G20示范高中联盟2026届高三核心素养联合测评数学试题（含答案）

2026届高三核心素养测评

数学

本测评共150分,时间120分钟.

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一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符

合题目要求的.

4

1.已知集合A={x|(x__1)2>0},B={x|x≤1,x∈z},则A∩B=

A.[__1,1]B.(__1,1)C.{__1,0}D.{__1,0,1}

1

2.已知随机变量X,Y分别服从正态分布和二项分布,且X~N(1,3),Y~B(4,),则

2

A.E(X)=E(Y)B.D(X)=D(Y)C.D(X)=E(Y)D.E(X)=D(Y)

3.已知x为复数,下列选项中是方程i2026.x3=_1的根的是

C.cos+i.sinD.cos+i.sin

4.已知数列{an}满足a2=6,an+1_2=an+2n,则a2026的个位数字为

A.2B.3C.4D.6

5.已知两条直线l1:y=2x,l2:yx,有一动圆M与l1交于A,B两点,与l2交于C,D两点,且AB

=2,CD=4,则圆心M的轨迹为

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

6.在平面直角坐标系x0y中,以x“非负半“为始边作角x和角x__,x∈[,],它们的终边分

别与单位圆交于点M,N,设线段MN的中点P的纵坐标为y0,若y则点M的纵坐标是

A._B.C.D.

7.已知函数f(x)满足f(x)≥0,则“f(x)单调递减”是“存在h>0,对任意的x∈R,均有f(x+h)<

f(x)+f(h)”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

22

8.已知点A(x1,y1),B(x2,y2),定义dAB=1/(x1_y2)+(x2_y1)为A,B的“镜像距离”.若点A,

x__2

B在曲线y=e+a上,且dAB的最小值为2,则实数a的值为

A.1_12B.1+12C.1__212D.1+212

二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要

求.全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.

关

9.设数列{an}的前n项和为5n,满足5n=2an_2(n∈N).则下列说法中正确的是

A.a5=32

B.54=62

《高三.数学.核心素养》第1页(共4页)

C.{5n+2}是等比数列

D.若bn=lon,数列前n项和Tn.则Tn<1

10.如图,正方体ABCD__A1B1C1D1的棱长为2,E是DD1的中点,则

A.若F是BB1的中点,则直线AF与C1E是您面直线

B.由B1,C,E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为312+215

C.C1E与平面BCE所成角为

D.三棱锥C1__B1CE的外接球的表面积为

11.数学中有许多形状优美的曲线,曲线C:x2+y2=213|x|__2|y|就是其中之

一,其形状酷似数学符号“∞力(如图),对于此曲线,下列说法正确的是

A.曲线C与直线y=x有3个公共点

B.曲线C与圆x2+y2=5有4个公共点

C.曲线C所围成的图形的面积为

D.若点P在曲线C上,点Q(0,__2),线段PQ的长度可能为4

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

12.直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方怯之一.某村统计了一合

作社最近100天通过直播带货销售农产品的日销售额x(单位:万

元),并绘制成右侧的频率分布直方图,则a=;x的第80

百分位数为.

13.如图,设0x,0y是平面内相交成60。角的两条数轴,e1,e2分别是与x轴,y轴

__→

正方向同向的单位向量,若向量0P=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫做向量

__→

0P在坐标系x0y中的坐标.在该坐标系下向量a=(1,2),b=(3,__1),则|2a

__b|=.

14.函数f(x)=sin|x|+|cosx|__|sin|x|__|cosx||的最小值为.

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

已知椭圆C的短轴长为2,右顶点为抛物线y2=412x的焦点,

(1)求椭圆的标准方程和离心率;

_→_→

(2)若直线l过椭圆C的右焦点F且与椭圆C相交于P,Q两点(点P在x轴上方),PF=__2QF(0

为坐标原点),求直线l的方程.

《高三.数学.核心素养》第2页(共4页)

16.(本小题满分15分)

▽ABC中,ABTBC,P是▽ABC内一点,PA=2PB=12PC=2.

(1)若sin7BAP求sin7BCP;

(2)若AB=BC,求▽ABC中AC边上的高.

