专题07 解三角形（面积问题（含定值最值范围问题））(典型题型归类训练)（解析版）

专题07解三角形（面积问题（含定值，最值，范围问题））

（典型题型归类训练）

目录

一、必备秘籍........................................................1

二、典型题型........................................................2

题型一：求三角形面积（定值问题）................................2

题型二：求三角形面积（最值问题，优先推荐基本不等式）............6

题型三：求三角形面积（范围问题，优先推荐正弦定理化角）........11

三、专项训练.......................................................15

一、必备秘籍

基本公式1、正弦定理及其变形

，一二必一二」一=2/?（R为三角形外接圆半径）

sinAsinBsinC

（1）a=2RsinA,b=2/?sinB,c=2RsinC（边化角公式）

(2)sinA=—,sinB=—,sinC=—(角化边公式)

2R2R2R

(3)A::c*=sinA:sinB:sinC

基本公式2、余弦定理及其推论

b2+c2-a2

cosA=--------------

a2=b2+c2-2Z?ccosA、

,,,_a-+c--b-

b~=a-4-c-2tzccosB=cos4=——---------

2ac

c2=a2+b2-2ahcosC/十"一工

cosC=--------------

lab

基本公式3、常用的三角形面积公式

⑴S,M8c=gx底X高;

(2)S=—absinC=—bcsinA=-c«sinB(两边夹一角)；

MBC222

核心秘籍1、基本不等式

①正学

@a2+b2>2ah

核心秘籍2：利用正弦定理化角(如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围)

利用正弦定理。=2RsinA,b=2RsinB,代入面积公式，化集，再结合辅助角公式，根据角的取值范围,

求面积的取值范围.

二、典型题型

题型一：求三角形面积(定值问题)

1.(2023•陕西渭南•统考模拟预测)已知一的内角4及。的对边分别为，也c,且〃sinC=csin?.

(1)求角B;

(2)若。=Ji3,c=3。，求,ABC的面积.

7

【答案】⑴针

(2)学

4

Dn

【详解】(1)根据bsinC=csin2,由正弦定理可得sin8sinC=sinCsin&,

22

乂sinCw0,所以可得$订】4=2$而£(：00£=0订1£,B[Jcos—=—；

22222

因为4«0,兀)，所以"1=]

2

即8=".

(2)由/，=G,c=3a结合(1)中的结论8=],

由余弦定理可得〃=cr+?-2〃cosB.即13=/+9/-6/x|-l|,

解得〃2=],即“=i.c=3,

=LcsinB=Llx3x2笆

所以s

2224

即。的面积为些.

4

2.12023•湖南永州•统考一模)在_/WC中，设A8,C所对的边分别为a,4c,且满足ccosA-4cosc=a+〃.

⑴求角C;

⑵若。=5“./WC的内切圆半径-=立，求/4C的面积.

4

【答案】(l)g

⑵独

16

【详解】(1)在一A8c中，由ccosA-4cosc=。+。得sinCcosA-sinAcosC=sinA+sin8,

LJ[JsinCeosA-sinAcosC=sinA+sin(A+C),

故一2sinAcosC=sinA,由于4F(0,7r),.\sinAw。，

故cosC=-J,而CG(O.TT),故。=笄.

4J

2JT

(2)由C=7•可得/=〃+〃+而，而c=5,

故“2+匕2=25-〃。，则3+3)2_25+46,

由么改?的内切圆半径「二立，可得!（a+"c）•厂=["sinC,

422

即日(a+0+5)=^^。〃,

BPa+b=2ab-5，

故(2出?-5)2=25+4〃，解得=工，

4

故-A8C的面积S=—«Z?sinC=—x—x.

224216

3.(2023•云南•校联考模拟预测)已知/(X)=Gsinxcosx+siilX.在.ABC中，/(A)=5.

⑴求角A的大小；

⑵D是边BC上的一点，且sinC=2sin/3,AO平分N8AC,且AD=2,求"8C的面积.

【答案】（呜；

（2苧

2

【详解】（1）依题意，/（x）=*sin2x+g（l-cos2x）=sin（2x-：）+g,

6二3G

所以s=—Z?csin/I=—xVJx>/3x

22y一丁

即,A8。的面积为些.

