平方根课件2025-2026学年人教版七年级数学下册

8.1平方根第八章实数8.1平方根第八章实数第1课时平方根目录页讲授新课当堂练习课堂小结新课导入新课导入教学目标教学重点1.了解平方根的概念，并理解平方与开平方的关系;2.会求非负数的平方根．（重点、难点）学习目标（1）32=

，（－3）2=

；（2）

，

；（3）0.82=

，（－0.8）2=

.90.640.64填空：9

思考：反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这个数？新课导入讲授新课典例精讲归纳总结问题

如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？

想一想：3和-3有什么特征？

由于，所以这个数是3或-3.一、平方根的定义3和-3互为相反数，会不会是巧合呢?讲授新课你发现了什么结论？填一填填表：x2

116

3649x

一般地，如果有一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根.

例如：(±1)2=1，1的平方根为±1.

平方根的概念求一个数的平方根的运算，叫作开平方.149+1-1+2-2+3-3149+1-1+2-2+3-3开平方平方例1

求下列各数的平方根．（1）100（2）

（3）0.25.解：（1）因为(±10)2=100，所以100的平方根是±10.（3）因为(±0.5)2=0.25，所以0.25的平方根是±0.5.已知72=49，（-7）2=49，下列说法正确的是（

）A．49的平方根是7 B．49的平方根是-7C．49的平方根是±7 D．以上均不正确1.

D练一练求下列各数的平方根：（1）121；（2）0.01；（3）.解：（1）±11；（2）±0.1；（3）.2.

1.144的平方根是什么？2.0的平方根是什么？3.的平方根是什么？4.-49有没有平方根？为什么？0没有，因为一个数的平方不可能是负数二、平方根的性质看谁算的又快有准通过这些题目的解答，你能发现什么?问题：（1）正数有几个平方根？它们之间有什

么关系？想一想因为任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根.（2）0的平方根是多少？（3）负数呢？正数有两个平方根，它们互为相反数0的平方根是0（1）平方根的性质：1.正数有两个平方根，它们互为相反数.2.0的平方根还是0.3.负数没有平方根.要点归纳（2）平方根的表示方法：正数a的正的平方根记为“

”,读作“根号a”，a叫作被开方数，正数a的负的平方根可以用“”表示，故正数a的平方根可以用“”表示，读作“正、负根号a”.说一说各表示什么意义？表示7的正的平方根表示7的负的平方根表示7的平方根下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根，如果没有，说明理由.（1）0.36；（2）-5；（3）（-4）2.例2解：（1）因为0.36是正数，所以0.36有两个平方根，（2）因为-5是负数，所以-5没有平方根；（3）因为（-4）2=16是正数，所以（-4）2有两个平方根，例3

一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数．解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4，则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0，解得a＝1.

所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.方法归纳：一个正数有两个平方根，它们互为相反数.1.判断下列说法是否正确，并说明理由．（1）81的平方根是9；（2）(-5)2的平方根是-5；（3）64的平方根是±8；（4）-16的平方根是-4．（5）0的平方根是0.做一做2．若一个数的平方等于5，则这个数等于

．当堂练习当堂反馈即学即用1.下列说法正确的是（

）A．平方根是本身的数是0和1B．1的平方根是1 C．-1的平方根是-1 D．0.1是0.01的一个平方根B当堂练习3.如果x2＝a，那么下列说法错误的是(

)A.若x确定，则a的值是唯一的B.若a确定，则x的值是唯一的C.a是x的平方D.x是a的平方根BCD5.下列说法正确的是_________.①-3是9的平方根;

②25的平方根是5;

③-36的平方根是-6;④平方根等于0的数是0.①④6.分别求64，，6.25的平方根.64的平方根是8与-8，的平方根是

与，6.25的平方根是2.5与-2.5.解:课堂小结归纳总结构建脉络平方根平方根的概念开平方及相关运算平方根的性质课堂小结8.1平方根第八章实数第2课时

算术平方根及其应用目录页讲授新课当堂练习课堂小结新课导入新课导入教学目标教学重点1.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根;（重点）2.会求非负数的算术平方根，掌握算术平方根的非负性．（重点、难点）学习目标情境引入

学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？5dm因为52=25新课导入讲授新课典例精讲归纳总结

已知一个正数，求这个正数的平方,这是平方运算.正方形的边长120.5正方形的面积1

一、算术平方根填表：表1思考：你能从表1发现什么共同点吗？40.25讲授新课正方形的面积140.3649正方形的边长已知一个正数的平方，求这个正数.表2表1和表2中的两种运算有什么关系？1

20.6

7

思考：你能从表2发现什么共同点吗？

正数a有两个平方根，其中正的平方根

叫作a的算术平方根，正数a的算术平方根用

来表示.（一）、算术平方根的概念a的算术平方根

互为逆运算平方根号被开方数读作：根号a（a≥0)(x≥0)

规定：0的算术平方根是0.0的算术平方根也记为3.下列说法正确的是

.①4是25的算术平方根.②0.01是0.1的算术平方根.①1.

下列说法正确的是(

)A．因为62＝36，所以6是36的算术平方根B．因为(－6)2＝36，所以－6是36的算术平方根

C．因为(±6)2＝36，所以6和－6都是36的算术平方根D．以上说法都不对A练一练：2．16的算术平方根是

．41.一个正数的算术平方根有几个？0的算术平方根有一个，是0.2.0的算术平方有几个？负数没有算术平方根.3.-1有算术平方根吗？负数有算术平方根?一个正数的算术平方根有1个合作与交流：（二

）、算术平方根的性质判断题：下列各式是否有意义？为什么？有有有无练一练不难看出：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.求下列各数的算术平方根：(1)100；(2)；(3)0.0001.例1

解：(1)因为102=100，所以100的算术平方根是10，

即(2)因为()2=，所以的算术平方根是，

即

；(3)因为0.012=0.0001，所以0.0001的算术平方

根是0.01，即=0.01.求下列各式的值：(1)； (2)；(3).例2解：(1)因为62=36，所以=6；

(2)因为0.92=0.81，所以；(3)因为，所以.（1）49的算术平方根是______;72一步运算两步运算（2）的算术平方根是______.例3

填空：

注意文字或算术的表述，读清题意，再进行计算，以防误解.