17.(本小题满分15分)

如图,四棱锥P_ABCD顶点A在平面α内,其余顶点均在平面α同侧,PAT平面ABCD,

2

四边形ABCD为正方形,AB=PA=2,点M为PD的中点,点B与点D到平面α的距离为1.

2

(1)求证:AMTPC;

(2)求平面PCD与平面α夹角的余弦值.

《高三●数学●核心素养》第3页(共4页)

18.(本小题满分17分)

已知函数f(x)=xlnx,

(1)求不等怯0<f(x)<e的解集;

(2)已知a<0,求g(x)=f(x)_2x+a的零点个数;

若0<x1<x2,x0∈(x1,x2)且f,求证:x0>.

19.(本小题满分17分)

流行病学调查表明某种疾病5是由致病菌“和致病菌β共同引起的,且至少杀灭其中一种

致病菌即可痊愈.

2

(1)若有某种治疗方案M,有的概率能杀灭致病菌“.若这种治疗方案能杀灭致病菌“,则它有

3

的概率能杀灭致病菌β.若这种治疗方案不能杀灭致病菌“,则它有的概率能杀灭致病菌

β.求使用治疗方案M痊愈的条件下,能杀灭致病菌“的概率;

(2)若市面上仅有两款药物A和药物B对疾病5有疗效,且这两种药物的疗程各均为3天(假定

药物使用时,均按疗程服用3天),超过3天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不

见效,依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈.已知药物A杀灭致病菌“和致病菌β的概

率分别为,且对于同一种药物,杀灭两种致病菌的事件相互独立.药物B杀灭致病菌“

和致病菌β的概率均为.请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短?

(3)已知某种药物C能治愈疾病5的概率为P0.设针对药物C的n(n≥3)次临床试验中有连续

3次或连续3次以上治愈疾病5的概率为Pn,且每次治疗结果相互独立.求证:Pn+1>Pn≥1

33n__3

__(1__P0)[1__P0(1__P0)].

《高三●数学●核心素养》第4页(共4页)

高三●数学●核心素养●参考答案<f(x)+f(h),但是f(x不是单调递减函数,故

选择题“f(x)单调递减”是“存在h>0,对任意的x∈R,均有f(x+h)

1.C2.D3.D4.A5.C6.B7.A<f(x)+f(h)”的不必要条件;综上可知,“f(x)单调递减”是

8.B9.ACD10.BD11.ABD“存在h>0,对任意的x∈R,均有f(x+h)<f(x)+f(h)”的

充分不必要条件故选

填空题.A.

8.由函数可得x=ln(y__a)+2,即y=ln(x__a)+2,：y=ex__2+

12.0.25.413.12114.__2

x__2

的反函数为=ln(x__a)+2由点(x2,2)在曲线=e

提示:ay.Byy

4+a上,可知点B1(y2,x2)在其反函数y=ln(x__a)+2上,：

1.由题意得,A={x|(x__1)2>0}={x|x≠1},B={x|x≤1,

22x__2

dAB=(x1__2)+(x2__1)相当于=e+a上的点

x∈z}={x||x|≤1,x∈z}={x|__1≤x≤1,x∈z}=1yyy

A(x1,y1)到曲线y=ln(x__a)+2上点B1(y2,x2)的距离,即

{___1,0,1},：A∩B={___1,0}.故选C.

