专题22最值之瓜豆原理（解析版）

专题22最值之瓜豆原理

一、轨迹之直线

例：如图，P是直线5C上一动点，连接AP,取4P中点Q,当点户在8c上运动

时，。点轨迹是？

【分析】当夕点轨迹是直线时，。点轨迹也是一条直线.

可以这样理解：分别过A、。向8c作垂线，垂足分别为“、N,在运动过程中，

因为AP=14Q,所以QN始终为AM的一半，即。点到6C的距离是定值，故。点

轨迹是一条直线.

II

BPNM

【例】如图，A4PQ是等腰直角三角形，/以。=90。且4尸二AQ,当点P在直线8c

上运动时，求。点轨迹？

BP

【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、。轨迹是同一种图形.

当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的。点的位置.，连线即可，比如Q

点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段.

B

Qi

【模型总结】

必要条件：

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（/段。是定道）；

主动点、从动点到定点的苑离之比是定量（AP：AQ是定值）.

结论：

P、。两点轨迹所在直线的夹角等于NB1Q（当/以侬90。时，/雨。等于MN与

BC夹角）

P、。两点轨迹长度之比等于AQ:AQ（由△48CSZ\AMN,可得AEAgBCMN）

典例精析

1.（2019•宿迁）如图，正方形448的边长为4,石为4C上一点，且8E=1,尸为48边

上的一个动点，连接EF,以EF为边向右侧作等边AEAG,连接CG,则CG的最小值为.

解：由题意可知，点厂是主动点，点G是从动点，点尸在线段上运动，点G也一定在直线

轨迹上运动

将AEW绕点E旋转60。，使即与EG重合，得到AE/B=A£HG

从而可知AEH以为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上

作CM上HN,则CM即为CG的最小值

作研J,CM,可知四边形的阳为矩形,

13S

则CM=MQ+CP="E+—EC=l+—=一

222

2.（2021•新泰市模拟）如图，长方形ABCD中，AB=3,8c=4,E为BC上一点、，且BE=1,

F为AB边上的一个动点，连接EF,将EF绕著点、E顺时针旋转45。到EG的位置，连接FG

和CG,则CG的最小值为（）

A.2C.2VID

B-得i

解：如图，将线段班:绕点E顺时针旋转45。得到线段叮，连接GT,连接DE交CG于人

•.•四边形A6CD是矩形，

AB=CD=3,N8=N8Cr>=90。，

•：NBET=NFEG=45。,

ZBEF=ZTEGf

在AE班'和ATTG中，

EB=ET

NBEF=NTEG,

EF=EG

:ZBFwZEG(SAS),

.*.ZB=Z£7U=90°,

.•.点G的在射线7G上运动，

.•.当CG_L7U时，CG的值最小，

•・BC=4,BE=1,CD=3,

：.CE=CD=3t

：.NCED="ET=45。,

/.Zl'EJ=90°=NETO=Z/G7'=90°,

.•・四边形£TG/是矩形，

:.DE//GTtGJ=TE=8E=1,

:.CJ±DEf

JE-JD，

I3夜

CJ=-DE=-----,

22

a5

:.CG=CJ+GJ=\+—

2t

.•・CG的最小值为1+迪，

2

故选：B.

3.(2021•无棣县模拟)如图，正方形AACO的边长为7,七为8c上一点，且8£=G，F

为A8边上的一个动点，连接防，以"'为边向右侧作等边AEFG,连接CG,则CG的最

小值为.

:.EF=EG,

把绕点石顺时针旋转60。得到如图，延长”G交C£＞于〃，过C点作

CQ1HM,过E点作“_LC。，

:"BEH=&｝。,EB=EH=y^,ZEHG==90°,

即G点在过H点且垂直于EH的线段HM上，

易得四边形H£PQ为矩形，

:.PQ=EH=&ZHEP=90°,

vZCEP=90°-ZB£7/=30°,

.二口_1「匕_7一石

.•CP=—CE=9

22

：.CQ=CP+PQ+也=.

」.CG的最小值为上亚.

2

故答案为j叵.

4.(2020•东台市一模)如图,已知点4-3,0),8(0,3),C(-l,4),动点尸在线段43上，

点尸、C、M按逆时针顺序排列，且NCPM=90。，CP=MP,当点P从点A运动到点B时,

则点用运动的路径长为

解：•.•点A(—3,0),8(0,3),

:.AB=3叵，

vC（-l,4）,动点户在线段/W上，ZCPA/=90°,CP=MP,

:.0。=——>P为主动点,M为从动点，C为定点，

CM2

由“瓜豆原理”得P运动路径（八〃）与/W运动路径之比等于若■,

:.点M运动的路径长为3及・立=6,

2

故答案为：6.

