专题04二次函数压轴综合问题(原卷版+解析)【浙江专用】

决胜2020年中考数学压轴题全揭秘（浙江专用）

专题04二次函数压轴综合问题

【例1】（2019•杭州）

【考点1］二次函数有关计算与推理综合问题

［例1］（2019•杭州）设二次函数y=（x-Xl）（X-A-2）（XI，X2是实数）.

（1）甲求得当x=0时，y=0；当x=l时，尸0；乙求得当X另时，y=-i若甲求得的结果都正确，

你认为乙求得的结果正确吗？说明理由.

（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含幻，足的代数式表示）.

（3）已知二次函数的图象经过（0,加）和（1,〃）两点（也〃是实数），当OVMVX2Vl时，求证：0

/）1

、tnn<-^7.

【例2】（2019•湖州）已知抛物线y=2?-4x+c与x轴有两个不同的交点.

（1）求c的取值范围；

（2）若抛物线y=2/-4x+c经过点A（2,〃?）和点B（3,〃），试比较加与〃的大小，并说明理由.

【例3】（2019•台州）已知函数），=f+bx+c（%,c为常数）的图象经过点（-2,4）.

（1）求〃，c满足的关系式：

（2）设该函数图象的顶点坐标是（〃?，〃），当〃的值变化时，求〃关于〃，的函数解析式;

（3）若该函数的图象不经过笫三象限，当-5WxWl时，函数的最大值与最小值之差为16,求〃的值.

【考点2】二次函数与几何图形交点综合问题

【例4】（2019•金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形OA8C的边长为4,边04,0C分别在x轴，y

轴的正半轴上，把正方形QA8C的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点.点尸为抛物线y=

-（x-m）2+m+2的顶点.

（1）当/〃=0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数.

（2）当〃?=3时，求该抛物线上的好点坐标.

（3）若点P在正方形QABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求〃?的取值范围.

【考点3】二次函数与距离综合问题

【例5】（2019•宁波）如图，已知二次函数,v=f+at+3的图象经过点P（-2,3）.

（1）求。的值和图象的顶点坐标.

（2）点Q（小，〃）在该二次函数图象上.

①当m=2时，求〃的值;

②若点。到），轴的距离小于2,请根据图象直接写出〃的取值范围.

【考点4】二次函数与几何变换综合问题

【例6】（2019•温州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数产-k+您+6的图象交x轴于点A,B（点A

在点4的左侧）

（1）求点4,8的坐标，并根据该函数图象写出），20时x的取值范围.

（2）把点8向上平移/〃个单位得点小.若点以向左平移〃个单位，将与该二次函数图象上的点及重

合：若点81向左平移（〃+6）个单位，将与该二次函数图象上的点质重合.已知〃?>0,〃>0,求〃?，〃

的值.

【考点5】二次函数与实际应用综合问题

【例7】（2019•嘉兴）某农作物的牛.长率〃与温度/（C）有如下关系：如图I,当10W/W25时可近似用函

数〃=命一之刻画；当25於37时可近似用函数〃=一焉（//力2+0.4刻画.

（1）求〃的值.

（2）按照经验，该作物提前上市的天数加（天）马生长率〃满足函数关系：

生长率〃0.20.250.30.35

提前上市的天数〃7（天）051()15

①请运用已学的知识，求，〃关于〃的函数表达式；

②请用含f的代数式表示〃?.

（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度.在（2）的条件下，原计划大棚恒温20C时，每天的

成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增

加600元.因此给大棚继续加温，加温后每天成本卬（元）与大棚温度/（℃）之间的关系如图2.问提

前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）.

【例8】（2019•衢州）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间.经

市场调查表明，该馆每间标准房的价格在170〜240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房

同数y（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表：

%（元）…190200210220…

y（间）65605550…

（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象.

（2）求），关于％的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.

（3）设客房的日营业额为卬［元）.若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日

营业额最大？最大为多少元？

【例9】（2019•舟山）某农作物的生长率〃与温度/（℃）有如下关系：如图，当10WW25时可近似用函

数片却一刻画：当25W/W37时可近似用函数p=一点（t-h）2+0.4刻画.

