中级质量专业理论与实务第五讲常用分布

中级质量专业理论与实务第五讲常用分布

一、考试要求

1.掌握二项分布、泊松分布及其均值、方差与标准差与有关概率的计算。

2.熟悉超几何分布。

3.掌握正态分布的定义及其均值、方差与标准差，标准正态分布的分位数。

4.熟悉标准正态表的用法

二、内容讲解

四、常用分布

(一)常用离散分布

这里将给出三个常用的离散分布：二项分布、泊松分布与超几何分布。

1.二项分布

我们来考察由n次随机试验构成的随机现象，它满足如下条件：

(1)重复进行n次随机试验。比如，把一枚硬币连抛n次，检验n个产品的质量，

对一个目标连续射击n次等。

(2)n次试验间相互独立，即仟何一次试验结果不可能对其他次试验结果产牛影响。

(3)每次试验仅有两个可能的结果，比如，正面与反面、合格与不合格、畲中与不

命中、具有某特性与不具有某特性，下列统称之“成功”与“失败”。

(4)每次试验成功的概率均为p,失败的概率均为1-po

在上述四个条件下，设X表示n次独立重复试验中成功出现的次数，显然):是能够

取0,1,…，n等n+1个值的离散随机变量，且它的概率函数为：

P(X=x)=/(1一〃)"7,x=0,l,…,〃(1.2-4)

这个分布称之二项分布，记为其中〃是从n个不一致元素中取出Y个的

组合数，它的计算公式为：

_加

Rx!(〃-x)!

二项分布的均值、方差与标准差分别为:

E(X)=np

Var(X)=np(l—p)

cr(X)=，.-一.

特例：n=l的二项分布称之二点分布。它的概率函数为:

尸(X=')=■(「..,x=0,l

或者列表如下：

X01

Pl・pP

它的均值、方差与标准差分别为

E(X)=p,K..X)=p(\-.),b(X)=

［例1.2-10］在一个制造过程中，不合格品率为0.1,如今从成品中随机取出6个,

记X为6个成品中的不合格品数，则X服从二项分布仅6,0.1),简记为X~A(6,0.1)o

现研究如下几个问题：

(1)恰有1个不合格品的概率是多少?这里规定抽到不合格品为“成功”，则事件

X=1的概率为：

p(x=l)=^xO.lx(l-O.l)6-1=6x0.1x().95=0.3543

这说明,6个成品中恰有一个不合格品的概率为0.3543。类似可计算X=0,〉：=1,…,

X=6的概率，计算结果可列出一张分布列，具体如下：

X0123456

p0.53140.35430.09840.01460.00120.00010.0000

这里0.0000表示X=6的概率取前4位小数的有效数字为零，实际上，它的概率为

P(X=6)=0.000001,并不严格为零。

还能够画出一张线条图(图1.2—7(a))来表示这个分布(X共有7个取值)。图上的

横坐标为X的取值，纵轴为其相应概率。从此图上能够看出分布的形态，什么工上的概

率大，什么x上的概率小。假如改变成功概率P，其线条图亦会改变。比如，连抛六次

硬币，其中正面出现次数X〜仅6,0.5)。通过计算可画出其线条图(见图1.2-7(b)),

此图是对称的，如P(X=2)=P(X=4)=0.2343o

05

(.)二里分布b(6.0I)的线条图(b)二JI分布b(6.0.5)的线条图

图127二项分布b(〃，p)的段条图

(2)不超过1个不合格品的概率为：

P(X^l)=P(X=0)+P(X=l)=0,5314+0.3543=0.8857

这说明，6个成品中不超过1个不合格品的概率为0.8857。

在实际中经常需要求形如“XWx”的概率，在概率论中把事件“X4x”的

概率称之X的分布函数，也称之累积分布函数，记为F(X),即：

F(x)=P(X<x)

对二项分布的分布函数已编制了数表，详见附表1—1,此表可帮助我们计算二项概

率，比如从附表1-1中可查得：

P(X^l)=0.8857,P(XW4)=0.9999

因此可算得：

P(1<XW4)=P(XW4)-P(X<l)=0.9999-0.8857=0.1142

(3)二项分布伙6,0.1)的均值、方差与标准差分别为：

E(X)==6x0.1=0.6

=/2P(1-p)=6x0.1x0.9=0.54

b（x）=—=V054=0.73

2.泊松分布

泊松分布可用来描述许多随机变量的概率分布。比如:

(1)在一定时间内，电话总站接错电话的次数；

(2)在一定时间内，某操作系统发生的故障数；

(3)一个铸件上的缺陷数；

(4)一平方米玻璃上的气泡个数；

(5)•件产品因擦伤留下的痕迹个数；

(6)一页书上的错字个数。

从这些例子能够看出，泊松分布总与计点过程有关联，同时计点是在一定时间内、

或者一定区域内、或者一特定单位内的前提下进行的，若4表示某特定单位内的平均点

数(2>0),又令X表示某特定单位内出现的点数，则X取，值的概率为:

p(x=x)=—eT,x=0,12・・・(1.2-5)

x!

这个分布就称之泊松分布，记为PiR),其中e为自然对数的底，即2.71E28…

泊松分布的均值与方差(在数量上)是相等的,均为4,即：

E(X)=Var(X)=\A,<r(X)=VI(1.2-6)

［例L2-11］某大公司一个月内发生的重大事故数X是服从泊松分布的随机变

量，根据过去事故的记录，该大公司在一个月内平均发生1.2起重大事故，这说明：X

服从4=1.2的泊松分布，现考察如下事件的概率：

(1)在一个月内发生1起重大事故的概率为：

p(X=1)=9々=0362

1!