5.（2020•兰溪市模拟）如图，NAQ8=30。，OD=4,当点C在。A上运动时,作等腰RtA8E，

CD=DE,则O,石两点间距离的最小值为.

解：•.Z/UM=30°,00=4,点C在。4上运动时，CD=DE,CD1DE,

.•.C为主动点，E为从动点，。为定点，

由“瓜豆原理”，。在。4上运动，则E在垂直的直线上运动，

当时，如答图：

过石作区W_LQ4于"，交OB于N,则直线MN即为E的运动轨迹，OW的长为O,E两

点间距离的最小值，

•.NAQ4=30°,0/9=4,DC±OAt

:.CD=2,

•;CD=DE,

；.DE=2,

\'ZOCD=ZCDE=90°,

:.DE//OAt

而£M_LO4,

.♦.N。0V=90。，NEDN=3U,

:.在ADEN中可得DN=心,

3

,-.O/V=4+—,

3

△OMN中可得。历=冬（4+怨）=2+26，

故答案为：2+2x/3.

6.（2020•清江浦区一模）如图，正方形A8CZ）的边长为2,E为BC上一点,且BE=l,F

为45边上的一个动点，连接叮，以石尸为底向右侧作等腰直角AEAG,连接CG,则CG

的最小值为.

D

解：如图1,过点G作GPJLAB于点尸，GQ_LAC于点Q,连接皮）,

根据题意知，ZABC=90",ZPGO=90°.

/.ZPGF+乙FGQ=ZQGE+NFGQ=90°.

NPGF=NQGE.

又•.•AEFG是等腰直角三角形，且NAG石=90°,

:.GF=GE.

在△GP”与AGQE中，

NG尸尸=NGQ石=90°

•Z.PGF=ZQGE,

GF=GE

;AGPF=AGQE(AAS).

:.GP=GQf/GBP=NGBE=L/ABC.

2

.•.点G在4。所在的直线上运动.

•.•产为9边上的一个动点，如图2,

图2

当点厂与点4重合时，点G的位置如图所示.

当点产与点A重合时，记点G的位置为G".

.•.点G的运动轨迹为线段GGL

过点C作CGA.BD于点G.

.1CG3CG=；BD.

正方形ABCD的边长为2,

BD=2>/2.

••|CGL=V2.

故答案是：血.

7.（2020•市中区一模）如图，正方形AAC。的边长为8,E为AC的四等分点（靠近点4的

位置），尸为8边上的一个动点，连接£F,以£F为边向右侧作等边A£FG,连接CG,则

CG的最小值为.

解：由题意可知，点尸是主动点，点G是从动点，点尸在线段上运动，点G也一定在直线

轨迹上运动

将AE阳绕点E旋转60。，使即与EG重合，得到

从而可知AE8”为等边三角形，点G在垂直于ME：的直线HN上

作CM上HN,则CM即为CG的最小值

作EPJ.CM,可知四边形的泡为矩形，

贝！JCM=MP+CP="E+-£C=2+3=5,

故答案为：5.

8.（2020•祁江区校级一模）如图，菱形八4a＞的边长为4,NA=12O。，E是4c的中点，

户是对角线4C上的动点，连接EF,将线段EF绕点尸按逆时针旋转30。，G为点石对应

点，连接CG,则CG的最小值为.

解：如图取C/）的中点K,连接bK,KG,EK,延长KG交4c于J,作C/7J./K于”.

•.•四边形是菱形，

:.ZFCE=ZFCK,CB=CD,AB!/CD,

N/XH+NB=18O°,

•.•/〃=120°,

..ZDCB=60°,

•;BE=EC,CK=KD,

：.CK=CE,

.•.AECK是等边三角形，

•.•CF=CF,NFCK=4FCE,CK=CE,

:.bFCKwbFCEGAS),

:.FK=FE,

,.FG=FE,

:.FE=FG=FK,

NEKG=L/EFG=15。，

2

•;/CKE=(/r,

••・NCK/=45。，

.••点G在直线板上运动，

根据垂线段最短可知，当点G与”重合时，CG的值最小，

在RdCKH中，­/ZCK^=45°,NC”K=90。，CK=-CD=2f

4c

:.CH=KH=应,

二.CG的最小值为友,

故答案为夜.

二、轨迹之圆

例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,。为AP中点.

