专题17【三年高考+一年模拟】立体几何综合题-2023年天津高考数学真题模拟题分类汇编（解析版）

专题17立体几何综合题

1.（2022•天津）直三棱柱ABC-ABiG中，AA】=AB=AC=2A4_LABAC_LABD为AB的中点,

为M的中点，F为CD的中点.

⑴求证：EFV平面ABC

⑵求直线IE与平面OGD所成角的正弦值；

⑶求平面ACD与平面CGD所成二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析：②*:（3）/

【详解】⑴证明：在直三棱柱ABC-ABC冲，A4+平面ABC,MAC1AB,则4G_LAB

以点A为坐标原点，AA,AB1,AG所在直线分别为x、y、励建立如下图所示的空间直角坐标系,

则A(2Q0)、

B(2,2,0)C(2,0,2)、A(O,O,O)>B](0,0,2)、G(0,0,2)、D(0,l,0)、E(1,0,0)则

豆•喇・

易知平面ABC的一个法向量为m=(l,O,O),则EF.-m=O,故F_LIA

•.*EFd平面ABC,故EF//平面ABC

⑵解：CC=(2A0)CD=(0,l,-2)EB=(l,2,0)

设平面CC1D的法向量为i=(x,y2),则

・0

。加■其-4・。

因此，直线BB与平面CQ读角酶"福节

⑶解：AC=(2,0,2)A1D=(0』,0)4

设平面A8的法向量为“

Ex2,y2,z2),则取X2=L可得卜被,加

［小平・外・0

V<l,0,-l),则皿<;»前一吊厂噜

Vio

因此，平面ACD与平面CQD夹角的余弦值为记

2(2021-天津)如图，在棱长为2的正方体ABCDABC】D中，E为棱BC的中点，F为梅D的

中点.

⑴求证：DFI/平面AEC;

(I)求直线AC与平面AEC所成角的正弦值.

(HI)求二面角A-AG-E的正弦值.

61

【答案】⑴见解析：(II)丁；(II)3

【详解】(I)以A为原点，ABADA4分别为附谢，建立如图空间直角坐标系,

WjA(0,0,0)A(0,0,2)B(2,0,0)C(2,2,0)D(0,2,0)C1(2,2,2)DX(0,2,2)

因为E为极BC的中点.F为棱CD的中点，所以E(2,l,0)F(1,2,0)

所以DiF=(1,0,-2)AC=(2,2.0)AE=(2,1,-2)

设平面AEG的一个法向量为m《xiyz)

则|二.彩.为一入一4.。令x=2,贝Um=(2,・2,l)

因为DF-m=2-2=0,所以F_Lm,

因为DFC平面AEG,所以DFP平面AEG:

(II)由⑴得，AC】=(2,2,2)

设直线ACi与平面AEC所成角为。，

贝产4两扁扁d

(HI)由正方体的特征可得，平面AACi的一个法向量为DBNZ20)

155mt242

丽时•丁

则

所以二面角A-AGi-E的正弦/a'伊".G

y

E

3.(2020•天津)如图，在三楂柱ABC-ABCi中，①-平面点

DE分别在棱AA和棱CG上，且AD=1CENM为棱AB的中点.

(I)求证：CM1BD

(II)求二面角LB】&D的正弦值；

(HI)求直线⑱与平面DB|E所成角的正弦值.

国.

【答案】⑴见解析；(H)丁；(III)~

【详解】依题意，以C为原点，分另ij以CA、C、G的方向为x轴、v轴、2轴的正方向建立空间直角

坐标系(如图),

可得C(O,O,O)、A(2,0,0)B(0,2,0)>可(0,0,3)

A,(2,0,3)、Bt(0,2,3)D(2,0,1)E(0,0,2)M(1,1,3)

⑴依题意,CM^(1,1,0).BiD=(2,-2,-2)

从而GM・BD=2・2+0=0,所以CMIBD

(H)依题意，A<2,0,0)是平面BE的一个法向量,

EBi=(0,2J)ED=(2,0,-l)

设问科2）为平面DBE的法向量,

则1；・毋,七・[&-”9

不妨设x=i,可得n-（1,-1,2）

K•CA、・2#

a即F•7

回

所以，二面角B~BiE-D的正弦值为=.

（山）依题意，AB=（-2,2,0）

155-46

于产X

由（ii）知利,・12）为平面DB的一个法向量,局耳•汨rnr

所%直娜与平面DB|E所成角的正弦值斤

4.（2022•天津和平•一模）平行四边形ABCD所在的平面与直角梯形ABEF所在的平面垂直，BE||AF,

•■方ABJAF./B,土,BC=^2,P

2，-且4为DF的中点

⑴求证：ACI印

⑵求点P到平面BCE的距离;

Vio

⑶若直线EF上存在点H,使得直线CF,BH所成角的余弦值为丁，利侬H与平面加财的大小.

