专题 成对数据的统计问题教案高考数学总复习

专题22成对数据的统计问题

探究1：成对数据的分析

【典例剖析】

例1.（2022•浙江省模拟）创新是民族的灵魂，某大型企业对其产品进行研发与创新，根

据市场调研与模拟，得到所发投入”（亿元）与研发创新的直接收益y（亿元）的数据统计如

11.8；模型②：y=

当x>17时，确定y与乃满足的线性回归方程为：y=-0.7x+a.

（1）根据下列表格中的数据，比较当OVxW17时模型①、②的决定系数产，并选择拟合精

度更高、更可靠的模型，预测该企业对产品创新改造的投入为17亿元时的直接收益.

回归模型模型①模型②

回归方程y=4.1x+11.8产=21.3代-14.4

7

（，）

Wf2182.479.2

i=l

（附：刻画回归效果的决定系数R2=l-呼叫，V17«4.1,决定系数数值越大，说明

也。「刃

拟合效果越好）

（2）为鼓励科技创新，当研发的投入不少丁-20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回

归方程为预测依据，比较研发改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小.

（附g=£%♦%一戒少_幻（％一刃ZX

（一信一必（有-幻2a=y—bx）

（3）研发改造后，该公司产产品的效率X大幅提高，X服从正态分布N（0.52,0.O"）,公司对研

发团队的奖励方案如下：若F产品的效率不超过50%,大予奖励：若尸产品的效率超过50%

但不超过53%,每件F产品奖励2万元；若F产品的效率超过53%,每件F产品奖励5万元.求

每件产产品获得奖励的数学期望.

（附：随机变量f服从正态分布则P（〃一。＜§＜〃+。）=0.6826,P（〃-2。＜fV

〃+2。）=0.9544）

/✓

\选题意图：成对数据的统计相关性及一元线性回归模型.常以解答题的形式考查简单的实际问题，

!难度一般.试题具有图表丰富、数据与阅读信息量大的特点，考查数据分析、数学运

：算、数学建模等核心素养.例1熔合考查模型的选择与应用及正态分布，对分析问题的

!能力、运算能力要求较高.

!思维引导：第（1）问什算R2的值，选择合适的模型；第（2）问利用回归方程进行预测；第（3）

【变式训练】

练1-1（2022•福建省模拟-多选）某班级学生开展课外数学探究活动，将一杯冷水从冰箱

中取出后静置，在25国的室温下测量水温y（单位：。口随时间工（单位：min）的变化关系，在

测量了15个数据后，根据这些实验数据®・，%）（i=1,2,…,15）得到如卜的散点图：

，,温度/匕

25........................-;;vv；-s-v

20.......................——

15--V------------------------------

10--.........................................

5-1.......-..............

~O102030―时同/min

现需要选择合适的同归方程进行回归分析，则根据散点图，合适的回归方程类型有（）

C2X

A.y=25-cxe~B.y=25+\]cxx+c2

C.y=25-D.y=Ci（x-25）+c2

练1-2（2022•湖北省武汉市联考）2018年9月10日，全国教育大会在北京召开，习近平总

书记在会上提出“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”.某学校贯彻大会

精神，为学生开设了一门模具加工课，经过一一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，

学生小明、小红打算报名参加大赛.

（1）赛前，小明进行了一段时间的强化训练，加工完成一个模具的平均速度y（秒）与训练天数

%（天）有关，经统计得到如下表数据：

N天）1234567

y（秒）990990450320300240210

经研究发现，可用y=Q+$作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测

小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y约为多少秒？

（2）小明和小红拟先举行一次模拟赛，每局比赛各加工一个模具，先加工完成模具的人获胜，

两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为1已知在前3局中小明胜2局，小红

胜1局.若每局不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率，参考数据：（其中0=;）

77

t=ii=l

18450.370.55

参考公式：对于•组数据［小,巧)，(u2,v2)»•••»Qn，%)，其回归直线畲=a+的斜率和

截距的最小二乘估计公式分别为"鬻器署，"=方-外正

【规律方法】

1.判断相关关系的两种方法

①散点图法：如果样本点的分布从整体上看大致在某•曲线附近，变量之间就有相关关

系；如果样本点的分布从整体上看大致在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.

