2026年江苏省高三二模高考数学模拟试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026届高三适应性训练数学试题命题单位：南京市东山高级中学一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．若空间中四条两两不同的直线，满足

则下面结论一定正确的是（

）A． B．C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定2．已知复数，其中是虚数单位，，则（

）A．2 B． C．1 D．3．集合的子集个数是（

）A．8 B．16 C．32 D．无数个4．在等差数列中，，，则（

）A． B．0 C．1 D．115．计算保留到小数点后3位的结果是（

）A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.9036．若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（

）A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形7．已知函数有两个零点，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．8．椭圆的左右焦点分别为，，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于点，为坐标原点，是椭圆的上顶点，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．9．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（除了最后一组是闭区间，其余每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图，则下列选项正确的是（

）A．直方图中x的值为0.0044B．在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为70户C．估计该小区用户月用电量的中位数不超过D．用频率估计概率，从该小区抽取10人，则X表示用电量不超过的人数，则10．已知O是坐标原点，抛物线的焦点是点F，，B，C是抛物线上的三点，点T在圆上运动，则下列选项正确的是（

）A．B．的最小值为C．如果，则直线BC与x轴的公共点为D．如果直线AB，AC均与圆M相切，则直线BC的方程为11．已知数列满足，，，为其前n项和，则下列选项正确的有（