立«

【答案】（i）见解析；②.2：（3）a

[W1(l)VAAB^,AB=UQ=%*2

・•・由余弦定理得，AC2=AB^BG-2ABBC<osZCBA=l,

・MG+AgBC2./.ABJ-AC.

;平面ABCD_L平面ABEF；平面ABCD\平面ABEF=AB,...AC_L平面ABEF,

TER平面ABEF,，ACJ_EF.

⑵以A为原点，ABUAFAC所在直线为2轴建立空间宜角坐标系A-xyz.

^(UO.OXC(OAlX^-I.OJ).f0AO),F(O.XO)./^.li,1)

.BC=(-l,0,D,BE=(0,l,0)

设平面BCE的法向量为二（x，yz

则"碇・0,.…，取RKU),

a当

・•・点园平面BCEO巨离

(3)EF=(-1,1,0)CF=(0,2,-1)AD=(-1,0,1),AF=(0,2,0)

设点H坐标(x，y，z)JEH=(x-l,y-l,z)

VE>H、FH点共线，：EHSEF.

AH(1-A,1+2,0)BH=(・A/+2,0)

叵

H丽F•跚•曲悬厂

X:­

解得2

设平面ADF的法向量为m=(X2,y2,z2)

・!D・oJ%・。

{gglf♦为■©令X2=1,则m=(L°,D

设直线BH与平面ADF成的角为0,

i翩•会小

«

・,・直线BH与平面ADF成的角为Z.

5.(2022•天津•模拟预测)如图，在三棱柱ABCNB。中，四边形施形，且

AA=2AC=2,平面AABB呼面ACGAAB=AB=42

⑴证明：AB1平面B4G

⑵求点B到直线AG的距离.

屈

⑶线段AB上是否存在一点D,使得平面DAC与平面ACQA的夹角余弦值为工厂？若存在，求出

坐

【详解】⑴由四边形ACCA嘛形，则4GLA4,

又面AABBi面ACCA,面AA,BiBN面ACCA=AAAGc面

ACC】A,:AC+面AABiB,又ABC面AABB,则AC11AB,

.AA2=AB2+AB2

.AB±AB,ffi]ABnAC=A,

:AB1面BAC

⑵由⑴及线面垂直的性质知：△B，C、ZW均为直角三角形，

AA=2AC=2,AB=AB=42

BC=7AB2+AC2=©,ACI=«AB2+BC2=«5

.A

若B到直线AC的距离为d,则AB-BC1N-AC,可得丁—

⑶如下图，若0是A4中点，可构建以0为原点，平行于AC的0为x轴正方向，0A诙轴防向,

丽为z轴正方向，

.A(O,-1,O)G(1,1,0)

而AD_1___

面DAG与平面ACQA的夹角余弦值为R时DB*w>o).piij

她砺巾2,0>石・仙岩•告.知斑2)题DAG的一悔向避汕

om

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ACt-j«

产二若"击"0,31,则『FTI*)

又0网),0,1)是面ACCA的的一个法向量,

|cw<SS.m>H

可得T"T,WJx=3

6.(2022•天津河西•一模)如图所示，在三棱柱ABF-DCE中，侧面ABCD和ADEF都是边长为2的止

方形，平面ABCD_L平面ADEF,点G、M分别是线段AD、BF的中点.

⑴求证：AN®平面BEG;

⑵求直线DU与平面BEG所成角的正弦值；

(3)求平面BEG与平面ABCD夹角的余弦值.

2逃

【答案】⑴见解析；②鼻⑶后

【详解】(1)由四边形ADEF是正方形，则AFIAD,又面ABCDJ_面ADEF,面ABCDN面ADEF

=AD,AFc面ADEF,

所以AFJ_面ABCD,而ABC面ABCD,则AF1AB,XAB1AD,

所以AF、AB、AD两两垂直.

建立以A为原点，以如D4F的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系,

则A(0,0.0).B(2Q0).C(220),D(020).E(022),F(0.0,2),G(0/,0).M(1,0,1)

所以吃(-2,2,2),BG=(-2,1,0),

才•XE■♦21y♦力一0

设仁(x,y,2)为面BBG的法向量，则i"须・HZ。，乐，可得n《l,2D

薪(1,0,1),顺Ln=Of所决Mln,又AM女平面BEG,

所以AMI/平面BEG.

⑵山⑴知：DM』,21）且0-1,21）为面BEG的法向量,

5

因此卜川,万斗n百Z瑞H7lH1即直线DM与平面BEG所成隹的正弦值为z工

⑶由平面ABCD的一个法向量AF=（Q02）且i41,21）为而BEG的法向量，

i、I邛—

因比1网产1,即平面BEG与平面ABCD夹角的余弦值为6

7.（2022•天津经济技术开发区第一中学一模）菱形ABCD中，NABC=120°EA_L平面ABCD,

EA//FDfEA=AD=2FD=2,

⑴证明：直线FC〃平面EAB;

（2）求二面角E-FC-A的正弦值：

且

⑶线段EC上是否存在点M使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为=?若存在，求而n若不

存在，说明理由.

