2025-2026年济南历下区九年级中考数学二模考试试题（含答案）

济南历下区二模数学试题（满分150分时间120分钟）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1.−2的倒数是（）A.2B.−2C.12D.−2.为维护校园安全，学校通常会在校门口安装防冲撞升降柱。某款升降柱如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（）A.主视图与左视图相同B.主视图与俯视图相同C.左视图与俯视图相同D.三种视图都相同3.人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数据0.00000156用科学记数法表示为（）A.1.56×10−5B.0.156×10−5C.1.56×10−6D.15.6×10−74.数学中有许多优美的曲线，下列四条曲线中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）5.如图，在平面直角坐标系中，将点A先向右平移、再向下平移得点A′，则点A′的坐标可能为（）A.(−1,2)B.(2,−3)C.(0,1)D.(−2,−1)6.计算1x−1−2x－xA.XB.x−1C.1−xD.x+17.对于反比例函数y=3x，下列结论中错误的是（A.该函数的图象与坐标轴无交点B.若点(m,n)在该函数的图象上，则点(−m,−n)也在该函数的图象上C.若点(a,a+2)在该函数的图象上，则a=1D.满足y≥3的x的取值范围为0<x≤18.大辛庄遗址博物馆是济南市首个以商代遗址为主题的专题博物馆，该馆一楼设有“东土大邑”、“率民事神”、“百工惟时”三个展厅。若小明从三个展厅中随机选择两个展厅参观，则他恰好选择“东土大邑”和“百工惟时”的概率是（）A.13B.29C.169.如图，△ABC为等腰直角三角形，其中∠B=90∘，按如下步骤作图：在AB和AC上分别截取AN,AM，使AM=AN，分别以点M和N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O，作射线AO交BC于点D；以点C为圆心，以CD的长为半径作弧，交射线AO于点P，分别以点D和P为圆心，以大于12DP的长为半径作弧，两弧交于点Q，作射线CQ交线段DP于点E。有以下结论：①△ACE是直角三角形；②∠CAD=∠DCE；③△ABD的周长△CDE的周长A.1个B.2个C.3个D.4个10.已知点A(t,m)在抛物线y=2ax2−4ax+3（a为常数，a>0）上，点B(t,n)在直线y=ax+a+1上。若有且仅有一个整数t使得m≤n成立，则a的取值范围是（）A.12≤a<23B.12<a<23C.23第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11.写出一个使6−x在实数范围内有意义的x的值：__________。12.一个不透明的袋中装有3个白球和m个红球，这些球除颜色外无其他差别。充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为31013.两个全等的正五边形按如图所示的方式拼接在一起，以点A为圆心，AB的长为半径作弧BC。若AB=1，则图中阴影部分的面积是__________。（第13题图）（第14题图）（第15题图）14.甲、乙两种物质的质量m（g）与体积V（cm³）的关系如图所示，已知当甲、乙两种物质的体积均为xcm³时，甲物质的质量比乙物质的质量多35g，则x的值为__________。15.如图，在矩形纸片ABCD中，点E是边AD上一点，将纸片沿直线BE折叠，使点A落在点F处，连接DF并延长，交边AB于点G，若点F为线段DG的中点，sin∠ADG=108，则BG三、解答题（本大题共10个小题，共90分）16.（本小题满分7分）计算：2sin45∘+(3−π)0−3−2+−19+17.（本小题满分7分）解不等式组：3(x+1)≥4x+118.（本小题满分7分）已知：在平行四边形ABCD中，E,F是对角线AC上的两点，且AE=CF，G,H分别是边AD,BC上的点，且EG∥FH。求证：DG=BH。19.（本小题满分8分）为践行“以人为本”的服务理念，济南公交集团采购了配有无障碍踏板设施和“侧跪”功能的新型公交车，有效解决了残障人士、老年人等特殊群体的出行难题，如图1所示。图2为某辆新型公交车未启动“侧跪”功能停靠时的正面示意图，车厢左侧MN与地面垂直，踏板AB的倾斜角为30∘，踏板顶端A处到地面的距离为41cm。(1)当该公交车未启动“侧跪”功能停靠时，求踏板底端B处到车厢左侧MN的距离；(2)该公交车到达车站后，为方便轮椅乘客上下车，驾驶员启动“侧跪”功能来降低车门一侧车身的高度。图3为该公交车启动“侧跪”功能停靠时的正面示意图，车厢左侧MN向站台方向倾斜，踏板顶端A处到地面的距离随之减小，站台表面EF与地面平行，踏板AB的倾斜角减小至10∘。