122

AB=AB=__2+__1利用反函数性质可得

dd11(x1y)(x2y),y

2.由题可得E(X)=1,E(Y)=4X=2,D(X)=3,D(Y)=4X

2x__2

=e+a与y=ln(x__a)+2关于y=x对称,：当AB1与y

X(1__)=1,：E(X)=D(Y).故选D.1

=x垂直时,dAB=dAB1取得最小值为2,因此A,B两点到y=

20263332

3.:i.x=__1,：x=1,x∈c,：x__1=0,即(x__1)(x+x的距离都为1.过点B1作切线平行于直线y=x,斜率为1,由

__,得可得,

x+1)=0,解得x=1或x故选D.y=ln(xa)+2yx=a+1y=ln(a+1

__a)+2=2,即B1(a+1,2),点B1到y=x的距离d=

4.依题意,an+1__2=an+2n,令n=1,得a2__2=a1+2,a1=a2__

4=2,an+1__an=2n+2,an__an__1=2n(n≥2),：an=a1+(a2__,解得a=1±12.当a=1__12时,y=ln(x__a)+

2=ln(x__1+12)+2与y=x相交,不合题意;当a=1+12时,

与不相交符合题

=n(n+1),当n=1时上怯也符合,：an=n(n+1),则a2026=y=ln(x__a)+2=ln(x__1__12)+2y=x,

2026.2027,个位数字为2.故选A.意.综上,a=1+12.故选B.

5.设动圆的圆心坐标为(x,y),圆心到直线l1:y=2x的距离为9.当n=1时,a1=51=2a1__2,解得a1=2.当n≥2时,5n__1=2an__1

d圆心到直线l2:=x的距离为d

y__2,：an=5n__5n__1=2an__2__(2an__1__2),即=2,：数列

是以首项为,公比为的等比数列,故n∈关)对于

又动圆M与l1交于A,B两点,与l2交于C,D两点,且AB={an}22an=2(nN.

5n

22A,a5=2=32,故A正确;对于B::an=2,,：5n=2an__2=

2,CD=4,：d1+1=d2+4,即

n+1n+1

2__2,：54=30,故B错误;对于C::5n=2__2,则5n+2

n+1

4,化简得：圆心M的“迹为双曲线.故选C.=2,：{5n+2}是以4为首项,2为公比的等比数列,故C正

n

确;对于D::an=2,：bn=logan=__n

6.由题意可得,M(cosx,sinx),N(cos(x__),sin(x__)),则

=__.：Tn=(1__)+(__)+(__)+…+

故D正确.故选ACD.

131313

sinx__cosx=sin(x__),由0=__可得sin(x__

42y4

10.对于A,直线AF与C1E是平行直

),[,],[,],(

=__:x∈：x__∈:sinx__线,故A错误;对于B,如图,过B1,

C,E三点确定的平面与正方体相交

13

)<0,：cos(x__)=__,：yM=sinx=sin[(x__)+

2形成的截面为等腰梯形B1CEF,F

为A1D1的中点(平行则四点共面),

sincoscossin故选B.

：等腰梯形B1CEF的周长为312+

,,,222222

7.充分性分析::h>0：x+h>x:f(x)单调递减：f(x+h)215,B正确.对于C,:C1E+CE=2+1+2+1=10≠

2

<f(x),:f(x)≥0,：f(h)≥0,：f(x)≤f(x)+f(h),：f(xC1C,：C1E与CE不垂直,：C1E与平面BCE不可能垂直,

+h)<f(x)≤f(x)+f(h),：f(x+h)<f(x)+f(h),：故C错误;对于D,坐标法:以A为

“f(x)单调递减”是“存在h>0,对任意的x∈R,均有f(x+h)坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分

别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

<f(x)+f(h)”的充分条件;必要性分析:设f(x

则C1(2,2,2),B1(2,0,2),C(2,2,

取h=12,当x∈Q时,x+h旺Q,则f(x+h)=1,f(x)=0,0),E(0,2,1),设外接球的球心为

f(h)=1,此时f(x+h)=1<0+1=f(x)+f(h);当x旺Q时,(x,y,z),则(x__2)2+(y__2)2+(z

则f(x+h)≤1,f(x)=1,f(h)=1,此时f(x+h)≤1<1+1=__2)2=(x__2)2+(y__0)2+(z__

f(x)+f(h);故存在h=12>0,对任意的x∈R,均有f(x+h)

《高三.数学.核心素养》第5页(共4页)

2)2,(x__2)2+(y__2)2+(≈__2)2=(x__2)2+(y__2)2+(x：f(x)=sin|x|+|cosx|__|sin|x|__|cosx||是偶函数,：只

