专题36 位置与坐标章末六大题型总结（拔尖篇）（北师大版）（解析版）

专题3.6位置与坐标章末六大题型总结(拔尖篇)

【北师大版】

♦题型梳理

【题型1坐标与点的移动规律探究】...............................................................1

【题型2坐标与图形变换规律探究】..............................................................4

【题型3坐标系中的新定义问题探究】............................................................6

【题型4坐标系中的动点问题探究】..............................................................13

【题型5坐标系中角度之间的数量关系问题探究】.................................................22

【题型6坐标系中图形问题探究】...............................................................29

，举一反三

【题型1坐标与点的移动规律探究】

【例1】(2023春•广.东肇庆•八年级统考期中)如图，点A在x轴正半轴及)，轴正半轴上运动，点A从原点出

发，依次跳动至点4(0,1)、4(1，0)、人3(2,0)、4(0,2)、鱼(0,3)、4⑶。)、似4,0)、4(0,4),……按此规

A.(0,1011)B.(1011,0)C.(0,1012)D.(1012,0)

【答案】D

【分析】根据已知点的坐标特征，将连续的4个点看成一组，由第1组，第2组确定组内点的位置特征、点

坐标与组序数的联系；以此类推，2023=4x505+3,故点4023是第506组的第3个点，则%023在工轴

上，其非零坐标即横坐标为2x506=1012.

【详解】解：根据题意，将连续的4个点A看成一组，

第I组：4/(0,I),42(1，0),小(2,0),A4(0,2),其位置分别为)，轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零

坐标为1，后两个点的非零坐标为2；其中，1=2X1-1,2=2X1；

第2组：%(0,3),4(3,0),A",0),4(0,4),其位置分别为)，轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零

坐标为3,后两个点的非零坐标为4：其中，3=2x2-1,4=2x2；

以此类推，2023=4x505+3,

则点力2023是第506组的第3个点,则原023在X轴上，其非零坐标即横坐标为2X506=1012,故点4023的

坐标是(1012,0)；

故选：D.

【点睛】本题考查规律探索，根据已知的点坐标，对点分组找出规律是解题的关键.

【变式1-11(2023春•八年级统考期末)如图,已知((1,1)"2(2,-1)"3(4,4)"4(6,-4),4(7,1)"6(8,-1)，

O

-1

-2

-T3

D.(3031,1)

【答案】B

【分析】先找到点的规律,然后计算解题即可.

【详解】由题可知，每四个点纵坐标重复一次，横坐标向左平移6个单位长度,

•••2023+4=505-3,

则%023的横坐标为：505x6+4=3034,纵坐标为4,

故选B.

【点睛】本题考查坐标的规律问题，解题的关键是找到点的坐标规律.

【变式1-2X2023春・北京西城•八年级北师大实验中学校考期中)如图，在平面直角坐标系中，点4从公(-4,0)

依次跳动到4(-4,1),鱼(-3,1),4(-3,0),4(一2,0),4(一2,3),y47(-l,3),&(-1,-3),

410(0,-3),阳(0,0),…,按此规律,则点阳)23的坐标为()

AA

A.(2023,0)B.(805,0)C.(804,1)D.(805,1)

【答案】D

【分析】由图可知，10个坐标为一循环，因此判断力2023对应的坐标是人3(-3,1),那么纵坐标为1,横坐标每

多一个循环则大4,可算出横坐标为805,然后直接求解即可.

【详解】72023^10=202……3

，4023对应的坐标为小(—3,1)

••••2023横坐标为-3+202x4=805

，“2023(805,1)

故选：D

【点睛】此题考查点坐标的规律探究，解题关键是找到循环然后直接求解.

【变式1-3】(2023春・湖北孝感•八年级统考期末)如图，在平面直角坐标系上有点A(1,0),点A第一次

跳动至点4(-1,1),第二次向右跳动3个单位至点4(2,1),第三次跳动至点(・2,2),第四

次向右跳动5个单位至点4(3,2),........依此规律跳动下去，点A第2018次跳动至点上加的坐标是.

【分析】观察所给图形，不难得到第偶数次跳动至点的横坐标是跳的次数的一半加I:1，纵坐标是跳的次数

的一半；由此可得规律：第2〃次跳动至点Az〃的坐标是1,〃)，进而求出点A2O18的空标.

当下标为偶数时的点的坐标规律如下：

当下标是2、6、10…时，横坐标为1,纵坐标为下标的一半的相反数,

当下标是4、8、12…时，横坐标是2,纵坐标为下标的一半，

•・•每四个字母为一组，

2022+4=505….2,

点42022在第一象限，横坐标为1，

纵坐标是2022+2=1011,

，力2022(1，-1011),

故选:B.

【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律，根据坐标正确得到规律是解题关键.