OUO10V/

（1）求/?的值.

（2）按照经验，该作物提前上市的天数，〃（天）与生长率〃之间满足已学过的函数关系，部分数据如下:

生长率〃0.20.250.30.35

提前上市的天数〃？（天）051015

求：①勿关于〃的函数表达式；

②用含/的代数式表示加.

③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度.大棚恒温20℃时每天的成本为100元，计划该作物30

天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元.因此决定给大棚

继续加温,但加温导致成本增加，估测加温到20W/W25时的成本为200元/天，但若欲加温到25V/W37,

由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天.问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由.（注：

农作物上市售出后大棚暂停使用）

【例10】（2019•湖州）如图1,已知在平面直角坐标系xQv中，四边形OA8C是矩形，点A.C分别在x

轴和y轴的正半轴上，连结人C,。4=3,tan/OAC=§,。是8C的中点.

（1）求。。的长和点。的坐标；

（2）如图2,M是线段OC上的点，OM=^OC,点。是线段OM上的一个动点，经过P,D,4三点的

弛物线交x轴的正半轴广点E,连结QE交/W广点F.

①将△。打尸沿。石所在的直线翻折，若点4恰好落在AC上，求此时8"的长和点E的坐标；

②以线段。“为边，在。尸所在直线的右.上方作等边△OFG,当动点户从点O运动到点初时，点G也

随之运动，请直接写出点G运动路径的长.

压轴精练

一.解答题（共20小题）

1.（2020•下城区模拟）已知点A（1,1）为函数），=o?+云+4（a,〃为常数，且。W0）上一点.

（1）用a的代数式表示b；

（2）若IWaW2,求一上的范围；

（3）在（2）的条件下，设当1W%W2时,函数产。/+力工+上的最大值为〃?，最小值为〃,求〃?-〃（用

。的代数式表示）.

2.（2020•拱墅区校级一模）已知一次函数,，i=2r+〃的图象与二次函数（/+云+1）（aWO,a、b为常

数）的图象交于A、8两点，且A的坐标为（（），1）.

（1）求出。、。的值，并写出yi,”的表达式；

（2）验证点5的坐标为（1,3）,并写出当.VI、”时，x的取值范围；

（3）设〃=>1+）吆，V=>'1-J2,若时，〃随着X的增大而增大，且V也随着A的增大而增大，求

m的最小值和n的最大值.

3.（2020•温州模拟）已知，如图，抛物线），=-/+云+。经过直线），=-x+3与坐标轴的两个交点A,B.此

他物线与x轴的另一个交点为C.抛物线的顶点为D.

（1）求此抛物线的解析式.

（2）若点M为抛物线上一动点，是否存在点使AACM与△ABC•的面积相等？若存在，求点M的

坐标；若不存在，请说明理由.

4.（2020•上城区模拟）已知函数），=-』+hx+c（具中।c是常数）

（1）四位同学在研究此函数时，甲发现当x=0时，），=5：乙发现函数的最大值为9：丙发现函数图象的

对称轴是直线x=2；丁发现4是方程-』+bx+c=0的一个根.已知这四位同学中只有一位发现的结论是

错误的，请直接写出错误的那个人是谁，并求出此函数表达式；

（2）在（1）的条件下，函数y=-f+^i+c的图象顶点为A,与x轴正半轴交点为8,与｝，轴的交点为

C,若将该图象向下平移〃?（加>0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△A8C的内部（不

包括△ABC的边界），求〃?的取值范围；

（3）若c=序,当-2<xW0时，函数y=-x^+hx+c的最大值为5,求b的值.

5.（2020♦衢州模拟）金松科技生态农业养殖有限公司种植和销售一种绿色羊肚菌，已知该羊肚菌的成本是

12元/千克，规定销售价格不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天该羊肚菌的销售

量），（千克）与销售价格x（元/千克）的函数关系如下图所示：

（1）求），与x之间的函数解析式；

（2）求这•天销售羊肚菌获得的利润W的最大值；

（3）若该公司按每俏售一千克提取1元用于捐资助学，且保证每天的销售利润不低于3600元，向该羊

汁菌销售价格该如何确定.