②决定系数法：利用决定系数判定，R2越趋近1,拟合效果越好，相关性越强.

2.求经验回归方程：

①利用公式5=零"誓求反利用式=9-放求6,写出经验回归方程.

Zi=i勺一

②经验回归方程的拟合效果，可•以利用相关系数|r|判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线

性相关性越强.或利用决定系数R2判断，R2越大，拟合效果越好.

3.非线性经验网归方程转化为线性经验网归方程；

①若9=6+64，设1=«,则9=4+石£；

②若满足对数式：y=a+hlnx,设t=仇x,则歹=a+6t；

③若满足指数式：V~Qe，2x,两边取对数伍y=big+c2x,设z=lny,a=lncltb=

lnc2y则2=a+bx.

探究2：独立性检验

【典例剖析】

例2,(2022•湖北省联考)为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试

验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按

[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发

现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.

假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.

(1)填写下面的2x2列联表，并根据列联表及a=0.05的独立性检验，判断能否认为注射疫

苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.

单位:只

指标值

0025

抗体小于60不小于60合计

有抗体O.(M)K75

000751

没有抗体().(10625

00025□

一L

合计02040仅)80100后标值

(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进

行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.

⑴用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p;

(ii)以⑴中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记九

个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X.试验后统计数据显示，当X=99时，P(X)

取最大值，求参加人体接种试验的人数九及£(X).

2

参考公式：等==)(黑黑Oi(其中"a+b+c+d为样本容量)

PCx2>30.500.400.250.150.1000.0500.025

k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024

选题意图：独立性检验可以单独考查，也可与概率、随机变量的分布列、期望等交汇考查，通

过对统计案例的分析，掌握独立性检验的方法，体会独立性检验的基本思想在解决

实际问题中的应用，借助例2梳理独立性检验的步骤.

思维引导：笫(1)问分析频率分布直方图中的数据，填写2x2列联表，计算犬的值，从而判

断犯错概率不大于0.05；第(i)问利用正难则反的思想，先求2次疫苗后均未产生

抗体的概率，再求其对立事件的概率；笫(ii)问中，X-B(n,0.9),将P(X=9)最

大，转化为P(X=9)NP(X=8),P(X=9)2P(X=10),从而求出九及E(X).

【变式训练】

练2-1（2022•湖北省黄石市月考•多选）为了增强学生体育锻炼的枳极性，某中学需要了

解性别因素与学生对体育殿炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进

行普查.得到下表:

性别

合计

男性女性

喜欢280P280+p

不喜欢q120120+q

合计280+q120+p400+p+q

附”一…(3)('s+d),na+b+c+d.

P(K2>k。)0.150.100.050.0250.0100.00/

ko2.0722.7063.8415.0246.63510.828

已知男生喜欢该项运动的人数占男生人数的《，女生喜欢该项运动的人数占女生人数的看

JLUO

则下列说法正确的是（）

A.列联表中"的值为120,p的值为180

B.随机对一名学生进行调查，此学生有90%，的可能喜欢该项运动

C.有99%的把握认为学生的性别与其对该项运动的喜好有关系

D.没有99.9%的把握认为学生的性别与其对该项运动的喜好有关系

练2-2（2022•山东省潍坊市模拟）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位:

mm）对工期的影响如下表：

降水量X[0,300)[300,600)[600,900)[900,+oo)

工期延误天数y0258

历史气象资料表明：该工程施工期间降水量X小于300,600,900的概率分别为0.3,0.7,

0.9.