【变式2-1】(2023春•内蒙古鄂尔多斯•八年级统考期末)如图，在平面直角坐标系中，第一次将△。4B变换

成△。力］小，第二次将△。4。1变换成△。公％，第二次将△。冬火变换成△。&%，…，观察每次变换前后

的三角形的变化规律，找出规律，推测力心蜃的坐标分别是()

A.(n,3),(n2,0)B.(n,3),(2/0)C.(2n,3),(2n,0)D.(2n,3),(2n+1,0)

【答案】D

【分析】根据图中各点的坐标的变化，依次写出442，力3,…，当,％,名,….再根据点的坐标变化的特点写出

八、先的坐标即可.

【详解】解：3),42(22,3),阳23,3),…，

•••4(2",3)：

•••々(22,0),4⑵,0)0(24,

•••Bn(2n+1,0)；

故选:D.

【点睛】此题考查了坐标与图形的变化，正确写出前几个点的坐标、找出坐标变化的规律是解答此题的关键.

【变式2-2］（2023春•八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形0MoMI的直角边OM。在

斓上，点M1在第一象限，且。M°=l,以点弧为直角顶点，0M1为一直角边作等腰直角三角形。“加2,再

以点M2为直角顶点，。“2为直角边作等腰直角三角形OM2M3…依此规律则点"2019的坐标是

【分析】本题点M坐标变化规律要分别从旋转次数与点M所在象限或坐标轴、点M到原点的距离与旋转次

数的对应关系.

【详解】由已知，点M每次旋转转动45。，则转动一周需转动8次，每次转动点M到原点的距离变为转动前

的鱼倍

72019=252x84-3

・••点M2019的在第二象限的角平分线上，

:,点M2019的坐标为（一220?22019）,

故答案为：（一22019,22019）.

【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意象限符号.

【变式2-3］（2023春・全国•八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A/（1,0）、A2（3,0）、（6,

0）、4410,0）......以A/A2为对角线作第一个正方形4C/48/,以4乂3为对角线作第二个正方形A2C2A3B2,

以耳斗力为对角线作第三个正方形A3c……，顶点8人&,Bs……都在第一象限，按照此规律依次

【答案】［怨21,等］

【分析】利用图形分别得出B点横坐标当，％,当，…的横坐标分别为：pp争号…，点取的横坐标为:

乎，再利用纵坐标变化规律进而得出答案.

【详解】解：分别过点当，%,B3,作轴，&E1X轴，B3FIX轴于点D,E,F,

•••4(1,0)，

，力1力2=3—1=2,4。=1,OD=2,B]O=&D=1,

可得出当(2,1),

•­4(3,0),

3339

.•・4力2=6—3=3,EB2=pB2E=EA2=pOE=6-；=；,

可得初支手,

同理可得出：F3(8,2),B4(y,|),

，：B、,B?,83,…的横坐标分别为：;g…，

二点几的横坐标为：空匕

,:Bi，B2,B3,…的纵坐标分别为：1,|,p

二点%的纵坐标为：-y~»

.,.点区的坐标为(18,3)；点%的坐标为：,等

【点睛】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律分别得

出B点横纵坐标的规律是解答本题的关键.

【题型3坐标系中的新定义问题探究】

【例3】(2023春・北京海淀•八年级人大附中校联考期中)在平面直角坐标系％Oy中，对于点P,给出如下定

义：

点P的“第I类变换”：将点夕向左平移I个单位长度，再向上平移2个单位长度；

点P的“第II类变换”：将点尸向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度.

⑴①点4的坐标为(3,0),对点4进行1次“第I类变换”后得到的点的坐标为；

②点8为平面内一点，若对点8进行1次“第I类变换”后得到点(0,2),则对点8进行1次“第H类变换”后

得到的点的坐标为；

⑵点C在x轴上，若对点C进行。次“第I类变换”，再进行。次“第II类变换”后，所得到的点仍在x轴上,

直接用等式表示。与〃的数量关系为;

(3)点P的坐标(-10,3),对点P进行“第1类变换”和“第II类变换”共计20次后得到点Q,请问是否存在一

种上述两类变换的组合，使得点。恰好在丁轴上？如果存在，请求出此时点Q的坐标；如果不存在，请说

明理由.

【答案】(1)①(2,2)；②(4,-1)

(2)2a二b

⑶不存在，理由见解析

【分析】(1)①利用点P的“第I类变换”的定义,可求解;②利用点(的“第I类变换”的定义和点P的“第H

类变换”的定义，可求解；

(2)利用点P的“第I类变换”的定义和点P的“第II类变换”的定义列出方程可求解；

(3)利用点P的“第I类变换”的定义和点P的“第II类变换”的定义列出方程可求解.

