专题08计数原理与概率统计（成品）

专题08计数原理与概率统计（成品）

一、概率问题

【来源】2023年高考全国甲卷数学（理）真题

1.某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑

冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也

爱好滑冰的概率为（）

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

【答案】A

【分析】先算出同时爱好两项的概率，利用条件概率的知识求解.

【详解】同时爱好两项的概率为0.5+0.6-0.7=（）.4,

记“该同学爱好滑雪”为事件A.记“该同学爱好滑冰为事件8,

则P(A)=0.5,P(A8)=0.4,

所以A）=

鬻翳。8

故选:A.

【来源】2023年高考全国乙卷数学（文）真题

2.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，

则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）

A*B-C—D-

A.6比§J2§

【答案】A

【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题

的结果，再利用古典概率求解作答.

【详解】用1，2,3,4,5,6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结

果如下表：

123456

1(1,1)(1,2)(1,3)(14)(1,5)(1,6)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(3,1)32)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

共有36个不同结果，它们等可能，

其中甲乙抽到相同结果有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6个,

因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率P=330=5

366

故选：A

【来源】2023年高考全国乙卷数学(文)真题

3.设。为平面坐标系的坐标原点，在区域｛(芭)，)|14/+)，2«1内随机取一点，记该点

为4,则直线的倾斜角不大于工的概率为()

4

A.-B.-C.-D.!

8642

【答案】C

【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解..

【详解】因为区域｛(x,，)|l«d+),2«4｝表示以0(0,0)圆心，外圆半径R=2,内圆半

径r=1的圆环,

则直线04的倾斜角不大于;的部分如阴影所示，在笫一象限部分对应的圆心角

4

71

NMON=上,

4

结合对称性可得所求概率「3旧i

〃=-----=—

3兀4

【来源】2023年高考全国甲卷数学(文)真题

4.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名

组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为()

试卷第2页，共17页

【答案】D

【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.

【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校又艺汇演，总的基本事件有C：=6

件，

其中这2名学生来自不同年级的基本事件有C；C；=4,

所以这2名学生来自不同年级的概率为；4=：2.

63

故选：D.

【来源】2023年新课标全国I卷数学真题

5.有一组样本数据％,为，…，4，其中巧是最小值，儿是最大值，则（）

A.在孙如玉的平均数等于N，W，…，4的平均数

B.%2，0孙玉的中位数等于孙工2,…，4的中位数

C.七，/，七，七的标准差不小于冷/」一，％6的标准差

D.工2，七，七，七的极差不大于042=、飞的极差

【答案】BD

【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.

【详解】对于选项A：没々，X3，（，*的平均数为机，&，再，…，%的平均数为〃，

贝“吁%+一+」+七+4+4_占+―+丁+$=2（苔+4）一（/+电+叶+七）

'6412

因为没有确定2（x）+儿），&+W+七+%的大小关系，所以无法判断，〃，"的大小，

例如：1,2,3,4,5,6,可得〃?=〃=3.5：

例如I」,1,1,1,7,可得m=1.〃=2；

例如1,2,2,2,2,2,可得人=2/=，；故A错误;

6

对于选项B：不妨设2K七式七石式5K%，

可知心0％事的中位数等于与和…，%的中位数均为玉产，故B正确；

对于选项C：因为不是最小值，戈6是最大值，

则占,孙忆,天的波动性不大于内,0…的波动性，即天,如占，占的标准差不大于

X］，电%的标准差，

例如：2,4,6,8,10,12,则平均数〃=-(2+4+6+8+10+12)=7,

标准差5='*［（2_7）+(4-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(10-7)2+(i2-7)2]=^y^,

4,6,8,10,则平均数"i=1(4+6+8+10)=7,

标准差邑=

显曰g然加更生、,石，即*＞.立；故C错误；

3

对于选项D：不妨设X＜工2工工3«玉4天＜/，

则见-3之七-8，当且仅当％=占，/=%6时，等号成立，故D正确；

故选：BD.