6.（2020•萧山区一模）如图，二次函数y=ad-3at+c的图象与x轴交于点4、B,与〉，轴交于点。直线1y

=・x+4经过点B、C.

（1）求抛物线的表达式;

（2）过点人的直线交抛物线下点M,交直线BC于点N.

①点N位于x轴上方时，是否存在这样的点使得AM：NM=5：3?若存在，求出点M的坐标；若

不存在，请说明理由.

②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角NAN8等于/AC8的2倍时，请求出点M的横坐标.

7.（2020•金华模拟）如图1,抛物线户=一%2-$二・/+2与工轴交于点4,8（点4在点8的左侧），过y

轴上的点C（0,4）,直线”=辰+3交x轴，y轴于点M、N,且。N=OC

（1）求出/与火的值.

（2）抛物线的对称轴交x轴于点。，在x轴上方的对称轴上找一点E,使△8OE与△AOC相似，求出

DE的长.

（3）如图2,过抛物线上动点G作GHA.X轴于点H,交直线”=日+3于点Q,若点Q，是点Q关于直线

MG的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点。落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐

标；若不存在，请说明理由.

8.（2020•余杭区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线产-%+2分别交”轴、），轴于点八、B.点C的

坐标是（7，0）,抛物线），=/+法・2经过A、C两点且交y轴于点。.点尸为x轴上一点，过点尸

作x轴的垂线交直线43于点M,交抛物线于点。，连结OQ,设点。的横坐标为〃？

（1）求点A的坐标.

（2）求抛物线的表达式.

（3）当以8、。、Q,M为顶点的四边形是平行四边形时，求用的值.

9.（2020•拱墅区校级模拟）在平面直角坐标系％Oy中,抛物线y=/nJ・・3（mW0）与y轴交于点A,

其对称轴与x轴交于点B顶点为C点.

（1）求点A和点4的坐标；

（2）若NACB=45°,求此抛物线的表达式；

（3）在（2）的条件下，垂直于），轴的直线/与抛物线交于点P（xi,户）和QGz”），与直线交

于点N（X3,53）,若X3〈X|VJ2，结合函数的图象，直接写出XI+X2+X3的取值范围.

环

5-

4-

3

2

1-

11111111111,

-5-4-3-2-1012345X

-1-

-2-

-3-

-4

-5

10.（2020•下陆区模拟）如图，在矩形0ABe中，点。为原点，点A的坐标为（0,8）,点C的坐标为（6,

0）.抛物线产一32+/状+。经过点人、C,与A8交于点O.

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）点P为线段BC上一个动点（不与点。重合），点Q为线段AC上一个动点，A（）=CP,连接P。,

设CP=m,△CPQ的面积为S.

①求S关于〃，的函数表达式；

②当S最大时，在抛物线）=-$2+饭+c的对称轴/上，若存在点F,使△OFQ为直角三角形，请直接

写出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

II.（2020•浙江自主招生）如图，函数），=|三（2/-工-6）|对应的曲线依次交.（轴正、负半轴于4、R两点、.

（1）求出直线＞,=点与该曲线所有交点的坐标；

（2）过点A作两条相互垂直的直线分别交该曲线于C、。两点，且C落在A点右侧，。点落在4、B之

同，若AD=AC,求△AOC的面积SMDC.

12.（2020•杭州模拟）已知：关于上的方程漏・3（w-1）x+2m-3=0.

（1）求证：〃，取任何实数量，方程总有实数根：

（2）若二次函数yi-3（m-\）x+2m-3的图象关于y轴对称；

①求二次函数），1的解析式；

②己知一次函数*=2x-2,证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值户

。口均成立；

⑶在（2）条件下，若二次函数*=/+法+。的图象经过点（-5,0）,且在实数范围内，对于工的同

一个值，这三个函数所对应的函数值yi2y32V2均成立，求二次函数y3=ad+以+c的解析式.