【答案】见解析

【详解】解：建立以D为原点，分别以玳询为BC中点讶的方向为X轴，Y轴，Z轴正方向

的空间宜角坐标系（如图），

则A(2,OAB(1'3,O),C(-1'3,O),

D(0,0,0)E(2,0,2)F(O,O,D

(1)证明：EA=(0,0,-2),AB=(-1,^3,0)

设n=(x,y2)为平面EAB的法向量，

局£・o

则1..石,0.即IT♦岛•。一

可律yJ3L0)

xFC=(-l,。3,-1),可渐・阳)，

又因为直线FC女平面EAB,所以直线FC平面EAB;

(2)EF=(-2,O,-1),FC=(-1,^3,-l),FA=(2,O,-D

设片(%y2)为平面EFC的法向量，

则长配叫J-x♦历一叫可得7二(-3,53,6),

设7本为平面FCA的法向量,

则1彳网・°..可得nz=(l,也2)

001(4・4),・立

所以1^11*114

・・・皿4闻・j-Z(4闻-乎

叵

所以二面箱EFC-A的正弦值为丁.

(3)设酢入EC=(-32,V3A,-2A),则M(2-3A,J3人,2-2人)

贝IJBD=(-1,H3,0).DM=(2-3A,、32,2-2Q

设7,加以2）为平面BDM的法向量,

彳即・0-x-V5>«o

彳叩乂"履

则-011(2_♦y.(2-24X-0

6T2VLi-6

可得I一

_2员2号)•亘

*T

由EB=(T,J3,-2),得

工」7也，

解得.I或(舍)，所以*'I

8(2022•天津南开•一模)如图，P,0分别是正四棱柱^阴QD上、下底面的中心，E是

的中点，AA=2AB=242

⑴求证：AE/平面PBC;

⑵求直线PA与平面PBC所成角的正弦值;

(3)求平面POC与平面PBC夹角的余弦值.

【答案】(1)见解析；®~:(3)~

【详解】(1)以点。为原点，直线OAQBQP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐

标系，则A(2,0,0)A(2,0,2)E(l,l,0)P(0,0,2)B(0,2,0)c(-2,0,0)

由上得AE=(-1,1,-2)BC=(-2,-2,0)PB=(0,2,-2)

*5?«0f-lr—

设立面PBC的法向量为=(x,y,z),则由1小可,。得12六七,伏

取FL得(-1,1,1),因为SEE)所以而JLi,

又AEc平面PBC,所以AE平面PBC

⑵由⑴知平面PBC的法向量为”=(-1,1,1)

所以皿叫•端

因为PA=(2,0,-2),id

所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为3

⑶显然，平面POC的法向量为m=(Ql,O)

由⑴知平面FBC的法向盟T二(-1,1,1)

…,晶吟邛

设平面POC与平面PBC的夹角为0,则

9.(2022•天津天津-二模)如图所示,在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，AD//BC,

AB±AD,AE1底面ABCDAE〃CF,AD=3,AB=BC=AE=2,CF=1.

⑴求证：BF/Z平MADE：

(2)求直线BE与直线DF所成角的余弦值;

(3)求点D到直线BF的距离.

I)

BC

B叵

【答案】(i)见解析；②=：⑶丁

【详解】(1):AEICF,AEC平面BFCCFC平面BFC,，AEII平面BCF,

•.•ADHBC,同理可得ADI平面BFC,

又：ADNAE=A,.平面ADEI平面BFC,

•「BFC平面BFC,・，・BF1平面ADE;

(2)以A为原点，AB、AD、AE分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则B(2,0,0),C(220)D(0,3,0)E(0,0,2)F(2,2,1)

川BE=(-2,0,2)DF=(2,.l,l)

'/m.画NiM6

在

・•・直线BE与直线DF所成角的余弦值为6.

⑶根据⑵可知:BF=(0,2,l)DF=(2,-l,l)

BFDF-1-1

同回.屈、［面

山河方卜尸啊可■需

问・立■.冈,舟标历VMS

工点D到直线BF的距离为:诉・飞・丁

10.(2022•天津南开•二模)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，ED_L平面ABCD,

BF_L平面ABCD,

(1)求证：AE//平面BCF

(2)若BF=1,求EF与平面ACE所成角的止弦值;

⑶若£尸_1_平BACF,求平面ACE与平面ACF夹角的余弦值.

