明光强频谱的含义是实函数，其傅里叶变换是厄米型函数。故可以表示为意义：物面光强分布可以看作是不同空间频率的余弦光强分量的线性组合。各频率成分的振幅和初相位分别由光强频谱的模和幅角确定。2026/4/2964对于呈余弦函数变化的强度分布，很自然地要讨论其对比度，或调制度，其定义为式中分别为光强分布的最大值和最小值。比如对于信号其对比度为所以对比度等到于余弦分布的振幅和背景光强（零频分量）的比值。当a=I0时，V=1为最大值，条纹看起来最清晰。这时因背景光太强，条纹看起来很不清晰。2026/4/2965就像在阳光下看电视，不会有令人满意的收看效果。所以，从图像的视觉效果考虑，我们更关心各频率余弦分量的对比度。为此，可用零频分量的频谱值对光强频谱作归一化。输入和输出的归一化光强频谱定义为Ai(,)Ag(,)

(,)2026/4/2966因为所以Ai(,)=Ag(,)归一化的频谱公式称为非相干成像系统的光学传递函数OTF,它描述非相干成像系统在频域的效应。对于实际系统，频谱函数一般都是复函数，都可以用它的模和辐角表示。于是有Ai(,)=Ai(,)Ag(,)=Ag(,)

(,)=

(,)

(,)2026/4/2967Ai(,)Ag(,)Ai(,)=Ai(,)Ag(,)=Ag(,)

(,)=称为调制传递函数（MTF）称为相位传递函数（PTF）2026/4/2968和的物理意义例：一个余弦输入的光强为求其输出光强和对比度的变化解：输入光强的频谱为2026/4/2969像面的强度分布为其傅里叶逆变换由于是一确定的常数，对像强度的相对分布没有影响可忽略不计。

(,)

(,)

(,)

(,)2026/4/2970

(

0,0)

(-

0,-0)

(-

0,-0)=

(

0,0)=

(0,0)=12026/4/2971将上面的式子代入前面的式中并求其傅里叶逆变换由于上式是任意的，因此可以写成一般形式结论：余弦条纹通过线性空不变系统成像后，像仍旧是同频率的余弦条纹，只是振幅减小了，相位变化了。振幅的减小和相位的变化都取决于系统的光学传递函数在该频率处的取值。2026/4/2972物和像的对比度为2026/4/2973像的对比度等于物的对比度与相应的频率的MTF的积，PTF给出了相应的相移。空间余弦分布的相位差体现了余弦像分布相对于物分布移动多少。当时表示错开了一个条纹，当时，说明错开了个条纹。2026/4/2974由此可见，光学传递函数的模表示物分布中频率为的余弦基元通过系统后的衰减或者说，表示频率为的余弦物通过系统后调制度或对比度的降低，正是这个原因，才把制传递函数（MTF）。叫称为调2026/4/2975的辐角则表示频率为余弦像分布相对理想像的横向位移量，所以也把叫做相位传递函数。光学传递函数的作用图示2026/4/29763.4.2OTF与CTF的联系CTF和OTF分别是描述同一个成像系统采用相干照明和非相干照明时的传递函数，它们都决定于系统的物理性质，我们应该可以找到二者的联系。沟通两者的桥梁是下面的公式。CTF和OTF分别定义为FFFF

2026/4/2977利用傅里叶变换的自相关定理和巴塞伐定理得到

结论：对于同一系统来说，光学传递函数等于相干传递函数的自相关归一化函数。它对有像差和无像差的系统都成立。2026/4/29783.4.3衍射受限系统的OTF对于相干照明的衍射受限系统，已知

令积分变量的替代不影响积分结果。2026/4/2979由于光瞳函数只有0和1两个值，积分中的P2可以写作P。因此，衍射受限系统的OTF是光瞳函数的归一化自相关函数。2026/4/2980研究上式，可得到OTF的重要几何解释。式中分母是光瞳的总面积S0，分子代表中心位于的经过平移的光瞳与原光瞳的重叠面积S（，），求衍射受限的OTF只不过是归一化的重叠面积计算问题。2026/4/2981如图，对于简单几何形状的光瞳，不