若公交站台的高度EG为15cm，求此时踏板顶端A处到地面的距离。（结果精确到0.01cm，参考数据：3≈1.732，sin10∘≈0.174，cos10∘≈0.985，tan10∘≈0.176）20.（本小题满分8分）如图，点A,B在⊙O上，∠AOB=90∘，点C在OB的延长线上，过C作⊙O的切线，切点为D，连接AD交OC于点E。(1)求证：CE=CD；(2)若OE=1，BC=2，求AE的长。21.（本小题满分9分）围绕全市“项目赋能年”规划，某区启动“青春护航”志愿服务行动。为了解该行动中“智慧工地”项目的参与情况，某校数学兴趣小组对参与该项目的30名志愿者的服务时长（服务时长用x表示，单位：小时）进行了调查，并将所得数据（服务时长）进行了整理。数据分为四组，具体如下：A组：x<30；B组：30≤x<40；C组：40≤x<50；D组：x≥50。下面给出了相关信息：a.C组全部数据为：40，40，42，43，45，46，47，48，48，49，49，49。b.不完整的服务时长的统计表格和扇形统计图如下：c.各组志愿者的平均服务时长如下：根据以上信息，回答下列问题：(1)统计表格中m的值为______，n的值为______；(2)本次志愿者服务时长的中位数是______小时；(3)扇形统计图中，B组对应扇形的圆心角是______度；(4)求这30名志愿者的平均服务时长。22.（本小题满分10分）为深入推进“书香校园”建设，营造浓厚读书氛围，某学校决定于5月中旬举办“校园读书节”，现需采购A，B两种图书。已知购买2本A种图书和3本B种图书共需180元，购买4本A种图书比购买5本B种图书多30元。(1)求A，B两种图书的单价；(2)该校计划购买A，B两种图书共50本，且B种图书的数量不超过A种图书数量的一半，通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少。23.（本小题满分10分）正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=12x(1)求m和k的值；(2)点B为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，交x轴于点D。①如图1，连接OB，当OB平分∠AOD时，求△OBC的面积；②如图2，连接AB，当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求点B的坐标。24.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1:y=14x2−2x+3与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线C2:y=−14x(1)求点A的坐标和a,c的值；(2)已知点D是抛物线C1上一点，过点D作直线y=2x+b，与抛物线C2在第一象限内交于点E，与直线BC交于点F，设点D的横坐标为m（0<m<6）。①如图1，当点D与点A重合时，求EFDF②如图2，当点F是DE的中点时，连结CD,CE,BD,BE，判断四边形CDBE的形状，并说明理由。25.（本小题满分12分）在△ABC中，∠ABC=α（0∘<α<90∘），点D在边BC上，且CD=kBD。将射线CD绕点C按顺时针方向旋转(180∘−α)得射线CM，点E在射线CM上（点E与点C不重合），连接AD,DE。(1)如图1，当k=1时，若DE=AD，AB与CE的位置关系为__________，∠ADE与∠CED的数量关系为__________（用等式表示）；(2)当k=2时，AC与DE交于点F，连接AE。①如图2，若DE=2AD，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；②如图3，若AB=2CE，求△AEF与△ABC的面积比。答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1.−2的倒数是（D）A.2B.−2C.12D.−2.为维护校园安全，学校通常会在校门口安装防冲撞升降柱。某款升降柱如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（A）A.主视图与左视图相同B.主视图与俯视图相同C.左视图与俯视图相同D.三种视图都相同3.人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数据0.00000156用科学记数法表示为（C）A.1.56×10−5B.0.156×10−5C.1.56×10−6D.15.6×10−74.数学中有许多优美的曲线，下列四条曲线中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（D）5.如图，在平面直角坐标系中，将点A先向右平移、再向下平移得点A′，则点A′的坐标可能为（B）A.(−1,2)B.(2,−3)C.