4

5.（2023•辽宁沈阳,沈阳铁路实验中学校考二模）如图，在四边形A8CQ中，NDA3与NDCB互补,

48=6,8C=4,C£>=4,AO=2.

⑴求AC;

⑵求四边形A3CQ的面积.

【答案】（1）AC=2J7

（2）8后

【详解】（1）连接4C,如图,

1与NDC8互补，「.NAOC与/A8c互补，

在A4DC中，AC2=AD2+CD2-2AD-CD-cosZADC,

即AC2=4+16-2x2x4xcosZADC.

得COS/AQC=2（）一人,一,

16

在^ABC中，AC2=AB2+BC1-2A6-BC•uosZAfiC，

即AC2=36+16-2x6x4xcos乙ABC，

得cosN"C="-"C-,

48

又/4DC与N48C互补，

/.cosZAZX74-cosZABC=0,

故AC=2不；

（2）由（1）WcosZ4DC=sinZADC=—，

22

S"=^ADCD-sinZADC=2G,

由（1）cosZ/l^C=sinZABC=—,

22

5Axsc=~AB-BC,sin/AAC=6、/5,

$四边形ABC。=S38c+SfCD=86,

6.（2023•江苏扬州•仪征中学校考模拟预测）设.JWC的内角AB,C所对边分别为N）,若

1+cosB_s\nB

2-cos/\sinA

⑴求牛的值；

b

⑵若。〈〃且三个内角中最大角是最小角的两倍，当A3C周长取最小值时，求.工8C的面枳.

【答案】⑴2

⑵皿

4

【详解】（1）因为1+c°s"=独”,所以5104+5[114858=20访8-（：084;吊8,因为C=兀一（A+8）,

2-cosAsinA

所以sinC=sin（A+B）=siiiAcosB-cosAsinB.

所以sinAIsinC=2sin占，山正处定理"=?=，得aic=2Z?,即°=2.

sinAsinfisinCb

（2）由。+c=2Z?可得：c-b=b-a>0,^Lc>b>a,于是。=2A,

由正弦定理三=三及余弦定理cosA="+1一"可得:

sin4sinC2bc

csin2Ab2+c2-a2b2+（c+«）（c-a）b2+2b（c-a）b+2（c-a）_c+a+4（c-a）_5c-3a

asiiiAbebebec2c2c

解得：c=a（舍）或者c=]a,故/?=£,

24

c3

因为a,AceN”,所以当a=4时，周长最小，此时a=4,b=5,c=6,cosA=—=—,

2a4

所以siM=Jl-cos%=^~,所以.ABC的面积为、〃csin>4=，x5x6x"^="".

42244

题型二：求三角形面积（最值问题，优先推荐基本不等式）

1.（2023•福建福州•福建省福州第一中学校考模拟预测）在以品'中，角A&C的对边分别是出〃,c,且

cccsA+x/JcsinA=a+b.

⑴求角C;

⑵若人8C的中线CD长为26，求/8C面积的最大值.

【答案】(1)。二5

(2)46

【详解】(1)在A3C中，由正弦定理得：sinCcosA+x^sinCsinA=sinA+sinB»

而8=兀-A-C=>sinA=sin(A+C),

所以sinCcosA+>/3sinCsinA=sinA+sin(A+C),

化简得JisinCsiiiA=siii4+siivlcosC,

因为Aw(0,兀)，所以sinAH(),、&inC=1+cosC,

即石sinC-cosC=1，所以s'"]。一=g，

又因为C—所以c_]=9即C=:

oko67663

(2)由CO是“AC的中线，CQ=g(C4+CB),

2

所以|CQ|2=；(|CA『+|CB|+2C4C8),

即12=；R2+〃+他)，所以48=/+〃+〃力23〃。，所以必W16,

当且仅当。=〃时，等号成立，

所以三角形面S=—a/?sinC=—ab<4后，

24

即A8C的面积的最大值为4G.

2.(2023•四川成都•石室中学校考模拟预测)在.ABC中，角A,B,。所时的边分别为a,b,c,且

JlbsinB+C=asinB,边BC上有一动点D.

2

⑴求角4的大小；

⑵当。为边8C中点时，AD=也,求/8C面积的最大值.

