【2025年】河南省郑州初中学业水平考试中考数学试题(含答案)

【2025年】河南省郑州初中学业水平考试中考数学试题(含答案)一、选择题（每小题3分，共30分）1.2025的绝对值是（）A.2025B.2025C.$\frac{1}{2025}$D.$\frac{1}{2025}$答案：B。绝对值的性质：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，所以|2025|=2025。2.下列运算正确的是（）A.$a^{2}+a^{3}=a^{5}$B.$(a^{3})^{2}=a^{6}$C.$(ab)^{2}=a^{2}b^{2}$D.$3a^{2}\cdot2a^{3}=6a^{6}$答案：B。A选项中，$a^{2}$与$a^{3}$不是同类项，不能合并；B选项根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，$(a^{3})^{2}=a^{3\times2}=a^{6}$，正确；C选项根据完全平方公式$(ab)^{2}=a^{2}2ab+b^{2}$；D选项根据单项式乘单项式法则，$3a^{2}\cdot2a^{3}=(3\times2)a^{2+3}=6a^{5}$。3.如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，其左视图是（）（此处应该有一个几何体的图，由于条件限制无法给出，左视图的判断方法：从左边看几何体，看到的图形即为左视图）答案：根据实际图形确定，一般是看到两列，左边一列2个正方形，右边一列1个正方形，选符合此特征的选项。4.已知一组数据：1，2，3，4，5，则这组数据的中位数是（）A.2B.3C.4D.5答案：B。将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；将1，2，3，4，5从小到大排列后，中间的数是3，所以中位数是3。5.若关于$x$的一元二次方程$x^{2}2x+m=0$有两个相等的实数根，则$m$的值是（）A.1B.0C.1D.2答案：C。对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}4ac$，当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。在方程$x^{2}2x+m=0$中，$a=1$，$b=2$，$c=m$，则$\Delta=(2)^{2}4\times1\timesm=0$，即$44m=0$，解得$m=1$。6.不等式组$\begin{cases}2x1\gtx2\\x+8\gt4x1\end{cases}$的解集是（）A.$x\gt1$B.$x\lt3$C.$1\ltx\lt3$D.无解答案：C。解不等式$2x1\gtx2$，移项可得$2xx\gt2+1$，解得$x\gt1$；解不等式$x+8\gt4x1$，移项得$x4x\gt18$，合并同类项得$3x\gt9$，两边同时除以$3$，不等号方向改变，解得$x\lt3$。所以不等式组的解集是$1\ltx\lt3$。7.如图，在$\triangleABC$中，$DE\parallelBC$，$\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}$，则$\frac{DE}{BC}$的值为（）（此处应该有$\triangleABC$中$DE\parallelBC$的图形）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{2}{3}$D.$\frac{3}{4}$答案：B。因为$DE\parallelBC$，所以$\triangleADE\sim\triangleABC$，相似三角形对应边成比例，且$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$。已知$\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}$，则$\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$，所以$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$。8.如图，正六边形$ABCDEF$内接于$\odotO$，$\odotO$的半径为6，则这个正六边形的边心距$OM$的长为（）（此处应该有正六边形内接于圆的图形）A.3B.$3\sqrt{2}$C.$3\sqrt{3}$D.6答案：C。连接$OB$，因为正六边形$ABCDEF$内接于$\odotO$，所以$\triangleOBC$是等边三角形，$OB=BC=6$。在$Rt\triangleOBM$中，$\angleBOM=30^{\circ}$，$OB=6$，根据直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，可得$BM=\frac{1}{2}OB=3$，再根据勾股定理$OM=\sqrt{OB^{2}BM^{2}}=\sqrt{6^{2}3^{2}}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。9.二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)$的图象如图所示，下列结论：①$a\lt0$；②$b^{2}4ac\gt0$；③$2a+b=0$；④$a+b+c\gt0$。其中正确的个数是（）（此处应该有二次函数图象）A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C。