专题11 代数法解决的最值模型(解析版)

专题11代数法解决的最值模型

【例题选讲】

，2

[例2]⑺设％&是椭圆曰会+太=1的左右焦点，P是椭圆E上的点，则IPRHPBI

的最小值是.

答案16解析由椭圆方程可知〃=5,c=3,根据械圆的定义，有俨臼=2。一|尸人|

=10-|PFi|,故IPPiHP尸2|=伊尸小(10—|尸川),由于|PFI|E[4-C,〃+。]=[2,8]注意到二次

函薮y=x(10—x)的对称轴为x=5.故当x=2,x=8B寸,都是函薮的最小值,即最小值为2x8

=16.

r2V21

⑻如图，焦点在x轴上的椭圆；+方=1的离心率e=2，F,A分别是椭圆的一个焦点

和顶点，。是椭圆上任意一点，则P广用的最大值为

C1

答案4解析设P点坐标为(xo，yo).由题意知”=2,因为e=[=E，所以c=l,b2

2。

=/一。2=3.故桶圆方程为，+,=1.所以一2WxoW2,一小WyoW小.因为尸(一1：()),

A(2,0),PF=(—\—xo,—yo),PA=(2~x^—>'o)»所以P广出=焉一x()—2+)3=甲3一“。+1

=1(xo-2)2.即当川=一2时，而取得最大值4.

(9)在等腰梯形4BC7)中，AB//CD,且|AB|=2,|AD|=1,\CD\=2x,其中x£(0,I),

以A,B为焦点且过点。的双曲线的离心率为白，以C,。为焦点且过点A的椭圆的离心率

为02,若对任意x£(0，1),不等式/〈勺+及恒成立，则/的最大值为()

A.小B.小C.2D.也

答案B解析由干面几何知识可得平。|=|AC]=dl+4x,所以2

2%“I2,71+4x—1,,

/，一,所以642=1.因为ei+«2=eH―5---在xW(。，1)上

yj1+4x4-1向。1+4A-1

单调递减，所以约+e2＞『jZ—+1=^/5.因为对任意x£(0,1),不等式/Vei

Q1+4—1^VN~

+及恒成立，所以/W小，即/的最大值为小.

,y

(10)已知尸2分别是双曲线a一方=1(4＞0,人＞0)的左、右焦点，且尸画=2,若P是

该双曲线右支上的一点，且满足|PQ|=2|PBI，则△尸片也面积的最大值是()

45

A-c-2

♦B.33D.

|PFI|=2|PF2|,

答案B解析:,八…⑺…、••.|PR|=4a,|PB|=2a,设NFiP&=。，，cos6

UP产1|一|P尸d=2a,

16/+4/—45a2—1I,425/—10加+116

=2X4aX2〃­'-MPF'尸2=伤X4。X2〃Xsin"=16/(1---------------------尸至

—9(/—乔W*当且仅当/,时，等号成立，故SAJEB的最大值是*故选B.

22

(11)已知双曲线，一方=1(公>0,。>0)的左、右焦点分别为尸1，B，过凡且垂直于X轴的

直线与该双曲线的左支交于A，B两点,AF2,分别交y轴于P，Q两点，若△PQF?的

周长为16,则备的最大值为.

4

答案3解析由题意，得△A8B的周长为32,・・・|4B|+|8F2|+b48|=32,・・・|ABl+

9Aiy-b\l8〃一cr

V

|/3户2|一抬阴=4。，|4用=丁，A—=32-4«,：.b=^a-a\0<a<S),A^-j-=^+1,令

〜…b./8(/-l)-(r-l)2./10r-9-r/9.10,1

t=a~\~l(l<r<9),则.+[=3=^J?=\~7^~~,令m=7

54b

毗

的

即-12

则/号Y=>—9千+10/〃-1,当m=一a==5+

夕ya

4

最大值为微-

3

（⑵设0为坐标原点,”为焦点的抛物线y=2〃Mp>0）上任意•点，M是线段

P”上的点，且|PM|=2|MF1，则直线0M的斜率的最大值为（）

A.卓B.|cfD.1

2

答案C解析如图所示，设P（%0,泗）。0>0），则）3=2pxo，即刀0=方.设M，，）/）,

由同7=2石尸，得・化简可得，・•・直线0M的斜率为k=

$一切=2（0一川,

丁3-

3Vo益\不那=挈当且仅当光=也〃时取等号），故直线0M的斜率的最大

>,o2VP

中P

值为孝.