【答案】⑴4=弓

(2)36

【详解】(1)因为扬sinQ£=asin8,

所以---=asinB,即V^hcos—=isinB.

22

由正弦定理，\/5sinB-cos—=sinA-sin.

2

—AAA

因为sin8=0,所以J3cos—=sinA=2sin—cos—.

222

因为cos4/0,所以$访4=立.

222

又因为（）w，所以'』则

（2）因为。为边8c中点,所以24力=的+>己贝14k邛式.+忙丫

又AO=64=手，所以12=6+。2+”以）$4，^\2=b2+c--bc>bc，仅当力=c时取等号，

JJ

所以5&.Be=gbe•sinA=乎be43G,故一ABC面积的最大值为373•

3.（2023•湖南邵阳•邵阳市第二中学校考模拟预测）在5BC中，角A,B,C所对的边分别是4，b,

若3cos（4+A）=cos2C+2.

⑴求角C的大小；

⑵若c=6,求/BC的面积S的最大值.

【答案】（1）日

（2）36

【详解】（1）因为cos（A+8）=cos（冗一C）=-cosC,cos2C=2cos2C-l»

所以3cos（A+8）=cos2c+2可化为2cos2C+3cosc+1=0，

所以（2cosC+l）（8sC+l）=0,又因为cosC«-l」）

解得cosC=-g,又因为Ce（0,兀），

所以C二等.

（2）由余弦定理得cosC="一""'=—■!■,所以/+从一。2=_他，

2ab2

又c=6,所以-36=-”。，

所以/+从=36-必，

又因为。2十次之2ab，当且仅当〃=。时等号成立，

所以36-必之必必，所以必52,当且仅当〃=h=26时等号成立，

所以三角形的面积S=La〃sinC=@a〃43G，当且仅当。时等号成立，

24

所以一:角形面积的最大值为动.

4.（2023•湖南衡阳•衡阳市八中校考模拟预测）在以8c中，内角A3、。的对边分别为。、仪。，从①

sinC-sinB=£-£②（勿—〃）cosA=acos3,③辰os（8+C）+siM=0,这三个条件中任选一个作为题目

sinc+sinAb

的补充条件，你的选择是，并解答下面问题：

⑴求角A的大小；

（2）若。=2,求面积的最大值.

【答案】（l）A=g

⑵石

【详解】（1）选择①

sinC-sin^_c-aa_b_c

且由正弦定理得:=2R,

sinC+sirbAbsinAsinBsinC

cb

.•.皿3二匚2二三工，即：=儿...由余弦定理得：COSAJ+'J

C工ac+ab2hc

---n-----

2R2R

在jBC中，AG(O,^),即：A=j.

选择②

-(2c-h)cosA=acosB,目.由正弦定理得：三=3=三=2/?,

Slfl/1bllio51I1C

.•.(4/?sinC-2/?sinB)cosA=2/?sia4cosB,整理得：2sinCcosA=sin(A+B),

在，A8C中，A+B+C=7T,即：2sinCcosA=sin(^-C)=sinC/.cosA=—,

又Ae(Oz),即：A=^.

选择③

•.•、&os(8+C)+sin4=0,且在.工8c中：4+B+C=^.'.>/3cos(^-A)+sia4=0,即：

sinA->/3cosA=0/.sin八=GcosAjanA=G,

又Ae（0,i）,则人=?.

（2）由（1）得：cosA=+C——=—,Ma=2/./?2+c2-4=bc»Jib~+c2>2bc>

2bc2

:.hc+4>2bc,即：力cK4当且仅当人=c=2时，等号成立.

又乂8c面积为：S=；机处雨49、4乂疝19二百面积的最大值为：百.

乙ND

5.（2023・员州毕节•校考模拟预测）已知ABC的内角A8,C的对边分别是。，4c,

asinA+Osin5-csinC=^^asinB.

2

⑴求cosC；

(2)若c=Ji5,求・.ABC面积的最大值.