【详解】⑴解:①•.•点4的坐标为(3,0),

•••点力进行1次“第I类变换”后得到的点的坐标(2,2),

故答案为：(2,2)；

②••点B进行1次“第I类变换”后得到点(0,2),

・••点8坐标为(1,0),

•••点B进行1次“第0类变换”后得到的点的坐标为(4,-1),

故答案为：(4,—1)：

(2)设点C(c,0),

•••点C进行a次“第I类变换”，再进行b次“第II类变换”后，所得到的点仍在“轴上，

0+2a—1x/?=0»

2a=b,

故答案为：2Q=b：

(3)不存在，理由如下：

设经过m次”第1类变换”，经过(20-m)次“第H类变换”，使得点Q恰好在y轴上，

•••点「的坐标(-10,3),对点P进行“第1类变换”和“第II类变换”共计20次后得到点Q,点Q恰好在y轴上，

-10-1xm4-3(20-m)=0,

2

•・•比为非负整数，

•••m=g不合题意舍去，

•••不存在一种上述两类变换的组合，使得点Q恰好在y轴上.

【点睛】本题是平移变换综合题，理解点P的“第I类变换”的定义加点P的“第II类变换”的定义是解题的关键.

【变式3-1】(2023春・辽宁抚顺・八年级统考期末)对于平面直角坐标系“Oy中的任意一点PQ,切，给出如下

定义：记。=%+〃b=-y,将点M(a,b)与N(Aa)称为点P的一对“相伴点”.

例如：点P(2,3)的一对“相伴点”是点(5,—3)与(一3,5).

⑴点Q(4,-l)的一对“相伴点”的坐标是_____与；

(2)若点4(8,y)的一对“相伴点”重合，则y的值为；

(3)若点8的一个“相伴点”的坐标为(一1,7),求点B的坐标.

【答案】⑴(1,3),(3,1)：

(2)—4；

⑶(6,-7)或(6,1).

【分析】(1)根据新定义求出Q，6,即可得出结论；

(2)根据新定义，求出点A的一对“相伴点”，进而得出结论；

(3)设出点8的坐标，根据新定义，建立方程组，即可得出结论.

【详解】(1)・♦•Q(4,—l),

二a=4+(―1)=3,b=—(―1)=1,

.•,点Q(4,-1)的一对“相伴点”的坐标是(1,3)与(3,1),

故答案为:(1,3),(3,1)；

⑵。点A(8,y),

J.Q=8+y,b=­y

・•.点4(8,y)的一对“相伴点”的坐标是(8+y,-y)和(一％8+y),

•.•点A(8,y)的•对“相伴点”重合,

•••8+y=­y,

y=-4

故答案为:—4；

(3)设点B(x,y),

•••点8的一个“相伴点”的坐标为

.(x+y=-l

1,I-y=7

1-JX=6=6

ly=-77=1'

-7)或(6,1).

【点睛】此题主要考查了新定义，解方程组，解方程，理解和应用新定义是解本题的关键.

【变式3-2](2023春・北京海淀•八年级北理工附中校考期中)在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P(x,y)

的，绝对距离”，给出如下定义：若|万之仅|,则点尸的“绝对距离”为|划；若|x|<|y|,则点尸的“绝对距离”

为|y|.例如：点P(-4,l),因为|一4|>|1|,所以点P(-4,1)的“绝对距离"为|-4|=4.当点P3y)的“绝对距

A.B.

【答案】D

【分析】根据点的“绝对距离”为可知|幻=即可确定点组成的图

P(x,y)2,2,\y\<2^\y\=2f|x|<2,P

形.

【详解】解：•・•点P(x,y)的“绝对距离”为2,

|x|=2,\y\<2或|y|=2,|x|<2,

即x=2时，-2WyW2,%=—2时，-2WyW2,y=2时，-2工xW2,y=-2时，-2WxW2,

即可确定点P组成的图形为图D中的正方形，

故选:D.

【点睛】本题考查了点的坐标，新定义，理解新定义是解题的关犍.

【变式3-3](2023春・浙江台州•八年级统考期末)定义：已知平面上两点/(刈%),BQ?,%)，称448)=

|乃一%为人，区两点之间的折线距离.例如点与点之间的折线距离为

|^-x2|+1”(2,-3)N(5,2)d(M,N)=

|2-5|+|-3-2|=3+5=8.如图，已知平面直角坐标系中点4(2,1),5(-1,0).

⑴dQ4,5)=：

(2)过点8作直线/平行于)，轴，求直线/上与点4的折线距离为5的点的坐标;

(3)已知点N(n,n),且d(A,N)v2,求〃的取值范围；

(4)已知平面上点P与原点0的折线距离为3,即d(P,。)=3,直接写出所有满足条件的点P围成的图形面

积.

【答案】(1)4

⑵(-1,-1)或(-1,3)

⑶!<n<|

(4)18

【分析】(1)根据折线距离的定义进行求解即可；

(2)根据题意可得直线/上的点的横坐标都为-1,设点K(-l,。是直线上与点A的折线距离为5的点，则

d(4K)=|£-l|+3=5,据此求解即可;

(3)由题意可得m-2|+|71-1|<2,然后去绝对值解不等式即可；

(4)设P。，y),则忱-0|+|y-0|=3,由此去绝对值得到工、y的关系式即可确定围成的区域图形，进而

求出对应的面积即可.