（13）抛物线.）2=8%的焦点为广，设AS，），i）,8（X2，户）是抛物线上的两个动点，若力+

及+4=叫4同，则N4处的最大值为（）

A2R囱D如

A.34J6u-3

答案D解析由抛物线的定义可得|4回=即+2,|8用=及+2,又为+.H+4=¥|AB|

得|八用+|8月=¥，\AB\,所以|人用=坐（|八用+0月）.所以cosNA/^=电二蕾扁幽=

|A/f+阳内2―[当八月+田内）｝^AFf^^FV-^AWF]1nd且幽31

2\AF]-\BF\=2\AF]-\BF]=8（田月+依月）-4-8

x2\/昌普普一丹=—[,而°</人尸8〈兀，所以NA/B的最大值为勺・

|or|\Ar]4ZJ

（14）（2017.全国【）己知尸为抛物线C：/=4x的焦点，过尸作两条互相垂直的直线/,,

12,直线八与。交于A，3两点,直线/2与C交于D,£两点，则依阴+|。£1的最小值为（）

A.16B.14C.12D.10

答案A解析因为尸为）?=4x的焦点，所以尺1,0）.由题意直线/i,〃的斜率均

存在，且不为0,设/]的斜率为心则/2的斜率为一，改直线八，6的方程分别为y=«v-

y=k(x—l),

1),>'=-1(x-l).

由得Rx2—(23+4)X+F=()设A(XI,y\),Bg)时，则

y2=4x,

2必+4

X\X2=1,所以\AB\=yjl+R-|X1—X2\=W+K•N(X1+X2)2—4.E/2=

xi+x2=-p-

4(l+/r).

7I+—.同理可得|。月=4（1+标）.所以|A用+|。月

4（1+环=4件+1+1+标）=8+4（标+表）28+4X2=l6,当且仅当标=*，即2±1时,

取得等号.故选A.

（15）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：f=4），，点F是C的准线/上的动点，

过点。作C的两条切线，切点分别为4,B,则aAOB面积的最小值为（）

A.y[2B.2C.2^2D.4

答案B解析设P（x（）,—1）,4（即，>,i）,8（X2,m），又A,8在抛物线上，所以），]

=*”=学因为<则过点A,4的切线分别为广[=和一箝），厂田=米一切）均

过点P（xo,—1）,则一1一,=郛0—XI），—1—^=^（X（|—X2）,即Xl,X2是方程一1一U

『=4y,

（即一x）的两根，则Xi+X2=2to,X|X2=-4,设直线A8的方程为丁=心+>联立，

y=kx+b,

得f—4kx—4〃=0,贝i]x\X2=—46=—4,即〃=I,\AB\—y]1+F\x\一同=

b

41+12）2—4*1X2=71+炉々4需+16,。到直线AB的距离d=则

1

|A/?H=d焉+422,即八4。/?的而积的最小侑为2,故土B.

（16）已知/为抛物线/=%的焦点，点48在该抛物线上，且位于x轴的两侧，^A^OB

=2（其中0为坐标原点），则△AA?与△3"。面积之和的最小值是.

答案当解析y2=x,

法一：设直线/八8：x=my+t,A（w,户），13（x2,”），联立'

x=my+i

Oy2一〃少一1=0,.•・>1+”=〃?，>1"=-f,'・,点A,B住于x轴两侧，.,h”=—KO,又

04•。3=%的+）叮2=372）2+3,]），2=3—1=2,解得1—1或Z=—1（舍去）.•'•S^.AFO^-S^BFO

=^OF\-\y\-^l=||yi-”|=业/^力孚,/.AAF0与2BF0面积之和的最小值为#.

i2

法二：设A3,ji）,8（及,j2）.VOA♦OB=x\X2-^-yiy2=（y\y2）-^y\y2=2t：.yiy2=-2

或）D2=1（舍去）.S^AFO+S^BFO=|lyi-V2l=1^/5l+.^-2yijl2=|

-------------6

V2bv2l+4=4.