【答案】(1)如

4

⑵府+巫

2

【详解】(1)由asinA+〃sinB-csinC=旦sinB,

2

^a2+b2-c2=—ab,

2

a2+b2-c2_V6

则cosC=

2ab~4

(2)由(1)知sinC=Jl-cos2C=

4

由基本不等式可得且时=a2+/?2-c2=a2+/?2-IO>2"-10,

2

即MK8+2«,当且仅当4=〃=j8+2"时等号成立,

故iABC的面积5=ga〃sinCWJi6+孚，当且仅当a=b=,8+2后时等号成立，

即〃=〃=加云后时，面积的最大值取最大值，最大值为标+乎.

1-cos23sinC+cosC

6.（2023•福建南平•统考模拟预测）已知.ABC中，角A,8,C的对边分别是a,c,且

sin28sinC-cosC

⑴求A的大小;

⑵设AQ是4c边上的高，且AO=2,求J4C面积的最小值.

【答案】⑴人二日；

4

(2)4>/2-4.

_.„_,、―…,l-cos2Z?sinC+cosC八u3sin8sinC+cosC

【详解】(1)在乂BC中，由.包——不及二倍隹公式，得一-=————

sin2DsinC-cosCcosBsinC-cosC

BPsinBsinC-sinBcosC=cosBsinC+cos^cosC,整理得sin(8+C)+cos(8+C)=0,

因此tan(8+C)=-l,B[JtanA=I,而0<A<7i,

所以一

(2)由(1)及已知，得S"c=!ax2=1hcsinf,即有〃=巫儿，

由余弦定理得力=从+本-次8S：,即/=从+C?-缶(.，

因此,b2c2=b2+c2-y/2bc,即-b2c2+yf2bc=b2+c2>2bc,

88

于是反28(2-我)，当且仅当〃=。时取等号，而sABC哼桃,

所以/AC面积的最小值为也x8(2-&)=4夜-4.

4

题型三：求三角形面积(范围问题，优先推荐正弦定理化角)

1.(2023•湖南郴州•统考一模)已知向量a=(sinx,l),b=(V3cos.r,-2),函数/(x)=(a+b)-a.

⑴若dllb»求cos2K的值;

5,C的对边，b=2,且f(A)=g,求.工BC

⑵已知.ABC为锐角三角形，“，b,c为.工8c的内角A,1

面积的取值范围.

【答案】⑴;

⑵冬同

\/

【详解】(1)allb»/.>/3cosx=-2sinx»

贝hanx=--：

2

i-PT

c■>.,cos-x-sin-x1-tan-xI2)1

cos2x=cos-x-sin-x=——；-------=——；----=-------

……Y卜7，

(2)=(〃+〃)a=^sin.r+-^cosxjsinx+(l-2)x1=sinx+V5sinxcos%-1

=—sin2.r--cos2A--=sinf2x--l--,

222V6j2

又f(A)=:，所以sin(2A_g]=l,得=

即A=，

2\o/\2/o

x/3sin|8十二71

所以c.A5/3sinCI33

sA8c=5bcs】nA

sinBsinB2tanB

0<B<-

2

所以

（）<n---B<—

32

解得则tan8>且

623

衅＜4就<2万

即/AC面积的取值范围为

2.（2023•浙江嘉兴•统考模拟预测）在JWC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且一；=--

sinAcosB

a=3.

⑴若8c边上的高等于1,求cos4；

⑵若58C为锐角三角形，求/BC的面枳的取值范围.

【答案】（1）-典

10

【详解】⑴由正弦定理，-7^--^

所以sinB=cosB,则tan8=1,乂0<8<兀，所以8=四,

4

因为SABC=—ah=—acsinB,

22

解得c=&，

222

5

又由余弦定理，bz=a2+c2-2accosB=32+-2x3x>/2x—=5,

2

解得〃=逐，所以cosA=♦+°~2="J+（a『-2=一回

2bc2xx/5xV210

「〃3TT

（2）由正弦定理有「；=—；=」•，且由（1）可知8=:，

sinesinAsinA4

所以_3sinC3sin,+{|j页3]

sinAsinA2\tanA/

又因为锐角ABC,

八3兀，兀

0<---A<—

所以|42,解得

0八<AA<—兀42

2

所以0<」7V1,所以32<c<3夜，

tanA2

c1.o12£3亚（99、

所以5八=-«csin/y=-x3xcx——=----<?G—,

△，双2224（4

（99、

所以面积的取值范围是.