222222

__0),(x__2)+(y__2)+(≈__2)=(x__0)+(y__2)+(≈需要研究x≥0部分,即f(x)=sinx+|cosx|__|sinx__

__1)2,求得x=,y=1,≈=1,：R2=(__2)2+(1__2)2+|cosx||,由于f(x+2π)=sin(x+2π)+|cos(x+2π)|__

|sin(x+2π)__|cos(x+2π)||=sinx+|cosx|__|sinx__

|cosx||=f(x),：当x≥0时,f(x)=sinx+|cosx|__|sinx

yx||

2____|cosx是一个周期为2π的函数,则只需要研究一个周期x

11.对于A,由,可得2x=2||(3

2x1

{xy=23|x|__2|y|

1∈[0,2π]的最小值,以下分类讨论:则当0≤x≤时,f(x)=

1),：x2=|x|(13__1),即|x|2=|x|(13__1),解得|x|=0或

sinx+cosx__|sinx__cosx|=sinx+cosx+sinx__cosx=

|x|=13__1,：x=0或x=13__1或x=1__13,：曲线C与

≤≤

直线y=x有3个公共点,故A正确;对于B,由2sinx,此时最小值为f(0)=0,当x时,f(x)=sinx

22

x+y=5+cosx__|sinx__cosx|=sinx+cosx__sinx+cosx=2cosx,此

,可得213|x|__2|y|=5,则有|y|

{22||||

x+y=213x__2y时最小值为f()=0,则当≤x≤时,f(x)=sinx__

2222

=13|x|__,平方得y=3x__513|x|+,代入x+y=cosx__|sinx+cosx|=sinx__cosx__sinx__cosx=__2cosx,此

5,得4x2__513|x|+=5,即16|x|2__2013|x|+5=0,:时最小值为f()=0,当≤x≤时,f(x)=sinx__cosx

__|sinx+cosx|=sinx__cosx+sinx+cosx=2sinx,此时最小

20353

△=400X3__4X16X5=880>0,1=1>0,>0,：

164值为f()=__2,当≤x≤2π时,f(x)=sinx+cosx__

2

关于|x|的方程16|x|__2013|x|+5=0有两个不同的正|sinx__cosx|=sinx+cosx+sinx__cosx=2sinx,此时最小值

根,从而得x有四个不同的解,：曲线C与圆x2+y2=5有4

为f综上最小值为__2.

个公共点,故B正确;对于C,x2+y2=23|x|__2|y|⇋

1解答题

15.(1):椭圆C的短“长为2,

如图所示:

可得2b=2,：b=1,(2分)

又:椭圆C的右顶点为抛物线y2=412x的焦点(12,0),

曲线C所围成的图形的面积为四个全：a=12,(4分)

等弓形0AB的面积之和,设弓形：c=1

一

的面积为,:所在圆的圆2

0AB51AB：椭圆C的方程为y=1.

心为D(13,__1),半径为2,0A=

离心率为e分)

2π122π(2)由题意知l的斜率不为0,F(1,0),

(0,π),：LAD0=：扇形AD0的面积5,=X2X

,(7分)

323

故设l的方程为x=my+1,P(x1,

△AD曲线C所

y1),Q(x2,y2).

围成的图形的面积为故C错误;对于D,当

由y2+2my__1=0,

P与A(213,0)或(__213,0)重合时,则|PQ|=

222

1/(±213)+2=4,故D正确.故选ABD.△=8m+8>0,y1+y2=,y1y2=.(9分)

12.设销售额的第80百分位数为m,由已知1X(0.16+a+0.26→→

:F=__2F,依题意知,y1>0,y2<0,

+a+0.12+0.06)=1,解得a=0.2,又1X(0.16+0.2+

：y1=___2y2,m<0,(10分)

0.26)=0.62<0.8,1X(0.16+0.2+0.26+0.2)=0.82>

0.8,：m∈[4.5,5.5),且1X(0.16+0.2+0.26)+(m__4.5)

则

X0.2=0.8,解得m=5.4.