【详解】(1)解：由题意得，d(A,B)=|-1-2|+|0-1|=|-3|+|-1|=3+1=4,

故答案为:4；

(2)解：•・♦直线/平行于y轴，B(-l,0),

・•・直线/上的点的横坐标都为-1,

设点K(-L。是直线上与点A的折线距离为5的点，

・・・d(A,K)=|-1-2|+|t-l|=|-3|+|t-l|=|t-l|+3=5,

A|t-1|=2,

工£-1=2或£-1=-2,

At=3或£=-1,

・••点K的坐标为(一1,一1)或(一1,3),

・•・直线/上与点A的折线距离为5的点的坐标(一1,一1)或(一1,3)；

(3)解：V71(2,1),JV(n,n),且d(4N)v2,

**•|—21+\n-11V2,

当九>2时，则〃-2+n-l<2,解得九<|,

A2<n<-；

2

当14"W2时，则2—九+九一1<2,即IV2,此时恒成立;

当K<1时，则2—九+1—九<2,解得九>

：Vn<1；

综上所述，；V71V

22

（4）解：设P（x,y）,

•・・d（P,。）=3,

\x-0|+|y—0|=3,

+|y|=3,

，当％20,yZO时，x+y=3；

当％N0,y<0时，x—y=3；

当入<0,y>0时，一★十y=3；

当xV0,yVO时，—x—y=3；

，点P围成的图形区域即为四边形CDEF（C（-3,0）,D（0,-3）,E（3,0）,F（0,3））如下所示:

・•・围成的图形面积为2x1x3x6=18.

【点睛】本题主要考查了坐标与图形，解一元一次不等式，解绝对值方程等等，正确理解题意是解题的关键.

【题型4坐标系中的动点问题探究】

【例4】(2023春・吉林・八年级统考期末)如图，四边形ABCO是长方形，边48在％轴上，ADLx^.已知

点4坐标为(2,0),点C坐标为(6,3).动点户从点3出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线B4--DC向

终点C运动，设点P的运动时间为z(s).

备用图

⑴点D坐标为_；

(2)连接PC,当直线PC将长方形4BC0的面积分为1:2的两部分时，求x的值;

(3)连接。P,。0,直接写出三角形。P。的面积为3时，点P的坐标.

【答案】⑴(2,3)

(2)工t或去

(3)满足条件的点P的坐标为(2,0)或(4,3).

【分析】(1)利用矩形的性质求出。4AD,可得结论；

(2)分两种情形：如图1中，当点P在线段上时，如图2中，当点P在线段40上时，分别构建方程求解;

(3)当点尸与人重合时，Zk。。。的面积为3,此时P(2,0),过点力作力尸'1100交CD于点P',此时04=0P'=2,

△OOP'的面积为3,求出P'坐标即可.

【详解】(1)解：•••四边形4?。。是矩形，71(2,0),。(6,3),

0/1=2,BC=AD=3,

."(2,3),

故答案为：(2,3)；

(2)解：如图1中，当点P在线段48上时,

图I

由题意，S"BC=gS矩形488,

•••-x2xx3=-x3x4,

23

4

.*•X=-.

图2

由题意，S“CP=矩形.Be。，

:.gx(7-2%)x4=^x3x4,

：•x=-.

综上所述，满足条件的为的值为［或|；

(3)解：如图3中，

图3

当点P与4重合时，△P00的面积为3,此时P(2,0),

过点力作力P'llOO交CO于点P',此时。4=OP'=2,△OOP，的面积为3,

P'(4,3),

综上所述，满足条件的点P的坐标为(2,0)或(4,3).

【点晴】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论

的思想思考问题，学会利用参数构建方程解次问题.

【变式4-1](2023春•湖北襄阳•八年级统考期末)在平面直角坐标系中，点4(a,0).8(0,b),〃、I满足

\2a-b-9\+(a+2b-12)2=0,连接AB.

(I)求出点A、8的坐标；

⑵如图1，点C是线段48上一点，若=求点C坐标.小军想到：可连接OC,此时将三角形。48分

成两个小三角形，而三角形08c的面积恰好是三角形0AB的三分之一，从而求出点。坐标.请你根据小军

的思路写出求解点C坐标的过程：

(3)如图2,将线段先向下平移5个单位，再向左平移2个单位得到线段MN(点A的对应点为M),线

段MN与)，轴交于点P.点E(0,t)是)，轴上一动点，当三角形MNE的面积小于3时，请直接写出，的取值范

围.

【答案】⑴4(6,0).1(0,3)

(2)C(2,2),过程见解析

(3)-4<t<-2且£*-3

【分析】(1)根据非负数的性质得出关于。，。的二元一次方程组，解之即可；

(2)设点。的坐标为(m,九)，根据三角形。8c的面积恰好是三角形0A8的三分之一，以及三角形OAC的面积

恰好是三角形。力8的三分之二，分别列出方程，求出山和〃的值，即可得到坐标；

(3)求出各点平移后的坐标，得到点。平移后在)，轴上，即为点P,根据三角形MNE的面积小于3,列出不

等式，解之即可.