142）

3.（2023・上海闵行•上海市七宝中学校考三模）如图，P是边长为2的正三角形A8C所在平面上一点（点

A、B、C、P逆时针排列），上满足CP=CA,记NC4P=®.

（1）若。二m，求总的长；

⑵用〃表示./人笈的面积S,并求S的取值范围.

【答案】（1）2百

/\

（2）S=2sin2O+-+豆,（0,2+右］

<3J

【详解】（1）由。=^，且是边长为2的正三角形，

则NPAB=」，RPA=CP=CA=2,

3

所以在^PAB中，由余弦定理得尸出=PA1+AB2-2PAAB-COS/PAB=4+4—8x（—；）=12,

所以PB=2g；

（2）由CP=C4,则NC4P=NCP4=0,则/尸。4=兀一26,

APBC22sin（?t—26）

在△PAC中，由正弦定理有二（北_26）=^=^，得”=L=4cos。,

所以S=^PAAB-sin1+0）=48s6sin（1+0）

=2>/3cos2。+2sinOcos0=gcos2夕+石+sin2。=2sin（20+g）+>/3,

又0<e<7t,且0〈兀一26〈兀，贝！所以g<2e+g<g，

所以sin(2e+1)c~~2~,，则2sin26+1+e(0,2+,

故S的取值范围为(0,2+6].

4.(2023•江苏南京•南京师大附中校考模拟预测)已知〃、b、c分别为/8C的三个内角A、B、C的对

边长，a=2,目.(Z?+2)(sinA-sin8)=c(sinB+sinC).

⑴求角A的值：

⑵求48c面积的取值范围.

【答案】⑴1

⑵理]

【详解】(1)由条件，可得(〃+«)(sinA-sinB)=c(sinB+sinC).

由正弦定理，得S+a)(“-h)=cQ+c),所以//+/一/=一灰、,

所以—也萨T，因为AC。,叽所以人年

(2)由正弦定理，可知上=，=，_=迪

sinBsinCsinA3

S=-besinA=sinsinCsinA=—sinBsinC

22333

712x/3.

—sin«sinB[=^^sin/^fsin-cos^-cos-sinZ?l=2sin/cosA-sin?B

333323"

-cos2B)=—[—sin2B+-cos2«]--=—sin(2B+-1--

=sin2B-

3(2213316y(3

B/()曰,.•.23+共信阁，s/og.

<3/6166)13

5.(2023•重庆•统考模拟预测)在锐角J3C中，角A、8、C的对边分别为。、b,c,其面积为S,

2y

(b-a)(h+a)+accosB=一・S・

⑴求角A的大小；

(2)若〃=26,求S的取值范围.

【答案】(1)A=*

⑵(2百,3同

【详解】(1)在锐知中，出一a)S+4)+〃ccosB=2叵S，由余弦定理cos8="十"一",

32ac

f：jb~-a'T---------------=------S,即----------=----S,乂S=37besinA,b~+c—er=2bccosA，

23232

因此bccosAA,有tanA=G，而。<从<3解得A=g，

3223

所以A=1.

(2)由(1)知，«=y-C,

b_c_a_2\[3_

由正弦定理得：sinBsinCsinA丛»&[Jb=4sinByc=4sinC,

T

।Ir

则S=—besinA=——4sinB-4sinC-sin4=4^sinBsinC=4\^sin(-----C)sinC

223

=45/5(岑cosC+；sinC)sinC=4力(等cosCsinC+gsin'C)

+；-i；")=2限*sin2C—；cos2C)+@

=2x/3sin(2C--)+V3,

6

0<C<-

又/8C是锐角三角形，则有02,即亦即三<2C—乎,

八2兀/，冗62666

0<-----C<—

32

于是「<sin(2C-w)41,2\/3<S<3>/3♦

26

所以S的取值范围是（2石,36].

三、专项训练

1.（2023•四川绵阳•四川省绵阳南山中学校考模拟预测）在/C中，角4氏C的对边分别为。也c,已知

a=Vio,b=>/5,cosA=~~~,则ABC的面积为（）

5B.5C.10D.f

A.-

2

【答案】A

【详解】在一ABC中，因为a=J15,Z?=6,cosA==^,可得sinA="^,

55

由正弦定理一一二一一，可得c；nA"Sin41,

sinAsinBsinB=-----=--f=—=-f=

aV10V10

3

又因为a>)，可得力>B,所以cosB=-^,

所以$血9=$皿/1+8)=5mAcosB+cosAsinB=-x—+=，

5M5屈2

则SABC=ga〃sinC=^-xV10x5/5x^-=-1.