13.依题意,|e1|=|e2|=1,e1●e2=cos60oa=e1+2e2,b=

22解得m分)

2e1__e2,：2a__b=__e1+5e2,：(2a__b)=(__e1+5e2)=1

：直线l的方程为xy+1,

14.由于f(__x)=sin|___x|+|cos(__x)|__|sin|__x|__|cos(__x)||

=sin|x|+|cosx|__|sin|x|__|cosx||=f(x),且定义域为R,即y

《高三.数学.核心素养》第6页(共4页)

12

16.(1)根据正弦定理得由点B与点D到平面α的距离为,

2

：SinLABP分)

得

由顶点P,B,C,D均在平面α同侧,

根据正弦定理得

取x=1,y=1,得≈=16,"=(1,1,16),(13分)

因此COS

116

(2)设AB=BC=a,平面PCD与平面α夹角的余弦值为.(15分)

在△APB中,根据余弦定理,

18.(1)已知f(x)=xlnx(x>0),对其求导可得f,(x)=lnx+1,(1分)

PA2=PB2+AB2__2PBXABXCOSLABP

2令f,(x)=0,解得x分)

得4=1+a__2aXCOSLABP,

当变化时,(),()的变化情况如下表:

化简得COSLABPxf,xfx

111

在△CPB中,根据余弦定理,x(0,)(,+∞)

eee

222

PC=PB+CB__2PBXCBXCOSLCBP__

f,(x)0+

得2=1+a2__2aXCOSLCBP,

f(x)\极小值尸

化简得COSLCBP分)(4分)

f(1)=0,f(e)=e,结合f(x)的草图可得不等怯0<f(x)

<e的解集为{x|1<x<e}.(5分)

(2)由题意可知g(x)的定义域为(0,+∞),

且g,(x)=lnx__1.

则当x∈(0,e)时,g,(x)<0;当x∈(e,+∞)时,g,(x)>0.

故g(x)在区间(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递

增.(7分)

:a<0,：g(x)min=g(e)=__e+a<0.(8分)

化简得a4__6a2+5=0,解得a2=5或a2=1.(12分)当x∈(0,e2]时,xlnx__2x≤0,a<0,故g(x)<0;(9分)

又+=3>=,__=1<=,22__a2__a2__a

PAPBABaPAPBABa当x>e时,g(e2__a)=(2__a)e__2e+a=__a(e

：a=15.(14分)__1)>0.(10分)

510()在(2,+∞)上单调递增,

:△ABC中AC边上的高1=1.(15分):gxe

122：当a<0时,f(x)有且仅有一个零点.(11分)

17.(1)在四棱锥P__ABCD中,PA丄平面ABCD,且四边形

(3)证明:由f,

ABCD为正方形,则直线AB,AD,AP两两垂直,

以点A为原点,直线AB,AD,AP分别为x,y,≈轴建立得lnx0+1,

空间直角坐标系,(2分)

则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,则lnx

2,0),C(2,2,0),P(0,0,2),

要证x0,可证lnlnx0,

M(0,1,1),(3分)

=(0,1,1),

即证ln

→C=(2,2,__2),(4分)

因此●→C=0X2+1X2+1X(__2)=0,令t,即证ln

即丄→C,(5分)

即证ln

：AM丄PC.(6分)

→→

(2)由(1)得D=(0,2,__2),D=(__2,0,0),下证lntlnt+t__1<0

设平面PCD的法向量m=(a,b,c),

先证lnx≤x__1(x>1),

则取c=1,得m=(0,1,1),

设=x__1__lnx,x>1,φ,

设平面α的法向量"=(x,y,≈),当x>1,φ,(x)>0

→→

点A∈α,B=(2,0,0),D=(0,2,0),:φ(x)在(1,+∞)上单调递增,

《高三●数学●核心素养》第7页(共4页)

则φ(x)>φ(1)=0,：x__1>lnx.(14分)

这表明Pn随n增大而增大,Qn随n增大而减小,

令Flnxlnx+x__1：有Qn<Qn__3,(14分)

33

另一方面,由Qn+1__Qn=__P0(1___P0)Qn__3<__P0(1__

则只需证明F(x)<0,

P0)Qn,

又:lnx≤x__1(x>1),

33

可得Qn+1<[1__P0(1__P0)]Qn,即<1__P0(1__

P0),(15分)