【详解】(1)解：V\2a-b-9\+(a+2b-12)2=0,

,(2a—b-9=0

**U+2/?-12=0，

解得：｛；=:,

3=3

••・A(6,0),8(0,3)；

(2)设点C的坐标为(m,ri),

•••4(6,0),8(0,3),

：,0A=6,OB=3,

'：AC=2BC,

・•.三角形的面枳恰好是三角形048的三分之一，

.*.-X3XTH=-X-X6X3»

232

解得：m=2,

同理：三角形仇4C的面积怡好是三角形CM8的三分之二，

.6x6xn彗X；X6X3,

解得：n=2,

・••点C的坐标为(2,2)；

(3)由平移可得:M(4,-5),N(-2,-2),

而点C平移后的坐标为(2-2,2-5),即(0,-3),

工点C平移后在y轴上,即为点P,则P(0,-3),

•"△MNE=-xPFX(%M—%N)<3，

即；x|—3—t|x6<3>

解得：-4<t<-2且t工-3.

【点睛】本题考查了解二元一次方程组，坐标与图形，非负数的性质，点的平移，三角形的面积，解不等式,

解题的关键是利用坐标表示三角形的面枳，体现了数形结合的思想.

【变式4-2】(2023春・吉林・八年级校联考期中)如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A、8的坐

标分别为(a,0)、(a，b),点C在y轴上，且3C||x轴，〃、〃满足|0一3|/VFF=0,一动点P从原点

出发，以每秒一动点尸从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着0—4一8一。一0的路线运动(回到点

。时停止)

(1)直接写出点A、B、。的坐标；

(2)在点P运动的过程中，连接P。，若PO把四边形48。。的面枳分成1：2两部分，求点。的坐标;

⑶点P运动/秒后(two),是否存在点P到K轴的距离为:t个单位长度的情况.若存在，求点。的坐标;

若不存在，请说明理由.

【答案】(1)4(3,0),5(3,4),C(0,4)

⑵(39或(2,4)

⑶(3,1)或(0,£)

【分析】(1)直接利用非负数的性质即可解答；

(2)证明四边形4BC。为长方形，求出面枳，再分两种情况：当SN°A=4时和当4"C=4时，分别列出方

程，求解即可；

(3)分两种情况：点。在A8上运动和点。在OC上运动，根据点尸到x轴的距离为3个单位长度列出方程，

求解即可.

【详解】(1)解：由题意知，a,b满足|a-3|+VF』=0,

V|a-3|>0,VT:r4>0.,

a-3=0,b—4=0,

.*.G=3,b=4,

(3,0),8(3,4),C(0,4)；

(2)由题意可知，力B_Lx轴，BC=OA,

*：BC||工轴，

・•・四边形A8C0为长方形，

•••8(3,4),

'S矩形踞。=3x4=12,

♦..PO把四边形A8C。的面积分成1:2的两部分，

工一部分面积为4,另一部分面积为8,

.・.可分两种情况讨论：当Sv。.=4时和当SA"C=4时，

①当S”0A=4时，

此时点P在AB上，点P的坐标为(3,2£-3),HP=2t-3,

：-ShP0A=，OA•AP=x3x(2t-3)=4，

17

・•,・yT

/.2t-3=1,

，点户的坐标为(3,g),

②当S^opc=4时,

此时点尸在BC上，点尸的坐标为(10-2£,4),CP=10-2t,

:4OPC="•C。=gx(10-2t)x4=4,

t=4,

，点户的坐标为(2,4),

综上可知，，点。的坐标为(3怖)或(2,4)：

(3)存在，理由如下：

①当尸在AB上运动时，AP=^t,

由(2)可知，AP=2£-3,

工.2£-3="

2

At=2,

：.AP=2t-3=1,

・••点P的坐标为(3,1),

②当尸在0C上运动时，

0P=14-23

，14-2t=2

工£=拳

：,0P=14-2t=14

・••点P的坐标为(0,?),

综上可知,点P的坐标为(3,1)或(0,当.

【点睛】本题考查非负数的性质、坐标与图形的性质、三角形的面积、一元一次方程的应用，分类讨论是解

题关键.

【变式4-3](2023春・广东广州•八年级统考期末)已知点力(一2,0),8(0,-4),C(-4,-6),过点C作

工轴的平行线机，交y轴于点。，一动点P从C点出发，在直线机上以1个单位长度/秒的速度向右运动，

(1)如图，当点P在第四象限时，连接。P,作射线OE平分乙4OP,过点。作OFJ.OE.

①填空；若±OPD=60°,则"OF=

②设。=怒，求。的值.

(2)若与此同时，直线，〃以2个单位长度/秒的速度竖直向上运动，设运动时间为1秒，点P的坐标为(％,y)

①在坐标轴上是否存在满足条件的点P,使得SAABP=6,若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理

由；

②求x和y的关系式.

【答案】⑴①30。；②〃的值为2.