13.（2019•杭州模拟）已知二次函数丁=4入2・4〃x+3+A（4工0）.

（1）求出二次函数图象的对称轴：

（2）若该二次函数的图象经过点（1,3）,且整数“，〃满足4Va+族|V9,求二次函数的表达式；

（3）对于该二次函数图象上的两点A（XI,y]）＞B（X2,＞2）,设当.门25时，均有yiW”，

请结合图象，直接写出f的取值范围.

14.（2020•金华模拟）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国

家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元,

平均每天就能多售出4台.

（1）若这种冰箱的售价降低50元，每天的利润是元；

（2）商场要想在这种冰箱俏售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到更多的实惠，每台冰箱应降价

多少元？

（3）每台冰箱降价多少元时利润最高，并求出最高利润.

15.（2019•鹿城区校级一模）如图，抛物线丁=«?+纭（«<0）与x轴交于点。（0,0）和点4（8,0）,对

称轴分别交抛物线和x轴于点8和点C,以OA为底边向上作等腰RtAOAD.

（1）CD=：h=（用含〃的代数式表示）；

（2）如图I,当。=一磊时，连接求笑空的值；

1USACDA

（3）点〃是抛物线08段上任意一点，连接。。和0P,延长。尸交对称轴于点E,如图2,若A,。，P

三点在一条直线上，当3s乙/，。后时，求a的值.

16.（2019•婺城区模拟）如图所示，在平面直角坐标系g中，抛物线%=/一2%+1与直线），=%相交

于点4,A2,将抛物线N向右平移后得抛物线>2,”与直线），=%交于点A2,A3,再将抛物线”继续

向右平移得抛物线），3,*与直线），=%交于点A3,4……依比类推，请回答以下问题：

（1）求点4,点A2的坐标.

（2）求抛物线”的解析式.

（3）求4/U+i的长（用含〃的代数式表示）.

17.（2U2U•金华模拟）如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A（-2,U）,点8（0,2）,点。为

中点，点。与点。关于y轴对称.

（1）点。的坐标为

（2）连结4C,求NCB/1的正切值;

⑶抛物线产一集2+以+卷的对称轴为直线4等，在抛物线上是否存在点£（£、A不重合），使4

若不存在，请说明理由.

18.（2020•天台县模拟）如图1,抛物线〉以+c过点A（4,-1）,8（0,-号），点C为直线48下

方抛物线上一动点，M为抛物线顶点，抛物线对称轴与直线AB交于点M

（1）求抛物线的表达式与顶点M的坐标;

（2）在直线A8上是否存在点。，使得以C,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出

D点坐标;

求点。的坐标；若不存在，请说明理由.

19.（202（）•龙岗区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O,A点坐标为（-4,0）,B点坐

标为（1,0）,以A3的中点。为圆心，A3为直径作与〉，轴的负半轴交于点C.

（1）求经过月、B、。三点的抛物线对应的函数表达式；

（2）设M为（1）中抛物线的顶点，试说明直线与。户的位置关系，并证明你的结论；

（3）在第二象限中是否存在的一点Q，使得以A,O,。为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，请求

出所有满足的。点坐标；若不存在，请说明理由.

20.（2020•玉林一模）如图，RtAAOB中，ZA=90°,以。为坐标原点建立直角坐标系，使点A在x轴

正半轴上，0A=2,A8=8,点C为A8边的中点，抛物线的顶点是原点。，且经过C点.

（1）填空：直线。。的解析式为；抛物线的解析式为；

（2）现将该抛物线沿着线段。C移动，使其顶点M始终在线段0C上（包括端点。、C）,抛物线与），

轴的交点为。，与AB边的交点为石；

①是否存在这样的点。，使四边形BDOC为平行四边形？如存在，求出此时抛物线的解析式;如不存在，

说明理由；

②设△80E的面积为S,求S的取值范围.

