【《钢轨外阻抗和互阻抗理论计算基础综述》3100字】

钢轨外阻抗和互阻抗理论计算基础综述目录TOC\o"1-3"\h\u10852钢轨外阻抗和互阻抗理论计算基础综述 1131491.1Carson地阻抗公式的计算 1113661.2钢轨外阻抗理论计算 8131541.3钢轨互阻抗理论计算 9单线轨道模型示意图如图1.4所示。当钢轨1和钢轨2组成的轨道电路中存在轨道电路信号电流和牵引电流回流时，会在钢轨的内部和周围形成交变磁场。外阻抗包含两部分，一部分指的是钢轨的纵向阻抗，另外一部分指的是单根钢轨与大地形成回路之间的阻抗，形成地回路阻抗。而对于钢轨互阻抗，其主要是由于两根钢轨之间形成一条具有低绝缘的电气回路所造成的。除此之外，还应该考虑当电流流经大地时，两根钢轨与地回路之间的阻抗。而在钢轨外阻抗和互阻抗的理论计算中，均包含有地回路阻抗的计算，为此，本文首先对地回路阻抗进行计算，其次在此基础之上，分别计算钢轨外阻抗和互阻抗。图1.4单线轨道模型示意图1.1Carson地阻抗公式的计算实际线路中，钢轨是位于大地之上，可将其看成架空线导体，因此对于钢轨外、互阻抗的计算，利用架空导体阻抗计算公式进行计算。目前，对于架空导体阻抗的计算普遍采用Carson地回路阻抗的级数算法[62]。钢轨外、互阻抗可表示为： (1.20) (1.21)其中，为钢轨外阻抗；为钢轨互阻抗；和分别为当大地为有损媒介时，单根钢轨与大地回路间的阻抗以及两根钢轨分别与大地形成回路之间的互阻抗。 (1.22) (1.23)其中，为虚数单位；为积分变量；为角频率；为钢轨离地面的高度；为钢轨等效半径；为钢轨1与钢轨2钢轨之间的水平距离，取值1.435m。Carson地回路阻抗与大地中的涡流效应密切相关，而土壤结构的不均匀性会影响感应涡流的分布。因此，钢轨外、互阻抗的计算与土壤结构有关。众所周知，涡流效应会导致电磁波能量的损耗，其损耗会随地表深度的增大呈现衰减趋势。在一定频率下，若土壤结构会在涡流损耗不能忽略的范围内发生变化，则在计算钢轨外、互阻抗时必须考虑要大地中土壤结构的分布。本文首先将大地视为为半无限均匀土壤模型，其次，进一步考虑大地分层下的水平多层土壤结构，以两层大地进行研究，将第一层视为一定深度土壤，第二层视为无限深。然后分别基于两种结构下的大地模型，计算钢轨外阻抗和互阻抗。当大地为半无限均匀模型时，被积函数可表示为： (1.24)因此，考虑大地为均匀土壤时，钢轨外阻抗和互阻抗计算公式[63]分别为： (1.25) (1.26)其中，为复传播常数的幅值；为土壤电阻率。当大地为两层土壤结构时，被积函数可表示为： (1.27)其中，d为第一层土壤的深度；为第一层土壤的电阻率；为第二层土壤的电阻率。因此，考虑大地为双层土壤结构下的钢轨外、互阻抗[64]为： (1.28) (1.29)由式1.35~式1.29可以看出，在钢轨与大地回路阻抗公式中，由于被积函数中存在半无限积分区间和负指数因子，故容易造成核函数振荡衰减从而导致其积分不易求解。对于Carson地回路阻抗公式，目前存在的求解方法是对公式的近似简化处理。如单项近似法[63]，这种方法只考虑了Carson公式泰勒级数展开的的第一项。因此，在计算时会造成一定的误差。对于分层大地下的Carson地回路阻抗公式，由于其反常积分项中存在极其复杂的积分核，当前还没有得到可以用于计算的近似解析表达式，主要基于数值方法对其进行计算。本文对Carson地回路阻抗公式中的无穷积分项进行改进，提出用AET（asymptoticextratechnique,渐进近似技术）法[65]对简化后的公式进行处理。然后采用分段线性近似对核函数的实部和虚部进行求解。对式1.25和式1.26进行积分代换，令，可得式1.30和式1.31。 (1.30) (1.31)由式1.30和式1.31可知，钢轨地回路阻抗积分项的被积函数分别由以及两部分构成，其中，前一项与影响外阻抗的参数无关，如钢轨高度、大地电导率等因素，仅与积分变量有关，因此，无论参数如何变化，这一项将保持不变。为便于计算，本文定义核函数[66]为： (1.32)经过分析可知，钢轨地回路阻抗的的求解关键在于对核函数的求解，实部和和虚部的表达式如式1.33所示。核函数实部和虚部随的变化如图1.5、图1.6所示。 (1.33) 图1.5核函数实部 图1.6核函数虚部 用AET法对式1.30和式1.31中的无限区间进行截断，可得式1.34、式1.35。并且由式1.36可求得式1.34和式1.35中核函数的实部和虚部的有限上限和。 (1.34) (1.35) (1.36)其中，。根据式1.32~1.36，可得： (1.37) (1.38)其中，m为核函数近似精度的数量级大小，取m=-7。对于式1.37和式1.38的非线性方程，可采用牛顿迭代法[67]进行求解计算。在matlab中调用Taylor级数展开式将非线性方程线性化，得到其近似表达式，并不断对旧值进行迭代递推出新值，得到非线性方程的近似根。同时将区间[0,]和[0,]细分为有限区间，在每个积分区间上间隔采样，并对采样点间的曲线进行线性近似，从而对式1.30和式1.31进行求解。图1.7是核函数虚部的分段线性近似求解，实部与此相同。图1.7核函数虚部分段线性逼近如图1.7所示，对于第k个有限单元区间，当，核函数的实部和虚部可表示为： (1.39) (1.40)其中，和分别是核函数实部和虚部的样本点总数，即核函数实部和虚部分别被分为和个有限区间，可知所取样本点数越多，划分区间越密，其分段线性近似精度越高。在本文核函数近似精度的约束下，实部和虚部的样本点数分别取值为3000和5000。、、、的表达式如下所示： (1.41) (1.42)采用线性近似对核函数的截断积分进行求解，并对式1.34和式1.35进行整理，得到了和便于计算的表达式，且该表达式不含有半无限积分区间且被积函数计算收敛。其公式如下所示： (1.43) (1.44)采用分部积分法可直接对式1.43和式1.44进行计算，可得到： (1.45) (1.46)在考虑大地为分层结构下计算Carson地回路阻抗时，本文提出采用AET法将阻抗表达式中的被积函数截断为两部分，并分别采用样条函数和指数积分函数[68]对截断后的定积分和含无穷上限的尾部积分进行拟合近似计算。基于AET法，可以将式1.28和式1.29化简为： (1.47) (1.48)其中，取截断值在[0,T]内，使用N+1个样本点对区间分段，并在每两个分段点之间采用三次样条插值函数对近似逼近，可以得到： (1.49) (1.50)其中，N代表子区间的个数；为拟合系数；为窗函数，其区间端点为和；为位移了的赫维赛德函数[69]。当t>T时，利用泰勒展开式对和进行计算，可将化简为： (1.51)令对尾部积分项进行换元积分后，将式1.49和式1.51分别带入式1.47和式1.48，可得： (1.52) (1.53)对式1.52和式1.53的中定积分可采用矩函数法[70,71]进行计算。根据欧拉公式[72]和指数积分函数进一步对上式进行化简得到含双层大地结构下的钢轨外、互阻抗公式如式1.54和式1.55所示。 (1.54) (1.55)其中，；。 (1.56) (1.57)由于矩函数可以解析计算，且指数函数也可以通过调用matlab的内置函数实现数值计算。基于本文化简方法可完全避免了在计算时存在积分核函数高频振荡的问题，可以用于双层大地条件下钢轨外阻抗和互阻抗的计算。1.2钢轨外阻抗理论计算钢轨外阻抗以单根钢轨为研究对象，其计算主要包含两部分内容，其中对于地回路阻抗采用carson公式计算，而对于外阻抗中的纵向阻抗，采用Carson地回路阻抗公式计算。外阻抗计算中不涉及内阻抗计算。外阻抗计算模型如图1.8所示：图1.8钢轨外阻抗计算模型纵向阻抗主要基于钢轨和大地为完美导体时进行考虑的。其计算公式为： (1.58)根据式1.20对式1.58和式1.45整理，可以得到均匀大地情况下的钢轨外阻抗的计算公式为： (1.59)根据式1.20对式1.58和式1.54整理，可以得到双层大地情况下的钢轨外阻抗计算公式为： (1.60)1.3钢轨互阻抗理论计算钢轨互阻的计算由两部分构成，一部分由两根钢轨自身磁场进行相互影响而产生的，用表示，用Carson公式计算；另一部分是钢轨分别与大地形成的回路之间的相互作用，用表示，用Carson地回路阻抗公式计算。钢轨互阻抗的计算模型如图1.9所示。图1.9钢轨互阻抗计算模型为钢轨和大地为完美导体时钢轨间的互阻抗，其计算公式如下： (1.61)其中，和分别为钢轨离地高度；为钢轨1与钢轨2的镜像导体之间的距离。由式1.61可知，仅包含互感项，而平行传