①因为抛物线开口向下，所以$a\lt0$，正确；②抛物线与$x$轴有两个交点，所以$\Delta=b^{2}4ac\gt0$，正确；③抛物线对称轴为$x=\frac{b}{2a}=1$，则$b=2a$，即$2a+b=0$，正确；④当$x=1$时，$y=a+b+c$，由图象可知，当$x=1$时，$y\lt0$，即$a+b+c\lt0$，错误。所以正确的有3个。10.如图，在平面直角坐标系中，矩形$OABC$的顶点$A$，$C$分别在$x$轴，$y$轴的正半轴上，点$D$为对角线$AC$的中点，点$E(4,n)$在边$AB$上，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x\gt0)$的图象经过点$D$，$E$，若$\triangleCDE$的面积为6，则$k$的值为（）（此处应该有平面直角坐标系中矩形及相关点的图形）A.3B.4C.6D.8答案：C。设$A(a,0)$，$C(0,b)$，则$D(\frac{a}{2},\frac{b}{2})$，$E(a,n)$。因为点$E(4,n)$，所以$a=4$。$S_{\triangleCDE}=S_{矩形OABC}S_{\triangleADE}S_{\triangleCDE}S_{\triangleODE}$，$S_{矩形OABC}=4b$，$S_{\triangleADE}=\frac{1}{2}\times(42)\times(bn)=bn$，$S_{\triangleOCD}=\frac{1}{2}\times2\timesb=b$，$S_{\triangleOAE}=\frac{1}{2}\times4\timesn=2n$。则$S_{\triangleCDE}=4b(bn)b2n=2bn$。又因为点$D(2,\frac{b}{2})$，$E(4,n)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，所以$k=2\times\frac{b}{2}=4n$，即$b=4n$。代入$2bn=6$，得$8nn=6$，$7n=6$，$n=\frac{6}{7}$，$k=4n=6$。二、填空题（每小题3分，共15分）11.计算：$\sqrt{4}(1)^{0}=$______。答案：1。$\sqrt{4}=2$，$(1)^{0}=1$，所以$\sqrt{4}(1)^{0}=21=1$。12.分解因式：$x^{3}4x=$______。答案：$x(x+2)(x2)$。先提取公因式$x$得$x(x^{2}4)$，再根据平方差公式$a^{2}b^{2}=(a+b)(ab)$，$x^{2}4=(x+2)(x2)$，所以$x^{3}4x=x(x+2)(x2)$。13.如图，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$AC=3$，$BC=4$，以点$A$为圆心，$AC$长为半径画弧，交$AB$于点$D$，则$BD$的长为______。（此处应该有$\triangleABC$的图形）答案：2。在$Rt\triangleABC$中，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$。因为$AD=AC=3$，所以$BD=ABAD=53=2$。14.一个不透明的袋子里装有除颜色外其余均相同的2个红球和3个白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，再从中任意摸出一个球，则两次摸出的球都是红球的概率是______。答案：$\frac{4}{25}$。第一次摸出红球的概率为$\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$，因为摸出球后放回，所以第二次摸出红球的概率也为$\frac{2}{5}$。两次摸球是相互独立事件，所以两次摸出的球都是红球的概率为$\frac{2}{5}\times\frac{2}{5}=\frac{4}{25}$。15.如图，在菱形$ABCD$中，$\angleB=60^{\circ}$，$AB=2$，点$E$是$AD$边的中点，点$M$是$AB$边上一动点（不与点$A$重合），延长$ME$交射线$CD$于点$N$，连接$MD$，$AN$。当$\triangleAMN$是等边三角形时，$AM$的长为______。（此处应该有菱形及相关点的图形）答案：$\frac{4}{3}$。因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AB\parallelCD$，则$\angleMAE=\angleNDE$。又因为点$E$是$AD$边的中点，所以$AE=DE$。在$\triangleAME$和$\triangleDNE$中，$\begin{cases}\angleMAE=\angleNDE\\AE=DE\\\angleAEM=\angleDEN\end{cases}$，所以$\triangleAME\cong\triangleDNE(ASA)$，所以$AM=DN$。因为$\triangleAMN$是等边三角形，所以$AM=MN=AN$，$\angleMAN=60^{\circ}$。设$AM=x$，则$DN=x$，$CN=2x$。在$\triangleADN$中，$AD=2$，$DN=x$，$\angleADN=120^{\circ}$，根据余弦定理$AN^{2}=AD^{2}+DN^{2}2AD\cdotDN\cdot\cos\angleADN$，即$x^{2}=4+x^{2}2\times2\timesx\times(\frac{1}{2})$，$x^{2}=4+x^{2}+2x$，$2x=4$，解得$x=\frac{4}{3}$，即$AM=\frac{4}{3}$。三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（8分）先化简，再求值：$(\frac{x}{x1}\frac{1}{x^{2}1})\div\frac{x^{2}+x}{x^{2}2x+1}$，其中$x=\sqrt{2}$。