更县

【答案】(1)见解析：@.T：(3)3

【详解】⑴因为底面ABCD为正方形，ED_L平面ABCD,故可建立如图所示的空间直角坐标系,

则D(0,0,0)A(lQ0)JE(0,02),C(0,lD)B(l,l,0),

期(1,1,1),则BfM),O,)BCW,O,O)

故二(TO,2),设平面BFC的法向量为n《xyz)

；而？・•.0

则匕切・•即3。取V，故”二(0,L0),故AE-FO,

而AEa平面BFC,故AE//平面BFC

⑵因为昨1,WC1.1),W=(1H),而AC二(T,1,0),

设三面AEC的法向量为m=(X2,y2,z2)

E,日・。卜斗士.

故,元■。即1Tl♦力”,4X2=1,则X?=y2=2,

伽(2,2,1),

则“小好讣去。

设EF与平面AB所成角为0

⑶由⑴可得F<lt-2),而

设平面ACF的法向量为三(x,Y,7),

2

则匕.IF■❶即（乜0产0,IX2=1,则2=丫2二-1,

因为EF_L平面AC,故EFUs,

故存在非零实数入，使得昨As即(11-2)=A(-1,-1,1),

(1—4/

故1-22,解得t=l,

正(T,-U),由(2)可律轲H就・不

昱

故ACE与平面ACF夹角的余弦值为3.

11.(2022•天津市蓟州区第一中学一模)如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直,

ZADE=90°,AF//DE,DE=DA=2AF=2,

⑴求证：AC//平面BEF:

⑵求二面角A-FD-B的正切值；

(3)求点D到平面BEF的距离.

E,

5

【答案】⑴见解析:2y等

【详解】⑴正方形ABCD中，令ACNBIX),取BE中点G,连接FGQG,如图,

OG'DE

0是AC,BD中点,则OG11DE,且2,i^AFl/DE,DE=2AF,

则有AFIIOG,且OG二AF,四边形AFGO是平行四边形，有FGIIOA,又FGC平面BEF,AOc平面

BEF,

所以A0//平面BEF,即AC/平面BEF.

DEC平面ADEF,因此有DEI平而ABCD,而AD1CD,即DAJDCDE两两垂直预噎源娉一致段专就置

以D为原点，射线DADCDE分别为轴非负半轴，建立空间直角坐标系，如图，

V

B

则有口(0,0,0),(3(0,2,0)凤220店(0,0,2)尸(2,0,1)巧=(2,0,1)]《=(220)

[■.BF・2«"-0

设立面BDF的法向量nF(&b,c)则令b=L得m4l,l,2),

而平面ADF的法向量DC=(0,2,0),显然二面角AH>B的大小为锐角，设为9,

CM0ToM卜相,&面"■庐蓊■孚

则有i?id.

所以二面角A-FM的正切值是V5

⑶设平面BEF的法向量n=(x,y,2),由(2)知，BE=(-2,-2,2)序『0,21)

，5E・-2X-2"2X・0

则旧・励・-2"*-o,令y=L得n=(l,l,2),又口。(0,0,2),

九申■空

所以点D到平而BEF的距离巡3

12.(2022•天津•一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD//BC,

AD=3,AB=BC=2,PA±平面ABCD,且PA=3,点M在棱PD上，点N为BC中点

(1)证明：若DM=2MP,直线MN//平面PAB：

⑵求二面角C-PDN的正弦值：r,ff,

⑶是否存在点M,使NM与平面PCD所成角的正弦值为二4NT八山而t；若不存在，说明理由.

#PM.I

【答案】(1)证明见解析：②，9：(3)存在，PO'3或a'

【详解】(1)

如I图所示，在线段AD上取点Q,使连接MQ,NQ,

DM=2MP

.：QMIIAP

又AD=3,AB=BC=2,

...AQIIBNFI边形ABNQ为平行四边形，

・：NQHAB

又NQNMQ二Q,ABNAP=A,

所以平面MNQP平面PAB,

YMNC平面MNQ,

JMN〃平面PAB;

⑵

如图所示，以点A为坐标原点，以AB为闿由，AD为\4由，AP为矫由建立空间直角坐标系,

则B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,3,0*(0。3),

又N是BC中点，则N(21,O)

所以PD=(0,3,-3)CD=(-21,0)DN=(2,-2,0)

设平面PCD的法向量7二&,y,z)

则宜属・_»为■©,令xi=l,则7=(1,2,2),

设平面PND的法向量D2=(XZy2,z2)

•彳*3乃-孙«0

则恸令--2力・。令国,则7内,1,1),

3(4.动・」“2丫~•■近

所以'/和mFTFTF9

用证

则二面角C-P)N的正弦值为YI919

也」把.1

(3)存在，PC:或而.