(2)①存在点尸的坐标为P(0,2)；②x和y的关系式为y=2x+2.

【分析】(1)①由％轴||直线〃?可得乙4OP+/OPD=180。，/.AGP=120°,由角平分线的定义得到乙EOP=

\LAOP=60°,由垂直的定义知/£。尸=90。，即可求得乙POF=30。：

②由角平分线的定义，可把NE0P表示为45。+3々OOP，因此4EO。=/EOP-NDOP=45°—34DOP，由

于iOPD=90°-乙DOP,故可得到〃的值为2；

(2)①由题意，经过/秒后，点尸的坐标为(一4+3—6+2£),然后分点。在x轴上和点尸在.v轴上两种

情况求点尸的坐标，进而求出S-BP，可得到点P坐标为(0,2)时符合题意；

②由①知[二消去，，即可得到x和y的关系式为y=2%+2.

【详解】(1)解：①•••x轴II直线〃?，

LAOP+乙OPD=180°,

♦"OPD=60°,

Z.AOP=120。，

•••0E平分乙4OP,

Z.EOP=-LAOP=60°,

2

OF1OE,

/.EOF=90°,

AZFUF=乙EUR-乙EUP=90v-60u=31r.

故答案为：30°

②；0E平分Z/10P,

/./.EOP=-Z,AOP=-(90°+乙DOP)=45°+-乙DOP,

222

••・£EOD=乙EOP一乙DOP=45°--乙DOP,

2

vWPD=90°—4OOP,

zOPD900-ZDOP_

：•Q~—~j-2,

血E45--ZDOP

即。的值为2.

(2)解：①存在符合题意的点P.

由题意，经过/秒后，点P的坐标为(-4+£,-6+2t),

若点P在工轴上，则一6+2七=0,解得£=3,

P(-l,0),

•・・«2,0),

•••AP=1,

:・SABP=,°B=gxlx4=2H6，不合题意；

若点P在y轴上，则—4+t=0,解得t=4,

•••F(0,2),

•••BP=6,OA=2,SABP=1^P-O/l=1x6x2=6,符合题意.

故使得SMBP=6的点P的坐标为P(0,2)；

②由①知仁二N.

由父=-44-1得t=x+4,

代入y=-6+2t,得y=-6+2(x+4)=2x+2,

故1和y的关系式为y=2x4-2.

【点睛】此题考查了角平分线的定义，平行线的性质，垂线的定义以及消元等知识点，掌握相应的知识点是

解答此题的关键.

【题型5坐标系中角度之间的数量关系问题探究】

【例5】（2023春・广东潮州•八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABC。为长方形，其中点

A,C坐标分别为（一4,2）,（1,-4）,目轴，交），轴于点M,28交x轴于点N

备用图

（1）直接写出B,。两点的坐标，并求出长方形/BCD的面积.

（2）一动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿4B边向B点运动，在尸点的运动过程中，连接MP,OP,

试探究〃MP,乙MPO,4PON之间的数量关系（写出探究过程以及结论）.

（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻使得三角形AMP的面积等丁长方形面积的岂若存在，

求i的值以及此时点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）B（-4,-4）,D（1,2）,30；（2）见解析；（3）存在，/=10,P（-4,-3）

【分析】（1）利用点A、。的坐标和矩形的性质易得8（-4,-4）,D（1,2）,然后根据矩形面积公式计

算矩形ABC。的面积；

（2）分类讨论：当点P在线段4N上时;作产。〃AM,如图，利用平行线的性质易得/QPM=/AMP,

4QP0=4P0N,贝ljNMPO=NAMP+NPON；当点P在线段NB上时，同样方法可得NMPO=N/\MP-NPOM

（3）由于4M=4,AP=^t,根据三角形面积公式得到S4AMP=/,再利用三角形AM尸的面积等于长方形面积

的g可计算出/=10,则4P=5,然后根据点的坐标的表示方法写出尸点坐标.

【详解】解：（1）•・•点A、C坐标分别为（-4,2）、（1,-4）,

而四边形A8C。为矩形，

:・B(-4,-4),D(1,2)；

矩形438的面积=(1+4)x(2+4)=30：

(2)当点P在线段AN上时，作气2〃AM,如图,

:.AMIIPQHON,

/.ZQPM=NAMP,ZQPO=ZPON,

JZQPM+ZQPO=ZAMP+ZPON,

即/MPO=/AMP+/PON；

当点P在线段N8上时，同样方法可得NMPO二NAMP-NPON：

(3)存在.

VXM=4,AP=1t,

.•・S4AMpJx4x)=/,

22

•・•三角形AMP的面积等于长方形面积的沙

"30x；=l0,

«3

/.XP=2-xl0=5,

，：AN=2,

・・・P点坐标为(-4,-3).

【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系.也

考查了三角形面积公式.

