高三二轮高效复习主题巩固卷数学导数中函数的构造问题

[课下巩固检测练(九)]导数中函数的构造问题(单选题、填空题每题5分，多选题每题6分)1.已知f(x)是定义在R上的偶函数，f'(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f'(x)－2x＞0，且f(1)＝3，则f(x)＞x2＋2的解集是()A.(－1，0)∪(1，＋∞)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－1，0)∪(0，1)D.(－∞，－1)∪(0，1)解析：选B.令g(x)＝f(x)－x2，因为f(x)是偶函数，则g(－x)＝f(－x)－(－x)2＝g(x)，所以函数g(x)也是偶函数，g'(x)＝f'(x)－2x，因为当x≥0时，g'(x)＝f'(x)－2x＞0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，不等式f(x)＞x2＋2即为不等式g(x)＞2，由f(1)＝3，得g(1)＝2，所以g(x)＞g(1)，所以｜x｜＞1，解得x＞1或x＜－1，所以f(x)＞x2＋2的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞).2.已知可导函数f(x)的导函数为f'(x)，若对任意的x∈R，都有f'(x)－f(x)＜1，且f(0)＝2024，则不等式f(x)＋1＞2025ex的解集为()A.(－∞，0) B.(0，＋∞)C.(－∞，1e) D.(－∞，1解析：选A.构造函数F(x)＝f(x)+1ex，则F'(x因为f'(x)－f(x)＜1，所以F'(x)＜0恒成立，故F(x)＝f(x)+1ex在R上单调递减，f(x)＋1＞2025ex可变形为又f(0)＝2024，所以F(0)＝f(0)+1e所以F(x)＞F(0)，解得x＜0.3.已知偶函数f(x)的定义域为(－π2，π2)，其导函数为f'(x)，当0＜x＜π2时，有f'(x)cosx＋f(x)sinx＜0成立，则关于x的不等式f(x)＜2f(π3)cosx的解集为A.(－π2，－π3)∪(π3B.(－π3，πC.(－π2，－πD.(π3，π解析：选A.因为偶函数f(x)的定义域为(－π2，π2)，所以设g(x)＝则g(－x)＝f(-x)cos(-x)＝当0＜x＜π2时，根据题意g'(x)＝f'(则g(x)在(0，π2)上单调递减，且为偶函数，则g(x)在(－π2，0)所以f(x)＜2f(π3)cosx⇔f(x)cosx＜f(π3)cosπ3解得x∈(－π2，－π3)∪(π3，4.(多选)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf'(x)－1＞0，则下列结论正确的是()A.f(2)－ln2＞f(1)B.f(4)－f(2)＞ln2C.f(2)＋ln2＞f(e)＋1D.f(e2)－f(e)＞1解析：选ABD.构造函数g(x)＝f(x)－lnx，x＞0，则g'(x)＝f'(x)－1x＝xf因为xf'(x)－1＞0，所以g'(x)＞0，故g(x)是增函数，由g(2)＞g(1)得，f(2)－ln2＞f(1)－ln1，即f(2)－ln2＞f(1)，故A正确；由g(4)＞g(2)得，f(4)－ln4＞f(2)－ln2，即f(4)－f(2)＞ln4－ln2＝ln2，故B正确；由g(e)＞g(2)得，f(e)－lne＞f(2)－ln2，即f(e)＋ln2＞f(2)＋1，故C错误；由g(e2)＞g(e)得，f(e2)－lne2＞f(e)－lne，即f(e2)－2＞f(e)－1，即f(e2)－f(e)＞1，故D正确.5.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，若对任意实数x，有f(x)＞f'(x)，且f(x)＋2025为奇函数，则不等式f(x)＋2025ex＜0的解集是()A.(－∞，0) B.(－∞，ln2025)C.(0，＋∞) D.(2025，＋∞)解析：选C.设g(x)＝f(x)ex，则g'(因为f(x)＞f'(x)，所以g'(x)＜0，所以g(x)为定义在R上的减函数，因为f(x)＋2025为奇函数，所以f(0)＋2025＝0，f(0)＝－2025，g(0)＝f(0)e0＝－2025，f(x)＋2025ex＜0，即f(x)ex＜－2025，即g(x)＜6.已知函数y＝f(x)对任意的x∈(－π2，π2)满足f'(x)cosx－f(x)sinx＞0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是(A.f(－π3)＞2f(－πB.f(π3)＜2f(πC.2f(0)＜f(π3D.f2(0)＞f(π4解析：选C.构造函数g(x)＝f(x)cosx，x∈(－π2，π2则g'(x)＝f'(x)cosx－f(x)sinx＞0，所以g(x)在(－π2，π2)则g(－π3)＜g(－π4)，所以f(－π3)cos(－π3)＜f(－π4)cos(－π4)，即f(－π3)＜2f(－则g(π3)＞g(π4)，所以f(π3)cosπ3＞f(π4)cosπ4，即f(π3)＞2f(则g(0)＜g(π3)，所以f(0)cos0＜f(π3)cosπ3，即2f(0)＜f(π3)，则g(0)＜g(π4)，所以f(0)cos0＜f(π4)cosπ4，即2f(0)＜f(π4)，7.已知a＝ln1.01，b＝1.01，c＝e0.01，则()A.a＜b＜c B.a＜c＜bC.c＜b＜a D.c＜a＜b解析：选A.易知a＝ln1.01＜1，c＝e0.01＞1，构造函数f(x)＝ex－x+1求导得f'(x)＝ex－1，易知当x≥0时，f'(x)＝ex－1≥0，f(x)单调递增；所以f0.01＝e0.01－0.01+1＞f0＝0，所以c＞b＞1，所以a＜8.设a＝1e，b＝ln2＋12e(e为自然对数的底数)，c＝ln3－23，则A.a＜b＜c B.a＜c＜bC.b＜a＜c D.b＜c＜a解析：选B.设f(x)＝x－lnx－1，x＞0，f'(x)＝1－1x＝x－1x＝0，得当x∈0，1时，f'(x)＜0，f(x)在0当x∈1，＋∞时，f'(x)＞0，f(x)在(1，＋∞a＝f1e，b＝f12e＝12e－ln12e－1＝12e＋因为0＜12e＜13＜1e＜1，所以a＜9.设a＝521，b＝ln3121，c＝sin521，则(A.c＜b＜a B.a＜b＜cC.c＜a＜b D.b＜c＜a解析：选C.设f(x)＝x－sinx，x∈0，f'(x)＝1－cosx≥0，所以f(x)单调递增，则f521＞f0＝0所以521＞sin521，即a＞设g(x)＝ln1+2x－x，x∈0g'x＝21+2x－1＝1-2x1+2x所以g(x)在0，12上单调递增，所以g521＞g所以ln1+1021＝ln3121＞521，则b＞a，所以b＞10.已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为f'(x)，且当x∈(0，＋∞)时，f'(x)sinx＋f(x)cosx＜0.若a＝22f(－π6)，b＝－f(π4)，则a与b的大小关系为.(用解析：设φ(x)＝f(x)·sinx，则φ'(x)＝f'(x)sin