假设存在点M,设PD*,KPPM^APD,Xe[O,l]

由⑵得D(03O)R0,03)N(2JO),且平面PCD的法向量产(1,2.2),

K(JPD=(O,3,-3)PM=(O,3A,-3X)

则M(0,3A,3-32)

MN=(2,i-3A,32-3)

2.2(1]■立

炉M.F百.074心-3j°T

2・一

解得3或入=1,

也，丝

故存在点M,此时PO'5-标'

13.(2022♦天津・一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底而ABCD是直角梯形,

NABC=/BAD=9O°,AP1平面ABCD,AB=BC=2AP=2AD=2,点M、N分别为线段BC和PD的中

点

⑴求证：AN1平面PDM;

（2）求平面PDM与平面PDC夹角的正弦值；

2

⑶在线段PC（不包括端点）上是否存在一点E,使得直线BE与平面PDC所成角的正弦值为M若存在,

求出线身PE的长：若不存在，请说明理由

【答案】⑴见解析：（2、失⑶存在，JV-3

【详解】⑴方法「：AD0*2

且BM=AD,

・•・四边形ADMB是平行四边形，

:AB//DM,

:/BAD=90。,则AD1DM,

'：API平面ABCD,DMc平面ABCD、

/.APIDM,XADNAP=A,

:.DMI平面PAD,又ANC平面PAD,

/.DMLAN,

AP=AD,N是PD的中点

JPDLAN,又DMNPMXPD、DMC平面PDM,

・・・AN1平面PDM;

方法二：以.A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则A(0Q0),B(2Q0),c(220),D(0』,0),P(0。』),M(2,1.0),(喝)

WlJPD=(0,l,-l)DM=(2A0)"小岗

设平面PDM的法向留:为m=(x,y,z)

oPD-0

(____

则・1，取y=l,则z=l,x=0,则m=(0,l,l)

木f则ANm

；・AN1平面PDM;

(2)Pia),l,・l)MX2,l,0),设平面PDC的法向量为"(ahc)

(«-TO«0

则配・。，则卜3o取b=2,则a=l,c=2,则n4122),

由(D知平面PDM的一个法向量为m=(°，LD

设平面PDM与平面PDC的夹角为0,

i讣露•忌邛

则

3.

平面PDM与平面PDC夹角的正弦值为3.

⑶假设存在点E,设PE=2PC(0v/lv1)

BP=(-2,0,1),PC=(2,2,-1),PE=(2A,2X,-X)

BE=BP+PE=(212,22,1J)

设直线BE与平面PDC所成角为9,

由⑵知平面PDC的一个法向量为n=G12,2)

则事》＜明•鼾府—

化简得9xM(K+l=0,即(9X-1)(a-l)=O,

:O<X<1,%,故Q

PO(2,2,-1),则Pc|=3

产H同小彳

1

••・线段PE的长为

14.(2022•天津河东•一模)如图所示，直角梯形ABCD中，AD//BC,AD垂直AB,

AB=BO2ADN四边形EDCF为矩形，CFf/3,平面EDCF1平面ABCD.

⑴求证：DFI平面ABE;

(2)求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值;

(3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为■»栅哪

的长，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)见解析:,等;(3)傩m理由见解析

【详解】(1)取D为原点，DA所在直线为x轴，过点D且平行于直线AB的直线为V轴，

DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系,

/•

AjB

xT

则A0O0),B0,2,0),E(0,0N3),F(-L2J3)

，.BE=(-L2心)B=(020),

设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),

不妨邮电，y=0,则z4,

又DF《-12'3)

・・・DF・n=・Y3+d3=0

・：DFln.

又'.'DFa平面ABE,

「•DE//平面ABE

BE=(-l,-2N3)BF=(-2,0N3)

设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,z)

m«01.2,f6工,0

由1酢二I

不妨设22也则kV3,z=4,

.♦・1旧2心心4)

则'flllhl

一+”01“S

・麻卜⑹田的3*J6

.(同・卷.叵

'/而31

・・・平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值为31

⑶存在，理由如下，

设DXADF=M-12'3《A,2a^3a)ze[0,l]

则p(A2a例),所以二(-a-l,2a-2,#3a),

又平面ABE的一个法向量为n=(J3,0,l)

即宜线BP与平面ABE所成角为a,

«々-炉心-2y♦@j*24

则

修懈8X2-6X+1=0,角脚1・2J.7

当小时研十噬网—2

广；时,"+沁电则网-2

Wl=2即在线段DF上存在点P,使得宜线BP与平面ABE所成角的正弦值为4此时线段BP的

长为2

15.(2022•天津河东•一模)如图,四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为矩形，SAJL平面ABCD,E、F分别

为AD、SC的中点，EF与平面ABCD所成的角为45°.

(1)证明：EF_L平面SBC:

EF」BC

⑵若2求平面SCD和平面BSC的夹角的余弦值

7)

H

【答案】（1）见解析；（2）13

E卧D中点,ABCD是矩形,AE1BC,且八去袁^

MFIAE,且MF=AE,二四边形AEFM为平行四边形，AEFIAM,

VEF与底面所成角为45°,与底面ABCD所成角为45°,

:SA1平面ABCD5AC平面SAB,二平面SAB1平面ABCD,

：・AMC平面SAB,:ZMAB即为AM与底面ABCD所成角,即/MAB=45°,

.△SAB为等腰直角三角形，则ANLSB.