【变式5-1](2023春广东汕头•八年级汕头市潮阳实验学校校考期中)如图，在平面直角坐标系中，长方形

ABC。的顶点A(a,0),8(瓦0)在坐标轴上，C的纵坐标是2,且“力满足式子Na+」-2+|匕一4|=0

(1)求出点A、8、C的坐标.

(2)连接AC,在)，轴上是否存在点使△COM的面积等于△ABC的面积，若存在请求出点M的小标，若

不存在请说明理由.

(3)若点P是边CO上一动点,点0是CO与)，轴的交点,连接OP,平分NAOP交直线CD于点E,OFLOE

交直线CQ于点F,当点。运动时，探究NOPO和N£OQ之间的数量关系，并证明.

【答案】⑴4(-2,0),B(4,0),C(4,2);(2)M的坐标为(0,3)或(0,-3);

⑶NOPD=2NE()Q.

【分析】(1)根据非负数的性质列出关于。、〃的二元一次方程组，然后解方程组即可求出点A、8、。的坐标.

(2)求出△4台。的面积，根据△COM的面枳与△ABC的面枳相等，求得OM的长，即可求得M的坐标；

(3)利用/8OF,根据平行线的性质，以及角平分线的定义表示出NOPO和NEOQ即可求解.

【详解】(1)・・・，1+「一2+|匕一4|=0,

.(a+b-2=0

**lb-4=0,

解峭蠢2

故八b的值分别是-2、4；

点A、B、C的坐标分别为：4(-2,0),B(4,0),C(4,2);

(2)：A(-2,0),8(4,0),

:・AB=6,

VC(4,2),

:.AABC的面积=\ABBC=TX6X2=6,

VACOM的面积=△A/5C的面积，

AACOM的面积=6,即50Ml•08=；x\0M\x4=6,

：.\9M\=3.

••・M的坐标为(0,3)或(0,-3)

(3)是长方形，

:.AB//CD、

，£OPD=/POB.

*：OF±OE,

：.LPOF+乙POE=90°,Z.BOF+Z.AOE=90°,

TOE平分NAOP,

，NPOE=NAOE,

：・£POF=NBOF,

：.ZOPD=ZPOB=2ZBOF.

*/NEOQ+/QOF=NBOF+NQOF=90。,

：.ZEOQ=ZBOF,

/.ZOPD=2ZBOF=2ZEOQ.

【点睛】坐标与图形性质，解二元一次方程组，三角形的面积，同角的余角相等，角平分线的性质等，数形

结合是解题的关键.

【变式5-2](2023春•福建福州•八年级统考期末)如图I,在平面直角坐标系中,已知点力(-5,-1)，5(-3,2),

将线段48平移至线段CD,使点4的对应点C恰好落在％轴的正半轴上，设点C的坐标为(k,0),点B的对应点

(1)求点D的坐标(用含々的式子表示)；

(2)连接BD,BC.如图2,若三角形BCD的面积为8,求k的值；

(3)连接4D,如图3,分别作々18C和〃DC的平分线，交于点P,试探究N/MD,/BCD和4牡。之间的等量

关系，并说明理由.

【答案】⑴。(々+2,3)

⑵k=1

(3)乙BPD=28+2,证明见解析

【分析】(1)由A,C的坐标变化得出平移方式，从而可得答案；

(2)如图，过B作8QJ.X轴于Q,过。作轴于，，可得Q(-3,0),H(k+2,0),结合C(匕0),8(—3,2),

0(2+2,3),可得CQ=〃+3,CH=2,由S梯形畋〃。一S&C8Q-=8，再建立方程求解即可；

(3)如图，过P作PEII4B,由平移的性质可得:ABWCD,可得AB||PE||CD,可得乙ABP=xBPE,44DC=乙4,

乙ABC=LBCD,Z.EPD=Z.PDC,证明乙BPD=48PE+NDPE=N/IBP+NCDP,再结合角平分线可得结

论.

【详解】⑴解：•・•点4(一5,-1),1(一3,2),设点C的坐标为(匕0),

•••平移方式为向右平移(k+5)个单位长度，再向上平移1个单位长度，

，。(々+2,3)：

(2)如图，过8作8Q1X轴于Q,过。作。Hix轴于”，

A(?(-3,0),“(0+2,0),而C(k,0),B(-3,2),O(k+2,3),

・《(24-3)x(/c+5)-1x2x(/c+3)-1x2x3=8,

解得：k=1；

(3)^LBPD=^BCD理由如下：

如图，过P作PEMB,

由平移的性质可得：ABWCD,

：,AB\\PE\\CD,

:•乙ABP=LBPE,Z.ADC=Z.ABC=Z.BCD,乙EPD=LPDC,

:•乙BPD=乙BPE+乙DPE=Z.ABP+乙CDP,

〈BP平分土ABC,DP平乙ACC,

：.z.PBA=^AABC,Z.PDC=^Z-ADC,

22

：.ABPD=-2^ABC+-2^ADC=-2Z.BCD+-2^A.

【点睛】本题考查的是坐标与图形面积，平移的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，平行线的性质，

熟练的利用割补法求解图形面枳，作出合适的辅助线都是解本题的关键.