考虑：当点尸在圆。上运动时，。点轨迹是？

【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆。有什么关系？

考虑到。点始终为4P中点，连接A0,取A。中点M,则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径

MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQS/^AOP,QM-,PO=AQ:AP=\'.2.

【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，

由A、Q、P始终共线可得：A、M、。三点共线,

由。为人尸中点可得：AM=\/2AO.

Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.

根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系;

根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系.

例2：如图，P是圆。上一个动点，A为定点，连接AP,作AQ_LAP且AQ=AP.

考虑：当点〃在圆。上运动时，。点轨迹是？

【分析】Q点物迹是个圆，可理解为将4尸绕点A逆时针旋转90。得4Q,故。点凯迹与尸

点轨迹都是圆.接下来确定圆心与半径.

考虑APLAQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足4M_LAO；

考虑AP=A。，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径M0=PO.

即可确定圆M位置，任意时刻均有^AP。丝△AQM.

例3：如图，△APQ是直角三角形，N以。=90。且AP=2AQ,当P在圆。运动时，Q点轨迹

是？

Q

【分析】考虑八P_LAQ,可得。点轨迹圆圆心A/满足八M_LAO；

考虑AP.AQ=2:1,可得。点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1.

即可确定圆历位置，任意时亥IJ均有△APO。△人QM,且相似比为2.

【模型总结】

为了便于区分动点P、Q,可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”.

此类问题的必要条件：两个定最

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（NMQ是定，直）；

主动点、从动点到定点的电离之比是定量（AP:AQ是定值）.

【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角:

ZPAQ=ZOAM；

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：

AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比.

按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与夕的关系相当于旋转+伸缩.

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆.“种”圆得圆，"种''线得线，谓之“瓜豆原理”.

典例精析

I.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,4c=16,8C=12,点。在以AB为直径的半圆上

运动，由点3运动到点A,连接CP,点时是CP的中点，则点M经过的路径长为.

解：­.•ZACB=90°,AC=16,BC=12,

/.AB=JAC2+BC2=V162+122=20,

连接”，BP,

•.•AB是直径，

...ZAPB=90°,

即

取4C,AC的中点E和广，连接ME,MF,EF,

在MPC中,

•.•M,E为PC、8c的中点,

:.MEMBP,ME=-BP,

2

在AAPC中，

•:点M、F为PC、AC的中点,

：.MF//APtMF=-APt

2

:.ME工MF,

即NEMF=90。,

点M在以即为直径的半圆上，

：.EF=-AB=\Q

2f

/.点M的运动路径长为1x2Tx5=5乃，

2

故答案为：54.

2.如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的

圆上的一个动点，连接"，以转为边向AP右侧作等边三角形河.当点尸在O。上运

解：如图，连接40、OP,将△40绕点A逆时针旋转60。，得线段47,连接。为、,

vAO=A(7,NOAO'=60°,

为正三角形，

•.•AA/归为正三角形，

:.ZPAB=60°,PA=BA,

：.ZPAB-ZOAB=ZOAO-ZOAB,

ZPAO=ZBAO,

在A4PO与AA4O中，

AO=AO'

、ZPAO=ZBAOf

PA=BA

.•.AAPO=AA3O,

：.OP=OB=2,

.•.O。即为动点“运动的路径，

.•.当点尸在0O上运动一周时，点A运动的路径长是4不，

3.如图，的半径为2,O到定点A的距离为5,点B在0O上，点2是线段/W的中点,

若笈在OO上运动一周.

（1）点P的运动路径是一个圆；

（2）AA8C始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围.

（1）思路引导

要证点尸运动的路径是一个圆，只要证点尸到

定点”的距离等于定长，，由图中的定点、定

长

可以发现加，厂.

（1）解：连接。A、013.取OA的中点“，连接如图1所示:

则HP是A/WO的中位线，

:.HP=-OB=\,

2

.•.P点到，点的距离固定为L

.•.8在0O上运动一周，点尸运动的路径是以点，为圆心，半径为1的一个圆;

(2)解：连接AO并延长AO交于点M、N,如图2所示：

A46c是等边三角形，点产是线段的中点，

:.PCA.ABfPA=PB=-AB=-BCf

22

/.PC=y/3PA=—ABt

2

当点8运动到点”位置时，点?运动到点P'位置，PC最短，

AM=OA-OM=5-2=3,

I3

AP,=-AM=-,

22

:.PC=更；

2

当点B运动到点N位置时，点尸运动到点产位置，最长，

•••AV=Q4+ON=5+2=7,

，心吗

2

.••PC长的取值范围是空领户。—.

