专题11勾股定理（举一反三）（北师大版）（原卷版）

专题L1勾股定理【十大题型】

【北师大版】

，题型梳理

【题型1利用勾股定理求线段长】.................................................................1

【题型2利用勾股定理求面积1................................................................................................................2

【题型3利用勾股定理解决折叠问题】.............................................................3

【题型4利用勾股定理求平面坐标系中两点之间的距离】............................................5

【题型5利用勾股定理证明线段的平方关系】......................................................6

【题型6勾股定理验证方法的应用】...............................................................7

【题型7勾股树问题】...........................................................................9

【题型8勾股定理在格点中的应用】..............................................................11

【题型9直角三角形中的分类讨论思想】..........................................................12

【题型10利用勾股定理解决动点问题】............................................................13

，举一反三

【知识点勾股定理】

在任何一个直角三角形中，两条宜角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条宜角

边长分别是a,b»斜边长为c,那么a2+b?=c2.

【题型1利用勾股定理求线段长】

【例1】（2023春・浙江•八年级专题练习）如图，小聪用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“鸟”，已知正方

形48co的边长为4,则图2中国/两点之间的距离为（）

D.V16

【变式11］（2023春•广东东莞•八年级校考期中）如图,在△A8C中，48=2/8=60。,“=45。，求BC

和AC的长.

【变式12】（2023春•安徽安庆•八年级统考期中）如图，在a/lBC中，48长比4c长大1,BC=15,。是

上一点，BD=9,CD=12.

⑴求证：CDLAB；

⑵求4C长.

【变式131（2023春•辽宁营口•八年级校联考阶段练习）如图OP=1,过P作PAJ_OP且PPi=1,得OP]=

V2,再过点P1作P/zlOPi且P/2=l，连接0P2,得。。2=打；又过点P2作P2P3，。22且户2P3=1，得

0P3=2；依此法继续作下去，得。PJ+OP2N+OP3Z+OPJ+...+OPIOZ=_.

【题型2利用勾股定理求面积】

【例2】（2023春・安徽合肥・八年级校考期中）勾股定理是我国古代的伟大数学发明之一.如图，以内△

48c（乙4c8=90。）的各边向外作正方形，得到三块正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正

方形中，重叠部分的面积记作Si，左下不重叠部分的面枳记作S2,若多=3,则S2的值是（）

C.2D.2.5

【变式21】（2023春・北京昌平•八年级校考阶段练习）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,

此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形48。的斜边8G直角边AB/C,灰色部分面积记

为其,黑色部分面积记为52，白色部分面积记为S3,则（）

A.S[=$2B.$2=S3C.=S3D.Sj=S2—S3

【变式22]（2023春・广东深圳•八年级统考期末）如图，在中，ZBCA=900,△口月中力〃边上的

高等于AB的长度,△Q8C中4c边上的高等于BC的长度，中力C边上的高等于AC的长度，旦△以反

的面积分别是10和8,则△AC”的面积是（）

【变式23】（2023春•八年级单元测试）在直线1上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个

正方形的面积分别为a,b,c,正放置的四个正方形的面积依次为SI,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4

A.a+bB.b+cC.a+cD.a+b+c

【题型3利用勾股定理解决折叠问题】

【例3】（2023春・全国•八年级阶段练习）如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边力C=6cm,5C=8cm,

现籽直角边力C沿直线力Z）折叠，使它落在斜边力8上且与力七重合，则8。的长为（）

A

A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm

【变式31］（2023春•八年级课时练习）已知At△38。中，LACB=90°,AC=8,BC=4,。为斜边A8

上的中点，E是直角边AC上的一点，连接DE,将^ADE沿DE折叠至△A'DE,A'E交BD于点F,若△DEF

的面积是△4OE面积的一半，则0石为（）

【变式32】（2023春・福建厦门•八年级校考阶段练习）如图的实线部分是由RtAABC经过两次折叠得到的,

首先将Rt&ABC沿BD折叠，使点C落在斜边上的点C'处，再沿DE折叠，使点A落在DC的延

长线上的点A处.若图中zf=90°,DE=3cm,BD=4cm,则DC的长为.

【变式33】（2023春•全国•八年级阶段练习）有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm.

①如图1,现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，则CD=cm.

②如图2,若将直角NC沿MN折叠，点C与AB中点H重合，点M、N分别在AC、BC上，则AM2.BN2

与MW之间有怎样的数最关系？并证明你的结论.