VSA1平面ABCDBCC平面ABCD,/.SAIBC,

又〈ABIBC,SANAB=A,BC_L平面SAB,BCLAM,

:BCNSB=B,AAM_L平面SBC,:EF_L平面SBC:

⑵以A为原点，AB、AD、AS分别为x、y、制建立空间直角坐标系;

若斯丁，设BC=2,则EF=1,

连接AC,取AC中点H,连接FH、EH,

:F、H分别为SC、AC的中点，故RWSA

:SA1平面ABCD,:FH_L平面ABCD,

:FH1HE,.：/FEH=45。

叽FHg,CD=AB=&S4=<5.

D0,2,0),Bd2,0,0),s0,oN2),C(220)

则5C=(V2,2,-V2),BC=(0,2,0,d>(-V5,o,o,SI>(0,2,-V2),

设平面BCS的法向量为Rg&bQ,

[“0

贝小.交

I■”■0.取a=c=l,^1=(1,o,l),

设平面SCD的法向量为m4x,y2),

x-0

尸，工，取方功,贝!，贝!

则则26Jy=1Jm=(0,1»2),

则平面SCD和平面BSC的夹角的余弦值为3

16(2022•天津•二模)如图，在三棱柱ABGABiQ中，4祝为等边三角形，过AC作平面ACDT

行于BC,交AB于点D

(1)求证：点D为AB的中点:

⑵若四边形BOGB是边长为2的正方形,且AD可鼾面ACD坪岫醐撇二腼滁

弦值.

【详解】⑴证明：连接AG设AC与AC#I交于点匕连接比则E为ACi中点,

.BG//平面ACD,BGC平面ABC,平面ACDn平面ABC=DE,

.DE//BC

D为AB的中点，

⑵因为AD4AA2=5"IX所以AAIAD,

又BiBIBC,B]B//AA,

所以4AIBC,又ADNBOB,

所以AA1平面ABC,

设BC的中点为0,BC的中点为01以0为原点，OB所在的直线为刈•札00所在的直线为唱由

OA所在的直线为2轴，建立空间直角坐标系&xyz

贝心1,0,0谭依力）《养手悭(120),G(-1,2,0)

即

设平面DAC的法向量为“Yxyz）

36a

产丁・°

・,引・q得与〃达.①广、令x=i,得11=（1,1「心）

由题可知，平面AGB的一个法向量为m可以为，01=001押2°）

所以,"/-力-i丽w-mF2=5P

下

所以，平面ACD与平面AB】C所成的锐二面角的余弦值为行

17.（2022•天津和平•二模）如图，在四棱件ABCDAB1QD中，底面四边形W谖形,

=60k.44」..小丁玲

FM2平面ABCD

⑴若点M是AD的中点，求证：01〃平面AB“

⑵求直线CiM与平面AD】D所成角的余弦值；

⑶棱BC上存在，点E使得"，求平面EAD与平面AD】D的夹角的正弦值.

Vio毡

【答案】（1）见解析：②，4（3]3

【详解】（1）

取BC的中点为N,连接GNNM

在菱形ABCD中，因为BN二NCAM=MD,则MNIIAB,

而MNC平面ABB】AABC平面ABBA,故MN/1平面ABBA

由四棱台阳0＞隔CD可得而空■"

故°离-故GB二双故四边形（3於为平行四边形，

故3NBB,而GNC平面ABB】A,BBC平面ABB】A,故CN平面

ABBA,因为C^NnMN=N,CNC平面CMN,MNC平面01MN,

故平面01MN#平面ABBA而CMC平面CMN,故CW平面ABB1A

⑵在平面ABCD中，过A作AD的垂线，与BC交于S,

因为AAI平面ABCDADC平面ABCD,故A4LAD,

同理AA1AS,故可©如图幅的空间直角坐标系，

故A（0,0,0）A（0,0」）,0（。2。）,0（3,1.0）

物1(0,1,0),BC=(0,2,0),所以氏CW,I。)

所以《都)产•传灯

而平面ADD1的一个法向量为

旧：1,0,0)设直线ClM与平面ADiD所

成曾着四者d

Vio

“COtQ.----

则，所以4

46例

(3)由同"一7讨也

AD】=（0,1,1）

设平面AEDi的法向量为mWXyz）

r._尸—0

«U£«0（£

则卜西・。■彳“疯・°取x=l,则y=・2,z=2

故m《l,22）,

结合⑵的平面ADDI的一个法向量为。

cos<m.H>--L.!

故1*33

设平面EAD与平面AD】D的夹角为6,则

迈

Mll/f■

3故平面EAD与平面AI)D的夹角的正弦

值为丁

18.（2022•天津・一模）如图，在四棱锥P-ABCD中,PA1平而ABCD,ACJ_AD,ABIBCZBCA=

60°AP=AIAAC=2E为CD的中点，M在AB上，且AM=2MB

(1)求证：EMI平面PAD:

(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；

(3)点F是线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF与AC所成角为45°，求AF的长.