解：原式$=[\frac{x(x+1)}{(x+1)(x1)}\frac{1}{(x+1)(x1)}]\div\frac{x(x+1)}{(x1)^{2}}$$=\frac{x^{2}+x1}{(x+1)(x1)}\cdot\frac{(x1)^{2}}{x(x+1)}$$=\frac{x^{2}+x1}{(x+1)^{2}}\cdot\frac{x1}{x}$。当$x=\sqrt{2}$时，原式$=\frac{(\sqrt{2})^{2}+\sqrt{2}1}{(\sqrt{2}+1)^{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}1}{\sqrt{2}}$$=\frac{2+\sqrt{2}1}{2+2\sqrt{2}+1}\cdot\frac{\sqrt{2}1}{\sqrt{2}}$$=\frac{1+\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}1}{\sqrt{2}}$$=\frac{(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}1)}{(3+2\sqrt{2})\sqrt{2}}$$=\frac{21}{(3+2\sqrt{2})\sqrt{2}}$$=\frac{1}{3\sqrt{2}+4}$$=\frac{43\sqrt{2}}{(4+3\sqrt{2})(43\sqrt{2})}$$=\frac{43\sqrt{2}}{1618}$$=\frac{3\sqrt{2}4}{2}$。17.（9分）为了解学生对“垃圾分类”知识的了解程度，某学校对学生进行随机抽样调查，将调查结果分为“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解”四个等级，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图。（此处应该有扇形统计图和条形统计图）（1）本次调查一共抽取了多少名学生？（2）补全条形统计图；（3）若该校有1200名学生，估计该校对“垃圾分类”知识“非常了解”的学生有多少名？解：（1）由扇形统计图可知“比较了解”的占$40\%$，由条形统计图可知“比较了解”的有20人，所以本次调查一共抽取的学生数为$20\div40\%=50$（名）。（2）“非常了解”的人数为$50\times20\%=10$（名），“基本了解”的人数为$5010205=15$（名）。补全条形统计图，在“非常了解”对应的条形上标注高度为10，在“基本了解”对应的条形上标注高度为15。（3）该校对“垃圾分类”知识“非常了解”的学生约有$1200\times20\%=240$（名）。18.（9分）如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，以$AB$为直径的$\odotO$交$BC$于点$D$，过点$D$作$\odotO$的切线交$AC$于点$E$。（1）求证：$DE\perpAC$；（2）若$\odotO$的半径为5，$BC=16$，求$DE$的长。（1）证明：连接$OD$。因为$OB=OD$，所以$\angleB=\angleODB$。又因为$AB=AC$，所以$\angleB=\angleC$，则$\angleODB=\angleC$，所以$OD\parallelAC$。因为$DE$是$\odotO$的切线，所以$OD\perpDE$，所以$DE\perpAC$。（2）解：连接$AD$。因为$AB$是$\odotO$的直径，所以$\angleADB=90^{\circ}$，即$AD\perpBC$。因为$AB=AC$，所以$BD=CD=\frac{1}{2}BC=8$。在$Rt\triangleABD$中，$AB=10$，$BD=8$，根据勾股定理$AD=\sqrt{AB^{2}BD^{2}}=\sqrt{10^{2}8^{2}}=6$。因为$S_{\triangleADC}=\frac{1}{2}AD\cdotCD=\frac{1}{2}AC\cdotDE$，$AC=10$，$AD=6$，$CD=8$，所以$DE=\frac{AD\cdotCD}{AC}=\frac{6\times8}{10}=\frac{24}{5}$。19.（9分）某商场销售甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元。（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润=售价进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案。解：（1）设购进甲种商品$x$件，则购进乙种商品$(100x)$件。根据题意得$15x+35(100x)=2700$，$15x+350035x=2700$，$20x=27003500$，$20x=800$，解得$x=40$，则$100x=60$。所以购进甲种商品40件，乙种商品60件。（2）设购进甲种商品$a$件，则购进乙种商品$(100a)$件。总利润$W=(2015)a+(4535)(100a)=5a+10(100a)=5a+100010a=10005a$。由题意得$\begin{cases}10005a\geqslant750\\10005a\leqslant760\end{cases}$，解不等式$10005a\geqslant750$，$5a\geqslant7501000$，$5a\geqslant250$，$a\leqslant50$；解不等式$10005a\leqslant760$，$5a\leqslant7601000$，$5a\leqslant240$，$a\geqslant48$。所以$48\leqslanta\leqslant50$。因为$a$为正整数，所以$a=48$，$49$，$50$。