（1）求工期延误天数y的均值与方差；

（2）求在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过5天的概率；

（3）由于该工程在7〜8月施工，故当气温较高时，工人可能无法按时完成当口计划工作量.已

知在某个40天的施工周期内，有30天的最高气温不低于35K，这其中仅有12天完成了当日

的工作量；剩余10天中，有8天完成了当日的工作量.依据小概率值a=0.005的/独立性检

验，判断“当日最高气温不低于35笃”和“工人能完成当日的工作量”是否相互独立，并写

出零假设.

n(ad-bc)2

附:临界值&.005=7.879.

(a+c)(b+d)(b+c)(Q+d)

【规律方法】

1.在2x2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad—be心0.|ad—尻|越小，说明

两个变量之间关系越弱；|ad-bc|越大，说明两个变量之间关系越强.

2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般

步骤;

(1)根据样本数据制成2x2列联表:

nCad-bc)2

(2)根据公式X?=计算

(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)

⑶通过比较％2与临界值的大小关系来作统计推断.

探究3：概率与统计的综合问题

【典例剖析】

例3.(2022•江西省景德镇市模拟)十三届全国人大四次会议3月11H表决通过了《关于

国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议》，纲要指出：“加

强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现

离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能特种应用及笫三代半导体等离

子注入机，工艺段覆盖至28nm,为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企

业提供离子注入机一站式解决方案.此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡

献，该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该款芯片的性能以某项指标值

k(70<k<100)为衡量标准，性能指标的等级划分如表：

性能指标值k90WkV10085</c<9080</c<8575WkV8070Sk<75

等级ABCDE

为了解该款芯片的生产效益，该企业从试生产的产品进行随机抽样并测量了每件产品的指标

值，若以组距为5画频率分布直方图时，发现丫(设“誓=丫”)满足：r=

组距

(2n-25vI7

300,n-(neN\5n</c<5n+5).

U-22O-n,n>17

(1)试确定n的所有取值，并求a；

(2)从样本性能指标值不小于85的产品中采用分层抽样的方法抽取5件产品，求样本中等级4

产品与等级8产品的件数.然后从这5件产品中一次性随机抽取2件产品，并求出2件都是4级

品的概率.

\选题意图：概率统计试题具有应用性、情境性、综合性的特点，试题注重基本概念的理解，着眼于

!知识在理解的基础上应用，考查常规的、熟悉的知识内容.例3难度一般，考查概率与统

计的综合应用，考查学生数据分析、数学运算的核心素养.

：思维引导：第(1)问分析数据，利用频率之和为1,求出田第(2)问考查古典概型求概率，列举

!出所有的样本点，从而求出事件”所求2件都是A级品''的概率.

【变式训练】

练3-1(2022•广东省东莞市月考)足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战

将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行,全程为期28天.

（1）为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查,

得到2x2列联表如下：

喜爱足球运动不喜爱足球运动合计

男性6040100

女性2080100

合计80120200

依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？

（2）校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球

时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次

传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为几,即/=

1.

⑴求尸3（直接写出结果即可）；

（〃•）证明：数列｛匕为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小.

a0.1000.0500.0250.0100.001

Xa2.7063.8415.0246.63510.828

练3-2（2022•福建省联考）近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优

惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业.某市统计了该市其中四所大学2021年

的毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到如下表格：

4大学8大学C大学。大学

当年毕业人数千人）3456

自主创业人数y（千人）0.10.20.40.5

(1)已知y与工具有较强的线性相关关系，求y关于％的线性回归方程9=a+bx；

(2)假设该市政府对选择巨主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴.

(i)若该市E大学2021年比业生人数为7千人，根据(1)的结论估计该市政府要给E大学选择

自主创业的毕业生创业补贴的总金额：

(ii)若力大学的毕业生中小明、小红选择自主创业的概率分别为p,2p-lQ<p<l),该市

政府对小明、小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过L4万元，求p的取值范围.

参考公式：回归方程？=a+Bx中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

r_^iXjy-rix-y-”

》一言布于”一，

【规律方法】

概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，己成为近几年高考的一大亮点和热点.它与

其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统许的工具性和交汇性.概率与统计案

例的综合应用常涉及相互独立事件同时发生的概率、频率分布直方图的识别与应用、数字特

征、独“性检验等基础知识，考杳学生的阅读理解能力、数据处理能力、运算求解能力及应

用意识.