决胜2020年中考数学压轴题全揭秘（浙江专用）

专题04二次函数压轴综合问题

【例1】（2019•杭州）

【例2】（2019•湖州）

【考点1］二次函数有关计算与推理综合问题，

【例3】（2019•台州）

【考点2】二次函数与几何图形交点综合问题〉【例药（2019•金华）

【考点3】二次函数与距离综合问题卜【例”（2019•宁波）

二次函数压轴

【例6】（2019•温州）

综合问题【考点4】二次函数与几何变换综合问题0--------------------------------

【例7】（2019•嘉兴）

【例8】（2019•衢州）

【考点5】二次函数与实际应用综合问题

【例9】（2019•舟山）

【例10】（2019•湖州）

【考点6】二次函数与几何综合问题”

典例剖析

【考点1］二次函数有关计算与推理综合问题

［例1］（2019•杭州）设二次函数尸（x-xi）（x-x2）Cn,J是实数）.

（1）甲求得当x=0时，y=0；当x=l时，y=0；乙求得当尸之时，y=若甲求得的结果都正确，

你认为乙求得的结果正确吗？说明理由.

（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含加，X2的代数式表示）.

（3）已知二次函数的图象经过（（），/〃）和（1,〃）两点（切，〃是实数），当OVxiVrVl时，求证：0

,71

【分析】（1）将（0,0）,（L0）代入y=（x-XI）（X-X2）求出函数解析式即可求解；

（2）对称轴为x=2拄，当工=2拦时，）=一吗更是函数的最小值；

LL-4

（3）将已知两点代入求出〃?=X［X2，〃=1・XI-X2+XLV2,再表示出〃?〃=［一（与-1）2+-1）2+/］，

由已知0<Xl<X2V1,可求出0V—（%1—2）2+J£J,0V—（%2—£）2+4WJ，即可求解.

41**乙

【解析】(1)当x=()时，j=0；当x=l时，y=0；

・••二次函数经过点(0,0),(1,0),

/.XI=0,X2=1>

；・>"X(X-1)=/-X,

当时'y=

・•・乙说的不对；

(2)对称轴为x=乞罗，

当x=2拦时，>,=一吗过是函数的最小值；

Z4

(3)二次函数的图象经过(0,m)和(1,，力两点,

m=x\x2,n=I-xi-X2+X1X2,

2

：.nm=[-(xr-1)+1][-(x2-个2+：]

V0<JCI<X2<1,

111111

•二0<_(/_a?+434，0<一(小一a)?+4W4，

・•・〃?与〃不能同时取到二,

4

V白.

点评：本题考查二次函数的性质；函数最值的求法；熟练掌握二次函数的性质，能够将/〃〃准确的用

和X2表示出来是解题的关键.

[ft2](2019•湖州)已知抛物线)，=2?-4.什°与1轴有两个不同的交点.

(1)求c的取值范围；

(2)若抛物线y=2p-4x+c经过点A(2,〃?)和点8(3,〃)，试比较加与〃的大小，并说明理由.

【分析】(1)由二次函数与大轴交点情况，可知△>()；

(2)求出抛物线对称轴为直线x=l,由于A(2,/»)和点“(3,〃)都在对称轴的右侧，即可求解;

【解析】(1)•・•抛物线)，=2?-4x+c与x轴有两个不同的交点，

•••△=庐-4"=16-8c>0,

••・cV2；

(2)抛物线)，=2/4x+c的对称轴为直线x=I

（2,m）和点8（3,〃）都在对•称轴的右侧，

当时，y随x的增大而增大，

点评：本题考查二次函数图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴，函数图象的增减性是解题的关键.

【例3】（2019♦台州）已知函数y=f+以+c（〃，c为常数）的图象经过点（-2,4）.

（1）求4c满足的关系式；

（2）设该函数图象的顶点坐标是（〃?，〃），当〃的值变化时.求〃关于根的函数解析式；

（3）若该函数的图象不经过笫三象限，当-5W/WI时，函数的最大值与最小值之差为16,求〃的值.