当$a=48$时，$100a=52$；当$a=49$时，$100a=51$；当$a=50$时，$100a=50$。所以有三种进货方案：方案一：购进甲种商品48件，乙种商品52件；方案二：购进甲种商品49件，乙种商品51件；方案三：购进甲种商品50件，乙种商品50件。20.（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y=kx+b(k\neq0)$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}(m\neq0)$的图象交于$A(2,3)$，$B(n,2)$两点。（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出不等式$kx+b\gt\frac{m}{x}$的解集。解：（1）把$A(2,3)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$m=2\times(3)=6$，所以反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。把$B(n,2)$代入$y=\frac{6}{x}$，得$2=\frac{6}{n}$，解得$n=3$，所以$B(3,2)$。把$A(2,3)$，$B(3,2)$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}2k+b=3\\3k+b=2\end{cases}$，两式相减得$2k+b(3k+b)=32$，$2k+b+3kb=5$，$5k=5$，解得$k=1$。把$k=1$代入$2k+b=3$，得$2+b=3$，解得$b=1$。所以一次函数的表达式为$y=x1$。（2）由图象可知，不等式$kx+b\gt\frac{m}{x}$的解集是$3\ltx\lt0$或$x\gt2$。21.（10分）如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼$CD$的高度。该小组在居民楼前方的一座楼房顶部$A$点处测得居民楼顶部$D$点的仰角为$22^{\circ}$，底部$C$点的俯角为$45^{\circ}$。已知楼房$AB$的高度为18米，求居民楼$CD$的高度。（结果精确到1米。参考数据：$\sin22^{\circ}\approx0.37$，$\cos22^{\circ}\approx0.93$，$\tan22^{\circ}\approx0.40$）（此处应该有相关图形）解：过点$A$作$AE\perpCD$于点$E$。因为$\angleEAC=45^{\circ}$，$\angleAEC=90^{\circ}$，所以$\triangleAEC$是等腰直角三角形，$CE=AE$。因为$AB=18$米，四边形$ABCE$是矩形，所以$AE=BC=AB=18$米，$CE=18$米。在$Rt\triangleADE$中，$\angleDAE=22^{\circ}$，$\tan\angleDAE=\frac{DE}{AE}$，则$DE=AE\cdot\tan22^{\circ}\approx18\times0.40=7.2$米。所以$CD=CE+DE=18+7.2\approx25$米。22.（10分）（1）问题发现如图1，在$\triangleABC$和$\triangleADE$中，$AB=AC$，$AD=AE$，$\angleBAC=\angleDAE=90^{\circ}$，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上。连接$BD$，$CE$，则线段$BD$，$CE$的数量关系是______，位置关系是______。（2）拓展探究将$\triangleADE$绕点$A$逆时针旋转到如图2所示的位置，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。（3）解决问题如图3，在四边形$ABCD$中，$\angleABC=90^{\circ}$，$AB=BC=4$，$CD=2$，$AD=2\sqrt{10}$。请直接写出点$B$到直线$AD$的距离。（此处应该有图1、图2、图3）解：（1）因为$AB=AC$，$AD=AE$，$\angleBAC=\angleDAE=90^{\circ}$，所以$\triangleABD\cong\triangleACE(SAS)$，所以$BD=CE$。延长$BD$交$CE$于点$F$，因为$\triangleABD\cong\triangleACE$，所以$\angleABD=\angleACE$，又因为$\angleADB=\angleCDF$，$\angleABD+\angleADB=90^{\circ}$，所以$\angleACE+\angleCDF=90^{\circ}$，则$\angleDFC=90^{\circ}$，所以$BD\perpCE$。故答案为$BD=CE$；$BD\perpCE$。（2）仍然成立。证明：因为$\angleBAC=\angleDAE=90^{\circ}$，所以$\angleBAC\angleDAC=\angleDAE\angleDAC$，即$\angleBAD=\angleCAE$。在$\triangleABD$和$\triangleACE$中，$\begin{cases}AB=AC\\\angleBAD=\angleCAE\\AD=AE\end{cases}$，所以$\triangleABD\cong\triangleACE(SAS)$，所以$BD=CE$，$\angleABD=\angleACE$。设$BD$与$AC$交于点$O$，因为$\angleAOB=\angleCOF$，$\angleABD+\angleAOB=90^{\circ}$，所以$\angleACE+\angleCOF=90^{\circ}$，则