【来源】2023年天津高考数学真题

6.甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6.这三个盒子

中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个

球都是黑球的概率为：将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为

【答案】0051##0.6

【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一

空；

根据古典概型的概率公式可求出第二个空.

【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5〃,4〃,6〃，所以总数为15〃，

所以甲盒中黑球个数为40%x5〃=2〃，白球个数为3〃；

甲盒中黑球个数为25%x4〃=〃，白球个数为3〃；

甲盒中黑球个数为50%*6〃=3/7,白球个数为3〃：

记”从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球''为事件A,所以，

P（A）=0.4x0.25x0.5=0.05；

记”将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件8,

黑球总共有2〃+〃+3〃=6〃个，白球共有9〃个，

所以,明暗?

3

故答案为：0.05；—.

*'

试卷第4页，共17页

二、统计问题

【来源】2023年天津高考数学真题

7.调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，=0.8245,下

列说法正确的是（）

A.花瓣长度和花萼长度没有相关性

B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关

C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关

D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245

【答案】C

【分析】根据散点图的特点可分析出相关性的问题，从而判断ABC选项，根据相关系

数的定义可以判断D选项.

【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误

散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，C

选项正确；

由于,=0.8245是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变

弱，即取出的数据的相关系数不一定是0.8245,D选项错误

故选：C

【来源】2023年新课标全国II卷数学真题

8.在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为

收到。的概率为发送1时，收到0的概率为伏收到1的概率为1-爪

考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传

输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，

收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依

次收至UI,0,1,则译码为1）.

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为（1一。）（1一02

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为6(1-7J)?

C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为I的概率为"1-6)2+(1_外

D.当0<a<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为。的概率大于采用单次传

输方案译码为0的概率

【答案】ABD

【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的

概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.

【详解】对于A,依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发

送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为(1-夕)(1-a)(l-0=(1—a)(l-尸尸，A正确；

对于B,三次传输，发送1,相当于依次发送1,1,1,则依次收到I,0,1的事件，

是发送1接收1、发送I接收0、发送1接收1的3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为(1一月)。(1一£)=伙1一/)2,B正确；

对于C,三次传输，发送1,则译码为1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,

1和1,1,1的事件和，

它们互斥，由选项B知,所以所求的概率为C/(l-尸尸+(1-03=(1-，)2(]+2〃)，c

错误；

对于D,由选项C知，三次传输，发送0,则译码为0的概率尸=(l-a)2(l+2a),

单次传输发送0,则译码为。的概率户=1-。，而0<。<0.5,

因此。一p二(1一。)2(1+2。)一(|一。)=。(1一。)(1-2a)>0,即D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两

两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.

三、排列组合计数问题

【来源】2023年新课标全国I【卷数学真题

9.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调

查，拟从初中部和高中部两层共抽取6()名学生，已知该校初中部和高中部分别有400

名和200名学生，则不同的抽样结果共有().

试卷第6页，共17页

A.C超.C爆种B.C爆.C总种

c.c%4种D.c%嚼种

【答案】D

【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.

【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取60x券=40人，高中部共抽取

600

60x3=2。，

600

根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有c：0c鼠种.

故选：D.

【来源】2023年高考全国乙卷数学（理）真题

10.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1

种相同的选法共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

【答案】C

【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公

式即可得到答案.

【详解】首先确定相同得读物，共有C种情况，

然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A：

种，

根据分步乘法公式则共有C1A；=120种，

故选：C.

【来源】2023年高考全国甲卷数学（理）真题

11.现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这

5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）

A.120B.60C.30D.20

【答案】B

【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可

得解.

【详解】不妨记五名志愿者为

假设a连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公

益活动，共有A：=12种方法，

同理：Ac1,e连续参加了两天公益活动，也各有12种方法，

所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有5x12=60种.

故选：B.

【来源】2023年新课标全国I卷数学真题

12.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2

门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数

字作答）.

【答案】64

【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组

合数运算求解.