故选:A.

2.(2023•甘肃定西•统考模拟预测)若三角形三边长分别为小b,c,则三角形的面积为

S=\lp(p-a)(p-b)(p-c),其中〃=一：+’,这个公式被称为海伦一秦九韶公式.已知/AC中，角A,8,

sinA3

C的对边分别为〃，b,c,――――=7,。=6,则/8C面积的最大值为()

sinB+sinC5

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【详解】在一ABC中，因为:二='所以二=W，又〃=6,所以。+c=10,

sinZ^+sinC5h+c5

.njs-f^p=—।(/a+bi+c)\=-6+-1-0=8,且〃-4=8-6,

故ABC的面积S=/8(8-6)(8叫(8-c)=J16(8-〃)(8-c)<^I6|，)=12,

当且仅当8-〃=8-c,即〃=c=5时取等号，

故，A8C面积的最大值为12.

故选：B

3.(2023•四川宜宾•统考三模)在XBC中，角A,B,C所对边分别记为a,b,c,若b=2a,c=2,则以BC

面积的最大值是()

4

A.V2B.2C.—D.2

33

【答案】C

【详解】由余弦定理可得cosC=♦+'一°2=/+4丫-4=泾

2ab4t146r

5d2-4?

所以sinC=Jl-

4/1

a+b>c3a>2,解得tq；

因为6=为，c=2,所以"…,即

a<2

所以S»BC=g〃匕sinC=a2.I\-5«2-4丫

2()f256

%_25/-40,八16

99'

16

4

25616

4

当心等时，工工土

(W9J(£y.ABC)max

443

故选：C.

4.（2。23・西藏拉萨•统考一模）在“火中，角4B,。所对的边分别为小b,c,若a裳，I,

C=y,则」3。的面积为（）

A.2也B.4GC.12D.16

【答案】B

【详解】由正弦定理及£=；+c°sf,得党1+cosC

a2-cosAsinA2-cosA

所以sinA+sinAcosC=2sinC-cosAsinC,

所以sinA+sinAcosC+cosAsinC=2sinC,

即sinA+sin(A+C)=2sinC,

所以sinA+sin4=2sinC.

由正弦定理得。+〃=2c.

因为c=4,所以〃+Z?=2c=8,

TT

又c=1,所以由余弦定理得

_a2+b2-c2(a+b)2-2ah-\648-labI

cosC=----------------=------------------------=-------------=->

2ablablab2

解得而=16,

所以8c的面积为LabsinC=—«Z?sin—=ab=4>/3.

2234

故选:B.

5.(2023•甘席•统考一模)在如图所示的平面四边形人4CQ中，AD=3,AB=BC=CD=g,记△ABD,

△8co的面积分别为4,§2，贝lJS；+S：的最大值为.

AD

BC

【答案】v

o

【详解】在△A3。中，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2ABADcosA=12-673cos4，

在△8C。中，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2-2BC-CDcosC=6-6cosC»

/.12-6\/3cosA=6-6cosC»整理可得：cosC=A/3COSA-1,

io/o।3

5.=-AB-ADsinA=-----sinA,S,=—BC-CDsinC=—sinC,

122-22

上0（Z

Aj+—^1—cos'C）

4441

272AVE272A94327

=9n------cosA-V3cos4-1=cosA+cos>4+一,

44、f224

则当4券G时，（s；Y）=_2j3LBn上.

