2026年23年北京中考数学试卷及答案

2026年23年北京中考数学试卷及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.若$x+3=5$，则$x$的值为（）A.1B.2C.3D.42.下列计算正确的是（）A.$a^2+a^3=a^5$B.$a^2\cdota^3=a^6$C.$(a^2)^3=a^6$D.$2a^3-a^3=1$3.已知直线$y=2x+b$经过点$(1,-3)$，则$b$的值为（）A.-1B.-3C.-5D.-74.如图，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$\angleB=30^{\circ}$，$AC=2$，则$AB$的长为（）A.4B.3C.2D.15.不等式$2x-1\lt3$的解集是（）A.$x\lt2$B.$x\lt1$C.$x\gt2$D.$x\gt1$6.一个多边形的内角和是$1080^{\circ}$，则这个多边形的边数是（）A.6B.7C.8D.97.化简：$\frac{x^2-4}{x+2}$的结果是（）A.$x-2$B.$x+2$C.$\frac{x-2}{x+2}$D.$\frac{x+2}{x-2}$8.若$x^2+kx+9$是完全平方式，则$k$的值为（）A.3B.$\pm3$C.6D.$\pm6$9.已知圆锥的底面半径为$3$，母线长为$5$，则圆锥的侧面积为（）A.$15\pi$B.$20\pi$C.$25\pi$D.$30\pi$10.如图，在平面直角坐标系中，点$A$的坐标为$(1,2)$，点$B$的坐标为$(3,1)$，将线段$AB$平移后得到线段$A'B'$，若点$A'$的坐标为$(2,3)$，则点$B'$的坐标为（）A.$(4,2)$B.$(4,4)$C.$(6,2)$D.$(6,4)$二、填空题（每题2分，共20分）11.分解因式：$x^2-4=$________。12.函数$y=\frac{1}{x-1}$的自变量$x$的取值范围是________。13.计算：$\sqrt{12}-\sqrt{3}=$________。14.若一个三角形的两边长分别为$3$和$5$，第三边的长为偶数，则第三边的长为________。15.方程$\frac{1}{x}=\frac{3}{x+2}$的解为________。16.如图，在$\odotO$中，$\angleAOB=120^{\circ}$，半径$OA=6$，则弧$AB$的长为________。17.已知一次函数$y=kx+b$的图像经过点$(1,-2)$和$(2,1)$，则$k=$________，$b=$________。18.如图，在矩形$ABCD$中，$AB=6$，$BC=8$，点$E$是边$BC$上的一点，将$\triangleABE$沿$AE$折叠，点$B$落在点$F$处，当$\triangleCEF$为直角三角形时，$BE$的长为________。19.如图，在平面直角坐标系中，点$A$的坐标为$(3,0)$，点$B$的坐标为$(0,4)$，连接$AB$，将$\triangleAOB$绕点$A$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangleAOB'$，则点$B'$的坐标为________。20.观察下列等式：$1^2=1$，$1^2-2^2=-3$，$1^2-2^2+3^2=6$，$1^2-2^2+3^2-4^2=-10$，……，根据你发现的规律，计算：$1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots+99^2-100^2=$________。三、判断题（每题2分，共20分）21.若$a\gtb$，则$ac^2\gtbc^2$。（）22.对角线相等的四边形是矩形。（）23.平分弦的直径垂直于弦。（）24.三角形的外角大于任何一个内角。（）25.方程$x^2-3x+4=0$有两个不相等的实数根。（）26.样本方差越大，数据的波动越小。（）27.两个等腰三角形一定相似。（）28.圆的内接四边形对角互补。（）29.函数$y=\frac{1}{x}$的图像在第一、三象限。（）30.主视图、左视图、俯视图都相同的几何体是正方体。（）四、简答题（每题5分，共20分）31.计算：$(2a^2)^3-6a^2\cdota^4+a^8\diva^2$。32.解方程组：$\begin{cases}2x+y=5\\x-2y=0\end{cases}$。33.如图，在$\triangleABC$中，$D$是$BC$边上的一点，$E$是$AD$的中点，过点$A$作$BC$的平行线交$BE$的延长线于点$F$，且$AF=DC$，连接$CF$。（1）求证：$D$是$BC$的中点。（2）若$AB=AC$，试判断四边形$ADCF$的形状，并证明你的结论。34.为了解某校学生对篮球、足球、羽毛球、乒乓球这四种球类运动的喜爱情况，学校体育组从全校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查（每位学生必须选择且只能选择一种自己喜欢的球类运动），并将调查结果整理后绘制成了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图。（1）这次被调查的学生共有多少人？（2）请将条形统计图补充完整。（3）若该校共有学生2000人，请你估计该校喜欢足球运动的学生大约有多少人。五、讨论题（每题5分，共20分）35.如图，在$\triangleABC$中，$\angleACB=90^{\circ}$，$AC=BC$，点$D$是边$AB$上一点，连接$CD$，将线段$CD$绕点$C$顺时针旋转$90^{\circ}$得到线段$CE$，连接$BE$。（1）求证：$\triangleACD\cong\triangleBCE$。（2）若$AD=2$，$BD=6$，求$CD$的长。36.如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交于$A(-1,0)$，$B(3,0)$两点，与$y$轴交于点$C(0,3)$。