）A． B．C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知随机变量，，写出一个满足的负整数的值为______．13．已知关于n的方程为，则_____．14．函数，，且的值域为______（用表示）．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知数列的首项是，且．(1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；(2)若，求满足条件的最小整数n的值．16．甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为．(1)求甲连续打前四局比赛的概率；(2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率；(3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望．17．已知双曲线与直线有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于、两点．(1)如果，求实数k的取值集合；(2)如果，当点M在运动时，①求出点的轨迹方程；②求的最大值并求出对应的s的值．18．如图，四边形是平行四边形ABCD在平面上的投影（）．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)已知四边形是边长为的正方形，，，，，，，点和分别是和的中点，设直线DE与的交点为S．①求证：点S在直线上；②求平面SCD与平面的夹角的余弦值．19．已知函数，其中，曲线在点处的切线方程为．(1)求a的值；(2)证明：当时，；(3)设，若对任意恒成立，求m的最大值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．D【分析】将满足题意的直线放入长方体模型判断即可.【详解】如图所示，取，，，当取时，，当取时，，排除ABC.故选：D.2．C【分析】先根据复数除法的法则将变形，再根据复数模的公式计算即可得解.【详解】因为复数，所以.3．A【详解】由，得，即，解得，所以，所以集合的子集个数是.4．B【分析】运用等差数列通项性质求解.【详解】设等差数列公差为d，那么.5．C【分析】由结合二项式展开式计算前四项的和即可求解.【详解】，由于展开式的第一项，第二项，第三项，第四项，后面的项绝对值更小，对小数点后3位的影响可以忽略，由，所以保留到小数点后3位的结果是.6．D【分析】由已知可得角的角平分线与垂直，所以是等腰三角形，结合可得角，从而选出正确答案.【详解】分别是非零向量同向的单位向量，因为，所以角的角平分线与垂直，即角的角平分线与边上的高重合，所以，即是等腰三角形.由，得.又，所以.因此，是等边三角形.7．C【分析】求出函数的导数，再按分类讨论函数单调性，结合有两个零点列出不等式求解.【详解】函数的定义域为R，求导得，而，当时，，函数在R上单调递减，函数最多一个零点，不符合题意；当时，由，得；由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，，而当时，，当时，，函数有两个零点，当且仅当，令函数，而函数在上都单调递增，则函数在都单调递增，又，因此不等式的解集为.所以实数m的取值范围是.8．B【分析】利用圆及所给条件表示出点的坐标，并将其代入椭圆方程，利用将椭圆方程转化为关于的齐次方程，即可求出椭圆的离心率.【详解】如图所示，圆是以为直径的圆，点是圆与椭圆在第二象限的交点，且，则，，所以点，即.将点的坐标代入椭圆的方程可得，即.在椭圆中有，将其代入上式，整理可得，等式的两边同时除以可得，即，即，解得或.因为椭圆的离心率，所以，故，解得.所以椭圆的离心率为.9．AB【详解】对于A，由图可得组距为50，根据频率和为1，得，解得，故A正确；对于B，用电量落在区间内的频率，由样本容量为100，得用电量落在区间内的户数，故B正确；对于C，由图可得第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为；前两组的累计频率为，前三组的累计频率为，中位数位于第三组内；设中位数为，则，解得；，中位数超过，故C错误；对于D，用电量不超过的频率为前两组频率之和，即；用频率估计概率，从该小区抽取1人，其用电量不超过的概率.从该小区抽取10人，设X表示用电量不超过的人数，则X服从二项分布，则，故D错误.10．BCD【分析】对于A，将点代入抛物线，得到方程后再求解即可；对于B，的最小值，等价于求圆心到​的距离减去半径;对于C，联立方程组后，运用平面向量的坐标运算求解即可；对于D，运用几何法，设切线，求解方程即可.【详解】对于A：因为在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的准线方程为：，则，故A不正确；对于B：根据抛物线定义，等于点到准线​的距离，要求的最小值，等价于求圆心到​的距离减去半径,即，所以的最小值为，故B正确；对于C，显然直线BC的斜率不为0，设直线BC的方程为，由，得，所以，所以，所以，解得：或，当时，直线过原点，不满足题意，舍去，所以，即直线BC与x轴的公共点为，故C正确；对于D，直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，即，又直线AB与圆相切，所以，整理得，即，同理可得，所以直线BC的方程为，故D正确.11．ABD【分析】先根据已知的递推公式求出数列的前几项，进而分析数列的规律，再逐一分析选项即可.【详解】选项A：因为，所以：当时，，当时，，当时，，当时，，所以，故A正确；选项B：由可得：当为偶数时，，则，，，将代入，可得，再将代入上式可得：，故B正确；选项C：，因为，，，…，所以包含奇数项和偶数项，因为只包含偶数项，所以，故C错误；选项D：当时，，，所以，假设当时，成立，当时，，因为，所以，，，则，，综上，即，所以，故D正确.12．（答案不唯一，也可以是中的任何一个）【详解】，，，，的负整数的值为.所以答案不唯一，可以是中的任何一个.13．或【详解】，，，，，或，当时，.当时，.综上可知，的值为或.14．【详解】函数，，且，根据三角恒等式，可得，令，，设函数，，且，求导可得，令，即，解得，当时，，即，单调递减，当时，，即，单调递增，因此在时取到最小值，，，，所以函数的值域为，即函数的值域为.15．(1)(2)【详解】（1），所以，又，所以数列是以首项为，公比为的等比数列，所以，可得.（2）由（1）得为等比数列，设数列的前项和为，，所以，构造函数令，根据增函数减去减函数为增函数，可得函数为增函数，为整数，所以当，，不成立，当，，成立，所以满足条件的最小整数n的值为.16．(1)(2)(3)【分析】（1）分析甲连续打前四局比赛的情形，利用乘法求出概率即可；（2）利用条件概率求解即可；（3）先分析得分的情况，然后求出对应的概率，列出分布列计算数学期望即可.【详解】（1）由甲连续打前四局比赛，说明甲在前3局都获胜，第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为，第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为，第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为，所以甲连续打前四局比赛的概率为：.（2）设事件：前四局中第二局乙获胜，事件：第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局，对于前四局中第二局乙获胜：即第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为，第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为，所以，在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第4局甲轮空第三局：乙、甲对打，乙胜，概率为，第四局：乙、丙对打，概率为，所以，根据条件概率知：.（3）由题意知得分的可能值为：，，，，，所以的分布列为：6所以得分的数学期望为：.17．(1)(2)①②；【分析】（1）根据题意，联立方程组讨论和，利用解出的取值集合；（2）①首先联立双曲线与直线方程，利用唯一公共点的条件得到与点坐标的关系，根据过且与垂直的直线方程可由垂直直线斜率关系得出，将坐标代入该直线方程，得到与坐标的关系，再通过消去的坐标，推导出的轨迹方程；②由①得到的轨迹方程，将转化为单变量函数，利用基本不等式最大值，同时确定对应的值.【详解】（1）当，直线方程，联立双曲线与直线，代入整理得，由题知直线与双曲线有唯一公共点，故当时，即，此时直线与双曲线渐近线平行，仅有一个交点，符合条件；当时，，解得，故实数k的取值集合为.（2）①联立与得：，由唯一公共点且，得，化简得，设切点，由二次方程顶点公式得，故过且与垂直的直线方程为，分别令，，得，将和代入，整理得，即为的轨迹方程.②由①知的轨迹方程，故，令，，原式当时原式小于0，故最大值仅在时取得，当时化简得，由基本不等式，当且仅当时取等，因此，此时，得，即，代入得，即，因此最大值为，对应.18．(1)证明见解析(2)①证明见解析；②【分析】（1）先证明线面平行，证明面面平行，最后用面面平行的判定定理证明，同理可得两组平行线段，即可证明平行四边形.（2）①先根据平行四边形和中点得到的中位线，求出为的中点，再用中位线的判定求出是的中点，可得点S在直线上.②设空间直角坐标系，先求出两个空间向量的法向量，再用法向量夹角的余弦值的绝对值求出平面SCD与平面的夹角的余弦值.【详解】（1）四边形是平行四边形，，平面，平面，平面，又，平面，平面，平面，，平面平面.又两个平行平面被平面所截，交线为和所以；同理，故是平行四边形.（2）①因为是正方形，所以，又因为，所以，平面，平面，所以平面，平面平面于，所以，又因为，所以为平行四边形，因为是的中点，在中，由可得,，即为的中点，连接，取与的交点为，在中，为的中点，且，所以，又因为，此时重合，所以三点共线，点S在直线上.②在三角形中，，由余弦定理可得，所以，所以，所以三角形为直角三角形，即，所以点是在平面的投影点，又因为，所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，可得，，，，，，，设平面的法向量，由题意得，，得到，令，则，故；设平面的法向量，由题意得，，可得，令，，，所以；设平面SCD与平面的夹角为，两平面的法向量夹角为，所以.19．(1)；(2)证明见解析；(3)2.【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程即可.（2）由（1）求出，多次求导确定函数在的单调性即可得证.（3）令，将不等式等价变形，取并结合（2）的信息确定，在构造函数，结合（2）中信息确定函数单调性而求得整数的最大值.【详解】（