2025年单独招生考试数学卷(含答案)

2025年单独招生考试数学卷(含答案)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A\capB=\)（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{2,3,4\}\)D.\(\{1,3,4\}\)2.函数\(y=\sqrt{x1}\)的定义域是（）A.\((\infty,1)\)B.\((\infty,1]\)C.\((1,+\infty)\)D.\([1,+\infty)\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(3,1)\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\)（）A.1B.1C.5D.54.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)是第二象限角，则\(\cos\alpha=\)（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(\frac{3}{4}\)5.等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(a_{3}=6\)，则\(a_{2}=\)（）A.3B.4C.5D.66.直线\(2xy+1=0\)的斜率是（）A.2B.2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)7.不等式\(x^{2}4x+3\lt0\)的解集是（）A.\((1,3)\)B.\((\infty,1)\cup(3,+\infty)\)C.\((3,1)\)D.\((\infty,3)\cup(1,+\infty)\)8.函数\(y=\log_{2}(x+1)\)的图象经过点（）A.\((0,0)\)B.\((1,0)\)C.\((0,1)\)D.\((1,1)\)9.已知圆的方程为\((x1)^{2}+(y+2)^{2}=4\)，则圆心坐标是（）A.\((1,2)\)B.\((1,2)\)C.\((1,2)\)D.\((1,2)\)10.从\(5\)名男生和\(3\)名女生中选\(3\)人参加某项活动，则至少有\(1\)名女生的选法有（）A.10种B.30种C.55种D.60种二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.计算\(\log_{3}9=\)______。12.已知角\(\alpha\)的终边经过点\((3,4)\)，则\(\tan\alpha=\)______。13.若函数\(f(x)=x^{2}+2x+m\)在区间\([2,3]\)上的最大值为\(10\)，则\(m=\)______。14.抛物线\(y^{2}=8x\)的焦点坐标是______。15.已知\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec{b}=(1,\lambda)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，则\(\lambda=\)______。三、解答题（本大题共3小题，共25分）16.（本小题满分8分）已知函数\(f(x)=2\sinx\cosx+\sqrt{3}\cos2x\)。（1）求函数\(f(x)\)的最小正周期；（2）求函数\(f(x)\)在区间\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的最大值和最小值。17.（本小题满分8分）已知数列\(\{a_{n}\}\)是等比数列，\(a_{1}=1\)，\(a_{4}=8\)。（1）求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；（2）设\(b_{n}=\log_{2}a_{n}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)。18.（本小题满分9分）已知直线\(l\)经过点\(P(2,1)\)，且与直线\(2x+3y1=0\)垂直。（1）求直线\(l\)的方程；（2）求直线\(l\)与两坐标轴围成的三角形的面积。答案一、选择题1.答案：B解析：根据交集的定义，\(A\capB\)是由既属于集合\(A\)又属于集合\(B\)的所有元素组成的集合，所以\(A\capB=\{2,3\}\)。2.答案：D解析：要使根式有意义，则根号下的数非负，即\(x1\geq0\)，解得\(x\geq1\)，所以函数\(y=\sqrt{x1}\)的定义域是\([1,+\infty)\)。3.答案：A解析：若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2\)，所以\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times3+2\times(1)=32=1\)。4.答案：B解析：因为\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，所以\(\cos^{2}\alpha=1\sin^{2}\alpha=1(\frac{3}{5})^{2}=\frac{16}{25}\)。又因为\(\alpha\)是第二象限角，\(\cos\alpha\lt0\)，所以\(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)。5.答案：B解析：在等差数列\(\{a_{n}\}\)中，若\(m,n,p,q\inN^+\)，\(m+n=p+q\)，则\(a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}\)，所以\(2a_{2}=a_{1}+a_{3}=2+6=8\)，则\(a_{2}=4\)。6.答案：A解析：直线的斜截式方程为\(y=kx+b\)（\(k\)为斜率），将直线\(2xy+1=0\)变形为\(y=2x+1\)，所以斜率\(k=2\)。7.答案：A解析：由\(x^{2}4x+3\lt0\)，因式分解得\((x1)(x3)\lt0\)，则\(\begin{cases}x1\gt0\\x3\lt0\end{cases}\)或\(\begin{cases}x1\lt0\\x3\gt0\end{cases}\)，解\(\begin{cases}x1\gt0\\x3\lt0\end{cases}\)得\(1\ltx\lt3\)，\(\begin{cases}x1\lt0\\x3\gt0\end{cases}\)无解，所以不等式的解集是\((1,3)\)。