【对点训练】

21.已知R,尸2分别为椭圆C：,+看=1的左、右焦点，点£是椭圆C上的动点，则加「旎

的最大值、

最小值分别为（）

A.9,7B.8,7C.9,8D.17,

8

21.答案B解析由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F,（-l,0）,尸2（1，0）,设

E（x,y）（—3WxW3），

则成।=（一］—x,-y）,EFi={\-x,~y）,所以屋।•用^:人"2—1+），=/_1+8一y=

5+7,所以当x=0归，加।•用有最小值7,当入=±3时，谬i•旎有最大值8,故选B.

a

22.（2018•浙江）已知点P（0,1）,椭圆］+炉=〃?。〃>1）上两点人，B满足淳=2港，则些〃尸

________时,

点3横坐标的绝对值最大.

一一XI=2X2,

22.答案5解析设.4（X1,yi）,Bg闻，由得，、,，、即汨

[l—yi=2（3^—1）,

=-2x2,>?i=3

j苧+（3-2力）2=机，

—2>'2»因为点A,8在椭圆上，所以j忌得52=中"+不所以状=〃?

,+）户加，

1591

一（3—2.n）2=一工加2+5〃LW=_^〃L5）2+4W4,所以当〃1=5时，点8横坐标的绝对

值最大，最大值为2.

22

23.已知点H，尸2分别是椭圆会+汽=1的左、右焦点，点M是该椭圆上的一个动点，那

么IMF1+MF2I

的最小值是（）

A.4B.6C.8D.10

23.答案C解析设历Q),yo),F,(-3,0),F2(3,0).则诟=(一3—即，一加)，~MFi

=(3-xo,一

兜），所以而+碇=（一九，-2和），|诟+而|=,4焉+4千=^4x25（

9--->--->

100一»也因为点M在椭圆上，所以0£y和6所以当京=16时，|MF1+M/取

最小值为8.

o2__

24.已知点4在椭圆++]=1上，点尸满足了=（2—I）次（2£R）（O是坐标原点〕，旦

~OA^OP=12,

则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为.

24.答案15解析因为俞=（九一1）次，所以而=7/，即。A,P三点共线，因

为市.存=

72,所以凉•万万=,。画|2=72,设4（X,y）,。4与x轴正方向的夹角为仇线段OP

在x轴上的投影长度为|在Heos。|=囚国=啰；=帮=在"Z炉1二=15，当

且仅当因=当时取等号，故所求最大值为15.

25.椭圆3+（=1的左、右焦点分别为Q,B，过椭圆的右焦点B作一条直线/交椭圆于

P，Q两点，

则△EPQ的内切圆面积的最大值是.

25.答案言解析由题意得，直线/的斜率不为0,所以令直线/：尸〃?y+l,与椭圆

方程联立消去X

得（3m2+4）y+6/2一9=0,可设尸（即，Ji）,QCE,yi）,则>|+）空=一有詈q，）D'2=

高磊何知SA"。=3~向回一”|川3+闻2-4券），2=12A/湍*又湍3

---------J-----故S&FPQW3.三角形周长与三角形内切圆的半径的积等

9（加+1）+而+6'

24F\PQ3Qir

于三角形面积的二倍，则内切圆半径r=-g—号，其面积最大值为卷.

26.已知直线/：y=2x-Vb被抛物线CV=2p.r（p>0）截得的弦长为5,直线/经过C的焦点，

M为C上的

一个动点，设点N的坐标为（3,0）,则MN的最小值为.

_fy=2x+/?

2

26.答案2也解析V?=4/+（43一2P）x+〃=0,则5=（1+

y—2px

24驾今一4x上］，又直

线/经过。的焦点，则一,=§,，》=一〃，由此解得〃=2,抛物线方程为\2=4%，M（XQ,

和），，W=4Xo,则网川2=（出-3）2+4=（的-3）2+4%0=（X0—1）?+8,故当x（）=1时，|MMmm

=272.

27.如图，抛物线炉=4%的一条弦A8经过焦点F,取线段OB的中点Q,延长。4至点C,

使|。4|=|4€1，

过点C,。作y轴的垂线，垂足分别为点E,G,则|EG|的最小值为.

27.答案4解析设A(xi,y\),5(x2,”)，C(.q,券)，0a4,»),则y?=2vi,川=/2,

|EGI=V4-yi=

2

^y2~2y\.因为A8为抛物线y=4x的焦点弦，所以y丁2=一4,所以|£G|=32—2x（一仁）

=.'2§2乂/=4,当且仅当多，2=孩，即y2=4时取等号，所以|£G|的最小值

为4.