(0,1)D.(−2,−1)6.计算1x−1−2x－xA.XB.x−1C.1−xD.x+17.对于反比例函数y=3x，下列结论中错误的是（CA.该函数的图象与坐标轴无交点B.若点(m,n)在该函数的图象上，则点(−m,−n)也在该函数的图象上C.若点(a,a+2)在该函数的图象上，则a=1D.满足y≥3的x的取值范围为0<x≤18.大辛庄遗址博物馆是济南市首个以商代遗址为主题的专题博物馆，该馆一楼设有“东土大邑”、“率民事神”、“百工惟时”三个展厅。若小明从三个展厅中随机选择两个展厅参观，则他恰好选择“东土大邑”和“百工惟时”的概率是（A）A.13B.29C.169.如图，△ABC为等腰直角三角形，其中∠B=90∘，按如下步骤作图：在AB和AC上分别截取AN,AM，使AM=AN，分别以点M和N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O，作射线AO交BC于点D；以点C为圆心，以CD的长为半径作弧，交射线AO于点P，分别以点D和P为圆心，以大于12DP的长为半径作弧，两弧交于点Q，作射线CQ交线段DP于点E。有以下结论：①△ACE是直角三角形；②∠CAD=∠DCE；③△ABD的周长△CDE的周长A.1个B.2个C.3个D.4个10.已知点A(t,m)在抛物线y=2ax2−4ax+3（a为常数，a>0）上，点B(t,n)在直线y=ax+a+1上。若有且仅有一个整数t使得m≤n成立，则a的取值范围是（A）A.12≤a<23B.12<a<23C.23第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11.写出一个使6−x在实数范围内有意义的x的值：_____2_____。12.一个不透明的袋中装有3个白球和m个红球，这些球除颜色外无其他差别。充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为310，则m=____713.两个全等的正五边形按如图所示的方式拼接在一起，以点A为圆心，AB的长为半径作弧BC。若AB=1，则图中阴影部分的面积是_____25π（第13题图）（第14题图）（第15题图）14.甲、乙两种物质的质量m（g）与体积V（cm³）的关系如图所示，已知当甲、乙两种物质的体积均为xcm³时，甲物质的质量比乙物质的质量多35g，则x的值为_____28_____。15.如图，在矩形纸片ABCD中，点E是边AD上一点，将纸片沿直线BE折叠，使点A落在点F处，连接DF并延长，交边AB于点G，若点F为线段DG的中点，sin∠ADG=108，则BGAG=_____三、解答题（本大题共10个小题，共90分）16.（本小题满分7分）计算：2sin45∘+(3−π)0−3−2+−19+=2+1−19+1=32+117.（本小题满分7分）解不等式组：3(x+1)≥4x+1解：解不等式①：x≤2解不等式②：x＞−5综合两个不等式的解集：−54＜x正整数解：x=1,218.（本小题满分7分）已知：在平行四边形ABCD中，E,F是对角线AC上的两点，且AE=CF，G,H分别是边AD,BC上的点，且EG∥FH。求证：DG=BH。证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC,AD=BC∴∠GAE=∠HCF∵EG∥FH∴∠GEA=∠HFC在△AEG和△CFH中：∠GAE=∠HCF∴△AEG≌△CFH

(ASA)∴AG=CH又∵AD=BC∴AD−AG=BC−CH即DG=BH19.（本小题满分8分）为践行“以人为本”的服务理念，济南公交集团采购了配有无障碍踏板设施和“侧跪”功能的新型公交车，有效解决了残障人士、老年人等特殊群体的出行难题，如图1所示。图2为某辆新型公交车未启动“侧跪”功能停靠时的正面示意图，车厢左侧MN与地面垂直，踏板AB的倾斜角为30∘，踏板顶端A处到地面的距离为41cm。(1)当该公交车未启动“侧跪”功能停靠时，求踏板底端B处到车厢左侧MN的距离；(2)该公交车到达车站后，为方便轮椅乘客上下车，驾驶员启动“侧跪”功能来降低车门一侧车身的高度。图3为该公交车启动“侧跪”功能停靠时的正面示意图，车厢左侧MN向站台方向倾斜，踏板顶端A处到地面的距离随之减小，站台表面EF与地面平行，踏板AB的倾斜角减小至10∘。若公交站台的高度EG为15cm，求此时踏板顶端A处到地面的距离。（结果精确到0.01cm，参考数据：3≈1.732，sin10∘≈0.174，cos10∘≈0.985，tan10∘≈0.176）(1)解：过点A作AD⊥MN于点D，过点B作BE⊥AD于点E。∵车厢左侧MN与地面垂直，∴四边形BEND是矩形，∴BE=DN,DE=BN。已知AD=41cm，∠ABE=30∘。在Rt△ABE中，cos30∘=BEAB，sin30∘=AE设AB为x，则AE=12x，BE=3又∵AD=AE+ED=AE+BN=41，而BN=0（未启动侧跪时，B在地面）∴AE=41cm，即12x=82cm。