（1）求抛物线的解析式。（2）点$P$是抛物线上一动点，且在$x$轴上方，当$\trianglePAB$的面积最大时，求点$P$的坐标。（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点$Q$，使得$\triangleCPQ$是以$CP$为斜边的直角三角形？若存在，求出点$Q$的坐标；若不存在，请说明理由。37.如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$\angleBAC=120^{\circ}$，$AD\perpBC$于点$D$，点$E$是$BA$延长线上一点，点$F$是$AC$上一点，$BE=AF$，连接$EF$交$BC$于点$G$。（1）求证：$\triangleAEF$是等边三角形。（2）若$BC=6$，求$FG$的长。38.如图，在正方形$ABCD$中，点$E$是边$AD$上一点，连接$BE$，将$\triangleABE$沿$BE$折叠，点$A$落在点$F$处，连接$CF$。（1）求证：$\triangleBCF\sim\triangleBAE$。（2）若$AB=4$，$AE=1$，求$FC$的长。答案：一、单项选择题1.B2.C3.C4.A5.A6.C7.A8.D9.A10.A二、填空题11.$(x+2)(x-2)$12.$x\neq1$13.$\sqrt{3}$14.4或615.$x=1$16.$4\pi$17.3，-518.3或619.$(-3,4)$20.-5050三、判断题21.×22.×23.×24.×25.×26.×27.×28.√29.√30.×四、简答题31.解：原式$=8a^6-6a^6+a^6=3a^6$。32.解：由$x-2y=0$可得$x=2y$，将其代入$2x+y=5$中，得$4y+y=5$，$5y=5$，$y=1$，则$x=2$。所以方程组的解为$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$。33.（1）证明：因为$AF\parallelBC$，所以$\angleAFE=\angleDBE$，又因为$E$是$AD$的中点，所以$AE=DE$，在$\triangleAEF$和$\triangleDEB$中，$\begin{cases}\angleAFE=\angleDBE\\\angleFEA=\angleBED\\AE=DE\end{cases}$，所以$\triangleAEF\cong\triangleDEB(AAS)$，所以$AF=BD$，又因为$AF=DC$，所以$BD=DC$，即$D$是$BC$的中点。（2）四边形$ADCF$是矩形。证明：因为$AF=DC$且$AF\parallelDC$，所以四边形$ADCF$是平行四边形，又因为$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，所以$AD\perpBC$，所以平行四边形$ADCF$是矩形。34.（1）$80\div40\%=200$（人）。（2）喜欢足球的人数为$200-80-30-20=70$（人），补充条形统计图略。（3）$2000\times35\%=700$（人）。五、讨论题35.（1）证明：因为$\angleDCE=90^{\circ}$，$\angleACB=90^{\circ}$，所以$\angleACD=\angleBCE$，又因为$AC=BC$，$CD=CE$，所以$\triangleACD\cong\triangleBCE(SAS)$。（2）设$CD=x$，则$DE=x-2$，$BE=AD=2$，在$Rt\triangleBDE$中，根据勾股定理可得$x^2=2^2+(x-2)^2$，解得$x=2\sqrt{2}$。36.（1）设抛物线解析式为$y=a(x+1)(x-3)$，把$C(0,3)$代入得$3=a(0+1)(0-3)$，$a=-1$，所以抛物线解析式为$y=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3$。（2）设$P(m,-m^2+2m+3)$，$S_{\trianglePAB}=\frac{1}{2}\times4\times(-m^2+2m+3)=-2(m-1)^2+8$，当$m=1$时，$\trianglePAB$面积最大，此时$P(1,4)$。（3）抛物线对称轴为直线$x=1$，设$Q(1,n)$，$C(0,3)$，$P(1,4)$，则$CP=1$，$PQ=|4-n|$，$CQ=\sqrt{1+(n-3)^2}$，因为$\triangleCPQ$是以$CP$为斜边的直角三角形，所以$CP^2=PQ^2+CQ^2$，即$1=(4-n)^2+1+(n-3)^2$，解得$n=2$或$n=3$，所以$Q(1,2)$或$Q(1,3)$。37.（1）证明：因为$AB=AC$，$\angleBAC=120^{\circ}$，所以$\angleB=\angleC=30^{\circ}$，因为$AD\perpBC$，所以$BD=CD=\frac{1}{2}BC=3$，$\angleBAD=60^{\circ}$，因为$BE=AF$，所以$\triangleABE\cong\triangleACF(SAS)$，所以$AE=AF$，所以$\triangleAEF$是等边三角形。（2）因为$\triangleAEF$是等边三角形，所以$\angleAEF=60^{\circ}$，因为$\angleB=30^{\circ}$，所以$\angleEFG=90^{\circ}$，在$Rt\triangleEFG$中，$EF=AE=BE=2$，$FG=\frac{1}{2}EF=1$。38.（1）证明：因为四边形$ABCD$是正方形，所以$\angleA=\angleC=90^{\circ}$，$AB=BC$，因为$\triangleABE$沿$BE$折叠得到$\triangleFBE$，所以$\angleA=\angleEFB=90^{\circ}$，$AB=FB$，所以$\angleBFC=90^{\circ}-\an