专题22成对数据的统计问题一答案解析

182.479.2

例1.【解析】（1）由表格口的数据，有182.4>79.2,即:2t

£"仇一力2H=1(y-y)

所以模型①的R2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好,

所以当％=17亿元时，研发改造直接收益的预测值为

y=21.3XT17-14.4«21.3x4.1-14.4=72.93（亿元），

（2）由已知可得：（-20=1+2+?4+5=3-=23,

—,八8,5+8+7.5+6+6--—re

y-60=-------------------=7.2o=y=67.2,

所以Q=歹+0.7x=67.2+0.7X23=83.3,

所以当%>17亿元时，y与％满足的线性回归方程为9=-0.7%+83.3,

当x=20亿元时，研发改造直接收益的预测值为9=-0.7X20+83.3=69.3；

当欠=20亿元时，实际收益的预测值为69.3+10=79.3亿元,72.93亿元，

所以研发改造投入20亿元时，公司的实际收益更大;

(3)因为P(0.52-0.02V><0.52+0.02)=0.9544,

所以P(X>0.50)=1+誓44=09772,P(X<0.50)=~誓44=8,

0022

因为P(0.52-0.01<X<0,52+0.01)=0.6826,

所以P(X>0.53)=J°詈6=o1587,

所以P(O50<X<0,53)=0.9772-0.1587=0.8185,

设每件F产品获得奖励为y(万元)，则y的分布列为：

Y025

P0.02280.81850.1587

所以每件F产品获得奖励的期望值为:

E（y）=0x0.0228+2x0.8185+5x0.1587=2.4305〔万元）.

练卜1.【解析】散点图的特点是单调递增，增长速度越来越慢，且水温yV25.

对A选项，符合散点图的特点；

对8选项，y=25+7^彳备225不符合散点图的特点；

对C选项，符合散点图的特点；

对。选项，y=臼（工一25）+。2的增长速度不变，不符合散点图的特点.

故选：AC.

练1-2.【解析】（1）由题意，y=1（990+990+450+320+300+240+210）=500,

令t=［,设y关于t的线性回归方程为？=+6,则

公_£乙”以一7而_1845-7x0.37x500_.

b=/说-尔=一屈一=10n0nn°'

则a=500-1000x0.37=130,

.-.y=1000t+130,又£J,

y关于x的回归方程为？=1^+130,

故x=50时，y=150,

・•.经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y约为150秒；

（2）设比赛再继续进行X局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，

由题意知，最多再进行4局就有胜负，X可能的取值为2、3、4.

当X=2时，小明4:1胜，P（X=2）='X'=£

当X=3时，小明4:2胜，「（*=3）=6乂\（1一百乂泊黑，

当X=4时，小明4:3胜，口（¥=4）=©><K（1一射爆二孚，

••・小明最终赢得比赛的概率为得+票+挈二探.

25125625625

例2.【解析】（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：

在［0,20）内有0.0025x20x200=10（只）；

在［20,40）内有0.00625x20X200=25（H）：

在［40,60）内有0.00875x20x200=35（只）：

在［60,80）内有0.025x20x200=100（只）：

在［80,100］内有0.0075X20X200=30（只）.

由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有10+25+35=

70只，所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体

的小白鼠有20只，故列联表如下：

单位：只

指标值

抗体合计

小于60不小于60

有抗体50110160

没有抗体202040

合计70130200

零假设为％：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.

根据列联表中数据,得才2_200x(50x20—20x110)2

__160x40x70x130-x4.945>3.841=x005♦

根据a=0.05的独立性检验，推断％不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值

不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.

(2)(i)令事件力="小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件8="小白鼠第二次注射疫苗

产生抗体”，事件C="小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.