叵

【答案】⑴见解析.：②‘35

【详解】由题意，建立如下图所示的空间直角坐标系，

40Aolc92.0).飘-李，⑼冬型02皿处g。。

nt3

贝西Tx)

所以ACJ_EM,又AC±AD,

所以EMI/AD,

又EMa平面PAD,ADC平面PAD,

所以EMII平面PAD.

设平面PBC的法向量为=(x,y2),

|pf^«o

可取，邛川

则有

由题意，平面PADI腭蝙颉制IF(O,LO),

设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为0,

献上---

则

邂'

所以平面PAD与平面PBC所成锐：面角的余弦值为亏".

⑶设F(xo,%20)FF=APD(0<^vl),

即优,XO,20-2)=X2,0,-

2),可得F(2L0,2・2入)，

所以EF=(22-1-1,2-22),AO(0,2,0),

|cm(77,lc>卜―I-

由题意存2上/2口一11♦(-『♦(2-24尸

4-1

解得2或1=1(舍)

所以F(l,0,l)

所加JH)尸+((H))2+(H))2二J2

19.(2022-天津河北一模)如图，在三棱柱ABC-ABC中，ACIBc,AOOBBE,ABIBB,

D为AB的中点，且CD1DA

⑴求证：喝1平面ABC;

⑵求直线DG与平面CDA所成角的正弦值：

⑶求平面CDA与平面CDA的夹角的余弦值.

吏叵

【答案】⑴见解析；②•3；⑶,

【详解】⑴：AC=B&D为AB的中点，：CDJ_AB

又CDID4ABnDA=D,ABC平面ABBAQAC平面

ABB1A,,CD±平面A幽ACDLBB1

又ABIBB,ABNCD=D,ABC平面ABC,CDc平面ABC,

.BBi_L平面ABC

⑵由⑴可知CCi■平面ABC.又ACIBC

以C为原点，CB,CG,CA所在直线分别为X轴，V轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则

C(0,0,0)B(2,0,0)A(0,0,2)C1(0,2,0)A(0,2,2)D(l,0,l)

DCt=(-1,2,-1)

设平面CDA的法向量为『（凡/）

8=（l,0,l）CAi=（0,2,2）

jjr♦z■0.

；•直.0即再.2二-0

不妨取x=l,得0=（1,1,-1）

设直线DC与平面口即成的角为A

0

:直线0cl与平面CDA所成角的正弦值为亍

(3)设平面CD4的法向量为

m<x,yz)CA=(0,0,2)DCi=(-

12-1)

e・冰•©f2z-0.

1二.^^・。即1T.2,-30

取y=l,得m=(2』,0)

设平面CD4与平面CDA的夹角为。,如图示，平面CDA与平面CDA1TJ夹角为锐角（或直角）,

后

平面CD4与平面CDA的夹角的余弦值为丁

20.（2022•天津和平•三模）如图，正四棱柱ABDABO中，且ABNDD&点E,F分别是

DRAD的中点.

⑴求直线CE与直线DZ）所成角的正切值；

⑵求平面DiBF与平面BCD1的夹角的余弦值；

⑶求点倒平面DB珅勺距离.

C

4

々叵历

【答案】⑴，＞：⑵=；(3)~

【详解】⑴

DC为y轴，DA为x轴，DD］为z轴,

各点坐标如下：A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),F(1,0,0),

A(2,0,4),Bi(2,2,4),Ci(0,2,4),Dx(0,0,4),E(1,1,2)

CEXI,-12)QDK(W),

■立

C£-D^-8^C£|■石•网・40a件.画■・3

通口项).当5件网

⑵设平面D,BF的个法向址庐《地©有，口7・01■-4c・0

令行4,则c=l,b=-2.n=(4,-2,1)

I2x-0

设平面BCD的,个法向量为m=(xy,2),则［E・d-2”43・0

令Z=L则x=0,y=2,m=(0,2,1)

/--\IHJWJi05

0M向,厢—百

Vios

即平面DBF与平面BCD1的夹角的余弦值为T.

⑶计算BA与平面D,BF的夹角：BA-M0,20N4,21>4

国n1%廨中万TH

.・A点到平面DB用勺距离的1H3卜蜉

a

综上，出与DiD所成角的正切为〒，平面D,BF与平面BCD1的夹角的余弦值为一丁,A点

4V5T

到平面DiBF的距离为21

21.(2022•天津河北•二模)如羽，四边形ABCD是边长为2的菱形，ZABC=60",四边形PACQ是矩形,

PA=1,且平面PACQ平面ABCD.

⑴求直线BP与平面PACQ所成角的正弦值;

⑵求平面BPQ与平面DPQ的夹角的大小：

(3)求点C到平而BPQ的距离.