【详解】（1）当从8门:果中选修2门,则不同的选课方案共有=16种：

（2）当从8门课中选修3门,

①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C；C：=24种；

②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C：C：=24种；

综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种.

故答案为：64.

四、二项式定理

【来源】2023年北京高考数学真题

（1y

13.lx--的展开式中X的系数为（）.

IX）

A.-80B.TOC.40D.80

【答案】D

【分析】写出的展开式的通项即可

【详解】（2x—（j的展开式的通项为=G（2x）'[—

令5-2厂=1得r=2

所以「工-工]的展开式中x的系数为（-if*?。；=80

KX）

试卷第8页，共17页

故选：D

【点睛】本题考查的是二项式展开式通项的运用，较简单.

【来源】2023年天津高考数学真题

14.在(2/--)的展开式中，V项的系数为

【答案】60

【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式加=(-l)'x2ixCxdT,令

18-4左=2确定k的值，然后计算/项的系数即可.

［详解】展开式的通项公式九=C：=(-1/x26"xC：xx,8-4A,

令18-44=2可得，〃=4,

则炉项的系数为(_l)4x2ixC：=4x15=60.

故答案为：60.

五、概率统计解答题

【来源】2023年北京高考数学真题

15.为研究某种农产品汾格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数

据，如下表所示.在描述价格变化时，用表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；

用表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一

天价格相同.

时段价格变化

第1天到第

-++0---4-4-0+0--+-+00+

20天

第21天到

0+0++04-0++04-

第40天

用频率估计概率.

⑴试估计该农产品价格“上涨”的概率；

⑵假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天，试估计该农

产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；

⑶假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响.判断第41天该农产品价

格“上涨"“下跌''和“不变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明)

【答案】（1）04

（2）0.168

（3）不变

【分析】（1）计算表格中的+的次数，然后根据占典概型进行计算；

（2）分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算；

（3）通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第41天的情况.

【详解】（1）根据表格数据可以看出，40天里，有16个+,也就是有16天是上涨的，

根据占典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：要=0.4

40

（2）在这40天里，有16天上涨，14天下跌，1（）天不变，也就是上涨，下跌，不变的

概率分别是。4,0.35,0.25,

于是未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是

C；x0.42xC；x0.35x0.25=0.168

（3）由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上

涨的有4次，不变的有9次，下跌的有2次，

因此估计第41次不变的概率最大.

【来源】2023年高考全国乙卷数学（文）真题

16.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处埋效应，进行10次配对试验，每

次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用

乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸

缩率分别记为占，5；.（/=1,2,.JO）.试验结果如下:

试验序号i12345678910

伸缩率七545533551522575544541568596548

伸缩率K536527543530560533522550576536

记Zj=Xj-y（i=l,2,…,10）,记卬Z2,…凸。的样本平均数为〉样本方差为S?.

⑴求I，/；

（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有

显著提高（如果之22』土，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的

试卷第10页，共17页

橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）

【答案】（1）5=11,s2=61:

（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著

提高.

【分析】（I）直接利用平均数公式即可计算出工亍，再得到所有的马值，最后计算出方

差即可;

（2）根据公式计算出的值，和之比较大小即可.

545+533+551+522+575+544+541+568+596+548、

【详解】（1）x=-------------------------------------------------------------------------=552.3,

10

536+527+543+530+560+533+522+550+576+536

)'=

10

z=x-y=552.3-54l.3=ll,

的值分别为:9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,

故

_(9-11)2+(6-II)2+(8-11)2+(-8-II)2+(15-II)24-0+(19-II)2+(18-II)2+(20-11)2+(12-II)2_

2==01

10

<2）由<1）知:云="•2,}=2网=7557，故有5大2,器，

所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显

著提高.

【来源】2023年高考全国甲卷数学（理）真题

17.一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只

分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对

照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.

