安徽太湖中学等学校2025-2026学年高二下学期4月检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页安徽太湖中学等学校2025-2026学年高二下学期4月检测数学试题一、单选题：本大题共8小题，共40分。1.21×20×⋯×12可表示为(

)A.A2111 B.A2110 C.2.在数列an中，a1=3，an+1=1−1A.−23 B.−12 C.3.甲、乙、丙、丁四人从网球、乒乓球、羽毛球这三门选修课中，每人任选一门参加，则不同的选择方案共有(

)A.C43 B.A43 C.4.下列导数运算正确的是(

)A.ln2026′=12026 B.e−x5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a9A.76 B.68 C.38 D.346.4847+4被7A.2 B.3 C.4 D.57.已知等比数列{an}的前n项积为Tn，a1>0，T7>A.7 B.13 C.14 D.158.已知函数fx=aex−x2，gx=x−lnx−4，若对任意的A.6e3,+∞ B.4e2,+∞二、多选题：本大题共3小题，共18分。9.已知函数y=fx的导函数y=f′x的图象如图所示，则下列说法正确的是(

)

A.函数y=fx在区间−4,−1.5上单调递增

B.函数y=fx在区间−3,3上单调递增

C.在x=−3处，函数y=fx取得极值

D.在x=210.甲、乙、丙、丁四名大学生到A，B，C三家公司参加实习工作，每名大学生仅去一家公司实习，每家公司至少安排一名大学生，则下列说法正确的是(

)A.共有36种不同的安排方法

B.若C公司需要两名大学生，则有12种不同的安排方法

C.若甲不能安排在C公司，则有24种不同的安排方法

D.若甲、乙不能在同一家公司，则有27种不同的安排方法11.下列等式中正确的是(

)A.An+1m=Anm+An三、填空题：本大题共3小题，共15分。12.函数fx=x2−3x13.已知(1+2x−x2)10=a0+a114.在数列an中，a1=3，3anan+1=an+3n∈N∗四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(1)2名女生和4名男生排成一排，若女生不相邻，有多少种排法?(2)用0、1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位数且是偶数?(3)从5名男生和4名女生中选出4人参加一项无人机表演赛，如果这4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法?16.已知函数f(x)=x(x−a)2+1在(1)求a的值;(2)求f(x)在区间[−9217.在(2x+1x)n(n∈N∗(1)求展开式中的常数项;(2)求展开式中系数最大的项．18.在等差数列an中，a1=1，2a3+a4=10，数列(1)求an和b(2)若bncn=an，求数列(3)设x表示不超过x的最大整数，如4.5=4，5.6=5，求119.已知函数f(x)=ax2(1)当a=2时，求f(x)的图象在x=1处的切线方程;(2)讨论f(x)的单调性;(3)当a=0时，求证：f(x)<ex−2．

参考答案1.B

2.B

3.D

4.C

5.A

6.B

7.C

8.A

9.BC

10.ABC

11.BCD

12.4

13.1024；780

14.1501715.(1)解：先排4名男生，男生全排列有A44种方法，

男生排好后形成5个空位，从中选2个空位安排女生，女生排列有A52种方法，

故共有A44A52=480种．

(2)解：分两类讨论：

第一类：末位为0，此时千位可从1−5中选，百位从剩余4个数字中选，

十位从剩余3个数字中选，有A53个，

第二类：末位为2或4，末位有2种选择，千位不能为0和末位数字，有4种选择，

百位从剩余4个数字中选，十位从剩余3个数字中选，有2×4×A42个，

故共有A53+2×4×A42=156个．

(3)16.解：(1)由题意得，函数f(x)=x(x−a)2+1=x3−2ax2+a2x+1，

所以f′(x)=3x2−4ax+a2，

因为f(x)在x=−1处取得极小值，所以f′(−1)=0，

代入得：3(−1)2−4a(−1)+a2=0，即3+4a+a2=0，

解得a=−1或a=−3，

当a=−1时，f′(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1)，

令f​′(x)=0得x=−1或x=−13，

当a=−1时，f′(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1)，

令f′(x)=0，即(3x+1)(x+1)=0，解得x=−1或x=−13，

当x<−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增;

当−1<x<−13时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

所以x=−1是极大值点，不符合题意，舍去；

当a=−3时，f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3)，

令f′(x)=0，即3(x+1)(x+3)=0，解得x=−1或x=−3，

当x<−3时，f′(x)>0，f(x)单调递增;

当−3<x<−1时，f′(x)<0，f(x)单调递减;

当x>−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以x=−1是极小值点，符合题意．

综上，a的值为−3；

(2)由(1)知a=−3，则f(x)=x(x+3)2+1=x3+6x2+9x+1，17.(1)

由题意得，二项式(2x+1x)n展开式的第2项二项式系数为Cn1，第3项二项式系数为Cn2。

已知二项式系数之比为Cn1Cn2=14，可得：nn(n−1)2=2n−1=14，

解得n=9。

展开式的通项公式为Tk+1=C9k(2x)9−k(1x)k=C9k⋅29−k⋅x9−3k2。

令9−3k2=018.解：(1)设等差数列an的公差为d，又a1=1所以21+2d+1+3d=10，解得d=1，所以当n=1时，S1=b当n≥2时，由Sn=2bn−1所以bnbn−1=2，所以bn是首项为1(2)由bncn所以Tn=1所以12所以Tn(3)由题意知1由k+1−k=1故1>22−1，12以上各式相加，得1+1由k+1−k=故12<22−1，以上各式相加，得1则1+1综上，48<1+12

19.解：(1)当a=2时，函数f(x)=2x2−2x+lnx，

则f′(x)=4x−2+1x，

f(1)=2×12−2×1+ln1=0+0=0，

f′(1)=4×1−2+11=3，

从切点为(1,0)，切线的斜率为3，

所以切线方程为y−0=3(x−1)，即y=3x−3；

(2)函数f(x)=ax2−ax+lnx，定义域为x∈(0,+∞)，

f′(x)=2ax−a+1x=2ax2−ax+1x，分母x>0，只需分析分子g(x)=2ax2−ax+1的符号。

①当a=0时，g(x)=1，则f′(x)=1x>0，故f(x)在(0,+∞)上单调递增，

②当a>0时，g(x)为开口向上的二次函数，判别式Δ=a2−8a，

若Δ≤0，即0<a≤8，g(x)≥0，则f′(x)≥0，f(x)在(0,+∞)上单调递增。

若Δ>0，即a>8，g(x)=0的两根为x1=a−a2−8a4a>0，x2=a+a2−8a4a，显然x1<x2，

当x∈(0,x1),(x2,+∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当x∈(x1,x2)时，g(x)<0，f′