【变式5-3](2023春・重庆江津•八年级重庆市江津中学校校考期中)如图1,以直角△AOC的直角顶点。

为原点，以OGOA所在直线为x轴和)，轴建立平面直角坐标系，点4(0,Q),C(b,0),并且满足已一:+2+

\b-m\=0.其中rn是3机+2>24的最小整数解.

(1)求A点，。点的坐标；

⑵如图1,坐标轴上有两动点P、。同时出发，点。从点C出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀

速运动，点Q从点。出发沿,，轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点尸到达点。整个运动随

之结束；线段AC的中点。的坐标是0(4,3),设运动时间为/秒.是否存在3使得三角形△OOP与A。。。

的面积相等？若存在，求出,的值；若不存在，说明理由；

(3)如图2,在(2)的条件下，若ZOOC=4OC。，点6是第一象限中一点，并且OA平分NOOG,点X是线

段。4上一动点，连接C七交0。于点从当点E在。A上运动的过程中，探究乙0。6,乙。〃。，乙/CE之间

的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)A(0,6),C(8,0)；

(2)存在，t=2.4；

(3)乙DOG+乙4CE=4OHC,理由见解析.

【分析】(1)利用非负性即可求出“，b,再解出不等式36+2>24的最小整数解，即可得出结论；

(2)先表示出OQ,0P,利用面积相等，建立方程求解即可得出结论；

(3)先判断出NOAC二NAO。，进而判断出。G〃AC,即可判断出NF"C=NACE,同理//7/0=/Q0G,即

可得出结论.

【详解】(1)Wa-b+2+|b-7n|=0,

.\a-b+2=0,b-m=0,

h=m,

36+2>24,

解得：?n>y,

*/in是3m+2>24的最小整数解.

m=S，

，68,

/.«-8+2=0,得：。=6,

・"(0,6),C(8,0),

(2)由(1)知，((0,6),C(8,0),

:.OA=6,OB=8»

由运动知，OQ=3PC=2t,

•••OP=8—23

••"(4,3),

•••S、ODQ=[OQx\xD\=*x4=23

SAODP=~OPx|y°|=$(8-2t)x3=12-33

•••AOOP与AOOQ的面积相等，

•••2t=12—3t,

•*.t=2.4,

••・存在t=2.4时，使得A。。户与AODQ的面积相等:

(3)猜想：乙DOG+乙ACE=^OHC,

理由如下：

》轴•Ly轴，

・•.Z.AOC=乙DOC+Z-AOD=90°,

:.Z.OAC+乙ACO=90°,

X-.LDOC=乙DCO,

•••Z.OAC=Z.AOD,

•••y轴平分/GOD,

Z.GOA=Z.AOD,

:.Z.GOA=Z.OAC,

:.OG//AC,

如图，过点“作"F〃OG交汇轴于F,

:.HF//AC,

Z.FHC=Z.ACE,

同理乙FH。=乙GOD,

•••OG//FH,

:.Z.DOG=乙FHO,

:./DOG+Z.ACE=Z.FHO+乙FHC,

即/DOG+44CE=NO〃C.

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了非负性的性质，三角形的面积公式，角平分线的定义，平行线的

性质，正确作出辅助线是解本题的关键.

【题型6坐标系中图形问题探究】

【例6】（2023春・辽宁大连•八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形CMBC为边长为8的正方

形，点。为。力的中点，点E在4B上，且.点P（x,m）是线段CD和OE上的动点，点Q（x,九）是线

段CE上的动点，连接AQ.

⑴求三角形力DE和三角形OCD的面积；

⑵用等式表示m与x之间的数量关系；

（3）直接写出线段PQ的长等于3时，点Q的坐标.

【答案】（I）SAADE=12，S^OCD=16

8-2x（0<x<4）

⑵加飞一6（4«8）,

（3哈表或咨，H）

【分析】（1）先求出0。=4,AE=6,再利用三角形面积公式求解即可；

（2）连接P。，利用三角形面积求解即可；

（3）按照（2）的方法表示〃与x之间的数量关系，再根据PQ=3求解即可.

【详解】（1）解：:四边形04BC为边长为8的正方形，点D为。4的中点，点E在上，且4E=：4B,

4

：.AD=。0=4,AE=-4\8=6,BE=AB-AE=2,

•*-ShADE=^AD•4E=qx4x6=12，

S^ocD=5℃,°。=3x8x4=16.

（2）解：当点P（x,m）是线段CD上的动点时，连接P。，

S^OCP=^OC-x=4x,S^ODP=^OD-m=2m,

*：S^cup+SAnr）p=SAM。，

4x+2m=16,

771=8-2x(0<x<4)：

当点PQ,m）是线段DE上的动点时，连接P4

AE

SHAEP=2-(8-x)=24-3x,S^ADP=-AD-m=2m,

•SA^EP+S&ADP=S&ADE'

.*.24—3x+2m=12