∴BE=32×82=413即踏板底端B到车厢左侧MN的距离约71.01cm。(2)解：过点A作AH⊥EF于点H，交地面于点P。已知EG=15cm，即FH=15cm，∠ABH=10∘，AB=82cm。在Rt△ABH中，sin10∘=AHAB∴AH=AB·sin10∘≈82×0.174≈14.27cm。∴踏板顶端A到地面的距离AP=AH+HP=AH+EG≈14.27+15=29.27cm。20.（本小题满分8分）如图，点A,B在⊙O上，∠AOB=90∘，点C在OB的延长线上，过C作⊙O的切线，切点为D，连接AD交OC于点E。(1)求证：CE=CD；(2)若OE=1，BC=2，求AE的长。(1)证明：连接OD。∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，即∠ODC=90∘。∴∠ODE+∠CDE=90∘。∵∠AOB=90∘，∴∠OAD+∠OEA=90∘。又∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODE。又∵∠OEA=∠DEC，∴∠CDE=∠DEC。∴CE=CD。(2)解：设OD=OB=r，则OC=r+2。由(1)知CD=CE=OC−OE=r+2−1=r+1。在Rt△ODC中，由勾股定理：OD2+CD2=OC2即r2+(r+1)2=(r+2)2解得：r=3（舍去负根）。∴OA=3，OE=1，在Rt△AOE中，AE=OA2+OE21.（本小题满分9分）围绕全市“项目赋能年”规划，某区启动“青春护航”志愿服务行动。为了解该行动中“智慧工地”项目的参与情况，某校数学兴趣小组对参与该项目的30名志愿者的服务时长（服务时长用x表示，单位：小时）进行了调查，并将所得数据（服务时长）进行了整理。数据分为四组，具体如下：A组：x<30；B组：30≤x<40；C组：40≤x<50；D组：x≥50。下面给出了相关信息：a.C组全部数据为：40，40，42，43，45，46，47，48，48，49，49，49。b.不完整的服务时长的统计表格和扇形统计图如下：c.各组志愿者的平均服务时长如下：根据以上信息，回答下列问题：(1)统计表格中m的值为______，n的值为______；(2)本次志愿者服务时长的中位数是______小时；(3)扇形统计图中，B组对应扇形的圆心角是______度；(4)求这30名志愿者的平均服务时长。(1)解：总人数为30，A组频数为9，C组为12，D组为6。∴m=30−9−12−6=3。n=1230(2)解：30个数据的中位数为第15,16个数据的平均数。A组有9个数据，B组有3个，C组有12个。第15,16个数据均在C组，C组数据为40,40,42,43,45,46,47,48,48,49,49,49第15个为45，第16个为46，∴中位数为45+462(3)解：B组频率为330(4)解：平均时长=9×20+3×38+12×45.5+6×553022.（本小题满分10分）为深入推进“书香校园”建设，营造浓厚读书氛围，某学校决定于5月中旬举办“校园读书节”，现需采购A，B两种图书。已知购买2本A种图书和3本B种图书共需180元，购买4本A种图书比购买5本B种图书多30元。(1)求A，B两种图书的单价；(2)该校计划购买A，B两种图书共50本，且B种图书的数量不超过A种图书数量的一半，通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少。(1)解：设A种图书单价为x元，B种为y元。根据题意：2x+3y=180解得：x=45∴A种图书单价45元，B种30元。(2)解：设购买A种图书a本，则B种为(50−a)本。根据题意：50−a≤12解得a≥1003∵a为整数，∴a≥34设总费用为W元，则：W=45a+30(50−a)=15a+1500∵15>0，∴W随a的增大而增大，∴当a=34时，W最小，此时50−34=16。即购买A种34本，B种16本时，费用最少。23.（本小题满分10分）正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=12x(1)求m和k的值；(2)点B为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，交x轴于点D。①如图1，连接OB，当OB平分∠AOD时，求△OBC的面积；②如图2，连接AB，当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求点B的坐标。(1)解：∵点A(m,4)在反比例函数y=12x∴4=12m∴A(3,4)。又∵A在正比例函数y=kx上，∴4=3k，解得k=43(2)解：由k=43，直线OA为y=4∵OB平分∠AOD∴∠AOB=∠BOD，又∵A(3,4)，tan∠AOD=43设B(t,12t则tan∠BOD=12t由三角形的半角公式得，tan∠BOD=tan12∠AOD=∴12t2解得t=26，∴B(26,6)，C(26,8