【题型4利用勾股定理求平面坐标系中两点之间的距离】

【例4】(2023春・全国•八年级专题练习)先阅读一段文字，再回答下列问题，已知在平面内两点坐标P1(M，

月)，P2(x2,y2),其两点间距离公式为P1P2=-勺4+&2-力)2,同时，当两点所在直线在坐标轴

上或平行于x轴或垂直于x轴时，两点间距离公式可化简为%-与1或1丫2-yJ

(1)已知4(3,5),5(-2,-1),贝IJ4、8两点间的距离为；

(2)已知4B在平行于y轴的直线上，点4的纵坐标为5,点B的纵坐标为-1,则4B两点间的距离

为;

(3)已知45在平行于“轴的直线上，点力的横坐标为5.且48两点间的距离为3,则点8的横坐标为；

(4)已知一个三角形各顶点坐标为,4(0,6),8(-3,2),C(3,2),请判定此三角形的形状,并说明理由.

【变式41】(2023春・全国•八年级专题练习)如图，RtAHOB的顶点4(2,1),B(-2,几)分别在第一，二

象限内，4108=90。，则〃的值为()

A.6B.5C.4D.3

【变式42】(2023春・江苏南通•八年级统考期末)平面直角坐标系xOy中，已知点P(m,2九2一4),且实数7九,

九满足m-/+4=0,则点P到原点0的距离的最小值为.

【变式43】(2023春・福建龙岩•八年级校考阶段练习)阅读理解：说明代数式GTT+爪x-3)2+4的几

何意义，并求它的最小值.

解：Vx2+1+J(x-3)2+4=«x-0)2+1+{(x-3)2+22.

几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点P(%0)是x轴上一点，则打」0声不了可以看成点尸与点4(0,1)

的距离，J(x-3)2+22可以看成点以与点B(3,2)的距离,所原代数式的值可以看成线段H4与P8长度之

和，它的最小值就是PR+PB的最小值.

求最小值：设点力关于x轴对称点4,则P4=P4.因此，求E4+P8的最小值，只需求P/f+P8的最小

值,而点、A',B间的直线段距离最短，所以PA+PB的最小值为线段48的长度.为此，构造直角三角形A'CB,

因为dC=3CB=3,所以由勾股定理得4力=3鱼，即原式的最小值为3四.

根据以上阅读材料，解答下列问题：

(1)代数式，。一1尸+1+1(X-2尸+9的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点火1,1),点

B的距离之和.(填写点月的坐标)

(2)代数式立2+49+、/-12%+37的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0).与点/、点

B的距离之和.(填写点44的坐标)

(3)求出代数式V/+49+y/x2—12x+37的最小值.

【题型5利用勾股定理证明线段的平方关系】

【例5)(2023春•河北石家庄•八年级石家庄外国语学校校考阶段练习)已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂

美”四边形，现有如图所示的“垂美"四边形/8CQ,对角线NC,8。交于点O.

(1)若/8=5,OA=3,06=4,则8C=；

(2)若=BC=V5,则/B2+C/)2=.

(3)若/B=7n,BC=n,CD=c,AD=d,则〃?，〃，c,d之间的数量关系是

【变式51】(2023春•广东云浮•八年级校考期中)在心△ABC中，4力，乙B,4c的对边分别是a,b,c,若

=90°,贝ij()

A.a2+b2=c2B.a2+c2=b2C.b2+c2=a2D.a+c=b

【变式52】（2023春•八年级课时练习）素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与形结

合在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的发现,

引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证.在中国，也被称为“商高定理”，西方则称其

为“毕达哥拉斯定理“，儿千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们冥思苦索给出了

数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常见，现有四名网

友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网友是（填

写数字序号即可）.

①。（懂得都懂）②yyos（永远的神）③"wo（觉醒年代）④0GT%（强国有我）

【变式53］（2023春•湖北•八年级校考期中）已知如图，在中，AB=AC,。在的延长线上.

求证：（1）AD2-AB2=BD,CD；

（2）若。在C8上，结论如何，试证明你的结论.