【分析】（1）将点（-2,4）代入y=/+Z?x+c,c=2b；

A4「一

（2）in=一々，/?=-—,得n=2b-〃广：

（3）y=^+bx+2b=（X+%2_《+2A当bWO时，cWO,函数不经过第三象限，则c=0；此时>=/,

最大值与最小值之差为25；当">0时，c>0,函数不经过第三象限，则△W（）,得04W8,当-50

W1时，函数有最小值—*+2b,当-5W—2V—2时，函数有最大值1+34当-2V—,W1时，函数

有最大值25-3b；

h2

当最大值1+3〃时，1+3/?+^--2/?=16,8=6；当最大值25-3/?时，b=2：

【解析】（1）将点（-2,4）代入y=/+/?x+c,

得-28+c=0,

bb2

4C一

2-4

8b-b2

~4~

n=2h-〃?=-4/n-〃?；

qhh

（3）y=x~+bx+2b=（x+之）--彳+28,

对称轴工二一号，

4

当〃W0时，cWO,函数不经过第三象限，则。=0：

此时当-50W1时，函数最小值是0,最大值是25,

・••最大值与最小值之差为25；（舍去）

当〃>0时，c>（）,函数不经过第三象限，则△W（），

・・・0V力W8,

.・.-4Wx=-1<0,

当・5WxWl时，函数有最小值一全+2儿

当-54一?〈一2时，函数有最大值1+34

当-2V-,《I时，函数有最大值25-33；

函数的最大值与最小值之差为16,

,2

当最大值1+3〃时，1+3/?+—28=16,

:.b=6或b=-10,

•••4V6W10,

:・b=6；

.2

当最大值25-3方时，25-3〃+^；-2b=16,

・・・b=2或b=18,

•；2W庆4,

:.b=2；

综上所述2=2或人=6；

点评：本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象，数形结合解题是关键.

【考点2】二次函数与几何图形交点综合问题

【例4】（2019•金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形OA8c的边长为4,边OA,OC分别在x轴，y

轴的正半轴上，把正方形。ABC的内部及边上，横、纵坐标沟为整数的点称为好点.点尸为抛物线），=

-（x-m）2+m+2的顶点.

（1）当〃7=0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数.

（2）当〃?=3时，求该抛物线上的好点坐标.

（3）若点。在正方形O44C内部，该抛物线卜方（包括边界）恰好存在8个好点，求〃?的取值范围.

【分析】(1)如图I中，当6=0时，二次函数的表达式)，=-，+2,画出函数图象，利用图象法解决问

题即可.

(2)如图2中，当机=3时，二次函数解析式为y=・(X・3)2+5,如图2,结合图象即可解决问题.

(3)如图3中，•・•抛物线的顶点。(所，〃?+2),推出抛物线的顶点。在直线)，=仃2上，由点。在正方

形内部，则0V〃?V2,如图3中，E(2,1),F(2,2),观察图象可知，当点夕在正方形。48C内部,

该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点时，抛物线与线段有交点(点〃除外)，求出抛物线经

过点E或点尸时机的值，即可判断.

【解析】(1)如图1中，当,〃=0时，二次函数的表达式-『+2,函数图象如图I所示.

,当x=0时，y=2,当x=l时，y=I,

，抛物线经过点(0,2)和(1,1),

观察图象可知：好点有：(0，0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),共5个.

(2)如图2中，当机=3时，二次函数解析式为y=-(x-3)2+5.如图2.

•・•当x=l时，)，=1,当x=2时，y=4,当％=4时，)，=4,

，抛物线经过（1,1）,（2,4）,（4,4）,

根据图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为（1,1）,（2,4）,（4,4）.

（3）如图3中，•・•抛物线的顶点。（相，〃汁2）,

・•・抛物线的顶点P在直线），=X+2上，

•・•点P在正方形内部，则0VaV2,

如图3中，E（2,I）,F（2,2）,观察图象可知，当点尸在正方形048c内部，该抛物线下方（包括边

界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段E/有交点（点尸除外），

当抛物线经过点石时，-（2-〃?）2+机+2=1,

解得〃?=与旦或过卢（舍弃），

当抛物线经过点尸时，-（2-加）2+m+2=2,

解得机=1或4（舍弃），

・•・当二^<m<\时，顶点P在正方形0ABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点.