28.已知抛物线）2=4X,过焦点尸的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作x地，y

轴垂线，垂足

分别为C,D,则IAQ+I8DI的最小值为.

=¥+

28.答案3解析不妨设A(M,》)8>0),BS,y2)Cy2<0).则凶C|+|8D|=X2+y

yi.又yi”=-

\*5424

p2=-4.，b4C|+|BD|=]一,8<0).设在(一8,—2)递减，在(—2,0)

递增.・,・当％=—2,即”=一2时，|4。|+|8。|的最小值为3.

29.已知抛物线C：9=8.(〃>0)的焦点/与双曲线短：壬一?=1(〃>0)的焦点重合，过点

“十za

产的直线与抛

物线C交于A,B两点，则IAF1+2I8FI的最小值为()

A.3+4陋B.6+4^2C.7D.10

29.答案B解析由题意得抛物线。的焦点为尸(2a,0),则由2〃=/+2+小解得。

=1,所以F(2,

0),抛物线C：尸=8..由题知，直线AB的斜率不为零，所以设其方程为x=〃p+2,

4(］，)')联立得)?一8〃?.y-16=0,所以)匕2=—16.由抛物

线的定义，得|AQ+21M=1+2+2怎+2)=6+左守26+^^=6+4叵当且

yi=—4奉,

仅当货=2」,或‘时取等号，故选B.

=2强

j'2=—2^[y2

30.己知产为抛物线C：『=2r的焦点，过?作两条互相垂直的直线八，/2,直线人与C交

于4,8两点,

直线/2与。交于。，E两点，则依8|+|。月的最小值为.

30.答案8解析法一由题意知，直线八，，2的斜率都存在且不为0,於，0),设八:

x=ry+1»则

02=2元

直线人的斜率为幺联立方程得｛,1消去x得产一2少一1=0.设A(k，A)，伙孙

1x=)+g,

,

1y2),则yi+)2=2t,y\yi=­I.所以|A川=..+1lyi—刈=正+1«()〃+”)？一分口”=

正不1屈不5=2»+2,同理得，用;替换/可得日=1+2,所以lA/ei+QElnzB+S

+424+4=8,当且仅当产=氐即尸±1时等号成立，故［ABI+DE1的最小值为8.

法二由题意知，直线八，/2的斜率都存在且不为0,兄｝，0),不妨设6的斜率为女,

02=2X,2

则/i：尸由一号，也尸一如一；).由,「G」)消去y得以2一(炉+2.+与=0,

设A(xi,yi)»3(X2,J12).则箝+工2=1+由抛物线的定义知，|48|=即+必+1=1+,+

1=2+表.同理可得，用一，替换冲2,可得|。£1=2+23，所以|AB|+|OE|=2+，+2

77

+2标=4+值+2/24+4=8,当且仅当值=2斤，即女=±1时等号成立，故|AB|+|7)£］的

KK7

最小值为8.

31.如图，已知抛物线Ci的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2,4),圆C2：f+y2

一4x+3=0,

过圆心。2的直线/与抛物线和圆C2分别交于点P,Q和M,N,则|PM+4|QM的最小

值为()

31.答案A解析由题意可设抛物线G的方程为产=2〃武夕>0),因为抛物线G过点(2,

4),所以16

=2pX2,解得〃=4,所以抛物线G的方程为)2=8x.圆Q：』+产一4工+3=0整理

得(工一2)2+)2=1,可知圆心。2(2,0)恰好是抛物线y=8x的焦点，设P3,>'i),以&，

”).①当直线/的斜率不存在时，/:4=2,所以PQ,4),(2(2,-4),于是IPN1+4QM

=|PG|+|GN|+4|QC2|+4|C2M=|PGI+4|QG|+5=4+4X4+5=25.②当直线/的斜

y=©X—2),

率存在时，易知斜率不为0,可设/的方程为y=Mx-2)(4W0),由J'得/x2

Lr=8x,

4

一(4标+8)X+4必=0,则/>0,且加足=4,即X2=]所以|PN|+4|QW|=|尸C2I+4IQC2I

**1

+5=XI+2+4(X24-2)+5=VI4-4X2+15=XI+—+I5>2A/XIX—+15=8+15=23,当

3]Y.口

JL仅当占=3，即由=4时等号成立.因为23V25,所以|PN|+4|QM的最小值为23.政

X|

选A.

32.抛物线尸=8工的焦点为凡设A,