类似地也可计算X取其他值的概率，现罗列于如下分布列中:

X01234567…

P0.3010.3620.2160.0870.0260.0060.0020.000…

此例中，X理论上也能够取8,9,…等值。由于取这些值的概率的前三位小数皆为

零，甚至更小，已无多大实际意义，故可不列出，当作不可能事件处理。也可把此8个

概率画一张线条图，如图1.2—8。

图1.2>8泊松分布P(1.2)的段条图

⑵在一个月内发生重人事故超过2起的概率为:

I_(7尸

p(x)--e-a',-co<x<oo(1.2-9)

它的图形是对称的钟形曲线，称之正态曲线。见图1.2—10。

ffi1.2-W11海曲钱，心为正态分布中心.•为

拐点

正态分布含有两个参数〃与。，常记为N"°2)。其中〃为正态分布的均值，它是

正态分布的中心，质量特性X在〃邻近取值的机会最大，p(x)关于X=〃对称。，是正

态分布的方差，。>0是正态分布的标准差，。愈大，分布愈分散；o■愈小，分布愈集

中；p(x)在〃±o■处有拐点(2阶导数为零)。

同定标准差。时.，不一致的均值，比如从对应的正态曲线的形状完全相同,

仅位置不一致，见图(a).

固定均值〃时，不一致的标准差，如0<%。，对应的正态曲线的位置相同，但形

状(高低与胖瘦)不一致，见图1.2-11(b)°

(a)(rffl?l,〃不同(g<儿)

B1.2-11正态曲货的比较

2.标准正态分布

〃=0旦。=1的正态分布称之标准正态分布，记为N(0,1)。它是特殊的正态分布,

服从标准正态分布的随机变量记为U,它的概率密度函数记为，〃)|,它的图形见图

1.2-12。

实际中很少有一个质量特性(随机变量)的均值恰好为0,方差与标准差恰好为lo

但一些质量特性的不合格品率均要通过标准正态分布才能算得。这里将先介绍标准正态

分布表及其应用，分下列几点叙述。

0.4

图1.2-12标准正态分布的概率密度函数8(〃)的图形

(1)标准正态分布函数中(〃)表，用来计算形如“UWu”的随机事件发生的概率，

即标准正态分布函数，♦(〃)■♦亿'，.)|。根据u的值可在标准正态分布函数表(附表1—2)

上查得，比如事件“UWL52”的概率可从附表1—2上查得

P(U^1.52)=0(1.52)=0.9357

它表示标准正态随机变量U取值不超过1.52的概率，在数量上它恰好为1.52左侧

的一块阴影面积(见图1.2-13)。

I$2

M1.2-Br((/<LS2)

由于直线是没有面积的，即直线的面积为零，故：

P(UWL52)=P(U<1.52)=0(1.52)=0.9357

综合上述，可得如下计算公式：

P(UWa)=P(U<a)=O(a)

类似的计算公式还有一些，现罗列如下，图形可帮助我们懂得它。

(2)P(U>a)=b<P(a),(见图1.2—14)。

⑶

(-a)=l-・(a)(见图1.2-15)O

用12141-*(1.S2)-«.M43用121s

(4)P(a^UCb)-<1>(b),|(a)(见图1.2—16)。

-«75013297s

ml.l-M-rTS)•♦(1.«)-♦(-t.75)

⑸刊，IW.)=2①(.)1(见图1.2-17)o

ra1.2-17HI(/I<1,S2)-H>1.S2^</<1S2)

,・(1.S2)-1.S2)•2・(1.92)-1

3.标准正态分布N(0,1)的分位数

分位数是一个基本概念，这里结合标准正态分布N(0,1)来叙述分位数概念。对概

率等式率31.282)=0.9,有两种不一致说法:

(1)0.9是随机变量U不超过1.282的概率。

(2)1.282是标准正态分布N(0,1)的0.9分位数，也称之9%分位数或者90百分位

数，记为〃os。

后一种说法有新意，Q9分位数〃0.9。，把标准正态分布密度函数9(〃)下的面积分为

左右两块，左侧一块面积恰好为0.9,右侧一块面积恰好为0.1,见图1.2-18。

m1.2.UN(•.1)M'・

通常说来，对介于0与1之间的任意实数a,标准正态分布N(0,1)的a分位数是

这样一个数，它的左侧面积恰好为a,它的右侧面积恰好为1一。(详见图1.2-19)。

用概率的语言表示，U(或者它的分布)的■分位数■是满足下面等式的实数：

P(UW[.).

分位数(亦可用标准正态分布表从里向外查得，尾数可用内插法得到，比如0.95

的分位数〃095可先查得：

=

“0.9495=1・64,“0.9505L65

由于概率0.95恰好介于0.9495与0.9505中问，故〃0.95"645。

0.5分位数，即50%分位数，也称之中位数，在标准正态分布N(0,1)场合，.、=0。

当.VO.5时，比如・-0.25,由对称性可知=--，I.75=0675|,对它加

上负号即得■)..=-0.675|,类似地彳=-〃.9=-1282(见图1.2—20)。

用1.2-20Mej--

标准正态分布的。分位数〃“亦可从附表1—3直接查得。

4.有关正态分布的计算

现在转入正态分布的计算。正态分布计算基于下面的重要性质。

性质1：设X〜N(./,♦),则，=♦二■-，((),1)。

此性质说明，任一个正态随机变量X(服从正态分布的随机变量)通过标准化变换

(X-〃)/。后都归一到标准正态变量U。这里标准化变换是指正态变量减去其均值后再

除以相应的标准差。比如：

若x〜N(10，22),通过标准化变换〜N(0,1)；

2

y_)

若Y〜N(2,0.32),通过标准化变换。=——〜N(0,1)；

0.3

两个正态变量及其标准化变换后的分布的示意图见图1.2—21。