点评：本题属于二次函数综合题，考查了正方形的性质，二次函数的性质，好点的定义等知识，解题的

关键是理解题意，学会正确画出图象，利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决问题，属于中考压轴

题.

【考点3】二次函数与距离综合问题

【例5】（2019•宁波）如图，已知二次函数y=f+af+3的图象经过点P（-2,3）.

（1）求。的值和图象的顶点坐标.

（2）点。（用，〃）在该二次函数图象上.

①当m=2时，求〃的值；

②若点。到F轴的距离小于2,请根据图象直接写出〃的取值范围.

K

x

【分析】（1）把点P（-2,3）代入y=f+ar+3中，即可求出。：

（2）①把机=2代入解析式即可求〃的值；

②由点。到丁轴的距离小于2,可得-2V/"V2,在此范围内求〃即可；

【解析】（1）把点P（-2,3）代入y=7+〃x+3中，

4=2,

.•.y=/+2x+3,

・•・顶点坐标为（-1，2）：

（2）①当加=2时，

②点。到y轴的距离小于2,

<2,

二-2</n<2,

••・2W〃V11；

点评：本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键.

【考点4】二次函数与几何变换综合问题

【例6】（2019•温州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数产一营2+2X+6的图象交x轴于点A,B（点A

在点8的左侧）

（1）求点A,B的坐标，并根据该函数图象写出>20时工的取值范围.

（2）把点6向上平移〃?个单位得点囱.若点坳向左平移〃个单位，将与该一次函数图象上的点的重

合；若点81向左平移（〃+6）个单位，将与该二次函数图象上的点历重合.已知机>0,〃>0,求〃?，〃

的值.

【分析】（1）把y=0代入二次函数的解析式中，求得一元二次方程的解便可得A、8两点的坐标，再根

据函数图象不在A-轴下方的x的取值范围得>20时x的取值范围；

（2）根据题意写出历，&的坐标，再由对称轴方程列出〃的方程，求得〃，进而求得”的值.

【解析】（1）令y=0,则一+2%+6=0,

解得，.口=-2,m=6,

・・・A（-2,0）,B（6,0）,

由函数图象得，当田0时，-20W6；

（2）由题意得，B\（6,m）,Bi（6-zbin）,83（-n,机），

函数图象的对称轴为直线x=专^=2,

•・•点比，/在二次函数图象上且纵坐标相同，

.6一九+（一九）_

••—乙,

2

〃=1,

17

vn=-x（—I）?+2x（—1）+6=5，

7

二〃?，〃的值分别为1.

点评：本题主要考查了二次函数的图象与性质，求函数与坐标轴的交点坐标，由函数图象求出不等式的

解集，平移的性质，难度不大，关键是正确运用函数的性质解题.

【考点5】二次函数与实际应用综合问题

【例7】（2019•嘉兴）某农作物的生长率〃与温度/（°C）有如下关系：如图1,当10WZW25时可近似用函

数片击Y刻画；当25W&7时可近似用函数片一看（L/?）2+04刻画.

（1）求力的值.

（2）按照经验，该作物提前上市的天数〃？（天）与生长率〃满足函数关系：

生长率〃0.20.250.30.35

提前上市的天数〃？（天）051015

①请运用已学的知识，求，〃关于〃的函数表达式；

②请用含，的代数式表示〃?.

（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度.在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的

成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增

加600元.因此给大棚继续加温，加温后每天成本卬（元）与大棚温度/（℃）之间的关系如图2.问提

前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润(农作物上市售出后大棚暂停使用).

【分析】(1)把(25,0.3)代入片一焉(/-//)2+0.4,解方程即可得到结论；

(2)①由表格可知，小是〃的一次函数，于是得到〃?=100p・20；

②当10WW25时，片求得〃?=100点一:)-20=2r-40：当25WW37时，根据题意即可

得到m=100[—金(/-A)2+0.4J-20=-j(r-29)2+20；

1OUo

(3)(I)当20W/W25时，(II)当25W/W37时，卬=300,根据二次函数的性质即可得到结论.