（I）设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望；

（2）实验结果如下：

对照组的小白鼠体重的滔加量从小到大排序为：

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

实验组的小白鼠体重的漕加量从小到大排序为：

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(i)求40只小鼠体重的增加量的中位数〃?，再分别统计两样本中小于〃?与不小于的数

据的个数，完成如下列联表：

(ii)根据(i)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常

环境中体重的增加量有差异.

n(ad-bc)2

(a+/?)((?+d)[a+c)(/?+d)

k。U.IUUU.U3U0.01U

2.7063.8416.635

【答案】(1)分布列见解析，E(X)=1

(2)(i)m=23.4；列联表见解析,(ii)能

【分析】(1)利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望;

(2)(i)根据中位数的定义即可求得帆=23.4,从而求得列联表;

(ii)利用独W性检验的卡方计算进行检验，即可得解.

【详解】(1)依题意，X的可能取值为。，2,

CQJ9

则P(X=0)=^^=3P(X=l)=^£k=|2,p(x=2)=

Co78

C40,8C4G39

(2)(i)依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小

到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为23.2,第21位数据

试卷第12页，共17页

为23.6,

-23.2+23.6

所以m=---------=23.4,

2

故列联表为：

<m>m合计

对照组61420

实验组14620

合计202040

⑴由⑴可得"=4紫祟黑­L

所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差

异.

【来源】2023年新课标全国I【卷数学真题

18.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,

经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值。，将该指标大于c的人判定为阳性，

小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记

为"(c)：误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为虱。).假设数据在组内均匀分布，

以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

⑴当漏诊率p(c)=O5%时,求临界值c和误诊率4©；

⑵设函数+夕”)，当臼95,105］时,求/(c)的解析式,并求/©在区间

［95,105］的最小值.

【答案】⑴。=97.5,#)=3.5%；

-0.008c+0.82,95<c<100

，最小值为0.02.

O.Olc-O.98,IOO<c<IO5

【分析】(1)根据题意方第一个图可先求出，，再根据第二个图求出c之97.5的矩形面

积即可解出；

(2)根据题意确定分段点100,即可得出/(c)的解析式，再根据分段函数的最值求法

即可解出.

【详解】(1)依题可知,左边图形第一个小矩形的面积为5x0.002>0.5%,所以

95<(?<100,

所以(.95)x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

q(c)=0.01x(100-97.5)+5x0.002=0.035=3.5%.

(2)当ct［95,100］时,

/(c)="(c)+4(c)=(c-95)x0.002+(100-c)x0.01+5x0.002=-0.008c,+0.82>0.02；

当ce(100,105］时，

/(c)=p(c)+式c)=5x0.002+(C-1OO)XO.OI2+(1O5-C)X0.002=0.01c-0.98>0,02,

-0.008c+0.82.95<c<l00

故/'(c)=4，

10.01C-0.98JIX)<C<105

所以/(c)在区间［95,105］的最小值为0.02.

【来源】2023年高考全国甲卷数学(文)真题

19.一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中2()只

分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对

照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).试

验结果如下：

对照组的小白鼠体重的漕加量从小到大排序为

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

试验组的小白鼠体重的漕加量从小到大排序为

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

试卷第14页，共17页

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

⑴计算试验组的样本平均数；

(2)(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数〃?，再分别统计两样本中小于相与不小

于〃?的数据的个数，完成如下列联表

(ii)根据(i)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在

正常环境中体重的增加量有差异？

_n[ad-be)2

(a+b)(c+d)[a+c)[b+d)

P(K2>k)U.100U.03U0.UI0

k2.7063.8416.635

【答案】(1)19.8

(2)(i)利=23.4；列联表见解析，(ii)能

【分析】(1)直接根据均值定义求解；

(2)(i)根据中位数的定义即可求得m=23.4,从而求得列联表；

(ii)利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.

【详解】(1)试验组样本平均数为：

卷(7.8+9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+16.5+18.0+18.8—19.2+19.8+20.2

+21.6+22.8+23.6+23.9+25.1+28.2+32.3+36.5)=」=19.8

20

(2)(i)依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排

后第20位与第21位数据的平均数，

由原数据可得第11位数据为18.8,后续依次为

19.2,19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6,,

故第20位为23.2,第21位数据为23.6,

「