归纳：问题1:(1)因为_____2=64，所以64的算术平方根是____，

即

＝______.(2)因为_____2=0.25，所以0.25的算术平方根是______，

即

＝______.(3)因为_____2=0，所以0的算术平方根是______，

即

＝______.8880.50.50.5000问题2:讨论：在中，被开方数a是一个_____数，算术平方根是一个______数.非负

非负二、算术平方根的双重非负性算术平方根具有双重非负性a的算术平方根非负数非负数

解：无意义，因为其被开方数不是非负数．下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？

注意：被开方数为非负数.练一练解:因为|m-1|≥0，≥0，且|m-1|+=0,所以|m-1|=0，=0，所以m=1,n=-3,所以m+n=1+(-3)=-2.例4若|m-1|+=0,求m+n的值.几个非负数的和为0，则每个数均为0，初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根.

归纳3.若，则a=

；2.若，则m=

；4.若｜a-3|+，则式子(a+b)2021

=___.1.若|a+1|=0，

则a=

；-175-1练一练到目前为止，表示非负数的式子有：|a|≥0,a2

≥0,

≥0(a≥0).探究

怎样用两个面积为1dm2的小正方形拼成一个面积2dm2的大正方形？这个大正方形的边长是多少？

如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2dm2的大正方形.设大正方形的边长为xdm，则x2=2.由边长的实际意义可知所以大正方形的边长是小正方形的对角线的长是多少呢？探究有多大呢？因为12=1,22=4,12＜2＜22，所以1＜

＜2；因为1.42=1.96,1.52=2.25,1.42＜2＜1.52，所以1.4＜

＜1.5.因为1.412=1.9881,1.422=2.0164,1.412＜2＜1.422，所以1.41＜

＜1.42.因为1.4142=1.999396,1.4152=2.002225,1.4142＜2＜1.4152，所以1.414＜

＜1.415.......探究

如此进行下去，可以得到

的更精确的估计范围.事实上，=1.414213562373···，它是一个无限不循环小数.

实际上，很多正有理数的算术平方根（例如

，

，

等

）都是无限不循环小数.无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数，你以前见过这样的数吗？当堂练习当堂反馈即学即用AA当堂练习B

4.填空：

(1)一个数的算术平方根是8，则这个数是

.

(2)一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数是___；和这个自然数相邻的下一个自然数是

.5.计算：

(1)

的算术平方根为

.

(2)2的算术平方根为____.364a2a2+136.求下列各数的算术平方根:（1）121；

(2)；

(3)0.0001.解：(1)因为112=121,所以121的算术平方根是11，即;(2)因为,所以的算术平方根是，即

(3)因为0.012=0.0001,所以0.0001的算术平方根是0.01，即解:（1）

（2）7.求下列各式的值：（1）（2）（3）（3）解:设每块地板砖的边长为xm.由题意得故每块地板砖的边长是0.5m.9.用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间面积为60m2的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？10.已知：｜x+2y|+.求x-3y+4z的值.解：由题意得：解得课堂小结归纳总结构建脉络算术平方根算术平方根的概念算术平方根的双重非负性课堂小结第八章实数8.1平方根第3课时

用计算器求一个正数的算术平方根及估算目录页讲授新课当堂练习课堂小结新课导入新课导入教学目标教学重点1.会用计算器求算术平方根;2.掌握算术平方根的估算及大小比较．（重点）学习目标新课导入通过上节课的学习，我们知道

的范围是

你还记得这个范围是怎么推断出来的吗？你可以用同样的方法推断出

介入哪两个相邻整数之间吗？讲授新课典例精讲归纳总结大多数计算器都有

键，可借助计算器求一个正有理数a的算术平方根(或其近似数).a=一、用计算器求算术平方根按键顺序：不同的计算器的按键方式可能有所差别！用计算器求下列各式的值：(1)； (2)(结果保留小数点后三位).例1

解：(1)依次按键3136，

显示：56.∴=56.(2)依次按键，2，显示：1.414213562.∴≈1.414.下面来解决本章引言中提出的问题.由

及

的实际意义，得

，其中≈9.8（单位：m/s2），R≈6.4×106（单位：m）.用计算器求得因此，第二宇宙速度

约为1.12×104m/s，即11.2km/s.…………规律：被开方数的小数点向右每移动

位,它的算术平方根的小数点就向右移动

位;被开方数的小数点向左每移动

位,它的算术平方根的小数点就向左移动

位.(1)用计算器计算下表中的算术平方根,并将计算结果填在表中,你发现了什么规律?探究(2)用计算器计算(结果保留小数点后三位),并利用你在(1)中发现的规律说出的近似值,你能根据的值求出的近似值吗?例2

估算的值(

)A.在1和2之间B.在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间解析：因为42<19<52,所以4<<5.故选D.D

估计一个有理数的算术平方根的近似值，必须先判断这个有理数位于哪两个数的平方之间归纳例3

通过估算比较下列各组数的大小：(1)与1.9；(2)与1.5.解：(1)因为5>4，所以>2，所以>1.9.(2)因为6>4，所以>2，所以>=1.5.

比较数的大小，先估计其算术平方根的近似值归纳例4

小丽想用一块面积为40