8.答案：A解析：将点代入函数验证，当\(x=0\)时，\(y=\log_{2}(0+1)=\log_{2}1=0\)，所以函数\(y=\log_{2}(x+1)\)的图象经过点\((0,0)\)。9.答案：A解析：圆的标准方程为\((xa)^{2}+(yb)^{2}=r^{2}\)，其圆心坐标为\((a,b)\)，所以圆\((x1)^{2}+(y+2)^{2}=4\)的圆心坐标是\((1,2)\)。10.答案：C解析：“至少有\(1\)名女生”的对立事件是“没有女生”，从\(5\)名男生和\(3\)名女生中选\(3\)人总的选法有\(C_{8}^{3}=\frac{8!}{3!(83)!}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\)种，没有女生即从\(5\)名男生中选\(3\)人的选法有\(C_{5}^{3}=\frac{5!}{3!(53)!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\)种，所以至少有\(1\)名女生的选法有\(5610=55\)种。二、填空题11.答案：2解析：根据对数的运算性质\(\log_{a}a^{n}=n\)，因为\(9=3^{2}\)，所以\(\log_{3}9=\log_{3}3^{2}=2\)。12.答案：\(\frac{4}{3}\)解析：已知角\(\alpha\)的终边经过点\((x,y)=(3,4)\)，根据正切函数的定义\(\tan\alpha=\frac{y}{x}\)，所以\(\tan\alpha=\frac{4}{3}=\frac{4}{3}\)。13.答案：1解析：函数\(f(x)=x^{2}+2x+m=(x+1)^{2}+m1\)，其对称轴为\(x=1\)，开口向上，在区间\([2,3]\)上，\(x=3\)距离对称轴较远，所以\(f(x)_{max}=f(3)=3^{2}+2\times3+m=9+6+m=15+m\)。又因为\(f(x)\)在区间\([2,3]\)上的最大值为\(10\)，所以\(15+m=10\)，解得\(m=5\)。14.答案：\((2,0)\)解析：对于抛物线\(y^{2}=2px(p\gt0)\)，其焦点坐标为\((\frac{p}{2},0)\)，在抛物线\(y^{2}=8x\)中，\(2p=8\)，则\(p=4\)，所以焦点坐标是\((2,0)\)。15.答案：\(\frac{3}{2}\)解析：若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，且\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，则\(x_1y_2x_2y_1=0\)。已知\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec{b}=(1,\lambda)\)，所以\(2\lambda1\times(3)=0\)，即\(2\lambda+3=0\)，解得\(\lambda=\frac{3}{2}\)。三、解答题16.（1）解：先将函数\(f(x)\)化简，\(f(x)=2\sinx\cosx+\sqrt{3}\cos2x=\sin2x+\sqrt{3}\cos2x=2(\frac{1}{2}\sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos2x)=2(\sin2x\cos\frac{\pi}{3}+\cos2x\sin\frac{\pi}{3})=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)。根据正弦函数的周期公式\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)（\(\omega\)是\(x\)前面的系数），所以\(f(x)\)的最小正周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。（2）解：因为\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)，所以\(2x\in[0,\pi]\)，\(2x+\frac{\pi}{3}\in[\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}]\)。当\(2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\)，即\(x=\frac{\pi}{12}\)时，\(\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)取得最大值\(1\)，\(f(x)_{max}=2\times1=2\)。当\(2x+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}\)，即\(x=\frac{\pi}{2}\)时，\(\sin(2x+\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(f(x)_{min}=2\times(\frac{\sqrt{3}}{2})=\sqrt{3}\)。17.（1）解：设等比数列\(\{a_{n}\}\)的公比为\(q\)，由等比数列通项公式\(a_{n}=a_{1}q^{n1}\)，已知\(a_{1}=1\)，\(a_{4}=8\)，则\(a_{4}=a_{1}q^{3}=q^{3}=8\)，解得\(q=2\)。所以数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式为\(a_{n}=a_{1}q^{n1}=2^{n1}\)。（2）解：由（1）知\(a_{n}=2^{n1}\)，则\(b_{n}=\log_{2}a_{n}=\log_{2}2^{n1}=n1\)。可知数列\(\{b_{n}\}\)是以\(b_{1}=0\)为首项，\(d=1\)为公差的等差数列。根据等差数列前\(n\)项和公式\(S_{n}=\frac{n(b_{1}+b_{n})}{2}\)，\(b_{n}=n1\)，所以\(S_{n}=\frac{n(0+n1)}{2}=\frac{n(n1)}{2}\)。18.（1）解：