记事件4B,C发生的概率分别为P(4),P(B),P(C),

则P(4)=温=08P(B)=寨=OSP(C)=1-P(彳)P(耳)=1-0.2x0.5=0.9.

所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p=0.9.

(ii)由题意,知随机变量X〜8mo.9),P(X=/c)=CjJx0.9kx0.ln-k(k=0,1,2,

x0.9"x0.1n-">屋8X0.998xo.ln-98

因为P(X=99)最大，所以

x0.9"x0.1n-">盘°°xO,9100x0.1nT°°

解得109W"Ml叫，因为九是整数，所以九=109或n=110,所以接受接种试验的人数

为109或110.

①当接种人数为109时，E(X)=np=109x0.9=98.1;

②当接种人数为110时，E(X)=np=110x0.9=99.

练2-1.【解析】男生喜欢该项运动的人数占男生人数的耦=看，解得q=120,

女生喜欢该项运动的人数占女生人数的函=|，解得p=180,故A正确；

随机对一名学生进行调等此学生有点黑=焉磊%=摆«0・66的可能喜欢该项

运动，故B错误；

对于CD,

性别

合计

男性女性

喜欢280180460

不喜欢120120240

合计400300700

700(280x120-120x180)2

所以％2=7.609>6.635,

400x300x460x240

所以有99%的把握认为学生的性别与其对该项运动的喜好有关系，故C正确:

_700(280x120-120x180)2

而矛2«7.609<10.828,

400x300x460x240

所以没有99.9%的把握认为学生的性别与其对该项运动的喜好有关系，故D正确.

故选：ACD.

练2-2.【解析】(1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X<300)=0.3,P(300<X<

600)=P(X<600)-P(X<300)=0.4,

P(600<X<900)=P(X<900)-P(X<600)=0.2,P(X>900)=1-P(X<900)=

0.1,

所以y的分布列为：

y0258

P0.30.40.20.1

于是，E(Y)=0x0.3+2x0.4+5x0.24-8x0.1=2.6,

22

D(F)=(0-2.6)x0.3+(2-2.6)2x04+(5-2.6)2x024-(8-2.6)x0.1=6.24.

故工期延误天数y的均值为2.6,方差为6.24;

(2)由对立事件的概率公式可得尸(X>300)=1-P(X<300)=0.7,

又P(300<X<900)=P［X<900)-P(X<300)=0.6,

由条件概率得P(Y<5］X>300)=P(黑或:)=照=1

故在降水量X至少是300nnn的条件下，工期延误不超过5天的概率是*

(3)零假设“当日最高气温不低于35。(：”与“工人能完成当日工作量”相互独立，

根据题意可得到如卜的列联表：

工人完成当日工作城I：人未完成当日I：作量

最高气温低于3SC82

最高气盘不低于35(1218

hl|Jy2=n(Qd-bc)2=40(8x18-12X2)2q

z_(a+c)(b+d)(b+c)(a+d)—10x30x20x20〜/心、

因而不能拒绝原假设，

因此，可•以认为“当日最高气温不低于35久”和“工人能完成当日的工作量”相互独立.

例3.【解析】(1)根据题意，70</c<100,按组距为5可分成6个区间，

分别是［70,75)、［75,80)、［80,85)、［85,90)、［90,95)、［95,100),

因为70WkV100,由<5(九+1),nGN\可知n的取值集合为

(14,15,16,17,18,19),

每个小区间对应的频率值为5y=f鬃'nW{14,15,16,17}.

(5a-22°-n,ne{18,19］

所以，“'+5ax(2?+2)=30a+1=1,解得Q=3.

OU□5U

(2)等级A产品的频率为5x3x⑵+2)=3等级B产品的频率为笔津=焉

□U3OUZU

所以，等级A产品和等级2产品的频率之比为福4=4:1,

所以，从样本性能指标值不小「85的产品中采用分层抽样的方法抽取5件产品,

等级A产品的件数为4,分别记为由、g、。3、。4,等级B产品的件数为