BC

715.

【答案】⑴~;(2)60°;(3).~

【详解】⑴解：连接BD交AC于0,连接0P,

VNiWABCD^^,Z.BD1AC

•・•平面PACQI平面ABCD,平面PACQA平面ABCD=AC,BDC平面ABCD,

；,BD1平面PACQ,

.,・/BPO即为BP与平面ACQP所〃娩.

•・泗边形PAOQ为矩形，，PA吃

又平面PACQI平面ABCD,平面PACQG平面ABCD=AC,PAc平面PACQ,

，PA1平面ABCD,，PAIAB,二BP=7AB2+PA2=W+1=$,

34万

的APOB中,OBZ323・"飞・0

卮

故BP与平面ACQP所成角的正弦值为丁

⑵解：取PQ的中点M,连接BM、DM,

由⑴知，PAJ_平面ABCD,

・・•四边形ABCD是菱形，四边形PACQ财巨形，

/.BP=BQ,DP=DQ,

・：BMIPQ,DM_LPQ

.,・/BMD即为二面角用QD的平面角，

..八.匚3・g'君二T・2

在八RTN中aS▼x

由余弦定理知，2AWZXW2X2M22

.：/9MD=12O0

故二面角B4QD的大小为120。，则平面BPQ与平面DPQ的夹角为60°.

⑶解：设点C到平面BPQ的距离为d,

：3Brg=Vg-cg,

・・・dx2x2=、3xlx2,

五

故点C到平面BPQ的距离为2

22.（2022•天津南开•三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD^边长为4的正方形，aPAD是等

边三角形，CD_L平面PAD,E,EG,0分别是PC,PD,BC,AD的中点.

⑴求证：PO_L平面ABCD;

⑵求平面EFG与平面ABCD的夹角的大小;

⑶线段PA上是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为色,若存在，求线段PM的长；若不存

在，说明理由.

X

【答案】⑴见解析：②了⑶见解析

【详解】（1）证明：因为△PAD是正三角形，0是AD的中点，所以POLAD

又因为CD_L平面PAD,POC平面PAD,所以PCPCD

ADNCD=D,AD,CDC平面ABCD,所以PO1ffiABCD

⑵如图，以。点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

则0(0,0,0),A(2,0,0)B(2,4,0),C(-240)JD(-2,0,0),G(040)R0,02Y3)R-12'3)

F(・1,0N3)F=(0,-2,0)EG=(1,2,川3)

设平面EFG的法向量为m=(x,yZ

(ZFA-CHr-0

所以［囱・叫即川2,一丹・0

令z=i,则m《J3,0,l)

X平面ABCD的法向量”=(0,01),

ac.富.购"屋1Q

所以

所以平面EFG与平面ABCD所成角为3.

(3服役线段PA上存在削使用直级屿平面EFG麻妹为6,则直线GM与平面EFG法向量m所

<

成的夹角为5

典

设眸町砥0』川二22.0,-245加(2,02#-2#2)

所以GM=(2a,-4,2也(1-入))

所以3.4严,卜^777

整理得222-32+2=0,M

23.(2022-天津红桥一模)如图，正四棱柱ABDABCD,中，A42AB=4，融在8上1

GE=3EC.

⑴证明：AC平面BED;

⑵求异面直线B屿AC所成角的大小：

⑶求二面角A-DE-B的余弦值.

【答案】⑴见解析：(2)90°；(3＞的

【详解】⑴以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示空间直角坐标系Dxz

依题设，B(2,2,0)C(0,2,0)E(0,2,1)A(2,0,4)

DE=(0,2,l)DB=(2,2,0)

AC=(-2,2,-4)DA=(2,0,4)

因为4C.DB=0,AC.DE=0

故AC1BDAC1DE,又DBnDE=D,

所以AC一平面DBR

(2)E=(-2,0」),AC=(22,-4),

BEAC=XX2+yy2+zz2=0

则BE1AC,

所以异面直哪与AC所成角为90°:

(3)设向|女y,二)是平面DAE的法向量则工DE,IDA

故2y+z=0,2x+4z=0.

令尸1,则ZF-2,X=4,n=(4,1-2).

设二面角AQEB的平面角为0,由图可知，。为锐角,

24.(2022•天津•南开中学模拟预测)如图，四棱柱ABCD-AiBiGDi中，侧棱A1A1底面

ABCD,ABIDC,AB±AD,AD=CD=L

AAi=AB=2,E为棱AAi的中点.

(1)证明BiCiICE;

(2)求二面角Bi-CE-G的正弦值.

⑶设点M在线段CiE上，且直线AM与平面ADD】A1所成角的正弦值为6.，求线段AM的长.

【答案】(1)见解析：(2)呼⑶5

【详解】如图，以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得AS,O,OrBS,O,Zrca,OjrBS.