【题型6勾股定理验证方法的应用】

［例6］（2023春・山西太原•八年级统考期中）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾,

另一直角边为股，斜边为弦,如图1所示，数学家刘徽（约公元225年一公元295年）将勾股形分割成一个

正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图2所示的长方形，

是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若。=3,匕=1,则长方形的面积为

【变式61】（2023春•新疆乌鲁木齐•八年级统考期中）如图，四边形中，^DAB=^BCD=90°,分别

以四边形的四条边为边向外作正方形，面积分别为SiSSSp若S]+S4=135,S3=49,则S?=（）

C.119D.81

【变式62]（2023春・北京海淀•八年级北京市十一学校校考期中）“赵爽弦图''巧妙地利用面积关系证明了勾

股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个

大正方形（如图2）.设直角三角形较长直角边长为“，较短直角边长为从若ab=8,大正方形的面积为

25,贝IJ图2中的长为（）

A.3B.4C.2V2D.3企

【变式63】（2023春•江苏•八年级专题练习）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三

国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）.图2由弦图

变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.将图中正方形MNKT,正方形EFGH,正方形ABCD

的面积分别记为Si&，S3.若S1+S2+S3=18,则正方形EFGH的面积为

B

图1图2

【题型7勾股树问题】

【例7】（2023春・全国•八年级阶段练习）正方形48C0的边长为1,其面积记为S1，以CO为斜边作等腰直

角三角形，以该等腰直角三角形的•条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2,…按此规律继续卜.去，则

S2022的值为（）

A.（浮B.@2021C.（$2D.囹⑼

【变式71】（2023春•八年级统考期中）图1是第七届国际数学教育大会（/CME）的会徽，主体图案是由如

图2的一连串直角三角形演化而成，其中。&=4遇2=力2人3=…=48力9=1，现把图2中的直角三角形

继续作下去如图3所示，若。&。4的值是整数，且1SW30,则符合条件的〃有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式72】（2023春•山东荷泽•八年级校考阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，

再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重更这•过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状

好似一棵树而得名.假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原

理作图，如果第一个正方形面积为1,则第2023代勾股树中所有正方形的面积为.

第一代勾股树第二代勾股树第三代勾股树

【变式73】（2023春・江西南昌八年级南昌市第二中学校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之

一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我

国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）,后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.

（1）①如图2,3,4,以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别

为包，S2,S3,利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足Si+S2=S3的有个.

②如图5,分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为Si，

S2,直角三角形面积为S3,也满足S]+S2=S3吗？若满足，请证明；若不满足，请求出Si，S?,S3的数量

关系.

（2）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这

一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”.在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边

长为定值〃7,四个小正方形4B,C,。的边长分别为mb,c,d,则a2+/>2+c2+d2=.

【题型8勾股定理在格点中的应用】

【例8】（2023春•江苏盐城•八年级校联考阶段练习）问题背景：

在△月6。中，AB、4C、4c三边的长分别为代、g、V13,求这个三角形的面积.小明同学在解答这道题

时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）,再在网格中画出格点△48C（即。三个顶点

都任小正方形的顶点处）.如图①所示.这样不需求△W8C的高，而借用网格就能计算出它的面积.

（1）请你将的面积直接填写在横线上二

思维拓展：

（2）我们把上述求△力BC面积的方法叫做构图法.若△48。三边II勺长分别为a、旧、V17,请利用图②的

正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的并求出它的面积.

探索创新：

（3）若三边的长分别为百人2&“、417a（«>（））,请利用图③的正方形网格（每个小正方形的边长

为。）画出相应的△力8C,并求出它的面积.

2222

（4）若△月8c三边的长分别为Ym?+16*、V9?n+4nN2Vm4-n（m>0,zz>0,且加77）,试运用构图

法求出这个三角形的面积.

【变式81】（2023春・湖北武汉•八年级统考期中）如图，在4x4正方形网格中，以格点为顶点的aABC的面

积等于3,则点A到边BC的距离为（）

B.26

A.拒

【变式82】（2023春・浙江•八年级期末）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称

为格点.以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E,

F,G,H都是格点，旦四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图.例如，在如图1所示的

格点弦图中，正方形ABCD的边长为屈，此时正方形EFGH的而积为5.问：当格点弦图中的正方形ABCD

的边长为相时，正方形EFGH的面积的所有可能值是（不包括5）.

【例9】（2023春•安徽合肥•八年级统考期中）△48C中，AB=20,AC=13,8C上的高为12,求BC的长.

【变式91］（2023春•河南郑州•八年级校考期中）如图，在Rt△48c中，Z.ACB=90°,BC=3,18=5,

点E为射线BC上一点，若AABE是直角三角形，则△力BE的面积是.

CE

【变式921（2023春•四川成都•八年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）在4ABC^,AB=20,AC=13,AD

为8c边上的高，且力。=12,△力8