8sA=T-=—L2122648

-276

故答案为：.

o

6.（2023•四川眉山•仁寿一中校考模拟预测）在58C中，已知AD=2DC^AC=3BC,sinZB£>C=3sinZBAC,

当。・。8-|48|取得最小值时，/AC的面积为

【答案】吟

令BC=〃，则4c=3〃，由AO=2OC，得AD=2〃,DC=〃,

BCBDBCAB

在/8DC中,在"WC中,

sinZ.BDCsinCsinZB/\C-sinC

千口8。sinZBAC1

十是---=---------=—令BD=m,则A4=3，〃，

ABsinZBDC3

而/BDC+/BDA=兀，则有cosZBDC=cos(n-ZBDA)=-cosZBDA,

由余弦定理得‘〃+“一〃=一/〃Z2〃)T3/〃),整理得2"=3〃儿即〃2=［苏，cosC=〃-〃-/〃=工

2inn2m-2n22/3

2io

则CA-CB-1AB|=3n-"cosC_3m=3〃2x--3m=3m2-3m=3(///--)2--,

当=g时，C4-C/A|48|取得最小值，在..ABC中，sinC=Vl-cos2C=^1-(1)2=^,

2

所以S4fiC=—^x3z?xsinC=—x—mx=—x—x=—5/5.

222344316

故答案为：述

16

7.(2023•四川•校联考一模)在/6C中，AB=0，C=；，当4C+0AC取最大值时，乂8c的面积为___.

4

【答案】|

a_bc近)

【详解】在一48c中，利用正弦定理藐T品i=菽=—I

sin—

4

所以3C=a=2sinA,AC=〃=2sin4,

3兀J

有BC+血AC=2sinA+272sin4=2sin4+2应sin—I=4sinA+2cosA,

即BC+&4C=2逐sin(A+e),其中sin/=手，COS(P=~~，

BC+VLAC取最大值,即sin(4+Q)=l时,WsinA=^^,8sA=乎,

所以BC="=2sinA=逑，sin/^=singsA+si…噜,

5

所以%LLcsin8=k芷x贝x亚)

皿225105

故答案为：

8.12023•江西南昌•南昌县莲塘第一中学校联考二模）在AABC中，若8C=10,AC=8且tan（4”）=等,

则一A8C的面积是,

【答案】巫

4

【详解】因为lanC=-ian（4+A）=-萼

sinC=3不

所以嬴二一可，解得sin?C=短

sin2C+cos2C=l

又Ce(O,/r),所以sinC=地,

32

所以S^=；BC.AC-sinC=^

故答案为：处

4

9.（2023•广西南宁♦南宁二中校考模拟预测）在“ABC中，448C=1,点。在线段AC上，且4£>=DC,BD=3,

则.一ABC面积的最大值为.

【答案】36

【详解】设AB=c,BC=a、DC=A(C>0,«>0,x>0),则AD=x,AC=2x,

在△ABD中，由余弦定理，得

BD2+DC。-BC?3：+/-/

cosZBDC=

2-BD-DC2x3xx

在△A8O中，由余弦定理，得

BD2+AD2-AB232+X2-C29+/-C2

cosNADA=

2BDAD2x3-x6x

由干N3£>C+N8D4=180。，得cos/BDC=-cos/BDA,

Hn9+.V^-Ll~9+X2—/Mr-tmjnC2...,、2/T\

即---------=-----------,整理，«-+C2=iX+1X2®,

6,v6x

在/ABC中，由余弦定理，得

（2打即代入①式化简整理，

得“2+c2=36-ac，

Eha2+<?2=36-ac>2ac，解得acK12,当且仅当a=c=2\/5时，等号成立，

所以■MC面积的最大值为况=1wsinZABCMgx12乂sing=.

故答案为：3G.

10.（2023•福建泉州•统考模拟预测）/8C的内角4B,C所对的边分别为〃八%且满足

ccosB+（b+2a）cosC=0.

⑴求C；

⑵若。>平分/AC8,且A。=203，8=2,求A8C的面积.

9

【答案】⑴cj兀

2

【详解】（1）解法一：因为ccos8+（〃+勿）cosC=0,

所以由正弦定理可得5皿。858+（5皿8+25皿4）85。=0,

即sinC8sB+sinBcosC+2sinAcosC=0,sin（"+C）+2sinAcosC=0,

所以sinA+2sinAcosC=0,

又sinA>0,所以cosC=-,，

2

因为。«0,兀），所以eg.

解法二：在“8C中，由余弦定理得cosB="+•一”,cosC=a+b~'

2ac2ab

er2+c2-,l3r*7+b.?-c2er2+l1r2-r0八

又因为CCOSB