2027届新高考数学热点精准复习二项分布、超几何分布与正态分布

2027届新高考数学热点精准复习二项分布、超几何分布与正态分布1.伯努利试验与二项分布(1)伯努利试验:只包含

可能结果的试验叫做伯努利试验;将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为

.

(2)二项分布:一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=

,k=0,1,2,…,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作

.

两个

n重伯努利试验

X~B(n,p)

X01P1-pp称随机变量X服从两点分布或0—1分布.(4)两点分布与二项分布的均值、方差①若随机变量X服从两点分布,则E(X)=

,D(X)=

.

②若X~B(n,p),则E(X)=

,D(X)=

.

pp(1-p)np

np(1-p)

微点拨

超几何分布与二项分布的关系

不同点联系二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取n件产品中次品的分布规律,并且二者的均值相同.对于不放回抽样,当n远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,此时,超几何分布可以用二项分布近似

服从正态分布的随机变量是一种连续型随机变量

正态分布

x=μx=μ

μ

σ2

×解析

当μ取定值时,σ越小,曲线越“瘦高”.√√×解析

正态分布是对于连续型随机变量而言的.

D

C

4.(人A选三教材例题改编)在含有3件次品的10件产品中,任取4件,X表示取到的次品的个数,则P(X=2)=

.

5.(2021·新高考Ⅱ,6)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),下列结论不正确的是(

)A.σ越小,该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等D解析

对于A,σ2为数据的方差,所以σ越小,数据在μ=10附近越集中,所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大,故A正确;对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5,故B正确;对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C正确;对于D,因为该物理量在一次测量中落在(9.9,10)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同,所以在一次测量中落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同,故D错误.故选D.

研考点•精准突破考点一二项分布

所以X的分布列为

X0123P

规律方法

二项分布的解题策略

X012P

考点二超几何分布例2

[一题多变]在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与均值.

X01234P

AI变式[变式](改变设问)若用Y表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数,求Y的分布列.

Y12345P规律方法

求超几何分布的分布列、均值的步骤

ξ012P

考点三正态分布

A.μ甲>μ乙,σ甲>σ乙 B.μ甲>μ乙,σ甲<σ乙C.μ甲<μ乙,σ甲>σ乙 D.μ甲<μ乙,σ甲<σ乙C解析

从题图中可以看出乙的对称轴在甲的对称轴的右侧,故甲的平均数小于乙的平均数,即μ甲<μ乙,且乙“高瘦”,甲“矮胖”,即乙数据更加集中,方差比甲小,即σ甲>σ乙.故选C.

BC解析

由题意知,X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12).∵P(X<1.8+0.1)≈0.841

3,∴P(X>1.8+0.1)≈1-0.841

3=0.158

7.∴P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)≈0.158

7,∴A错误.P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,∴B正确.∵P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841

3,∴C正确,D错误.故选BC.教考衔接(人A选三教材例题)李明上学有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时30min,样本方差为36;骑自行车平均用时34min,样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.(1)估计X,Y的分布中的参数;(2)根据(1)中的估计结果,利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线;(3)如果某天有38min可用,李明应选择哪种交通工具?如果某天只有34min可用,又应该选择哪种交通工具?请说明理由.解

(1)随机变量X的样本均值为30,样本标准差为6;随机变量Y的样本均值为34,样本标准差为2.用样本均值估计参数μ,用样本标准差估计参数σ,可以得到X~N(30,62),Y~N(34,22).(2)X和Y的分布密度曲线如图所示.(3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.由图可知,P(X≤38)<P(Y≤38),P(X≤34)>P(Y≤34).所以,如果有38

min可用,那么骑自行车不迟到的概率大,应选择骑自行车;如果只有34

min可用,那么坐公交车不迟到的概率大,应选择坐公交车.规律方法

正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态密度曲线关于直线x=μ对称,曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时,要注意将给出的区间或范围与μ,σ进行对比联系,确定它们属于[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]中的哪一个.[对点训练3](多选题)(2025·河北秦皇岛模拟)在一次问答竞赛中,已知A组的成绩X与B组的成绩Y均服从正态分布,且X~N(130,25),Y~N(135,36),则(

)A.E(X)=130 B.D(Y)=6C.P(X<110)+P(X≤150)=1 D.P(X<140)>P(Y<145)ACD解析

因为X~N(130,52),Y~N(135,62),所以E(X)=130,D(Y)=36,故A正确,B错误;因为P(X<110)+P(X≤150)=P(X>150)+P(X≤150)=1,故C正确;P(X<140)=P(X<130+2×5)=P(Y<135+2×6)>P(Y<145),故D正确.故选ACD.考向2

正态分布的实际应用例4

(2025·江苏苏州三模)现有甲、乙两台机器生产一批零件,甲生产出的零件内径X(单位:mm)服从正态分布N(10,1),乙生产出的零件内径Y(单位:mm)服从正态分布N(8,4).(1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2,且两台机器工作状态相互独立.设一天内发生故障的机器台数为Z,求Z的分布列;(2)若生产出的零件内径小于8mm,则每件亏损2元;若内径大于10mm,则每件亏损8元;其余尺寸的零件,则每件获利20元.已知每天每台机器生产出1000件零件,试比较哪一台机器每天生产出的零件的平均利润更大.参考数据:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.9545.解

(1)由题可知Z的可能取值为0,1,2.P(Z=0)=(1-0.1)×(1-0.2)=0.9×0.8=0.72,P(Z=1)=0.1×(1-0.2)+(1-0.1)×0.2=0.1×0.8+0.9×0.2=0.08+0.18=0.26,P(Z=2)=0.1×0.2=0.02,所以Z的分布列为Z012P0.720.260.02

规律方法

解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴方程x=μ.(2)标准差σ.(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值,由μ,σ分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率,注意只有在标准正态分布下对称轴才为直线x=0.[对点训练4](2025·湖南衡阳模拟)在一条生产圆钢的生产线上,出产的成品圆钢的长度(单位:m)为ξ,且ξ~N(2,0.012).(1)若出产这样的成品圆钢10000根,试估计长度在[1.97,