图2

B

OyJ

图1

4.如图，线段A3为。。的直径，点。在A3的延长线上，AB=4,BC=2,点P是QO上

一动点，连接CQ，以。尸为斜边在PC的上方作RlAPCD，且使N/X>=60°，连接QD,

则OD长的最大值为____.

解：如图，作ACQE,使得NC£O=90。，ZECO=60c>,贝!)CO=2CE,OE=243,

/OCP=AECD,

D

­.•ZCDP=90°,ZDCP=60°,

:.CP=2CDt

COCP）

•-----=-----=2,

CECD

:△COP^ACED,

OPCP「

・・----=------z>

EDCD

即即之尸印（定长）,

•••点E是定点，DE是定长,

.••点。在半径为1的O石上，

\'OD„OE+DE=2>/3+\t

.•.OQ的最大值为26+1,

故答案为26+1.

5.已知：如图，是°。的直径，C是OO上一点，ODA.AC于点D,过点C作的

切线，交OQ的延长线于点石，连接AE.

(1)求证：AE与OO相切；

(2)连接40,若ED:“)=3:l，(M=9,求4七的长；

(3)若"=10，AC=8,点尸是任意一点，点M是弦从'的中点，当点〃在0O上

运动一周，则点M运动的路径长为.

(1)证明：如图1中，连接OC.

图1

\OD±ACt

AD=DCf

：.EA=EC>

在△OEC和以中,

OE=OE

OC=OAt

EA=EC

/.AOEC=AOE4,

:.NOAE=NOCE,

•••EC是oo切线，

:.EClOCf

.•.NOCE=90°,

,\Z6HE=ZOC£=90°,

/.OA_LAE,

.•.AE是G)O的切线.

(2)如图1中，设“)=〃，则DE=3a,

\ZAOD=ZAOEfZODA=ZOAE,

；.^OAD^^OEAt

OAOD

"~OE=~OA，

「.4/=81,

\,a>0f

9

「・4=-9

2

.•.OE=18,

在RtAAOR中，AE=xlOE2-OA2=\/l82-92：9g.

(3)如图2中，连接OM,取OA的中点。,连接(7M.

图2

：.OM±AFf

•:MJ=O0、OA=OI3=5t

.•OW」OA=定长二』，

22

当点尸在oo上运动一周，则点”运动的路径是以。，为圆心2为半径的圆，

2

/.点M运动的路径长为27•』=5万.

2

故答案为5乃.

6.若AC=4,以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP.

(1)如图1,取点4,使A/WC为等腰直角三角形，N8AC=90°，将点P绕点A顺时针旋

转90。得到人产.

①点P的轨迹是圆(填“线段”或者“圆”)；

②W的最小值是一；

(2)如图2,以AP为边作等边凶PQ(点A、P、。按照顺时针方向排列)，在点尸运动

过程中，求CQ的最大值.

(3)如图3,将点A绕点P逆时针旋转90°,得到点M,连接PM,则。W的最小值为.

图3

解：(1)①连接CP、BP,如图1所示：

•.•AA8C是等腰直角三角形，ZfiAC=90°,

,

.\AC=AB,由旋转的性质得：AP=APf4%P=90),

:.ZPAC=ZPABf

AP'=AP

在AABP和A4CP中，■ZP'AB=ZPAC,

AB=AC

.♦.AABPFAACPGSAS),

...BP=CP=2,即点P'到点8的距离等于定长，

.•.点产的轨迹是以4为圆心，2为半径的圆；

故答案为：圆；

②•.•AABC是等腰直角三角形，AC=4,

BC=>/2AC=4y/2f

当点P'在线段8C上时，CF最小=BC-BP=4尬-2；

故答案为：4>/2-2；

(2)以AC为边长作等达AACD,连接。Q、CP,如图2所示:

AAPQ和AACD是等边三角形，

AP=AQfAC=AD=CD=4fNE4Q=NC4。=60。，

/.^DAQ=ZCAPt

AD=AC

在AAOQ和AACQ中，《NDAQ=/C4P,

AQ=AP

...AAQQ三AA"(SAS),

DQ=CP=2,

当C、D、Q三点共线时，CQ有最大值=CO+OQ=4+2=6；

(3)如图3所示：M点的轨迹是以W为直径的一个圆。，

f

贝J|PM=P4=2,PM=PA=4+2=6t

则CO'是梯形尸仞V/户的中位线，

...C*；(2+6)=4,

连接MAT,

则ZMMW90。，

..产ME=PM=2,体广=?产=4,

/.A/Afw=6-2