【解析】⑴把(25,0.3)代入〃=一士(Lh)2+0.4得，0.3=一士(25-A)2+0.4,

1OUloU

解得:〃=29或。=21,

〜>25,

・・・/?=29；

(2)①由表格可知，/〃是〃的一次函数，

m=100p-20；

②当10WK25时,片击T

.*.w=l(X)(―/-1)-20=2/-40：

505

当25《忘37时，〃=一看(L力)2+0.4,

5

-

820

(3)(I)当20WW25时，

由(20,200),(25,300),得卬=201-200,

；・增加利润为600/n+[200X30-vv(30-m)]=40?-600z-4000,

・♦・当t=25H'J,增加的利润的最大值为6000元；

(II)当25W/W37时，卬=300,

增加的利润为600/W+6000-卬(30■而=一^(/-29)15000：

・•・当1=29时，增加的利润最大值为15000元，

此时，机=20,

综上所述，当，=29时，提前上市20天，增加的利润最大值为15000元.

点评：本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，此题涉及数据较多，认真审题很关

健.二次函数的最值问题要利用性质来解，注意自变量的取值范围.

【例8】（2019•衢州）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间.经

市场调查表明，该馆每间标准房的价格在170〜240元之间（含17。元，240元）浮动时，每天入住的房

间数y（间）与每间标准房的价格％（元）的数据如下表：

:r（元）•••190200210220•••

y（间）65605550•••

（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象.

（2）求），关于％的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.

（3）设客房的日营业额为卬1元）.若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日

营业额最大？最大为多少元？

【分析】（1）描点、连线即可得；

（2）待定系数法求解可得；

（3）由营业额=入住房间数量X房价得出函数解析式，再利用二次函数的性质求解可得.

(2)设)，=日+4

将(200,60)、(220,50)代入,得：［缥丝？=%

1220k+D=50

解得卜二-4,

3=160

1

/.y=-5X+I6O(170WxW240)；

(3)w=xy=x(-lv+160)=-iv2+160%,

・•・对称轴为直线x=一g=160,

*.*£/=-i<O»

・••在170WxW240范围内，卬随x的增大而减小,

,当x=170时，卬有最大值,最大值为12750元.

点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值问题，由营

业额=入住房间数量X房价得出函数解析式及二次函数的性质是解题关键.

【例9】(2019•舟山)某农作物的生长率〃与温度，(°C)有如下关系：如图，当10W/W25时可近似用函

数片春刻画；当25WW37时可近似用函数片一卷(Lh)2+0.4刻画.

(1)求/?的值.

(2)按照经验，该作物提前上市的天数小(天)与生长率〃之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：

生长率〃0.20.250.30.35

提前上市的天数〃？(天)051015

求：①机关于p的函数表达式；

②用含/的代数式表示机.

③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度.大棚恒温20C时每天的成本为100元，计划该作物30

天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加600元.因此决定给大棚

继续加温,但加温导致成本增加，估测加温到20WW25时的成本为200元庆，但若欲加温到25VW37,

由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天.问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由.(注：

农作物上市售出后大棚暂停使用)

(2)①由表格可知，〃?是〃的一次函数，由待定系数法可解;

②分别求出当1OW/W25时和当25W/W37时的函数解析式即可；

③分别求出当20W/W25时，增加的利润和当25〈忘37时，增加的利润，然后比较两种恃况下的最大

值，即可得结论.

【解析】⑴把（25,0.3）代入〃=一3h）2+0.4得：

ioU

0.3=-4n（25-/?）2+0.4

IoU

解得："=29或〃=21,

♦・・25WfW37

・・・/?=29.

（2）①由表格可知，机是〃的一次函数，

设m=kp+b

杷（020）,（0.3,10）代入得

解哦:境

・•・〃?=100〃-20.

②当10W/W25时，片&J

11

・•・/”=100（—/一1）-20=2/-40；

505

当25WW37时，〃=一看（r-//）2+0.4

5

・・・〃？=[一击-

100(Z-/02+0.4]-20=82920

(2C-40,10<t<25

.,.〃?二]q

(-g(t-29)2+20,25<t<37

③当20W/W25时