相似三角形应用举例

情境引入

胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230米．据考证，为建成胡夫金字塔，共动用了10万人花了20年时间.原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，所以高度有所降低．

在古希腊，有一位伟大的数学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧.”这在当时的条件下是个大难题，因为很难爬到塔顶．你知道泰勒斯是怎样测量金字塔高度的吗？情境引入在同一时刻，太阳光从同一个方向斜射在国旗杆和旁边木桩上，分别测量一下它们的影长，计算影长和它们的自身高度的比，你会有什么发现？自主探究结论：在平行光线的照射下，同一时刻，两个物体的高度与影长成比例.例1据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．自主探究

如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO．怎样测出OA的长？自主探究

分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，结合已知条件求出金字塔的高度．

解：太阳光是平行光线，因此∠BAO=∠EDF．

又∠AOB=∠DFE=90°，

∴△ABO∽△DEF．

∴

∴

因此金字塔的高度为134m．自主探究

拓展：若在一个阴天，没有太阳光，还能测量金字塔的高度吗？方法提示：用镜面反射（如下图，点A是个小镜子，根据光的反射定律：由入射角等于反射角构造相似三角形）.自主探究

例2

如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P

，Q

，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已测得QS=45m，ST=90m，QR=60m,请根据这些数据,计算河宽PQ．自主探究

即

，

，

PQ×90=（PQ+45）×60．

解得

PQ=90（m）．

解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST．∴故河宽大约为90m．自主探究思考：你还可以用什么方法来测量河的宽度？解：如下图构造相似三角形.（测得QC=60m,AC=30m,AB=45m）因为∠ACB=∠QCP，

∠BAC=∠PQC=

90°，所以△CBA∽△CPQ，所以

，所以PQ===90(m).·

QCABAC×604530自主探究

在同一时刻物体的高度与它的影长成正比，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米？解：设高楼的高度为x米，则答：楼高54米.自主探究相似三角形的应用主要有如下两个方面：（1）测高（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）.测高的方法：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.总结提高

（2）测距（不能直接测量的两点间的距离）.

测距的方法：测量不能到达的两点间的距离，常构

造相似三角形求解.师生小结：总结提高选做题：1.如图，某同学身高AB=1.60m,他从路灯杆底部的点D直行4m到点B，此时其影长PB=2m,求路灯杆CD的高度.

必做题：教材第43页习题27.2第9题.作业：总结提高2.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB,AC上，这个正方形零件的边长是多少？